Текст книги "Большое космическое путешествие"

Полицейский радар испускает сигнал, отражающийся от автомобиля. Допустим, вы взглянули на собственное отражение в зеркале. В этот момент зеркало находилось в 3 метрах от вас, но оно движется в вашу сторону со скоростью 30 сантиметров в секунду. Ваше отражение появляется в 6 метрах от вас (свет успевает пройти 3 метра от вас до зеркала, а потом – 3 метра от зеркала до вас). Но всего через секунду зеркало уже на 30 сантиметров ближе к вам, и вы видите свое отражение на расстоянии всего 5,5 метра. Ваше отражение мчится к вам со скоростью 60 сантиметров в секунду. Аналогично, полицейский, который фиксирует у себя на радаре скорость вашего автомобиля, получает показатель, вдвое превышающий вашу скорость. Попробуйте объяснить это судье! Разумеется, радары откалиброваны так, что показывают вдвое уменьшенный показатель доплеровского смещения и, соответственно, точную скорость «зеркала» – вашего автомобиля. Кстати, слово «радар» в английском языке – это аббревиатура, означающая «радиообнаружение и измерение дальности», ведь радары появились еще в те времена, когда микроволны считались подмножеством радиоволн.

Поскольку мы говорим о микроволнах, упомяну, что молекула воды H₂O очень к ним чувствительна; волны в вашей микроволновой печи переворачивают эту молекулу с частотой самой волны. Если у нас есть капелька воды, то это будет происходить со всеми молекулами в ней. С миллиардами триллионов молекул. Вскоре вода нагреется – из-за трения, возникающего между этими молекулами. Также нагреются любые попадающие в микроволновку продукты, в которых есть вода. Все, что мы едим (кроме соли), содержит воду. Вот почему в микроволновке так удобно разогревать и готовить, и по этой же причине она не нагревает стеклянные тарелки, на которых нет еды.

Человеческое тело реагирует на инфракрасное излучение. Кожа поглощает его, преобразует в тепло, и мы это чувствуем. Видимый свет нам хорошо известен. Люди с разным цветом кожи обладают разной восприимчивостью к ультрафиолету. Ультрафиолет может повредить глубокие слои кожи и вызвать рак. Атмосферный озон поглощает большую часть солнечного ультрафиолета. В атмосфере содержится обычный молекулярный кислород (O₂) плюс небольшое количество озона (O₃) – это молекулы, состоящие из двух и трех атомов кислорода соответственно. Озон находится в верхних слоях атмосферы, он постоянно «готов к распаду». Прилетает фотон ультрафиолета, молекула озона «впитывает» его и распадается. Ультрафиолета не осталось – озон просто поглотил его. Если убрать озон, то солнечный ультрафиолет будет беспрепятственно достигать поверхности Земли, и заболеваемость раком кожи резко повысится. На Марсе нет озона, и его поверхность постоянно купается в потоках солнечного ультрафиолета. Именно поэтому мы полагаем (и, думаю, не ошибаемся), что на поверхности Марса нет никакой жизни, хотя под поверхностью она и может существовать. Любой биоматериал, подвергшийся такому ультрафиолетовому воздействию, быстро бы разложился.

Практически каждый из нас подвергался рентгеновскому облучению. Помните, что делает рентгенолог, прежде чем сделать снимок? Он ставит вас в правильную позу, говорит «Вдохнуть – не дышать!», а затем выходит за свинцовую дверь и только после этого включает аппарат. Врач не хочет попасть под рентгеновское излучение. Логично предположить, что это вредная процедура. Но обычно рентгеновское облучение – меньшее зло, чем отказ от него. Например, оно может понадобиться для диагностики; если у вас сломана рука, то рентген это покажет. Рентгеновские лучи проникают не только под кожу, но и гораздо глубже; они могут вызывать рак внутренних органов. Но если вы получаете небольшую дозу такого излучения, то риск невелик.

