Текст книги "Математика для гиков"

1.16. Треугольники

Вы когда-нибудь замечали, как часто треугольники появляются в вашей повседневной жизни? Неважно, едете ли вы на работу на велосипеде (в центре велосипедной рамы есть треугольник) или мчитесь по автомагистрали (можно увидеть треугольники в опорах линий электропередачи), но треугольники возникают вновь и вновь. Есть ли в этом причина или производители велосипедов и инженеры используют эту фигуру с тремя сторонами развлечения ради?

Оказывается, есть хорошее объяснение тому, что треугольники так часто возникают в среде, созданной руками человека. Треугольники – на редкость устойчивая фигура, а это делает их идеальным выбором для структур, которые должны быть стабильными. Представьте, что углы треугольника соединены шарнирами: сами по себе углы будут подвижными, а вот треугольник будет устойчивым. Вы даже можете представить треугольник из соломинок, изгибы которых будут образовывать углы. Несмотря на изгибы, треугольник останется стабильным, будто сделан из сплошного пластика. Можете ли вы назвать другие места, где вы видели треугольники?

Концерт для треугольника

Треугольник – музыкальный инструмент – впервые исполнил соло-партию в Концерте для фортепиано с оркестром № 1 Франца Листа. Один скептически настроенный критик окрестил эту партию «Концертом для треугольника».

1.17. Почему крышки люков круглые?

Небо голубое. Камни твердые. Трава зеленая. Существуют аспекты в мире, с которыми мы сталкиваемся каждый день, это часть нашей жизни, которая нам настолько близка, что мы о ней почти не задумываемся. Иногда математика может заставить нас взглянуть на эти повседневные вещи под другим углом, с новым пониманием.

Одной из таких вещей являются крышки люков. Они обычно круглые, но почему? Разве им не подойдет любая другая форма?

Оказывается, что круг – это идеальная форма, чтобы закрыть люк, потому что круг является одной из немногих форм, которая не может провалиться в отверстие, имеющее ту же форму. Чтобы в этом разобраться, представьте люк в форме треугольника. Допустим, этот треугольник не является равносторонним. (Возможно, одна сторона равна одному футу, а две других равны двум футам каждая.) Если мы поднимем крышку так, чтобы она стояла перпендикулярно земле, то короткой стороной треугольника крышка может с легкостью упасть в люк. А все это потому, что две другие стороны люка будут иметь длину в два фута, а объект длиной в один фут может запросто поместиться в отверстие длиной в два фута. Единственным способом предотвратить падение крышки будет создание крышки такой формы, чтобы при любом повороте ни одна сторона не была больше или меньше любой другой стороны. Круг под это описание подходит идеально.

Люки в космосе

Ходят слухи, что в результате испытания ядерного оружия под землей в 1950-х одна крышка люка улетела в космос. Эта легенда не подкреплена доказательствами, но возможно, берет свое начало из реального случая, произошедшего во время операции Plumbbob, серии испытаний ядерного оружия в 1957 году. Во время одного такого испытания кусок металла весом 2000 фунтов взлетел в воздух со скоростью 66 км/сек (41 миля в секунду). Эту крышку так нигде и не нашли.

1.18. Наборы Lego

Мир игрушек – это очередное место, где можно найти математику. Когда я был ребенком, я думал, что наборы Lego – это лучшая игра во всем мире. Было в этом что-то крайне отрадное, когда ты сидишь перед коробкой разобранного конструктора и думаешь, что хочешь построить. Как оказалось, наборы Lego предназначены не только для игр. Они также могут показать аспекты математики, которые в других случаях не были бы очевидными.

А именно, конструктор Lego играет роль в изучении сложной системы. Марк Чангизи и другие исследователи из Института Дьюка недавно провели исследование, чтобы получить ответ на вопрос, который кажется обманчиво простым. У всех систем есть компоненты: в телах есть клетки, у компьютера есть процессор, в экосистемах есть птицы и деревья. Исследователи хотели узнать, если система – неважно, состоит ли она из животных, клеток или электронных частей, – становится больше, увеличивается ли количество разновидностей компонентов? Сравним внутренний механизм наручных часов и старинных напольных часов. В напольных часах точно будет больше отдельных частей, но попадут ли эти детали в большее количество категорий, чем у наручных часов?

