Текст книги "Тайны чисел: Математическая одиссея"

Как древние греки использовали решето для приготовления простых чисел?

Древние греки открыли следующую систематическую процедуру, весьма эффективную для нахождения небольших простых чисел. Задача состоит в том, чтобы найти действенный метод по отбрасыванию всех чисел, не являющихся простыми. Запишем числа от 1 до 100. Начнем с вычеркивания числа 1. (Как я упоминал, хотя греки считали 1 простым числом, современная математика так не поступает.) Перейдем к следующему числу, к 2. Это первое простое число. Затем зачеркнем каждое второе число после 2. Это, по существу, устраняет все числа, кратные 2, то есть все четные числа за исключением 2. Математики любят шутить, что 2 – странное простое число, потому что лишь оно четное… Но, возможно, юмор – не самая сильная сторона математиков.

Рис. 1.18. Зачеркните каждое второе число после 2

Теперь перейдем к минимальному незачеркнутому числу, в нашем случае к 3, и систематически отбросим все остальные числа, кратные 3:

Рис. 1.19. Теперь зачеркните каждое третье число после 3

Поскольку 4 уже было отброшено, далее мы переходим к 5 и зачеркиваем каждое пятое число после 5. Мы повторяем далее эту процедуру и переходим к минимальному числу n, которое еще не было устранено, и вычеркиваем все числа, расположенные через n после него:

Рис. 1.20. Наконец у вас останутся все простые числа из интервала от 1 до 100

Эта процедура прекрасна тем, что она совершенно механическая и не требует размышлений. К примеру, простое ли число 91? Если вы используете данный метод, то не нужно думать. 91 будет зачеркнуто, когда вы отбрасываете числа, кратные 7, ведь 91 = 7 × 13. На числе 91 зачастую происходит ошибка, потому что мы не стремимся учить таблицу умножения 7 до 13.

Эта систематическая процедура служит хорошим примером алгоритма, метода решения задачи путем выполнения заданного набора инструкций – так, по существу, устроена компьютерная программа. Именно этот алгоритм был открыт две тысячи лет назад в одном из центров математической мысли своего времени – в Александрии, которая располагается на территории современного Египта. Тогда Александрия была форпостом великой Греческой империи и славилась одной из лучших библиотек мира. В III в. до н. э. библиотекарь Эратосфен и придумал эту раннюю компьютерную программу для нахождения простых чисел.

Она называется решетом Эратосфена, потому что всякий раз, когда вы просеиваете группу составных чисел, вы как бы используете решето, у которого расстояние между прутьями равно достигнутому вами простому числу. Сначала расстояние между прутьями равно 2, затем 3, потом 5 и т. д. Единственный недостаток этого метода: он быстро становится неэффективным, если вы ищете все бо́льшие и бо́льшие простые числа.

Эратосфен не только отсеивал простые числа и приглядывал за сотнями тысяч папирусных и пергаментных свитков в библиотеке, но и вычислил радиус Земли, а также расстояние от Земли до Солнца и Луны. По его расчету, Солнце находилось в 804 000 000 стадиев от Земли – хотя непонятно, каким именно стадием он пользовался, что делает трудной оценку точности его вычислений. Какой стадион подразумевали бы мы: «Уэмбли» или что-то поменьше, вроде «Лофтус Роуд»?

Кроме расчетов Солнечной системы, Эратосфен нанес Нил на карту и дал первое правильное объяснение его разливов: они были обусловлены сильными дождями в его удаленных верховьях в Эфиопии. Он даже создавал поэтические произведения. Но, несмотря на всю его активность, друзья дали ему прозвище Бета, потому что он ни в чем не преуспел по-настоящему. Говорили, что он уморил себя голодом после того, как ослеп в старческом возрасте.

Вы можете использовать какую-либо настольную игру с числовыми полями для приведения решета Эратосфена в действие. Возьмите спагетти и кладите их кусочки на исключаемые поля. Оставшиеся числа и будут простыми.

Много ли понадобится времени, чтобы написать список всех простых чисел?

Любому, кто захочет написать список всех простых чисел, придется писать его вечно, потому что их количество бесконечно. Почему же мы уверены, что никогда не дойдем до последнего простого числа, что за ним в списке будет следующее? Одно из величайших достижений человеческого разума состоит как раз в том, что с помощью небольшой последовательности логических шагов мы можем осознать бесконечность.