Гамма-лучи еще хуже. Они бьют прямо по ДНК и могут устроить там хаос. Даже в комиксах пишут, что гамма-лучи – это плохо. Помните Невероятного Халка? Как он стал Халком? Что с ним случилось? Помните, был эксперимент, в ходе которого он получил большую дозу гамма-излучения. Теперь, когда Халк злится, он превращается в огромного уродливого зеленого монстра. Поэтому берегитесь гамма-лучей – не хотелось бы, чтобы с вами произошло нечто подобное. По мере движения в коротковолновую часть спектра – от ультрафиолетовых лучей к рентгеновским и далее к гамма-излучению – энергия каждого отдельного фотона возрастает, равно как и его вредоносность.

Сегодня нас повсюду окружают радиоволны. Постоянно. Чтобы в этом убедиться, достаточно поставить простой эксперимент. Включите радио и настройтесь на станцию. На любую, в любое время. Радиосигнал ловится везде, станции вещают круглосуточно. Как убедиться, что вокруг нас – постоянные потоки микроволн? Ваш мобильник может позвонить в любой момент, например прямо сейчас. Если вы не станете засовывать голову в мощное поле работающей микроволновой печи, то микроволны совершенно безопасны по сравнению с тем, что творится в высокоэнергетической части спектра.

Все эти фотоны перемещаются в вакууме со скоростью света. Это не просто хорошая идея, а закон. Видимый (для нас) свет находится в средней части электромагнитного спектра, но все фотоны летят со скоростью 300 тысяч километров в секунду (если быть точным – 299 792 458 метров в секунду). Это одна из наиболее важных фундаментальных констант, которые нам известны.

Скорость фотонов во всех диапазонах спектра одинакова, но длина волны у них разная. Если я встану и буду смотреть, как мимо меня пролетают электромагнитные волны, то частоту волны можно определить как количество гребней этой волны в секунду. Чем короче волна – тем больше гребней в секунду. Поэтому короткие волны обладают высокой частотой и, наоборот, длинные волны обладают низкой частотой. Отличная ситуация, чтобы вывести тождество: скорость света (c) равна частоте, умноженной на длину волны (λ). Частота обозначается греческой буквой ню: ν. Получается уравнение:

c = νλ.

Допустим, мы имеем дело с радиоволнами, длина которых – 1 метр. Скорость света приблизительно равна 300 000 000 метров в секунду, что равно ν раз на метр. Таким образом, частота составляет 300 000 000 гребней (или циклов) в секунду (или 300 мегациклов).

На самом деле, есть еще одно уравнение, связывающее частоту и энергию фотона. Энергия E фотона равна h:

E = hν.

Это уравнение открыл Эйнштейн. В уравнении используется постоянная Планка h, названная в честь немецкого физика Макса Планка. В этом уравнении она служит константой пропорциональности, описывая, как взаимосвязаны частота и энергия фотона. Чем выше частота – тем больше будет энергия отдельно взятого фотона. В рентгеновских фотонах содержится огромное количество энергии, а в фотонах радиоволн – малая толика.

Теперь спросим Солнце: сколько фотонов каждой конкретной частоты ты нам даешь? Сколько зеленых фотонов прилетает с твоей поверхности, сколько красных, инфракрасных, микроволновых, радиоволновых и гамма-лучевых? Хочу знать. От Солнца мы получаем столько фотонов, что можно построить гораздо более точную картину, нежели простую гистограмму, – ведь данные поступают сплошным потоком. Я могу сделать гладкую кривую, и на этом графике я отложу интенсивность как функцию длины волны. В данном случае интенсивность, обозначаемая по оси ординат, соответствует количеству фотонов, за секунду поступающих с каждого квадратного метра поверхности Солнца, на единичный интервал длин волн, умноженному на энергию, которой обладает каждый фотон. Мы могли бы просто подсчитать фотоны, но, в конечном счете, нас интересует именно энергия, которую они несут. По оси ординат можно оценить мощность (количество энергии в единицу времени), поступающую с солнечной поверхности на единицу площади на единичный интервал длин волн. По оси абсцисс откладывается длина волны, возрастающая слева направо. Итак, давайте изобразим на графике рентгеновские лучи, ультрафиолетовые лучи, видимый спектр (цвета радуги), инфракрасные волны (ИК) и микроволны (обозначим их μ-волны). На рис. 4.4 показана функция распределения интенсивности солнечного излучения.