Исследователи доказали, что количество категорий в разных системах действительно возрастает по мере того, как масштаб объекта увеличивается. Они составили график и увидели, что у количества категорий и количества компонентов есть интересная закономерность. А именно, число разновидностей компонентов возрастало пропорционально количеству деталей, согласно степенному закону. (Степенная функция выглядит как Y = kXa. Y и X – это две переменные, которые мы хотим изучить; в этом случае Y обозначает количество компонентов, а Х – количество разновидностей компонентов. В этой формуле k – это любое число, называемое константой, а a – это показатель переменной Х.) Исследование также показало, что хотя количество разновидностей компонентов возросло вместе с количеством деталей, скорость замедлилась, когда количество деталей становилось все больше и больше.

Но когда они посчитали количество деталей и их разновидность в наборах Lego, они увидели, что количество разновидностей деталей росло быстрее, чем в других системах. Другими словами, чем больше набор Lego, тем больше разновидностей деталей в нем содержится. Любители Lego, коим является сам Чангизи, опасаются, что такой рост возник из-за разницы дизайна разных наборов. На сегодняшний день наборы Lego выпускаются в разных тематиках, включая «Звездные войны», «Ниндзяго», «Черепашек-ниндзя» и «Властелина колец». Некоторые опасаются, что такой количественный рост привел к специализациям деталей, то есть большое количество деталей подходит только одной теме или даже одному набору. У любителей оригинальных деталей Lego такая перемена вызывает только грусть. Но игрушки Lego продолжают быть разносторонними в другом смысле: они приходятся по душе широкому сегменту населения, включая математиков.

Мастер Lego

Кто занимается дизайном наборов Lego, которые мы можем купить в магазинах? Эти таланты также работают над моделями в полный рост в парках Legoland по всему миру. Чтобы стать мастером Lego, потребуются годы практики, и эти специалисты часто выявляются на публичных конкурсах.

1.19. Давайте полетим на… Четырехугольнике

Без воздушных змеев весна и лето просто не были бы самими собой. Но их очарование выходит за рамки трепета управления куском материи во время легкого ветра. Традиционные американские воздушные змеи являются хорошим примером особого вида четырехугольника. Обычный воздушный змей имеет четыре стороны, как квадрат или прямоугольник. Но в отличие от этих двух фигур, стороны воздушного змея группируются друг с другом по длине. Поэтому две короткие стороны примыкают друг к другу так же, как и две длинные стороны. Именно такое расположение сторон придает воздушному змею эту отличительную форму вытянутого ромба.

Форма воздушного змея интересна также и тем, как множество змеев может быть сложено, чтобы покрыть плоскость (которая является идеализированной плоской поверхностью, как лист бумаги, не имеющий толщину). Вы можете взять любого воздушного змея с любым углом между сторонами и использовать его вместе с бесчисленным множеством идентичных змеев, чтобы полностью покрыть плоскость так, чтобы между отдельными фигурами не оставалось зазоров. Такое покрытие называется мозаичным размещением. (Представьте плитку в вашей ванной, тогда вы поймете, о чем идет речь.) Воздушные змеи играют роль и в мозаике Пенроуза – особом виде разбиения плоскости, где отдельные детали формируют узоры, которые не повторяются в обычном порядке.

Форма воздушного змея также определяет свои идеальные летные условия. Воздушные змеи в форме ромба лучше всего летают во время легкого ветра, но им нужен хвост для устойчивости. Треугольные змеи могут летать в практически безветренную погоду. А шестисторонние змеи, которые появились в Японии сотни лет назад, очень маневренны, их обычно используют в соревнованиях. (Если вы заставите упасть воздушного змея противника, то вы выиграли!)

Площадь воздушного змея

Существует два способа узнать площадь воздушного змея. Если вы знаете длину двух диагоналей, тогда вы можете умножить эти длины и разделить результат на 2. Или если вы знаете длину короткой и длинной стороны, а также градус угла между ними, тогда вы можете воспользоваться тригонометрией: умножьте длину короткой стороны на длинную, а потом умножьте результат на синус угла.

1.20. Что общего у герпеса и столовой соли?

Не все трехмерные фигуры созданы равными. Подумайте о тех фигурах, которые существуют или могли бы существовать. Некоторые, как форма картофелины, бугорчатые и неровные. Другие, как звезда, аккуратные, с прямыми линиями. Шары гладкие и круглые, а фигурки в тетрисе имеют острые углы.