Первым, кто доказал нескончаемость простых чисел, был греческий математик Евклид, живший в Александрии. Он был учеником Платона, и время его деятельности также пришлось на III в. до н. э., хотя, по-видимому, он был на 50 лет старше библиотекаря Эратосфена.

Для того чтобы доказать бесконечность количества простых чисел, Евклид задался вопросом: может ли, напротив, множество простых чисел быть конечным? Конечный список простых чисел означал бы, что любое другое число может быть получено перемножением элементов этого конечного списка. Предположим, к примеру, что список простых чисел включает лишь три числа: 2, 3 и 5. Может ли любое число быть получено путем перемножения различных комбинаций 2, 3 и 5? Евклид придумал способ построения числа, которое не может быть получено таким путем. Он начал с перемножения списка простых чисел, что приводит к 30. Затем – и в этом была гениальная догадка – он добавил 1 к этому числу и получил 31. Ни одно из списка простых чисел, ни 2, ни 3, ни 5, не является его делителем. Всегда получается остаток 1.

Евклид знал, что все числа могут быть построены перемножением простых чисел – так что же можно сказать о 31? Так как оно не делится на 2, 3 или 5, должны быть другие простые числа, вне имеющегося списка, которые участвуют в построении 31. В действительности число 31 само является простым, так что Евклид создал «новое» простое число. Вы скажете, что в имеющийся список простых чисел нужно лишь добавить это «новое» число. Но, сколь бы ни был велик список, Евклид мог бы снова повторить свой прием – перемножить числа из списка и добавить 1. Каждый раз он получал бы число, которое при делении на любое число из списка давало бы остаток 1, значит, это новое число должно делиться на простые числа вне имеющегося списка. Таким образом Евклид доказал, что любой конечный список не может включать все простые числа. Следовательно, количество простых чисел должно быть бесконечным.

Хотя Евклид сумел показать, что простые числа никогда не заканчиваются, его доказательство не говорило, как найти простые числа. Можно было бы подумать, что, действуя в соответствии с указанной процедурой, мы будем генерировать новые простые числа. Ведь мы перемножили 2, 3 и 5, добавили 1 и получили новое простое число 31. Однако такая процедура срабатывает не всегда. Например, возьмите следующий список простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Перемножив их, мы получим 30 030, а добавив 1, придем к 30 031. Простые числа с 2 до 13 не являются делителями последнего числа, всякий раз при делении получается остаток 1. Тем не менее 30 031 не является простым числом, у него есть простые делители 59 и 509, которые не включены в наш список. В действительности математики до сих пор не знают, будет ли повторение процедуры перемножения конечного количества простых чисел и добавления 1 давать бесконечно много новых простых чисел.

Имеется видео, на котором моя футбольная команда в своей экипировке с простыми номерами объясняет, почему имеется бесконечно много простых чисел. Посетите http://bit.ly/Primenumbersfootball.

Почему вторые имена моих дочерей 41 и 43?

Если мы не можем занести простые числа в одну большую таблицу, то нельзя ли попытаться найти некую закономерность, которая помогла бы нам генерировать простые числа? Существует ли хитроумный способ, который позволит, глядя на имеющиеся простые числа, предсказать, где нужно искать следующее?

Вот те простые числа из интервала от 1 до 100, которые мы получили, используя решето Эратосфена:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Проблема простых чисел состоит в том, что бывает по-настоящему сложно понять, где окажется следующее из них; по-видимому, не существует каких-либо закономерностей в их последовательности, способных помочь нам в их поиске. На поверку они скорее напоминают набор номеров лотерейных билетов, а не строительные кирпичики математики. Это чем-то напоминает ожидание автобуса: крайне долго нет ни одного, но вдруг они идут один за другим с короткими интервалами. Такое поведение весьма характерно для случайных процессов, как мы увидим в главе 3.

За исключением 2 и 3, ближайшее расстояние между двумя простыми числами может быть равно 2, как между 17 и 19, либо 41 и 43, потому что число между каждой парой будет четным, следовательно, не простым. Такие пары крайне близких простых чисел называются простыми числами-близнецами. Из-за моей одержимости простыми числами мои дочери-двойняшки чуть не были названы 41 и 43. В конце концов, если Крис Мартин и Гвинет Пэлтроу назвали своего ребенка Яблоком, а Фрэнк Заппа своих дочерей – Лунный Модуль и Дива-кексик, то почему у меня не могут быть близняшки 41 и 43? Но жена не разделяла мой энтузиазм, поэтому эти числа стали «тайными» вторыми именами наших дочерей.