Жаркое Солнце излучает энергию с температурой около 5800 К. Распределение было построено Максом Планком. Пиковая часть графиков приходится на видимую часть спектра, и это не случайно: наши глаза развивались таким образом, чтобы улавливать максимальное количество солнечного света. Для сравнения с другими звездами давайте выберем «средний» квадратный метр и воспользуемся им в качестве примера. Не так важно, на какой именно мере площади мы остановимся, – главное пользоваться ею во всех примерах. Иногда мы говорим, что Солнце желтое, но оно не желтое. Нам нравится называть его желтым, поскольку пик светимости лежит в районе желтого цвета, однако с тем же успехом можно считать, что пик находится в районе зеленого; но никто же не скажет, что у нас в небе – зеленая звезда. Кроме желтого в солнечном

Рис. 4.4. Излучение, испускаемое звездами и людьми. По оси ординат откладывается энергия в единицу времени (то есть мощность), излучаемая различными объектами на единицу поверхностной площади на единичный интервал длин волн. По оси абсцисс откладывается длина волны. Показана звезда с температурой поверхности 30 000 К, Солнце (5800 К), коричневый карлик (1000 К) и человек (310 К). Показаны длины волн, соответствующие рентгеновским лучам, ультрафиолету, видимому свету (полоса, окрашенная в цвета радуги), инфракрасному и микроволновому диапазонам.

Предоставлено Майклом Строссом

свете необходимо в равной степени учесть фиолетовый, синий, голубой, зеленый и красный, об этом свидетельствует график. Сложите их все – и у вас получится смесь, где все эти цвета присутствуют практически в равных долях. Вспомним Исаака Ньютона. Что это за смесь? Это белый цвет. Если пропустить обратно через призму все цвета спектра в равных долях, то на выходе получим белый свет. Кстати, Ньютон ставил такой эксперимент. Неважно, каким Солнце рисуют в книгах, неважно, что говорят люди, – на практике у нас в небе светит белая звезда, вот так все просто. Кстати, если бы Солнце действительно было желтым, то в совершенно ясную погоду все белые предметы, в том числе снег, казались бы желтыми.

Температура поверхности Солнца – около 5800 К. Чтобы узнать температуру в кельвинах, нужно взять величину в градусах Цельсия (C) и прибавить к ней 273. Вода замерзает при 0 °C (или 273 К). Вода кипит при 100 °C (или 373 К). Значения по Цельсию и по Кельвину отличаются всего на 273 единицы, и чем более высокие температуры мы рассматриваем, тем менее существенной становится эта разница. В любом случае, 5800 К – очень жарко. При такой температуре вы просто испаритесь. Для полноты картины расскажу, что такое 0 К (возможно, вы слышали выражение «абсолютный ноль»). Это минимальная возможная температура. При 0 К любое движение молекул прекращается.

Рассмотрим другую звезду. Вот сравнительно «холодная», поверхностная температура которой – всего 1000 К (см. рис. 4.4). Где пик излучения такой звезды? В инфракрасном спектре. Так что, эта звезда невидима? Нет. Небольшая часть ее излучения приходится на видимый спектр. Интенсивность ее излучения в видимой части спектра стремительно падает, то есть она излучает гораздо больше красного, чем голубого. Нам такая звезда покажется красной. Теперь рассмотрим звезду с поверхностной температурой 30 000 К. Напоминаю: о распределении света я задаю тот же вопрос, что и о распределении слушателей в аудитории по возрасту. Где пик излучения этой звезды? В ультрафиолетовой области. Она излучает в ультрафиолетовой части спектра больше энергии, чем в какой-либо другой. Мы не видим ультрафиолет, но сможем ли увидеть такую звезду? Да, естественно. Она отдает огромное количество энергии и в видимой части спектра, гораздо больше, чем отдает поверхность Солнца. Но, в отличие от Солнца, смесь цветов в данном случае не равномерна, а выраженно смещена к голубой части спектра. Если сложить всю цветовую гамму такой звезды, получится голубой цвет. Любой астрофизик знает, что самый холодный свет – красный, а самый жаркий – голубой.

