Текст книги "Математика для гиков"

1.7. Построим более эффективную конвейерную ленту

В математике маленькие вещи могут иметь большие последствия. Возьмите, например, полоску бумаги любой длины. Держите концы этой полоски в разных руках и поверните ее на 180 градусов. Теперь приклейте концы друг к другу. Вы только что создали настоящий математический парадокс из простых канцтоваров. Объект, который вы сделали, называется лентой Мебиуса.

Ленты Мебиуса – особое явление в математике, так как они неориентируемые, то есть имеют лишь одну сторону. Это может прозвучать как что-то невообразимое, но вы сами можете доказать ее односторонность. Возьмите карандаш и начинайте чертить линию в любой точке ленты. (Убедитесь, что вы чертите линию, параллельную ленте, чтобы карандаш не сошел с бумаги.) В конце концов карандаш вернется на начальную позицию. А что особенно важно, так это то, что черта остается на всей поверхности ленты. Если бы у ленты было две стороны – внешняя и внутренняя, – то карандашная линия была бы только на одной из сторон, вторая осталась бы нетронутой.

Этот странный односторонний объект похож на экзотику – он таковым и является, – но ленты Мебиуса время от времени встречаются и вне книг по математике и классных досок. Например, в 1957 году компания B.F. Goodrich создала конвейерную ленту Мебиуса. Такой способ позволял ленточному конвейеру работать дольше, так как вся поверхность ленты изнашивалась равномерно. Те же цели преследовали и некоторые магнитофонные ленты и ленты для пишущих машинок: эта форма позволяла использовать максимум поверхности лент, что повышало их практичность. Ленты Мебиуса также есть и в мире электроники – а именно в некоторых резисторах (что позволяло им противостоять потоку электроэнергии) – и в биологии: некоторые конфигурации молекул имеют структуру ленты Мебиуса.

Лента Мебиуса была названа в честь Августа Фердинанда Мебиуса, немецкого математика, жившего в XIX веке, который ее и изобрел. (Оказалось, что та же лента была изобретена практически в то же самое время другим немецким математиком, Иоганном Бенедиктом Листингом, который ввел в использование математический термин «топология».) У Мебиуса была отличительная родословная: его предком был Мартин Лютер, один из богословов, который помог начать Реформацию в начале XVI века, а еще он учился вместе с Карлом Фридрихом Гауссом, одним из самых выдающихся математиков в истории.

Лента Мебиуса служит отличным примером простого объекта, который может сделать каждый, но который имеет глубокий математический подтекст. И нет ничего лучше, чем держать математику в своих руках.

Музыкальные аккорды

Музыка и математика имеют интересную связь. Теоретики музыки иногда изображают на бумаге, как различные аккорды из двух нот связаны друг с другом, принимая во внимание то, что можно записывать их двумя способами (C-F или F-C, например). Чтобы показать эту связь на листе бумаги, нужно скрутить его и сделать из него ленту Мебиуса.

1.8. Математическая связь между вашими шнурками и вашей ДНК

Вы не ожидаете найти математику в паре ваших ботинок. Но поглядите вниз на ваши завязанные шнурки. Эти перевязанные узлы на самом деле могут привести к сложным математическим мыслям.

Этот раздел математики известен как теория узлов. Узлы в математике, однако, отличаются от узлов в вашей повседневной жизни одним значимым способом: у них нет свободных концов, то есть они замкнуты. На самом деле, вы можете сделать такой узел самостоятельно. Возьмите кусок веревки – или сваренные спагетти, или лассо – и завяжите обычный узел. Теперь возьмите концы и соедините их с помощью скотча. В итоге у вас может получиться крендель, но в любом случае это будет математический узел!

И хотя отчасти теория узлов хорошо нам знакома, в ней есть свои особенности. В своей книге об узлах Колин Адамс дал следующее определение узлу в математике: «это замкнутая кривая в пространстве, которая не пересекает себя ни в одной точке». Такое определение может натолкнуть вас на мысль о том, какой же узел является простейшим. Таким узлом является простая окружность, такой узел называют «незаузленным». (А еще его называют тривиальным.) Также самыми простыми узлами являются «восьмерка» и «трилистник».