Хотя простые числа встречаются все реже и реже, когда вы углубляетесь во вселенную чисел, удивительно, насколько часто попадаются простые числа-близнецы. Например, после простого числа 1129 на протяжении 21 последующего числа нет ни одного простого, а затем неожиданно появляется пара 1151 и 1153. Когда вы проходите 102 701, вам необходимо преодолеть 59 составных чисел, а затем внезапно возникают простые числа-близнецы 102 761 и 102 763. В наибольших простых числах-близнецах, известных к началу 2009 г., 58 711 цифр. Если учесть, что число атомов в наблюдаемой Вселенной имеет 80 цифр, такие числа оказываются до нелепости большими.

Однако будут ли и затем встречаться близнецы? Благодаря доказательству Евклида мы знаем, что и дальше найдем бесконечно много простых чисел, но как насчет их пар? Пока еще никто не смог придумать хитроумное доказательство, подобное Евклидову, что простых чисел-близнецов бесконечно много.

Одно время казалось, что близнецы могут сыграть ключевую роль в раскрытии тайны простых чисел. В книге «Человек, который принял жену за шляпу» Оливер Сакс описывает случай из реальной жизни, когда два аутистичных близнеца, обладавших феноменальными способностями, использовали простые числа как тайный язык. Обыкновенно братья сидели в клинике Сакса и обменивались между собой большими числами. Сначала Сакса озадачил их диалог, но как-то вечером он сумел понять его секрет. Выучив одно простое число, он решил проверить свою догадку. На следующий день он решил присоединиться к близнецам, которые обменивались шестизначными числами. Сакс, воспользовавшись паузой, произнес семизначное число, что застало близнецов врасплох. Некоторое время они сидели в раздумьях, так как число выходило за пределы их привычного диапазона, но потом одновременно улыбнулись, как будто узнали старого друга.

За время, проведенное у Сакса, близнецы сумели достичь девятизначных простых чисел. Конечно, никто не нашел бы удивительным, обменивайся они нечетными числами или даже квадратами чисел. Поразительно было, что они использовали простые числа, которые настолько случайно распределены. Объяснение тому, что это у них получалось, возможно, крылось в другой способности братьев. Они часто появлялись на телевидении и впечатляли аудиторию своим умением определить, что, скажем, 23 октября 1901 г. было средой. Решение задачи о том, каким был день недели с названной датой, осуществляется с помощью модульной (модулярной) арифметики. Наверное, близнецы поняли, что модульная арифметика также играет ключевую роль в определении того, является ли число простым.

Возьмите какое-либо число, скажем, 17 и вычислите 2¹⁷. Если остаток от деления полученного числа на 17 равен 2, то у вас будет хорошее свидетельство в пользу того, что число 17 является простым. Этот тест на простоту числа зачастую неверно приписывают китайцам. На самом деле французский математик XVII в. Пьер де Ферма доказал, что если остаток не равен 2, то число 17 наверняка не является простым. В более общем случае если вы хотите проверить, что число p не является простым, то вычислите 2^p и разделите результат на p. Если остаток не равен 2, то число p не может быть простым. Некоторые люди допускали, что близнецы, обладая способностью определять дни недели, опирающейся на схожую технику нахождения остатков при делении на 7, вполне могли прибегать к данному тесту при нахождении простых чисел.

Сначала математики думали, что если у 2^p остаток от деления на p равен 2, то число p должно быть простым. Но, как оказалось, этот тест не гарантирует простоты. Так, 341 = 34 × 11 не является простым, но тем не менее остаток 2³⁴¹ от деления на 341 равен 2. Данный пример был открыт лишь в 1819 г., и, возможно, братья-близнецы знали, что требуется более изощренный тест, который исключил бы 341. Ферма выяснил, что в тесте можно не ограничиваться степенями 2. Он доказал, что если число p – простое, то для любого числа n, меньшего p, остаток от деления n^p на p равен n. Значит, если вы найдете какое-либо число n, для которого тест проваливается, то необходимо отбросить p как самозванца, не являющегося простым.