Пик излучения нашей звезды с поверхностной температурой 30 000 К приходится на ультрафиолетовую часть спектра. Если бы я выбрал еще более горячую звезду, она также казалась бы нам голубой. Когда мы видим голубой цвет, это означает, что рецепторы голубого на сетчатке просто получают больше энергии, чем рецепторы зеленого и красного. Звезда с поверхностной температурой 30 000 К голубая, с поверхностной температурой 5800 К – белая, а с поверхностной температурой 1000 К – красная.

Что насчет человеческого тела? Какая у вас температура? Если не повышенная, то примерно 36,6 °C, или 310 К. Пик нашего излучения приходится на инфракрасную часть спектра. Сколько видимого спектра обычно отражает человек? Мы видим других людей именно потому, что их тела отражают свет в видимом спектре. Но если выключить свет, все в комнате становится черным. На диаграмме видно, что при выключенном свете тела с температурой 310 К практически не излучают свет в видимом спектре. Но при этом они все равно излучают инфракрасный. Если вооружиться тепловизором или инфракрасными очками ночного видения, то вы легко увидите в темноте людей, которые «ярко светят» в инфракрасном спектре. В следующей главе мы изобразим на подобной диаграмме целую Вселенную.

Глава 5
Как звезды излучают энергию (II)

Автор: Нил Деграсс Тайсон

Теперь давайте отправимся в большую Вселенную. В главе 4 мы рассмотрели графики теплового излучения звезд. На рис. 5.1 изображена очень похожая диаграмма, но с некоторыми дополнениями. По оси ординат откладывается интенсивность (мощность на единицу площади на единичный интервал длин волн), а по оси абсцисс – длина волны (увеличивается слева направо). Часть спектра, которую мы именуем «видимый свет», как и выше, обозначена радужной полосой.

На рисунке показаны кривые теплового излучения для Солнца (температура 5800 К), горячей звезды (температура 15 000 К), холодной звезды (3000 К) и человека (310 К). Пик кривой теплового излучения человека находится на уровне около 0,001 см. Гораздо ниже и правее этой кривой находим новую кривую – график, соответствующий средней температуре примерно 2,7 К. Это температура всей Вселенной! Именно такой температурой обладает знаменитое реликтовое излучение, льющееся на нас со всего неба. Поскольку его пик относится к микроволновой части спектра, его также называют «космический микроволновый фон». Реликтовое излучение было открыто в штате Нью-Джерси, в Bell Laboratories в середине 1960-х годов. Арно Пензиас и Роберт Вильсон работали с радиотелескопом, который называли «микроволновая рупорная антенна». Направив радиотелескоп в небо, они обнаружили, что отовсюду поступает микроволновый сигнал, и температура такого излучения должна составлять около 3 К (по современным уточненным данным, эта величина равна 2,725 К). Это тепловое излучение, сохранившееся после Большого взрыва. Мы гораздо подробнее поговорим об этом в главе 15.

Как и в предыдущем случае, эти графики можно рассматривать по-разному. Где пик каждой кривой? Эти пики расположены в разных местах. Сколько всего энергии излучается в секунду? Нужен способ просуммировать площадь под каждой кривой и определить, сколько всего энергии в секунду излучается в данном случае. Во-первых, давайте определимся с терминами.

Рис. 5.1. Тепловое излучение Вселенной. Спектры абсолютно черных тел, имеющих разную температуру, показаны как функции длины волны. По оси ординат откладывается энергия в единицу времени (то есть мощность), излучаемая различными объектами на единицу поверхностной площади при заданной температуре; единицы выбраны произвольно. Кривые соответствуют звездам с поверхностной температурой около 15 000 К (такая звезда покажется голубовато-белой), 5800 К (таково Солнце, которое покажется белым) и 3000 К (такая звезда покажется красной). Видимая часть спектра обозначена как радужная полоса. Также приведены графики излучения человеческого тела (310 К) и реликтового излучения (РИ, 2,7 К). О реликтовом излучении мы подробнее поговорим в главе 15. Предоставлено Майклом Строссом