Что конкретно происходит в течение одного дня теоретика, занимающегося узлами? Они обычно стремятся узнать, можно ли развязать тот или иной узел, не разрезая его, или можно ли определить, что узел на самом деле является тривиальным, но в необычной форме. Но теория узлов больше волнует не математиков вовсе. Биологи интересуются теорией узлов из-за ДНК – молекулы, которая кодирует материалы, необходимые для всех живых организмов, – которая иногда может содержать узлы, а они, в свою очередь, могут влиять на то, как информация в молекуле ДНК может интерпретироваться клеточными механизмами организма. Химики также заинтересованы в узлах. Многие из них хотели бы разобраться со сцепленными молекулами, так как в зависимости от узла определенная молекула может совершенным образом поменять свое поведение. (При одной конфигурации вещество может вести себя как масло, а при другой – как гель.) Даже один или два поворота могут иметь существенные последствия.

Гипотезы Тейта

Математик XIX века Питер Гатри Тейт создал классификацию узлов, согласно количеству их пересечений. Он также выдвинул три гипотезы, включая альтернирующие узлы (при проходе такого узла пересечения чередуются «сверху» и «снизу»), хиральные узлы (они не эквивалентны своему зеркальному отражению) и число закрученности (геометрическая величина, которая описывает зацепления в узлах). Все три гипотезы не так давно были доказаны.

1.9. Что скрывает карта метрополитена?

Посмотрите на карту метро любого города в мире. Что вы видите? В отличие от атласов, в которых показывается каждый поворот и изгиб дороги, карта метро выглядит довольно просто. Она состоит из прямых линий, окружностей и кривых. (Для примера откройте карты метро Лондона, Бостона или Вашингтона.) Однако поезда метро редко следуют таким совсем не сложным маршрутам: поезда проезжают целую серию препятствий на пути от одной станции до другой. Но несмотря на такое расхождение, карта метро все равно помогает путешественникам в навигации. Как так получается, что эти карты выбрасывают такое количество информации и все равно остаются полезными?

Ответ скрывается в области математики, которая известна как топология. Топология связана с геометрией и изучает то, как формы меняются, когда их растягивают, сжимают, тянут, перекручивают или искажают. (Слово «топология» от греческого «место», «учение».) Однако изменения, изучаемые топологией, должны подчиняться правилу: изменения не должны нарушать оригинальную целостность фигуры. Например, фигуры, которые были порезаны или приклеены друг к другу, не могут считаться допустимыми предметами для топологического изучения. С другой стороны, создаются новые формы, когда вы до конца натягиваете резинку, скручиваете ее в шар или перекручиваете в форму кренделя – все это допустимо. Вкратце, в топологии вы должны быть способны вернуть новую форму в ее первоначальное состояние за одно непрерывное движение. Если вы можете это сделать, то с точки зрения топологии эти две формы эквивалентны.

Теперь отношение карты метро и настоящего маршрута поездов становится ясным. Карта метро – это топологическая трансформация физического маршрута подземки. В некотором смысле карта показывает версию маршрута поездов, которая была растянута и разглажена, будто она сделана из жвачки для рук. Согласно топологии, две формы – схема метро и маршрут, который в действительности существует в системе общественного транспорта, – идентичны.

Самое большое метро в мире

Шанхайское метро в Китае является самым длинным метро, судя по длине маршрутов, его пути имеют протяженность более 330 миль. Но метро Нью-Йорка имеет самое большое количество остановок в мире – 468 станций.

1.10. Оригами

Оригами – это японское искусство складывания фигурок из бумаги, в Соединенных Штатах оно является времяпрепровождением для детей. Многие из нас видели журавлей, стаканчики и шарики, заполненные воздухом, из бумаги. Но немногие подозревают, что оригами тесно связано с математикой.

Одним захватывающим свойством оригами является умение выйти за рамки традиционной математики, особенно геометрии. Используя лишь сложенную бумажку, человек может поделить угол на три равные части, это задание неподвластно циркулю и линейке в традиционной геометрии. Человек может также использовать оригами, чтобы удвоить куб, это еще одна задача, с которой геометрия справиться не может. (Удвоение куба – это проблема, которой занимались еще в Древнем Египте и Греции. Чтобы удвоить куб, нужно было создать куб, объем которого был бы вдвое больше объема заданного куба. Такую процедуру невозможно закончить, так как сторона большего куба будет равна кубическому корню из 2, а эту длину нельзя построить с помощью циркуля и линейки.)