Например, остаток от деления 3³⁴¹ на 341 равен не 3, а 168. Конечно, близнецы никак не могли прогонять тест, используя все числа, меньшие их кандидата на роль простого, – потребовалось бы слишком много времени. Однако, как оценил великий венгерский кудесник простых чисел Пал Эрдёш (хотя он не мог доказать это строго), шанс того, что число, меньшее 10¹⁵⁰, пройдет тест Ферма один раз и не окажется простым, настолько низок, как 1 из 10⁴³. Вероятно, для близнецов один прогон теста был достаточен, чтобы заявить о нахождении простого числа.

Игра в классики с простыми числами

В этой игре для двух участников знание простых чисел-близнецов может дать вам преимущество.

Запишите числа от 1 до 100 либо загрузите поле для игры в классики с веб-сайта «Тайн 4исел». Первый игрок берет фишку и кладет ее на простое число, отстоящее от квадрата 1 не более чем на 5 шагов. Затем фишку берет второй игрок, он должен положить ее на большее простое число, отстоящее от предыдущего положения фишки не более чем на 5 шагов. Далее снова делает ход первый игрок, ему необходимо переместить фишку на еще большее простое число, которое удалено не более чем на 5 шагов. Проигравшим считается тот участник, который не может сделать ход по правилам. Правила таковы: 1) фишку нельзя передвигать более чем на 5 шагов; 2) ее нужно класть на простое число; 3) нельзя ходить назад либо оставаться на месте.

Рис. 1.21. Пример игры в классики с простыми числами с максимальным перемещением в 5 шагов

На рис. 1.21 показан типичный сценарий. Игрок 1 проиграл, потому что игрок 2 положил фишку на 23, а среди пяти следующих за 23 числами нет простых. Мог ли игрок 1 сделать более удачный начальный ход? Если вы приглядитесь внимательнее, то поймете, что после того, как пройдено 5, выбора уже не остается. Кто бы ни положил фишку на 5, должен в итоге оказаться победителем, так как впоследствии он сможет переместить фишку с 19 до 23, оставив оппонента без хода. Так что начальный ход имеет решающее значение.

Но что будет, если мы немного изменим правила игры? Скажем, фишку разрешается передвигать максимум на семь шагов вперед. Игроки теперь смогут пройти дальше. В частности, они смогут пройти дальше 23, потому что 29 находится в шести шагах, то есть в пределах досягаемости. Будет ли теперь иметь значение начальный ход? И когда игра остановится? Если вы сыграете в нее, то обнаружите, что у вас теперь появится больший выбор, в особенности когда на пути появляются простые числа-близнецы.

На первый взгляд при столь большом количестве вариантов ваш первый ход не имеет значения. Но снова присмотритесь получше. Вы проигрываете, когда фишка соперника оказывается на 89, потому что следующее за ним простое число 97 находится в восьми шагах. Если вы проследите путь назад, то поймете, что ключевым оказывается число 67. Ведь вслед за ним нужно положить фишку либо на 71, либо на 73. Один из этих двух ходов оказывается выигрышным, а другой проигрышным, после выбора ходы будут предопределены. Если заставить соперника положить фишку на 67, то игра может быть выиграна, число 89 не так важно. Но как добиться этого?

Если вы продолжите возвращение назад по ходу игры, то поймете, что ключевым является решение после простого числа 37. От него вы можете перейти на одно из двух простых чисел-близнецов моих дочерей, 41 и 43. Тот, кто сделает ход на 43, может гарантированно выиграть игру. Итак, теперь все сводится к тому, что в игре побеждает участник, который заставит оппонента положить фишку на 37. Продолжение движения назад по ходу игры позволяет понять, что действительно существует начальный ход, позволяющий добиться выигрыша. Положите фишку на 5, и если вы будете принимать правильные решения, то гарантированно сумеете победить. Вы завершите игру, положив фишку на 89, а соперник не сможет сделать ход.

А если мы будем увеличивать максимально допустимый прыжок все больше и больше, будет ли игра всегда завершаться? Что будет, например, если мы позволим каждому игроку перемещаться максимум на 99 шагов? Можем ли мы быть уверены, что игра не затянется навечно, потому что на расстоянии до 99 шагов от простого числа может найтись следующее простое число? В конце концов, как мы знаем, существует бесконечно много простых чисел, так что вдруг удастся перепрыгивать от одного простого числа к следующему.

