Текст книги "Измерять и навязывать. Социальная история искусственного интеллекта"

1. Материальные орудия алгоритмического мышления

Силу наших «ментальных» орудий усиливает сила наших «металлических» орудий[66]66
  Wing J. M. Computational Thinking and Thinking about Computing // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical, and Engineering Sciences 366, no. 1881 (2008): 3718.


[Закрыть].

Жаннет Винг, «Вычислительное мышление», 2008 г.

Использование материального орудия всегда дает больше знаний, чем вложено в его изобретение[67]67
  Damerow P. and Lefèvre W. Tools of Science // Abstraction and Representation: Essays on the Cultural Evolution of Thinking. Berlin: Springer, 2013. P. 401.


[Закрыть].

Петер Дамеров и Вольфганг Лефевр, «Орудия науки», 1981 г.

Правила стали механическими до того, как им могли следовать машины[68]68
  Daston L. Algorithms before Computers: Patterns, Recipes, and Rules // Katz Distinguished Lecture in the Humanities, Simpson Center for the Humanities, University of Washington, 19 April 2017. См. также: Daston L. Rules: A Short History of What We Live By. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2022.


[Закрыть].

Лоррейн Дастон, «Алгоритмы до компьютеров», 2017 г.

В космогоническом мифе индуистских Вед говорится, что верховное божество Праджапати распадается на части в акте сотворения вселенной. После творения происходит нечто контринтуитивное с точки зрения западных нарративов о господстве и принципов непротиворечивости: тело творца оказывается разобранным и расчлененным. В Индии этот древний миф разыгрывают в ритуале Агничаяна. Ритуал предполагает строительство огненного алтаря Шьеначити, и этот процесс служит символическим воссозданием распавшегося тела бога (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1. Диаграмма огненного алтаря Агничаяна (Staal F. Greek and Vedic geometry // Journal of Indian Philosophy 27, no. 1 (1999): 111)

Алтарь Шьеначити возводят из тысячи кирпичей выверенной формы и точного размера в соответствии со сложной схемой, изображающей сокола. Рабочие кладут пять слоев по 200 кирпичей в каждом, повторяя специальную мантру и следуя пошаговым инструкциям. В основе ритуала лежит решение загадки: каждый слой должен повторять одну и ту же пространственную форму, но различаться внутренней конфигурацией[69]69
  Ramasubramanian K. Glimpses of the History of Mathematics in India // Mathematics Education in India: Status and Outlook. R. Ramanujam and K. Subramaniam (eds). Mumbai: Homi Bhaba Centre for Science Education (TIFR), 2012.


[Закрыть]. Соколиный алтарь следует обращать на восток, знаменуя предстоящий символический полет воссозданного бога к восходящему солнцу – здесь мы видим уникальный пример божественного перевоплощения средствами геометрии.

Агничаяна подробно описана в шульба-сутрах; это посвященное вопросам геометрии дополнение к Ведам записано около 800 года до н. э. в Индии и опирается на гораздо более древнюю устную традицию[70]70
  Голландский индолог Фриц Сталь описывает Агничаяну в двухтомнике (и документальном фильме) об экспедиции в Кералу в 1975 году. См.: Staal F. Agni: The Vedic Ritual of the Fire Altar. Two vols. Berkeley: Asian Humanities Press, 1983. Сталь утверждает, что абстрактные культурные формы возникают из бессознательного и что язык, числовые символы и геометрия представляют собой первые коллективные практики. См.: Staal F. Rules without Meaning: Ritual, Mantras, and the Human Sciences. New York: Peter Lang, 1989. P. 71


[Закрыть]. Согласно этим текстам риши (духи жизни) создали семь пуруш (космических существ), имеющих форму квадрата; вместе они образовали единое тело, а уже из этой простой конфигурации возникло сложносоставное тело Праджапати[71]71
  Zellini P. La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini/ Milano: Adelphi, 2016. P. 41. (The Mathematics of the Gods and the Algorithms of Men. London: Penguin, 2020.)


[Закрыть]. Шульба-сутры учат строить алтари определенных геометрических форм, чтобы снискать благорасположение богов. Так, говорится, что «тем, кто хочет уничтожить настоящих и будущих врагов, следует построить огненный алтарь в форме ромба»[72]72
  Plofker K. Mathematics in India // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Victor Katz (ed.). Princeton, NJ: Princeton University Press, 2007.