На самом деле, математическое изучение оригами привело к созданию своих геометрических аксиом, совокупности принципов и определений, похожих на те, что изучал Евклид, известный математик, который жил в Греции более 2000 лет назад. Эти семь принципов известны как правила Фудзиты; они описывают все варианты получения одной новой складки на листе бумаги. Математика в оригами также привела к теореме Кавасаки, которая гласит, что в совокупности углов, которые исходят из одной точки, сумма переменных углов равна 180 градусам.

Сам предмет изучения оригами часто является математическим, помимо того что он становится практически независимой математической областью, которая имеет свои аксиомы и доказательства. Некоторые люди создают трехмерные фигуры из модульных компонентов оригами, которые имеют форму треугольников или пятиугольников. Некоторые люди делают оригами-версию платоновых тел, пяти правильных многогранников (это трехмерные фигуры, у которых все грани являются правильными многоугольниками). Другие же создают гиперболические параболоиды, имеющие форму седла и напоминающие нечто среднее между квадратом и бабочкой. И наконец, некоторые используют оригами, чтобы доказать теорему Пифагора.

В некотором смысле оригами и математика, кажется, делят одну ДНК. И нет ничего лучше, чем создавать что-то своими руками, чтобы лучше понять какое-то математическое понятие. Забудьте о карандашах и графиках, попытайтесь найти математику в складывании листов бумаги!

Праздничное дерево с игрушками-оригами

Каждый год в сотрудничестве с организацией OrigamiUSA Американский музей естественной истории создает Праздничное дерево, украшенное фигурками оригами. На елку вешают примерно 800 фигурок. В 2014 году тема основывалась на фильмах «Ночь в музее», поэтому среди фигурок можно было найти Теодора Рузвельта, Тираннозавра Рекса и статую с острова Пасхи.

1.11. Математика скрывается за запутанными наушниками

Это один из раздражителей современного мира. Вы ищете в кармане или сумке свои наушники и видите, что они спутаны в какой-то невообразимый узел, который невозможно распутать. Вы достаете садовый шланг из подвала – и смотрите-ка – он каким-то образом превратился в узел. Вы достаете из упаковки рождественскую светодиодную гирлянду, которая лежала на чердаке, и обнаруживаете сплошной ком из узлов. Почему так много вещей в нашей жизни постоянно запутываются, несмотря на наши попытки всеми способами избежать этого?

Оказывается, существует математическое объяснение тому, что длинные гибкие вещи, такие, как шнуры, шнурки и веревки, завязываются в узлы. Два физика из Калифорнийского университета в Сан-Диего опубликовали исследование на эту самую тему в 2007 году. По существу, есть только несколько вариантов, при которых скомканные веревкоподобные объекты оставались незапутанными – например, когда секции веревки остаются параллельными самим себе, не касаются друг друга и не имеют точек пересечения – и много-много вариантов, при которых веревка запутывается. Вообще, шнурок или веревка запутываются в течение нескольких секунд. Все, что для этого нужно – это один свободный конец, который пересекает часть самой веревки. На этом этапе свободному концу уже ничего не стоит запутаться в остальной части веревки.

Во время своего исследования команда из Сан-Диего поместила веревки разной длины на 10 секунд во вращающуюся коробку, которая работала от мотора. Они проанализировали получившиеся узлы с помощью математической теории узлов, пытаясь найти математическое уравнение (в этом случае полином Джонса), которое бы соответствовало каждому узлу. (Теория узлов классифицирует узлы по количеству пересечений.) Они обнаружили, что в 96 % случаев узлы были простыми, то есть число пересечений варьировалось от 3 до 11. Команда также обнаружила, что чем короче была веревка – меньше полуметра, – тем меньше узлов на ней образовывалось, но если длина приближалась к 2 или 6 метрам, то вероятность запутывания резко возрастала, вплоть до 50 %. Если же веревка была длиннее, то вероятность сильно не возрастала.