Но в действительности можно доказать, что игра завершится всегда. Каким бы вы ни сделали максимальный прыжок, всегда существует больший по длине интервал чисел, внутри которого нет ни одного простого. Давайте посмотрим, как найти 99 последовательных чисел, ни одно из которых не является простым. Возьмите число 100 × 99 × 98 × 97 × … × 3 × 2 × 1. Такое число записывается как 100! и называется факториалом 100. Мы воспользуемся следующим важным фактом: любое число от 1 до 100 является делителем 100!.

Теперь рассмотрим последовательные числа:

100! + 2, 100! + 3, 100! + 4, …, 100! + 98, 100! + 99, 100! + 100.

100! + 2 – составное число, потому что делится на 2. Аналогично делителем 100! + 3 будет 3 (100! делится на 3, если мы добавим к этому число 3, то результат будет по-прежнему делиться на 3). Действительно, все числа этой последовательности составные. Возьмите, к примеру, 100! + 53. Оно не является простым, потому что 100! делится на 53, а если мы прибавим 53, то результат будет по-прежнему делиться на 53. Мы нашли 99 последовательных чисел, ни одно из которых не является простым. Причина, по которой мы начали со 100! + 2, а не со 100! + 1, состоит в том, что наш простой метод позволяет лишь заключить, что 100! + 1 делится на 1, что не позволяет сказать, простое ли это число (в действительности оно не является таковым).

Итак, мы установили, что если максимальный прыжок равен 99, то наша игра в классики должна когда-нибудь закончиться. Но число 100! до нелепости большое. На самом деле игра в классики закончится задолго до него. Первое простое число, за которым следует 99 составных подряд, это 396 733.

Данная игра несомненно помогает понять, насколько случайным образом рассеяны простые числа во вселенной всех чисел. Но, даже если мы не в состоянии найти хитроумный способ, позволяющий перейти от одного простого числа к следующему, может быть, мы сумеем написать разумные формулы, которые выдают простые числа?

На следующем веб-сайте содержится информация о том, как завершится игра в классики при все большем и большем допустимом прыжке: http://bit.ly/Primehopscotch.

Можно ли использовать подсолнухи и кроликов в поиске простых чисел?

Сосчитайте количество лепестков подсолнуха. Часто такой подсчет дает 89, простое число. Количество одиннадцати поколений пар кроликов также 89. Может быть, кролики и цветы нашли секретную формулу для нахождения простых чисел? Не совсем. Им нравится 89 не оттого, что оно простое, а потому, что оно принадлежит к другим любимым числам природы – числам Фибоначчи. Итальянский математик Леонардо Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи, открыл эту важную последовательность чисел в 1202 г., когда пытался понять, как размножаются кролики (скорее не в математическом, а в биологическом аспекте).

Фибоначчи начал с того, что представил пару новорожденных кроликов – самца и самку. Будем считать этот месяц первым. Ко второму месяцу эти кролики достигают зрелости, они спариваются и рождают в третьем месяце новую пару. (Ради простоты в этом мысленном эксперименте предполагается, что каждый помет состоит из самца и самки.) В четвертом месяце первая взрослая пара производит на свет еще одну пару новорожденных кроликов, их первые дети достигли зрелости, так что теперь есть две пары взрослых кроликов и одна пара новорожденных. В пятом месяце каждая из пар взрослых кроликов производит потомство, а новорожденные кролики из четвертого месяца достигают зрелости. Итак, в пятом месяце у нас три пары взрослых кроликов и две пары новорожденных, что дает в общей сложности пять пар кроликов. Количество пар кроликов по месяцам дается следующей последовательностью:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Рис. 1.22. Числа Фибоначчи оказываются ключом к определению роста численности кроликов

Учет размножающихся кроликов был настоящей головной болью, пока Фибоначчи не обнаружил простой способ определять эти числа. Чтобы записать следующий член в этой последовательности, вам просто нужно сложить два предыдущих числа. Большее из этих двух чисел – количество пар кроликов в предшествующем месяце, все они доживают до следующего месяца. Меньшее из этих двух чисел – количество пар взрослых кроликов, каждая из которых дополнительно производит на свет пару новорожденных кроликов. Так что количество пар кроликов в следующем месяце равно сумме в два предыдущих.