[Закрыть]. Помимо религиозного значения ритуал Агничаяна и шульба-сутры обладали функцией передачи важных для общества техник, например умения планировать строительство и увеличивать существующие здания с сохранением первоначальных пропорций[73]73
  Об исследовании передачи знаний и технологий в древности см.: Renn J. (ed.). The Globalization of Knowledge in History, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2020.


[Закрыть]. Агничаяна служит примером того, что математическое знание изначально носит социально-материальный характер, а также демонстрирует типичную для кастовой системы иерархию ручного и умственного труда. При сооружении жертвенника рабочие руководствуются правилами, которые традиционно существуют лишь у определенной группы мастеров. Она же и передает эти правила. Ритуалы, подобные Агничаяне, – это не только упражнения в геометрии. Они обучают процедурному знанию, которое не сводится к абстракции и основано на продолжительной «механической» тренировке. Кроме того, они показывают, как религия может побуждать к точности, а духовные упражнения – использоваться как средство трудовой дисциплины[74]74
  Разделение труда в Агничаяне также напоминает сложную оперативную цепь (chaîne opératoire), которую французский антрополог Андре Леруа-Гуран выявил во многих родовых (изначально не иерархических, а спонтанных и кооперативных) практиках изготовления инструментов. См.: Sellet F. Chaîne opératoire: The Concept and its Applications // Lithic Technology 18, nos. 1–2 (1993): 106–112.


[Закрыть].

Агничаяна – уникальный артефакт в истории человеческой цивилизации: это самый древний задокументированный ритуал, который практикуется по сей день, хотя из-за сложности и проводится лишь несколько раз в столетие[75]75
  Последние ритуалы прошли в 1955, 1975 (церемония задокументирована Фрицем Сталем) и 2011 годах.


[Закрыть]. На протяжении тысячелетий с его помощью передавались и сохранялись сложные парадигмы знания, и благодаря комбинаторному механизму Агничаяны этот ритуал можно определить как первичный пример алгоритмической культуры. Что же позволяет интерпретировать как алгоритм столь древний ритуал? Согласно одному из самых распространенных в компьютерной науке определений, алгоритм, как уже упоминалось, – это конечная процедура пошаговых инструкций для преобразования ввода в вывод вне зависимости от данных и с наилучшим использованием имеющихся ресурсов[76]76
  См. также: Chabert J.-L. (ed.). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Berlin: Springer, 1999. P. 2. (Chabert J.-L. Histoire d’algorithmes: Du caillou à la puce. Paris: Belin, 1994. P. 6.) «Алгоритм – это конечная последовательность правил, применяемая в определенном порядке к конечному набору данных для получения за конечное число шагов определенного результата вне зависимости от данных». Перевод мой: французский оригинал дает более точное определение, поскольку в английском издании отсутствует оборот «вне зависимости от данных».


[Закрыть]. Рекурсивные мантры, которые направляют рабочих на строительной площадке огненного алтаря, напоминают правила компьютерной программы: вне зависимости от контекста алгоритм Агничаяны позволяет точно распределить кирпичи и построить Шьеначити. Историки обнаружили, что индийская математика с древних времен носила преимущественно алгоритмический характер. Это означает, что задачи предлагалось решать не с помощью логической демонстрации, а путем пошаговой процедуры[77]77
  Sriram M. S. Algorithms in Indian Mathematics // Contributions to the History of Indian Mathematics. Gurgaon: Hindustan Book Agency, 2005. P. 153–182.


[Закрыть].