Однако некоторые фигуры особенные. Они обладают характеристиками, которые изучались тысячелетиями. Такая историческая группа включает в себя платоновы тела. Эти трехмерные фигуры названы в честь философа, который жил в Афинах в 400-х годах до н. э., они построены с помощью двухмерных фигур, таких, как квадраты, треугольники или пятиугольники. Но двухмерные фигуры должны соответствовать некоторым условиям, чтобы быть способными превратиться в платоново тело.

1. Во-первых, они должны быть правильными, то есть все их линии должны быть одной длины и все углы должны находиться под одинаковым градусом.

2. Во-вторых, они должны совпадать, то есть быть идентичными. Если вы положите одну фигуру на другую, то они должны полностью совпасть по размеру. (Другими словами, вы не сможете сделать платоново тело из треугольников разного размера.)

3. В-третьих, в каждой вершине – место на каждой фигуре, где соединяются линии, – должно быть одинаковое количество фигур.

Существуют пять и только пять платоновых тел.

1. Тетраэдр имеет четыре стороны, все они являются треугольниками.

2. Гексаэдр, или куб, состоит из шести квадратов.

3. Октаэдр имеет восемь сторон и выглядит как две пирамиды, соединенные основаниями. (Как и у тетраэдра, все стороны октаэдра являются треугольниками.)

4. Додекаэдр имеет двенадцать сторон, каждая сторона представляет собой пятиугольник.

5. Икосаэдр имеет двадцать сторон, каждая из которых является треугольником.

А если вы задумались, почему существует только пять платоновых тел, то у Евклида – древнегреческого математика – есть ответ на этот вопрос. Он нашел доказательство и включил его в Книгу 13 в его «Началах». Найдите этот труд, если вам интересно.

Но эти фигуры считались не просто математическими загадками. В своем диалоге «Тимей» Платон, греческий философ, утверждает (от лица одного из персонажей), что каждое тело соответствует одному элементу природы. Тетраэдр ассоциировался с огнем, куб – с землей, октаэдр – с воздухом, икосаэдр – с водой, а додекаэдр – с расположением созвездий в небе.

Сотни лет спустя, в конце 1500-х, Иоганн Кеплер использовал платоновы тела, чтобы объяснить структуру Солнечной системы. Он хотел понять, почему планеты расположены так, как они расположены. Кеплер сопоставил орбитам (которые он представил как круг) планет платоновы тела. Начиная с внутренней части Солнечной системы, порядок платоновых тел начинался с октаэдра, который соответствовал Меркурию, затем шли икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и куб. (Согласно Кеплеру, существовали лишь пять планет.)

И хотя объяснения Кеплера оказались неверными, один факт остался неоспоримым: платоновы тела действительно являются частью природы. Например:

• Многие минеральные кристаллы принимают форму кубов, включая столовую соль (хлористый натрий); если бы вы прошлись по берегу Мертвого моря, то обязательно наступили бы на большие кубы соли, которые прибило к берегу из глубин моря.

• Алмазы и плавик часто образуют кристаллы в форме октаэдров.

• Такие вирусы, как герпес, часто имеют форму икосаэдров.

• Атомы часто образуют связи в форме тетраэдра. Молекулы метана и ионы аммония состоят из четырех атомов водорода в форме тетраэдра в окружении атома углерода или азота.

Платоновы тела – это не просто что-то, записанное в древнегреческих трудах, они в буквальном смысле летают в воздухе, которым мы дышим, и находятся в земле, по которой мы ходим.

Двугранный угол

Каждое платоново тело содержит так называемый двугранный угол, который является внутренним углом между двумя гранями. Так как каждая грань платонова тела одинакова, значит, все двугранные углы этого тела тоже будут равными. Например, в кубе двугранный угол равен 90 градусам, как и угол при вершине. Но в тетраэдре двугранный угол равен 70,6 градуса, а угол при вершине – 60 градусам. Чем больше двугранный угол, тем больше тело будет напоминать шар.

1.21. Почему на мячике для гольфа есть впадинки?

Когда вы смотрите, как Тайгер Вудс делает первый удар на открытом чемпионате США по гольфу, вы можете не представлять, что за этим моментом скрывается математика, которая помогает его мячу лететь сквозь воздух. Но это правда, а все благодаря геометрии впадинок на мяче.