Некоторым читателям данная последовательность может быть знакома по роману Дэна Брауна «Код да Винчи». На ее основе был построен первый код, который герою пришлось взломать на пути к Святому Граалю.

Эти числа нравятся не только кроликам и Дэну Брауну. Количество лепестков у цветка часто оказывается числом Фибоначчи. У триллиума их три, у анютиных глазок пять, у некоторых видов дельфиниума восемь, у бархатцев 13, у цикория 21, у пиретрума 34, а у подсолнуха часто бывает 55 или даже 89 лепестков. У цветков некоторых растений количество лепестков оказывается удвоенным числом Фибоначчи. Это те растения, например некоторые лилии, у которых цветок состоит из двух копий. И если количество лепестков вашего цветка не соответствует числу Фибоначчи, значит, какой-то лепесток опал… Так математика умеет обходить исключения. (Я не хочу, чтобы меня завалили письмами разгневанные садоводы, поэтому соглашусь, что есть некоторое количество исключений, которые нельзя назвать вянущими цветами. Например, у седмичника часто оказывается семь лепестков. Ботаника не столь совершенна, как математика.)

Как и в цветках, вы можете найти числа Фибоначчи в чешуйках сосновых шишек и плодов ананаса. Разрежьте банан поперек, и вы увидите три сектора. Сделайте то же посередине яблока, и вы обнаружите пятиконечную звезду. А поступив так с хурмой, вы увидите восьмиконечную звезду. Везде, где происходит рост, – в поколениях ли кроликов, в строении подсолнухов или фруктов – всюду возникают числа Фибоначчи.

То, как растут раковины, также тесно связано с этими числами. Малютка-улитка начинает с небольшого квадратного домика размером 1 на 1. По мере своего роста она добавляет одну комнату к домику и продолжает повторять этот процесс. Так как улитке особо не на что опираться, она просто добавляет комнату, размер которой определяется размерами двух предыдущих комнат. Подобным образом последующее число Фибоначчи определяется суммой двух предыдущих чисел. Результатом такого роста будет простая, но красивая спираль.

Рис. 1.23. Как построить раковину, используя числа Фибоначчи

Вообще-то эти числа не должны называться в честь Фибоначчи, потому что не он первый столкнулся с ними. Они были открыты вовсе не математиками, а поэтами и музыкантами в средневековой Индии. Индийские поэты и музыканты стремились к исследованию всевозможных ритмических структур, получаемых комбинацией длинных и коротких ритмических единиц. Если долгий звук в два раза длиннее короткого звука, сколько различных метрических структур получится, когда задано общее количество тактов? Например, восемь тактов вы можете получить с помощью четырех долгих звуков или восьми коротких. Но между этими двумя предельными случаями имеется множество других комбинаций.

В VIII в. индийский писатель Вираханка решил справиться с задачей по определению количества возможных ритмических последовательностей. Он обнаружил, что по мере того, как растет число тактов, количество последовательностей ведет себя как 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Он понял, как и Фибоначчи после него, что следующее число в последовательности равно сумме двух предыдущих чисел. Так что, если хотите знать количество возможных ритмов при восьми тактах, найдите восьмой член этой последовательности, а значит, сложите 13 и 21, что приводит к 34.

Возможно, математику, скрывающуюся за ритмами, проще понять, чем увеличение численности кроликов Фибоначчи. Чтобы, к примеру, получить все возможные ритмы при 8 тактах, нужно взять шеститактные ритмы, дополненные долгим звуком, и добавить к ним семитактные ритмы, дополненные коротким звуком.

Имеется интригующая связь между последовательностью Фибоначчи и главными героями этой главы, простыми числами. Взгляните на первые числа Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Каждое число Фибоначчи с номером p, где p – простое, также является простым числом. Скажем, 11 – простое число, а одиннадцатое число Фибоначчи, 89, также простое. Если бы это срабатывало всегда, у нас было бы замечательное подспорье в генерации все больших и больших простых чисел. К сожалению, это не так. Девятнадцатое число Фибоначчи 4181, и, хотя 19 – простое, 4181 – составное, оно равно 37 × 113. Никто из математиков еще не сумел доказать, является ли бесконечно много чисел Фибоначчи простыми числами. Это – одна из многих неразгаданных математических тайн, связанных с простыми числами.