Так, итальянский математик Паоло Целлини утверждает, что ритуал Агничаяны свидетельствует о более сложной технике, чем следование жесткому правилу, а именно – об эвристическом методе пошаговой аппроксимации. Известно, что ведическая математика раньше, чем это произошло у других цивилизаций, познакомилась с бесконечно большими и бесконечно малыми числами. В древних сутрах перемножались огромные позиционные числа индуистской системы счета для охвата необъятных просторов вселенной (мыслительное упражнение, которое невозможно себе представить, например, в аддитивных шумерских, греческих и римских системах счисления). Ведическая математика также была знакома с иррациональными числами, например квадратным корнем, который во многих случаях (например, √2) можно рассчитать только приблизительно. В мантрах шульба-сутр пропеваются самые древние (и доскональные) объяснения вычислительных процедур (например, так называемого вавилонского алгоритма) для приближенного выражения квадратного корня. Процедуры приближения могут показаться громоздкими, слабыми и неточными по сравнению с математическими функциями и геометрическими теоремами, но их роль в истории математики и техники важнее, чем это принято считать. В книге по истории методов постепенного прироста (включая, среди прочего, древний метод гномона) Целлини утверждал, что индуистские методы пошагового приближения эквивалентны современным счетным алгоритмам Лейбница и Ньютона и даже техникам исправления ошибок, которые лежат в основе искусственных нейронных сетей и машинного обучения, составляющих парадигму ИИ (см. главу 9)[78]78
  Zellini. La matematica degli dèi, 51. Спорная, но влиятельная история исчислений, см.: Cohen H. Das Prinzip der Infinitesimal-Methode und seine Geschichte: Ein Kapitel zur Grundlegung der Erkenntniskritik (1883).


[Закрыть].

Некоторым прочтение древних культур через парадигму новейших технологий Кремниевой долины, как и изучение математической составляющей религиозных ритуалов в эпоху оголтелого национализма, может показаться актом незаконного присвоения. Однако утверждать, что абстрактные техники познания и искусственные метаязыки безраздельно принадлежат современному индустриальному Западу, исторически неверно. Подобное утверждение – акт скрытого эпистемического колониализма по отношению к культурам других эпох и регионов[79]79
  Историк математики Сентил Бабу пишет: «До сих пор специалисты по истории математики в Индии в основном работали с корпусом текстов на санскрите… Индология признала и канонизировала только благородную санскритскую традицию. Знания многих практиков математики стали невидимыми». Babu S. Mathematics and Society: Numbers and Measures in Early Modern South India. Oxford: Oxford University Press, 2022. P. 2–5. См. также: Babu S. Indigenous Traditions and the Colonial Encounter: A Historical Perspective on Mathematics Education in India // Ramanujam and Subramaniam, Mathematics Education in India.


[Закрыть]. Альтернативные формы вычислений, лежащие вне гегемонии Глобального севера и присущего ему режиму экстрактивизма знаний, получили признание и изучаются благодаря вкладу этноматематики, деколониальных исследований, а также истории науки и техники. Алгоритмами из-за их роли в компьютерном программировании обычно считают абстрактное применение сложных наборов правил. В этой книге я, напротив, утверждаю, что все алгоритмы, включая сложные алгоритмы искусственного интеллекта и машинного обучения, берут начало в общественной и материальной деятельности. Алгоритмическое мышление и алгоритмические практики, широко понимаемые как решение задач на основе правил, представляют собой часть всех культур и цивилизаций.

С учетом перечисленных вопросов в этой главе будет в общих чертах изложена предварительная история алгоритмов. В ней затронуты:

– социальные алгоритмы – процедуры, которые воплощались в ритуалах и практиках и обычно передавались устно без формализации на символическом языке;

– формальные алгоритмы – математические процедуры, которые помогали как вести расчеты, так и совершать административные процедуры, и встречались в Европе со Средних веков, а до этого в Индии;

– автоматизированные алгоритмы – формальные алгоритмы, которые воплощались в машинах и ЭВМ, начиная с зари индустриальной эпохи на Западе.

Неудивительно, что идея исследовать «алгоритмы до появления первых электронно-вычислительных машин» пришла из компьютерной науки. В конце 1960‑х годов американский математик Дональд Кнут написал влиятельную книгу «Искусство программирования» (The Art of Computer Programming) и внес важный вклад в изучение древних математических методов, опубликовав эссе «Древние вавилонские алгоритмы». В те годы Кнут ставил перед собой задачу систематизировать компьютерную науку и превратить ее в респектабельную академическую и промышленную дисциплину. Данные по древним алгоритмам он использовал, чтобы показать: компьютерная наука не только связана с таинственными электронными устройствами, но и имеет отношение к давней традиции культурных методов символического манипулирования. В этом случае, однако, обращение к археологии алгоритмов служило не демонстрации универсальных принципов мышления или освободительного потенциала обучения в истории цивилизации, а конкретным интересам нового класса программистов и производителей компьютеров:

Один из способов сделать компьютерную науку респектабельной – показать, что она глубоко укоренена в истории, а не представляет собой кратковременное явление. Естественным выглядит обращение к самым ранним сохранившимся документам, которые имеют отношение к вычислениям, и изучение того, как люди подходили к этому предмету почти 4000 лет назад. В ходе археологических экспедиций на Ближнем Востоке ученые раскопали множество глиняных табличек, содержащих математические расчеты, и мы увидим, что эти таблички несут немало интересных сведений о жизни первых «ученых-компьютерщиков»[80]80
  Knuth D. E. Ancient Babylonian Algorithms // Communications of the ACM 15, no. 7 (1972): 671.