Абсолютно черное тело – это объект, поглощающий все входящее излучение. Абсолютно черное тело, имеющее определенную температуру, будет испускать так называемое «излучение черного тела», повторяющее контуры рассматриваемых кривых. Термин «абсолютно черное тело» может показаться неудачным, но это не так. Никто не спорит, что звезды – не черные; одна звезда сияет голубым, другая – белым, третья – красным. Но все они считаются абсолютно черными телами, как я и показал на рисунке. Абсолютно черное тело устроено просто: оно поглощает всю энергию, которую получает. Оно всеядно. Ему по вкусу и гамма-лучи, и радиоволны. Черные предметы поглощают всю попадающую на них энергию. Вот почему летом не стоит наряжаться в черное. Затем абсолютно черные тела переизлучают эти кривые – вот и всё. Контур и положение кривой зависят лишь от температуры абсолютно черного тела.

Можно нагреть предмет, повысить его температуру, а затем останется определить: какова новая температура? Затем мы возвращаемся к нашим кривым и смотрим, какой график соответствует новой температуре. Есть чудесное уравнение, описывающее эти кривые. Они являются функциями распределения и также именуются планковскими функциями в честь Макса Планка, который первым вывел уравнения для них. В правой части уравнения имеем энергию в единицу времени на единицу площади на единичный интервал длин волн при конкретной длине волны; эта величина называется «интенсивность» (Iλ) и зависит только от температуры T абсолютно черного тела:

I_λ (T) = (2hc²/ λ⁵)/(e^hc/ λ^kT – 1).

Давайте разберемся, какие элементы входят в это эпохальное уравнение. Во-первых, здесь есть λ (лямбда), это длина волны, с ней все понятно. Постоянная e – это основание натуральных логарифмов, под нее выделена специальная клавиша на любом инженерном калькуляторе, на которой обычно написано «e^x» (e в степени x). Значение числа e равно 2,71828…; как и в числе π, в нем бесконечное количество десятичных знаков. Это просто число. Буква c означает скорость света, с ней мы уже встречались. Буква k – это постоянная Больцмана. Буква T – это просто температура, а буква h означает постоянную Планка, с которой мы познакомились в главе 4. Если присвоить объекту температуру T, то единственным неизвестным в уравнении остается λ – длина волны. Так, постепенно присваивая λ разные значения, от очень малых до очень больших, мы получаем значение I_λ. Это будет функция от длины волны, строго повторяющая показанные кривые. Макс Планк предложил это уравнение в 1900 году, и оно произвело революцию в физике.