Поэтому вы можете сколько угодно ругать свои наушники, но когда в следующий раз кропотливо будете распутывать их, попытайтесь оценить математику, скрывающуюся за ними.

Изобретения против спутывания

Запутанные телефонные шнуры породили целую индустрию. В те времена, когда люди полностью полагались на телефонные аппараты с проводом, изобретатели создали специальные устройства против спутывания: от вращающихся на 360 градусов частей до трубок, которые вставлялись в витой шнур, для того чтобы оградить людей от этого ежедневного раздражителя.

1.12. Почему велосипедные шестерни разных размеров

В прошлом велосипеды выглядели чудаковато. В XIX веке у велосипедов были огромные передние колеса и крохотные задние колеса. Педали прикреплялись непосредственно к переднему колесу, которое могло достигать почти 5 футов (более 150 см) в диаметре, а человек должен был запрыгивать на сиденье как на лошадь. Такие велосипеды вскоре вышли из моды, отчасти из-за того, что если велосипед наезжал на кочку, то человек мог запросто перелететь через руль. Позднее производители начали делать велосипеды, используя шестерни и цепи, такое нововведение не только позволило человеку сидеть по центру велосипеда и улучшило тем самым баланс, но также позволило менять передачи в зависимости от местности. Вам необязательно менять передачи, когда вы едете по ровной поверхности, но когда вы поднимаетесь на холм, смена передачи может показать разницу между непринужденной ездой на велосипеде или толканием его в гору. Но как на самом деле работает смена передач? Каким образом они помогают ехать в гору или с горы эффективнее?

Ответ зависит от передаточного отношения. Когда вы подсоединяете шестерню большего размера к шестерне меньшего размера, то если вы проворачиваете одну, то и вторая тоже будет вращаться, но с другой скоростью. Давайте представим, что передняя шестерня в три раза больше, чем задняя. За один оборот передней шестерни задняя будет выполнять три оборота. Подумайте об этом с точки зрения окружности колеса. (Если вы помните уроки математики в школе, длина окружности равна числу Пи, умноженному на диаметр окружности.) Если диаметр передней шестерни равен 3 дюймам, то длина ее окружности равна 3π, то есть примерно 9,42 дюйма. Поэтому если вы поставите точку на крае шестерни, а потом провернете ее один раз, то путь этой точки в пространстве – если перевести его на бумагу – будет равен 9,42 дюйма.

Теперь давайте представим, что задняя шестерня равна 1 дюйму в диаметре. Тогда длина ее окружности составит 3,14 дюйма, и с каждым поворотом путь этой точки будет равен 3,14 дюйма. Но при каждом обороте передней шестерни – 9,42 дюйма – задняя шестерня должна сделать три оборота. (Согласно разнице в диаметре, кстати, передаточное отношение для этих шестерней будет составлять 3:1.)

Следовательно, вы можете сделать так, чтобы задняя шестерня вращалась три раза за одно вращение педалей (хотя вам и придется нажимать в три раза сильнее), что идеально для спуска с горы.

Шестерни в игрушках

Шестерни не только полезны, но с ними еще и весело играть. Во многих игрушках на рынке сейчас содержатся шестерни, включая Gears! Gears! Gears, Gear & Rotor Fun и наборы BlueLotus Rotatable Building Gears Sets. Некоторые такие игрушки продуманы до мелочей: на сайте Brickowl.com можно найти 57 разных видов шестерней для наборов Lego, включая шестерни с 40 зубцами, шестерни с 24 зубцами и внутренним сцеплением и скошенные шестерни с 20 зубцами.

1.13. Развеиваем мифы: капли дождя и слезинки имеют разную форму

Капли дождя являются не тем, чем вы думаете. По крайней мере, их форма отличается от той, какую вы, возможно, сразу же представляете. В мультфильмах, на синоптических картах и картинках капли дождя обычно изображены в форме слезы с закругленным низом и двумя сторонами, которые сверху сужаются в одну точку.