[Закрыть].

Кнут заметил, что математические формулы, которые сегодня мы бы назвали алгебраическими или аналитическими, вавилоняне описывали с помощью пошаговых процедур, то есть алгоритмов. Эти процедуры, конечно, формулировались на обыденном языке, а не символическим метаязыком математики. Исследование Кнута подтверждает гипотезу о том, что методы, основанные на процедурах (то, что он назвал «машинным языком»), предшествовали упрочению математики как метаязыка символических представлений:

Вавилонские математики не ограничивались простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления; они умели решать многие виды алгебраических уравнений. Но у них не было такой прозрачной алгебраической записи, как у нас. Они представляли каждую формулу пошаговым списком правил ее вычисления, то есть алгоритмом вычисления формулы. По сути, они работали с представлением формул на «машинном», а не символическом языке[81]81
  Ibid. P. 672.


[Закрыть].

Кнут стремился оторвать алгоритм от эпохи компьютерной науки и инженерии и задним числом сделать его достоянием большой истории культуры. Это произошло в 1960‑х годах, когда компьютерная наука еще боролась, как подчеркивает историк Натан Энсменгер, за статус «нормальной дисциплины» в Соединенных Штатах. Это стало возможным потому, что центральным понятием дисциплины стал алгоритм, а вовсе не информация, как это случилось в Европе (см. немецкий термин Informatik, французский informatique и итальянский informatica[82]82
  Добавим советско-российский термин «информатика». – Прим. пер.


[Закрыть], которые служат синонимами компьютерной науки)[83]83
  Ensmenger N. The Computer Boys Take Over: Computers, Programmers, and the Politics of Technical Expertise. Cambridge, MA: MIT Press, 2010. P. 131.


[Закрыть]. Канонизация алгоритма имеет особое значение для историков науки и техники, поскольку она произошла изнутри профессиональной среды: операторы вычислительных машин, новое поколение работников умственного труда, стремились написать собственную историю технологий и делали это в соответствии с логической формой, воплощенной в их работе.

Потребность реконструировать предысторию алгоритма (можно сказать, потребность в «археологии») также возникла в математике. Здесь стоит обратить внимание на образцовое резюмирование, проведенное французским математиком Жаном-Люком Шабером и выходящее за дисциплинарные границы компьютерной науки:

Алгоритмы существовали с незапамятных времен и возникли задолго до того, как было придумано специальное слово для их обозначения. Алгоритмы – это наборы пошаговых инструкций, которые для достижения желаемого результата должны выполняться совершенно механически… Алгоритмы не принадлежат одной лишь математике… Вавилоняне применяли их для юридических решений, учителя латыни – для объяснения грамматики, во всех культурах ими пользовались, чтобы предсказать будущее, определить ход лечения и приготовить пищу… Поэтому мы говорим о рецептах, правилах, техниках, процессах, процедурах, методах и т. д., используя одно слово для разных ситуаций. Китайцы, например, применяют слово шу (означает правило, процесс или стратагему) как для математики, так и для боевых искусств… В конечном счете термин «алгоритм» стал обозначать любой процесс систематических подсчетов, то есть процесс, который может выполняться автоматически. Сегодня под влиянием компьютерных вычислений существенным элементом в определении алгоритма стала идея конечности, позволяющая отличить его от более расплывчатых понятий, таких как процесс, метод или техника[84]84
  Chabert. A History of Algorithms, 1.


[Закрыть].