Предложив свою постоянную, Планк положил начало квантовой физике; в то же время Макс Планк является и отцом-основателем квантовой механики. Обратите внимание на первый член в скобках: 2hc²/λ⁵. Что происходит с энергией по мере увеличения длины волны? Она падает. С ростом λ член 1/λ⁵ стремится к нулю. При больших λ член hc/λkT уменьшается. Математик сказал бы, что e^x по мере уменьшения x становится примерно равен 1 + x.Так, при больших λ член hc/λkT уменьшается, а член e^hc/λ^kT становится примерно равен 1 + hc/λkT, и, если вычесть отсюда 1, член (ehc/λkT–1) становится равен hc/λkT. Соответственно в пределе, когда λ становится большим, все выражение приобретает вид Iλ(T) = (2hc²/λ⁵)/(hc/λkT)= 2ckT/λ⁴. Это тождество было известно и до Планка. Оно называлось «Закон Рэлея – Джинса» в честь открывших его лорда Рэлея и сэра Джеймса Джинса. По мере роста λ интенсивность Iλ начинает падать в строгом соответствии с формулой 1/λ⁴.Что происходит, когда мы двигаемся в сторону все более коротких волн? По мере уменьшения λ⁴ 1/λ⁴ возрастает, в результате чего уравнение рушится (перестает согласовываться с экспериментами). В свое время это явление было названо «ультрафиолетовая катастрофа». Здесь явно была какая-то ошибка. Вильгельм Вин сформулировал закон, объяснявший экспоненциальный спад при малых длинах волн и согласовывавшийся с данными в коротковолновом диапазоне, но не согласовывавшийся в длинноволновом. Мы не имели четкого представления об этих температурных кривых абсолютно черного тела вплоть до 1900 года, когда Макс Планк вывел формулу, согласовывавшуюся с данными и в коротковолновом, и в длинноволновом пределе спектра, а также везде между ними. Формула содержит постоянную h, которая позволяет квантовать энергию так, что любая энергия учитывается в виде дискретных пучков. Если трактовать энергию как дискретные пучки, то по мере перехода ко все более коротким волнам формула Планка начинает возрастать по экспоненте и член 1/λ⁵ превращается в ничто. Когда λ мала, hc/λkT возрастает, а число e, возведенное в такую степень (e^hc/λ^kT), очень быстро становится очень большим. Оно настолько больше –1, что этот член можно игнорировать, а при e^hc/λ^kT в знаменателе ответ получается маленьким. Две эти части уравнения, член 1/λ⁵ и член 1/e^hc/λ^kT, словно состязаются друг с другом. По мере того как λ стремится к нулю, 1/e^hc/λ^kT стремится к нулю гораздо быстрее, чем успевает расти член 1/λ⁵, поэтому и вся кривая стремится к нулю. Без экспоненциального члена вся формула быстро устремилась бы к бесконечности, а длина волны – к нулю, но эксперименты показывают, что на практике это не подтверждается. Феномен кванта потребовался, чтобы понять природу теплового излучения, и уравнение Планка объясняет устройство этих кривых.

Формула Планка позволила все это учесть. Она верно показывает, где будет пик кривой. Исаак Ньютон изобрел математику, позволяющую вычислить пик функции: там, где крутизна кривой стремится к нулю при максимальном значении этой кривой. Ньютоновское дифференциальное исчисление позволяет взять производную функции и найти это место. В таком случае получим очень простой ответ: λ_пик = C/T, где C – новая константа, которую можно вывести из констант исходного уравнения. C = 2,898 мм, если T выражена в кельвинах. Где будет пик? Если T = 2,7 К, как в случае с РИ, то λ_пик будет чуть выше 1 мм или 0,1 см. Можно в этом убедиться, сверившись с кривой РИ на рис. 5.1. Человек примерно в 100 раз горячее; пик человеческого излучения приходится примерно на 0,001 см (см. рис. 5.1), в инфракрасном диапазоне.

Это красиво. С повышением температуры постоянно уменьшается длина волны, при которой кривая достигает пикового значения. Чтобы в этом убедиться, достаточно всего лишь рассмотреть свойства уравнения λ_пик = C/T. При T в знаменателе имеем, что вдвое более горячее тело даст пик функции при вдвое меньшей длине волны (эту зависимость обнаружил Вильгельм Вин, поэтому она называется «закон Вина»).

Как определить общую энергию на единицу времени на единицу поверхности, соответствующую площади под одной из этих кривых? Мне потребовалось бы просуммировать вклад от всех различных длин волн, то есть всю площадь под конкретной кривой. Для этого можно воспользоваться интегральным исчислением – опять же, спасибо Исааку Ньютону. Если интегрировать функцию Планка по всем длинам волн, то получится еще одно красивое уравнение.

Общая энергия, излучаемая в секунду на единицу площади = σT⁴, где σ = 2π⁵k⁴/(15c²h³) = 5,67 × 10^–8 ватт на квадратный метр, причем T – это температура в кельвинах. Перед нами закон Стефана – Больцмана. Йозеф Стефан и Людвиг Больцман были двумя титанами физики XIX века. К сожалению, Больцман свел счеты с жизнью, когда ему было 62 года. Но сохранился этот закон. Если интегрировать функцию Планка, то получится значение постоянной (греческая буква «сигма»). Это колоссально. Как Стефану и Больцману удалось сформулировать этот закон, если Планк еще не вывел свою формулу? Стефан открыл закон экспериментально, а Больцман сформулировал, исходя из соображений о термодинамике.