Сотни лет назад мячи для гольфа делали из дерева или резины, а поверхность их была абсолютно гладкая. Согласно легенде в мире гольфа, когда гольфисты вновь и вновь использовали один мяч, они заметили, что старые, неровные мячи летели дальше, чем новые, гладкие. Позже ученые поняли, что ямки или впадинки позволяют воздуху вокруг мяча оставаться ближе к изогнутой форме мяча, уменьшая турбулентность в воздухе за мячом, которая и вызывает торможение. Традиционно ямки имеют форму круга, но недавно их стали делать в форме шестиугольников. Производитель Callaway утверждает, что шестиугольные ямки покрывают больше поверхности мяча, следовательно, на нем меньше плоской поверхности между каждой ямкой и, естественно, меньше торможения.

Ямки

Мячи для гольфа бывают разных размеров, но в основном имеют 300–500 ямок. Обычный мяч для гольфа имеет 336 ямок.

1.22. Гаусс и пицца

Проведите эксперимент: возьмите газету и оберните ей арбуз, словно хотите подарить его другу на день рождения. Что же получается? Неважно, как усердно вы стараетесь, но на нем всегда будут складки и загибы, которые будут торчать в разные стороны; бумага никогда не будет лежать ровно на поверхности арбуза. (Чтобы бумага повторила форму арбуза, вам необходимо взять ножницы и разрезать ее на части, но даже в этом случае вам скорее всего, придется время от времени приглаживать складки.) В действительности невозможно сложить такую ровную поверхность, как лист бумаги, в форму шара, не разрезая и не сгибая его.

Обратное действие будет таким же трудным. Очистите грейпфрут так, чтобы у вас остался один кусок в форме шара, и попытайтесь его разгладить. Шкурка неизбежно порвется. Вы не сможете ее полностью разгладить, если не порежете или не порвете ее. Но почему превращение плоской поверхности в круглую или круглой в плоскую такое трудное? Что мешает плоской и круглой поверхностям спокойно преобразовываться одна в другую?

Ответ скрывается в куске пиццы и в работах Карла Фридриха Гаусса, немецкого математика, который родился в 1777 году и умер в 1855 году. (Гаусс занимает особое место в истории математики. Его считают одним из величайших математиков со времен Древней Греции и обычно называют Принцем Математики. Не забывайте, что он был учителем Августа Фердинанда Мебиуса – см. главу 1.7.) Гаусс доказал теорему об искривлении поверхности, которая известна как theorem egregium (от лат. – «выдающаяся теорема»).

Чтобы понять теорему Гаусса, представьте человека, которого уменьшили до одного дюйма и поместили на поверхность цилиндра. Если человек начинает идти, он может найти множество маршрутов, которым он может следовать. Например, он может пройти вдоль верхушки цилиндра по прямой линии. Или он может пройти вдоль изогнутой части цилиндра по кругу, пока не вернется в отправную точку. (Нам придется представить, что этот человек надел уж очень липкие ботинки.) Он также мог бы идти по спирали, кружась вокруг цилиндра и одновременно продвигаясь вдоль его длины. Теорема Гаусса гласит, что можно измерить кривизну этого цилиндра, используя все эти маршруты, их нужно умножить друг на друга, и получится значение. Плоская поверхность имеет нулевую кривизну – в конце концов, она плоская, – а криволинейная траектория имеет положительную кривизну. (Вогнутая кривая – которая выгнута внутрь – будет иметь отрицательную кривизну.) Когда вы умножаете кривизны, то в итоге умножаете положительное значение на ноль, в результате чего получается ноль (так как любое число, умноженное на ноль, дает ноль). Получается, что цилиндр имеет нулевую гауссовскую кривизну.

В теореме Гаусса также говорится о поверхности фигуры. Утверждается, что вы можете сгибать и растягивать поверхность и она будет иметь ту же гауссовскую кривизну, что и изначально, до тех пор, пока вы не нарушите ее целостность. Поэтому неважно, как сильно вы будете мять или деформировать цилиндр, гауссовская кривизна от этого не изменится.