В таком прочтении алгоритм перестает выглядеть новейшей технологической абстракцией и предстает очень древней техникой, которая предшествовала многим орудиям и машинам, разработанным человеческим разумом. Усилия по историзации побуждают рассматривать алгоритм как фундаментальную культурную технику человечества, которая возникла из коллективных практик и ритуалов и по временным характеристикам стоит вплотную к основополагающим и первичным чертам всех цивилизаций. Иными словами, алгоритм следует отнести к широко цитируемому списку техник, составленному историком культуры Томасом Махо:

Культурные техники – письмо, чтение, рисование, счет, музицирование – всегда старше понятий, которые созданы на их основе. Люди писали задолго до того, как придумали письмо или алфавит; прошли тысячелетия, прежде чем рисунки и статуи породили концепцию образа; и по сей день люди поют и сочиняют музыку, ничего не зная о тональностях и системах нотной записи. Счет тоже старше, чем понятие числа. Безусловно, большинство культур осуществляли счет или выполняли определенные математические операции, но не обязательно выводили из этих занятий концепцию числа[85]85
  Macho Th. Zeit und Zahl: Kalender– und Zeitrechnung als Kulturtechniken // Bild – Schrift – Zahl, Sybille Krämer and Horst Bredekamp (eds). Munich: Wilhelm Fink, 179. Цит. по: Winthrop-Young G. Cultural Techniques: Preliminary Remarks // Theory, Culture, and Society 30, no. 6 (2013): 8.


[Закрыть].

Исследование культурных технологий (немецкий термин Kulturtechniken также можно перевести как «техники цивилизации») подчеркивает роль материальных практик в создании символических форм любых цивилизаций. Однако этот непредвзятый и плюралистический подход часто обходит вниманием причины, почему при создании тех самых форм происходит постепенное смещение в сторону все более абстрактных понятий, и удовлетворяется лишь культуралистскими интерпретациями, которые не назовешь исчерпывающими. В своей истории алгоритмов Шабер, например, связывает появление техник счета с экономическими потребностями: «Основные арифметические действия уровня начальной школы (умножение и деление) возникли, по-видимому, из чрезвычайно ранних экономических потребностей – определенно раньше, чем из письма возникла цивилизация»[86]86
  Chabert. A History of Algorithms, 7.


[Закрыть]. Всегда трудно обобщать исторические данные о далеком прошлом, однако экономические проблемы, такие как нехватка или избыток ресурсов, судя по всему, действительно лежат в основе счетных и математических техник[87]87
  Альтернативный анализ примитивных экономик см.: Sahlins M. Stone Age Economics. Chicago: Aldine-Atherton, 1972.


[Закрыть]. Стоит помнить (без стремления оживить голод предков), что слово «число» происходит от латинского numerus, означающего «порцию еды»[88]88
  К сожалению, мне не удалось найти этому подтверждений. – Прим. пер.


[Закрыть].

Задолго до возникновения математических и геометрических дисциплин древние цивилизации уже представляли собой большие «машины» социальной сегментации, размечавшие человеческие тела и территории посредством абстракций, которые будут действовать тысячелетиями. Общеизвестно и регулярно упоминается, что одну из первых переписей населения провели вавилоняне около 3800 года до н. э., но история также свидетельствует, что «культурные техники» носили бесчеловечный и безжалостный характер. Опираясь на описание древних обществ как мегамашин, выполненное историком Льюисом Мамфордом, Жиль Делёз и Феликс Гваттари перечислили иные, помимо чисел, методы абстракции, на которых основывался социальный порядок. Они утверждали, что в древней цивилизации власть над «производительными силами… заключается в следующем: наносить татуировки, надрезать, срезать, отделять, калечить, покрывать шрамами, делать насечки, инициировать»[89]89
  Делёз Ж. и Гваттари Ф. Анти-Эдип: капитализм и шизофрения. Екатеринбург: У-Фактория, 2007. С. 227.


[Закрыть]. Числа и счетные орудия были частью примитивных абстрактных машин, которые сформировали человеческие цивилизации путем территориализации и сегментации. Числа, как и абстрактные правила и эвристические практики, выступали ключевыми орудиями управления древними обществами, но их не изобрели из ничего: они материализовались как форма власти через труд и ритуалы, дисциплину и муштру.

Неразрывную связь между математическими абстракциями и материальной жизнью не упускал из виду даже философ-неокантианец Эрнст Кассирер, оказавший значительное влияние на исследования культуры в немецкоязычных странах. Согласно Кассиреру, «символическая форма» числа возникла из отношений человеческого тела с окружающей средой и контингентного использования тела в качестве первого счетного медиума: «Материя исчислимого, как бы чувственно, конкретно и ограниченно она ни была первоначально воспринята, тем не менее служит основой развития новой формы и новой мыслительной силы, заключенной в числе»[90]90
  Кассирер Э. Философия символических форм. Т. 1. Язык. М.; СПб.: Университетская книга, 2002. С. 151. На основе: Wertheimer M. Über das Denken der Naturvölker. Leipzig: Barth, 1910.