Если общая энергия, излучаемая в секунду на единицу площади равна σT⁴, то, если удвоить температуру, поток излучаемой энергии возрастет с коэффициентом 2⁴ = 16.Утроим температуру, и что получится? 3⁴ = 81.Учетверим – и получится 4⁴ = 256.Эта тенденция прослеживается на рис. 5.1, где видно, насколько увеличиваются кривые при возрастании температуры.

Вот как можно запомнить принцип работы этой формулы. Допустим, мы взяли какое-то количество теплового излучения и положили его в коробочку. Теперь будем медленно сжимать коробочку, пока она не станет вдвое меньше. Количество фотонов в коробочке останется тем же, но объем коробочки уменьшится в 8 раз и, соответственно, количество фотонов на кубический сантиметр возрастет в 8 раз. Но при сжатии коробочки длина волны каждого фотона также укорачивается вдвое. В результате тепловое излучение коробочки становится вдвое жарче, так как пиковое значение длины волны уменьшилось вдвое. Удваивается энергия каждого фотона и, соответственно, энергия коробочки. Увеличение энергии каждого фотона происходит за счет той энергии, что затрачивается на сжатие коробочки, эта энергия противодействует давлению излучения, что внутри коробочки. Таким образом, плотность энергии в коробочке будет в 8 × 2 = 16 раз выше, чем ранее, а 16 = 2⁴. Следовательно, энергетическая плотность теплового излучения пропорциональна температуре в четвертой степени, или T⁴.

Давайте определимся еще с некоторыми терминами. Светимость – это общая энергия, излучаемая звездой в единицу времени. Светимость измеряется в ваттах, точно как у лампочки накаливания. Светимость 100-ваттной лампочки равна 100 ватт. Светимость Солнца равна 3,8 × 10²⁶ ватт. Мощная такая лампочка.

Теперь предложу задачку. Допустим, Солнце обладает такой же светимостью, что и другая звезда, чья поверхностная температура – 2000 К. Какова температура Солнца? В данном примере давайте округлим ее до 6000 К. Температура другой звезды всего 2000 К, то есть она гораздо прохладнее и не может излучать столько же энергии на единицу площади в единицу времени, сколько Солнце, но я заявляю, что светимость у этой звезды точно как у Солнца. Как такое может быть? Беру вторую звезду, вырезаю с нее лоскут площадью 1 см², с температурой 2000 К, затем вырезаю с Солнца такой же лоскут площадью 1 см², с температурой 6000 К – втрое жарче. Сколько энергии в единицу времени будет излучать такой лоскут на Солнце по сравнению с лоскутом такой же площади на звезде с температурой 2000 К? В 81 раз больше энергии. Каким же образом вторая звезда может излучать в секунду такую же суммарную энергию, как и Солнце? Если у этих звезд одинаковая светимость, то они должны отличаться чем-то еще, кроме температуры. Дело в том, что вторая звезда, сравнительно холодная, должна иметь гораздо более обширную поверхностную площадь, с которой льется излучение. Фактически ее поверхностная площадь должна быть в 81 раз больше, чем у Солнца. Это должен быть красный гигант, который за счет огромной поверхностной площади восполняет дефицит температуры. Теперь вернемся к нашим уравнениям. Чему равна площадь поверхности сферы? Она равна 4πr², где r – радиус сферы. Возможно, вы изучали это уравнение в средней школе. Дальше начинается самое интересное. Если светимость – это энергия, излучаемая в единицу времени, а энергия, излучаемая в единицу времени на единицу площади, равна σT⁴, то мы получили уравнение, позволяющее вычислить светимость Солнца:

L_Солн = σT_Солн⁴ × (4πr_Солн²).

Можно составить схожее уравнение и для другой звезды. Обозначим ее светимость звездочкой, L_*. В таком случае уравнение для вычисления светимости этой звезды – L_* = σT_*⁴ × (4πr_*²). Теперь у меня есть уравнения для обеих. Более того, я постулировал, что L_Солн равна L_*. Я привел именно такой пример, чтобы подчеркнуть, что мне даже не требуется знать поверхностную площадь Солнца – в данной задаче речь идет лишь о соотношениях величин. Можно удивительно много узнать о Вселенной, просто присмотревшись к соотношениям.