Это приводит нас к пицце. Если вы когда-нибудь пытались держать большой кусок пиццы ровно в руке, особенно если на этом куске много расплавленного сыра и пеперони, то вы знаете, что конец пиццы всегда падает и вам становится трудно его есть. С другой стороны, если вы сложите кусок продольно, то конец вовсе не падает, а смотрит прямо, а начинка остается там, где ей и место. В чем же дело? Итак, если вы посчитаете кривизну не согнутого куска пиццы, то получите ноль. (Любые возможные траектории, по которым может пройти однодюймовый человек на поверхности куска являются плоскими.) А это значит, что вы можете сколько угодно двигать или сгибать этот кусок, но его кривизна будет все равно равна нулю.

А теперь посмотрите на кусок пиццы, конец которого смотрит вниз. Траектория от корочки до конца будет изогнутой, а траектория от одной стороны до другой – прямой. Теперь если мы сложим кусок, то траектория от одной стороны до другой будет кривой, а от корочки до конца – прямой.

Что же все это значит? Неважно, как согнут кусок, одна возможная траектория должна быть прямой (так как плоская кривая имеет нулевую гауссовскую кривизну, и нам нужен ноль в расчетах, чтобы получить в результате ноль). Если траектория между сторонами плоская, то траектория от начала до конца будет кривой. Если траектория от начала до конца плоская, то траектория между сторонами будет кривой.

Вернемся к изначальной задаче: мы не можем аккуратно обернуть арбуз бумагой или разровнять кожуру от грейпфрута потому, что плоские и круглые объекты имеют разную гауссовскую кривизну. Так что в следующий раз, когда будете заказывать пиццу, подумайте о гауссовской кривизне и смело сгибайте ваши куски пиццы.

Карл Гаусс

Карл Гаусс был вундеркиндом. Однажды в школе его попросили сложить все числа от 1 до 100. Сообщается, что он нашел решение за считанные секунды. Он предложил разбить сумму на 50 пар чисел – 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 и т. д., сумма каждой такой пары составляла 101. Поэтому результат составлял 101 × 50, или 5050.

1.23. Геодезические купола

Вы когда-нибудь были в тематическом парке Epcot и стояли под гигантской сферой под названием «Космический корабль “Земля”»? Если да, то вы знакомы со структурой геодезического купола. Геодезические купола состоят из треугольных деталей, расположенных рядом друг с другом так, что вершина одной из них находится рядом с основанием другой. Таким образом, вместо гладкой сферы или купола мы получаем слегка угловатый геодезический купол (напоминающий диско-шар).

Геодезические сферы и купола (разрезанные напополам сферы) чрезвычайно легкие и прочные, они стали популярными в середине 1900-х благодаря Бакминстеру Фуллеру, инженеру, который хотел с помощью изобретений решить человеческие проблемы. Создание структуры из треугольных деталей дает более стабильную конструкцию, нежели из квадратных. Фуллер представлял геодезические купола как эффективное, доступное жилье. Экономия возникала бы из формы: сферы покрывают определенное пространство минимальной площадью поверхности, тем самым в теории снижая затраты на строительные материалы. Открытое внутреннее пространство также позволяет воздуху легко перемещаться, тем самым потенциально сокращая затраты на обогрев и кондиционирование помещения. На самом деле, геодезические купола – это воплощение сентенции Фуллера «делать больше с меньшими затратами».

Вы также можете думать о геодезических куполах как о платоновых телах (см. главу 1.20). Как и эти красивые фигуры, геодезические купола созданы из одного вида многоугольников – треугольников, – только в геодезических куполах эти треугольники как бы выталкиваются так, что они становятся ближе к линии воображаемой сферы, обволакивающей купол. И, как и в случае с платоновыми телами, геодезические купола демонстрируют мощь и величие геометрии.

Если вы хотите своими глазами увидеть геодезический купол, вам не обязательно ехать в Disney World. Его можно увидеть и в ботаническом саду Миссури в Сент-Луисе, если посетите Климатрон, купол высотой 70 футов и 175 футов в диаметре, он построен из алюминиевых жердей и панелей из оргстекла.

Почему так мало домов в форме купола? Возможно, из-за того, что в куполах меньше пространства, которое реально можно использовать, чем в обычных домах.

Бакминстер Фуллер

Бакминстер Фуллер опережал свое время. Фуллер известен своими инновационными изобретениями, такими, как автомобиль «Димаксион» с тремя колесами, он также посвятил себя помощи человечеству, пытаясь найти способы «делать больше с меньшими затратами». Он также внес свой вклад в развитие языка и придумал такие термины, как «космический корабль Земля» и «синергетический».