[Закрыть]. Кассирер проанализировал восприятие пространства и времени, а также проследил происхождение числовых абстракций из ритмически-организованной трудовой деятельности. Развивая идеи основополагающей работы Карла Бюхера «Работа и ритм» (Arbeit und Rhythmus; 1896) и других антропологических исследований, Кассирер пришел к выводу, что символическая форма числа выросла из рабочих песен, то есть из пения, которым поддерживали ритм деятельности:

Ранее уже была сделана попытка проследить истоки поэзии вплоть до первых примитивных рабочих песен, в которых ощущение ритма движения собственного тела впервые находит внешнее выражение. <…> Любая форма физической работы предполагает целенаправленную координацию движений уже у отдельного человека, но еще в большей мере, если она осуществляется коллективом, эта координация, в свою очередь, стремится к непосредственному ритмическому обобщению и ритмическому членению отдельных фаз трудового процесса. <…> Размалывание и растирание, разбивание и волочение, выжимание и вытаптывание отличаются именно тем, что каждое из действий наряду с особой целью обладает особым тактом и звуковым сопровождением. Множество и разнообразие рабочих песен, песен прядильщиц и ткачих, молотильщиков и гребцов, песен, которые поют, когда мелют муку и пекут хлеб и т. п., еще непосредственно доносят до нашего слуха, как специфическое ритмическое ощущение, определяемое частным видом работы, существует и обращается в результат труда лишь благодаря тому, что оно одновременно объективируется в звуке. <…> Во всяком случае, у языка не было иной возможности достичь сознания чистой формы времени и чистой формы числа иначе, нежели через определенное предметное содержание, через фундаментальные ритмические ощущения, в которых обе формы были даны словно в неразрывно слитом виде[91]91
  Кассирер Э. Философия символических форм. Т. 1. Язык. М.; СПб.: Университетская книга, 2002. C. 170–171.


[Закрыть].

Это замечание можно рассматривать как остроумный ответ на платоновскую нумерологию, занимающую центральное место в истории музыки: еще до того, как числа стали использоваться для определения ритмических размеров, сам ритм работы способствовал изобретению чисел. В конечном счете эти открытия проливают иной свет на историю математики и позволяют предположить, что алгоритмические практики даже старше, чем само понятие числа.

Числа часто рассматривают как нечто данное, базовое и элементарное, не состоящее ни из чего другого и не представляющее собой результат какой-либо концептуальной фабрикации. Числа кажутся самоочевидными, вечными и не сконструированными. Такой платонический и интуитивистский взгляд на понятие числа подвергся критике со стороны историков математики, которые заинтересованы в объяснении того, как возникли и развивались техники счисления. Археологи в особенности склонны полагать, что институт числа не может считаться априорной категорией, так как развивался постепенно, о чем свидетельствует взаимодействие человека с материалами и символическими орудиями. Как уже говорилось, счет, похоже, развился из необходимости производить подсчеты и решать практические задачи, например поровну разделять между людьми землю и природные ресурсы.

Один из археологов абстракции, немецкий историк науки Петер Дамеров, среди прочих артефактов тщательно изучал древние вавилонские глиняные таблички, служившие счетными орудиями. Дамеров пришел к выводу, что идея числа не представляет собой форму априорного знания и «подвержена историческому развитию».

Размышления о числах и их свойствах уже в древности привели к вере, что высказывания об этом имеют особый статус, так как их истинность не зависит ни от эмпирических данных, ни от исторических обстоятельств. В исторической традиции, простирающейся от Пифагора через античную платоновскую традицию к поздней Античности и Средневековью, а далее через рационализм и критический идеализм кантовской и неокантианской философии к логическому позитивизму и конструктивизму современности, эта вера считалась доказательством того, что существуют объекты, знание о которых нам доступно a priori. Подобно лейтмотиву, убеждение, что числа по природе внеисторичны и универсальны, пронизывает всю историю философии. Для объяснения этого загадочного явления предлагалось множество аргументов. В свою очередь историк сталкивается с тем фактом, что у числовых техник и арифметических озарений есть история, которая по меньшей мере внешне ничем не отличается от истории других достижений нашей культуры. Ввиду разнообразия исторически задокументированных арифметических техник едва ли можно отказаться от предположения, что понятие числа – так же, как и большинство когнитивных структур человека, – подвержено историческому развитию, в ходе которого происходят существенные изменения самого явления[92]92
  Damerow P. The Material Culture of Calculation: A Theoretical Framework for a Historical Epistemology of the Concept of Number // Mathematisation and Demathematisation: Social, Philosophical, and Educational Ramifications. Uwe Gellert and Eva Jablonka (eds). Leiden: Brill, 2008. P. 19.