Давайте разделим два уравнения: L_Солн/L_* = σT_Солн⁴ × (4πr_Солн²)/ σT_*⁴ × (4πr_*²). Что дальше? Я сокращу равные множители в числителе и знаменателе дроби в правой части уравнения. Первым делом сокращу постоянную. Меня не интересует ее конкретное значение, поскольку мы сравниваем два объекта и эта константа присутствует в характеристиках обеих звезд. Поэтому ее можно сократить. Кроме того, сокращается число 4 и число π. Переходим в левую часть уравнения: что такое L_Солн/L_*? Это выражение равно 1, поскольку, как было заявлено, две звезды обладают одинаковой светимостью и их соотношение равно 1. Итак, остается значительно более простое уравнение: 1 = T_Солн⁴ × r_Солн²/T_*⁴ × r_*². Температура Солнца равна 6000 К, а температура другой звезды – 2000 К. Естественно, 6000⁴, деленное на 2000⁴, равно 3⁴, то есть 81. Получается, 1 = 81r_Солн²/r_*². Умножим обе части уравнения на r_*². Имеем r_*² = 81r_Солн². Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, получится r_* = 9r_Солн. Радиус более холодной звезды в 9 раз больше, чем у Солнца! Это ответ. Если переосмыслить его в терминах площади, то поверхностная площадь у этой звезды должна быть в 81 раз больше солнечной, а радиус – в 9 раз больше солнечного. Члены в уравнении остаются прежними, но мы подставляем разные переменные в разные части уравнения. Вот и все, чем мы здесь занимались.

Как вы помните (из главы 2), самое жаркое время суток наступает не в полдень, а несколько позже, так как земля поглощает видимый свет. Видимый свет постепенно разогревает грунт, после чего грунт начинает испускать инфракрасное излучение. Грунт ведет себя как черное тело – впитывает солнечную энергию, а затем переизлучает ее согласно функции Планка. Температура грунта – примерно 300 К (то есть 273 К + температура грунта по Цельсию, примерно 27 °C, получается ровное значение 300 К).

Возможен вопрос: а какова светимость нашего тела? Подставим в выражение температуру тела в кельвинах, 310 К, возведем ее в четвертую степень, умножим на постоянную сигма – и узнаем, сколько энергии мы излучаем в единицу времени на единицу площади. Если подставить в формулу общую площадь вашей кожи (у взрослого человека – в среднем 1,75 м²), то получится ваша светимость, ваша мощность в ваттах. Эта энергия излучается не в видимом диапазоне, а преимущественно в инфракрасном, но мощность в ваттах у вас определенно есть. Посчитаем. Постоянная Больцмана σ = 5,67 × 10^–8 ватт на квадратный метр, если измерять температуру в кельвинах. Умножим на (310)⁴. 310⁴ равно 9,24 × 10⁹. Умножим это значение на 5,67 × 10^–8 и получим 523 ватта на квадратный метр. Умножим это значение на 1,75 м² и получим 916 ватт. Это много. Однако учтите, что если вы сидите в комнате при температуре 300 К (27 °C), то по той же формуле ваша кожа поглощает 803 ватта энергии. На поддержание температуры тела уходит около 100 ватт. Эту энергию мы получаем при приеме и переваривании пищи. Теплокровные животные, чья температура тела выше температуры окружающей среды, должны есть больше, чем холоднокровные. Включая в комнате кондиционер, нужно задать два основных вопроса: 1) насколько велика комната и 2) какие еще источники энергии есть в комнате? В частности, нас интересует, сколько в комнате горит лампочек и сколько в ней находится человек, так как человека можно сравнить с лампочкой – он тоже имеет мощность в ваттах, выделяет тепло, и это также нужно учитывать при охлаждении. Чтобы определить настройки кондиционера для поддержания нужной температуры в комнате, нужно учесть, сколько человек (в ваттах) в ней соберется.