В реальности капли дождя имеют совершенно другую форму. Все капли дождя сначала представляют собой сферические объекты, так как вода в атмосфере ловит частички дыма и пыли. Как только капелька обретет достаточный вес, она начинает падать. Когда она падает, поверхность натяжения капли – вызванная водородной связью между молекулами воды – удерживает круглую форму капли. Когда капля набирает скорость, однако, давление воздуха, действуя на нижнюю часть капли, делает ее плоской, как дно сковородки. В этот момент капля дождя больше напоминает верхнюю часть булочки для гамбургера. Если капля становится слишком большой, а это иногда случается, когда на пути к земле она сливается с другими каплями, она распадается на несколько маленьких капель – предел прочности составляет примерно 4 мм в диаметре.

Окружность капель дождя

Капли дождя отличаются по размеру. В среднем, маленькая капелька во время небольшого шторма может достигать 0,5 мм в окружности, но во время сильной бури она может достигать 5 мм в окружности.

1.14. Почему знаки дорожного движения имеют разную форму?

Все знают, что знак «Движение без остановки запрещено» является восьмиугольником; то есть имеет восемь равных сторон. Но не все знают, почему этот знак имеет такую форму. Почему восемь сторон? Почему не три или десять?

Этому есть два объяснения.

1. В отличие от квадратных знаков, которые используются повсеместно, восьмиугольные знаки могут быть прочитаны с разных направлений. Водитель А будет знать, что водитель Б должен был остановиться, согласно знаку, даже если водитель А приближался с другой стороны и не видел лицевую сторону знака.

2. Инженеры транспортного планирования своевременно поняли, что сообщение можно донести не только с помощью слов на знаках, но и с помощью самой формы знаков. Поэтому они создали стандартизованные знаки, придерживаясь идеи, что чем больше сторон было у знака, тем о большей опасности этот знак свидетельствовал. Например, круглый знак – можно предположить, что у него бесчисленное количество сторон, – используется для запрета движения. Треугольные знаки используются для предупреждений, чтобы оповестить, что дальше дорога сужается или есть опасность диких животных на дорогах.

Так что в следующий раз, когда сядете за руль, обратите внимание на форму знаков дорожного движения. Эти формы могут спасти вам жизнь!

История знаков дорожного движения

Первый знак дорожного движения в США появился в Детройте в 1915 году и представлял собой квадратную металлическую пластину с черными буквами на белом фоне. Но именно Ассоциация государственных дорожных ведомств Миссисипи Вэлли в 1923 году настоятельно рекомендовала разнообразить формы знаков. И в 1935 году было решено, что знак «Движение без остановки запрещено» будет красным.

1.15. Почему здание Пентагона имеет такую форму?

Пентагон – это штаб-квартира Министерства обороны США, которая находится недалеко от Вашингтона, а в переводе с английского «pentagon» означает «пятиугольник». Это здание является одним из самых больших административных зданий в мире, площадь которого в два раза превышает площадь Эмпайр-стейт-билдинг. Там работают примерно 25 000 человек. На самом деле здание Капитолия в Вашингтоне могло бы вместить в себя лишь одну из пяти сторон Пентагона. Но почему Пентагон имеет форму пятиугольника?

После начала Второй мировой войны США решили, что им нужен новый объект для их разрастающегося Военного ведомства. Был выбран Арлингтон, экспериментальная ферма под руководством Министерства сельского хозяйства, она располагалась рядом с Арлингтонским кладбищем, местом захоронения солдат и ветеранов войны. Из-за дорог и других особенностей местности это место имело пятиугольную форму, поэтому планы для нового здания Военного ведомства органично вписались в форму этого пространства. Но власти вскоре передумали строить военный объект вблизи такого эмоционального места и решили перенести его в другое место, которое раньше было месторасположением Гувер Филд, первого аэропорта Вашингтона. Менять архитектурные планы было уже поздно, так что, хотя архитекторы изменили некоторые элементы дизайна, форма пятиугольника осталась.

К счастью для всех, у такой формы были свои преимущества. Пройти из одной точки здания в другую можно меньше чем за десять минут, и архитекторы могли с легкостью расположить объекты и коммуникации общего пользования по всему зданию.

Пентагон

Пентагон охватывает примерно 583 акра, а его площадь составляет более 6 миллионов квадратных футов. В здании семь этажей… о которых нам известно.