[Закрыть].

Более того, опираясь на археологические находки, Дамеров выражал уверенность, что «числа возникли из многообразных процессов обучения»[93]93
  Ibid. P. 20.


[Закрыть]. В исследованиях Дамерова обучение стало центральным понятием, с помощью которого ученый объяснял возникновение человеческой цивилизации и ее эволюцию. Для Дамерова обучение – это процесс взаимодействия человечества с природой и миром через труд, орудия и язык. Это сопровождается непрерывным абстрагированием. Однако обучение – это не процесс абстрагирования ради абстрагирования, а коллективное средство эмансипации и расширения возможностей. Как протекает социальный процесс обучения?

Дамеров утверждал, что обучение основано на построении ментальных моделей, которые представляют и интериоризируют внешние действия[94]94
  Ibid.


[Закрыть]. Поверх интериоризированных ментальных моделей могут надстраиваться дальнейшие уровни абстракции за счет постепенного наращивания «метакогнитивных конструкций»[95]95
  Ibid. P. 22.


[Закрыть]. Это непрерывное возведение абстракций – форма эмансипации разума, однако некоторые уровни в конце концов начинают восприниматься как метафизические и обособленные. Согласно Дамерову, более высокие уровни когнитивных надстроек создают иллюзию дематериализованных абстракций и априорных категорий, таких как понятие числа. Однако решающую роль в этой теории играет не просто объяснение иллюзии априорности, а то, как «мыслительные операции… отражают действия над реальными объектами» и как орудия помогают строить мысленные модели:

Абстрагирование логико-математических понятий происходит не напрямую из объектов когнитивной деятельности, а из координации действий, которые к этим объектам применяются и через которые они так или иначе преобразуются. Согласно этому предположению, возникновение мыслительных операций логико-математического мышления основано на интериоризации систем реальных действий. Интериоризированные действия служат отправной точкой для метакогнитивных конструкций, посредством которых они становятся элементами систем обратимых психических преобразований, которые, следуя терминологии Пиаже, мы будем называть «операциями». Таким образом, метакогнитивные конструкции (например концепция числа), которые генерируются рефлективными абстракциями, можно понимать как внутренне представленные константы мыслительных операций, отражающих действия над реальными объектами. Это объясняет сбивающую с толку априорность таких конструкций, как концепция числа[96]96
  Ibid.


[Закрыть].

Чтобы объяснить, как на протяжении истории формируется концепция, Дамеров предположил, что происходит надстраивание семиотических и когнитивных моделей, которые постепенно развертывались из практик счета (эвристических и неформализованных – таких, как счет на пальцах) через системы cчисления (представляют величины внутри матрицы символов) и техники вычислений (выражают алгоритмы или процедуры решения задач с помощью манипуляции символами) в теорию чисел (арифметику как формальную дисциплину). Этот процесс носит нелинейный характер и разворачивается, как писал Дамеров, через попеременное чередование представлений (использование одних предметов и знаков в качестве символов других предметов, знаков и идей) и абстракций (решение задач).

Применив идею рефлексивной абстракции, которая сочетает в себе диалектическую логику Гегеля и генетическую эпистемологию Жана Пиаже, Дамеров составил набросок последовательных стадий символического представления (см. рис. 1.2), в которых переход от одного порядка представлений к следующему происходит через решение задач.

Представления первого порядка – это представление реальных объектов с помощью символов и моделей, которые, по существу, позволяют выполнять с этими символами те же действия или операции, которые можно выполнить с реальными объектами… Представления второго и более высокого порядков служат представлением объектов с помощью символов и правил преобразования символов, которые соответствуют тем мыслительным операциям, что относятся к когнитивным структурам, образующим ментальные объекты[97]97
  Ibid.


[Закрыть].

Рис. 1.2. Рефлексивная структура абстракции (Damerow P. Abstraction and Representation. Berlin: Springer, 2013. P. 379)

Таким образом, концепция числа развивалась через циклы символического представления и абстракции. Сначала существовали процессы квантификации и сравнения, которые были основаны на эквивалентности и не включали в себя счет. Счет возник как зависимая от контекста деятельность, и в ней использовались вспомогательные средства – пальцы, камни и так далее. Затем счетные устройства были замещены зависимыми от контекста символами (например, знаками на торговых буллах в древней Месопотамии). Впоследствии возникли независимые от контекста символы – то есть числа в современном понимании. Наконец, появилась арифметика как дисциплина для описания чисел и операций словами естественного языка, которые в свою очередь затем уступили место новым символам[98]98
  Damerow. Material Culture. P. 34–47.


[Закрыть].

Чтобы понять, применим ли такой анализ к алгоритмической форме как практике решения задач, на этом этапе необходимо прояснить идею абстракции по Дамерову. Вслед за Гегелем и Пиаже Дамеров понимает абстракцию как процесс, в котором материальность и рефлексия, то есть орудия и когнитивная деятельность, переплетены и способствуют взаимному развитию:

Концепция [рефлексии] введена [Гегелем] в «Йенской реальной философии», чтобы отличить труд как «рефлексивную деятельность» от деятельности как «чистого опосредования», то есть удовлетворения желания посредством разрушения его объекта. Труд как «рефлексивную деятельность» от деятельности как «чистого опосредования» отличает устойчивость его материальных средств, орудий, в которых деятельность материально объективировалась в качестве единства идеальной цели и материального объекта… Единство чувственной данности и опосредующей деятельности, построенное в гегелевской логике, то есть опосредованная непосредственность как результат рефлексии, представляет собой не просто гипотетическо-теоретический конструкт. Это единство актуально создается в материальных средствах предметной деятельности во множестве форм[99]99
  Damerow. Action and Cognition in Piaget’s Genetic Epistemology and in Hegel’s Logic // Abstraction and Representation. P. 8.


[Закрыть].

Для Дамерова абстракция заключается не в изоляции наиболее значимых черт той или иной структуры, а в производстве нового знания о задаче, которую необходимо решить. Между тем абстракция представляет собой не просто «элегантное решение», а «деятельность, направленную на конкретную цель или задачу»[100]100
  Damerow. Abstraction and Representation. P. 372.


[Закрыть]. Контингентное понимание окружающей среды – часть этой деятельности:

Принято считать, что абстракция означает отказ от использования информации, доступной о данном реальном объекте, в пользу обособления некоторых качеств этого объекта и их независимого рассмотрения. Однако такая концепция абстракции оказывается неудовлетворительной, если используется для концептуализации развития математического мышления. Абстракция в этом смысле не объясняет возникновения нового знания, которое, очевидно, и есть результат математического мышления. Кроме того, эта концепция делает невозможным или по крайней мере трудным понимание того, почему некоторые абстракции оказываются очень полезными, тогда как огромная масса абстракций, которые получают путем произвольного обособления свойств математических объектов, остается бессмыслицей… Понять абстракцию по существу означает понять, что именно требуется абстрагировать, а не просто знать, как это делается. Понять абстракцию, ведущую к элегантному решению задачи, означает понять, как действительно можно найти решение[101]101
  Ibid. P. 371.


[Закрыть].

Абстракция всегда действует в рамках данных материальных ограничений и через них. Cимволы, орудия, техники и технологии задумываются и осуществляются в отношении с ограниченными ресурсами материи, энергии, пространства, времени и так далее. Реальность, с которой борется абстракция, – не идеальное пространство идей Платона, а реальный живой мир, состоящий из силовых полей и конфликтов. В этом смысле абстракция также выступает частью более широкого социального антагонизма.

Важно отметить, что материальные ограничения стимулируют расширение абстракции за пределы ее первоначальной области. Дамеров и его коллега Вольфганг Лефевр распространили историческую эпистемологию математики на науку вообще, обратившись к орудиям и инструментам. Предложенное ими понимание орудий контингентно и вместе с тем спекулятивно – словом, диалектично. Орудия – не только средства для достижения цели, но и средства, превосходящие цель их первоначального замысла: