Текст книги "Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной"

Чтобы получить простую параболу, Галилею нужно было предположить, что боковое движение не замедляется, а продолжается вечно. Это был пример его закона инерции, который гласит, что движущееся тело остается в движении с той же скоростью и в том же направлении, если на него не действуют внешние силы. Для реального брошенного тела сопротивление воздуха будет такой внешней силой. Но, по мнению Галилея, в качестве приближения лучше проигнорировать это, чтобы охватить львиную долю истины и красоты в том, как двигаются предметы.

От качающейся люстры к системе глобального позиционирования

Согласно легенде, Галилей сделал свое первое научное открытие, еще будучи студентом-медиком. Однажды во время церковной службы в Пизанском соборе он заметил, что висевшая над головами люстра раскачивается подобно маятнику[120]120
  Fermi and Bernardini, Galileo and the Scientific Revolution, 17–20, и Kline, Mathematics in Western Culture, 182.


[Закрыть]. Ее двигали потоки воздуха, и Галилей подметил, что для одного колебания всегда требуется одно и то же время – независимо от того, сильное оно или слабое. Это удивило его. Как могут большие и маленькие колебания занимать одинаковое время? Но чем больше он над этим думал, тем логичнее казался ответ. Да, при большом отклонении люстра проходила большее расстояние, но и двигалась она быстрее. Возможно, эти два эффекта уравновешиваются? Чтобы проверить эту догадку, Галилей измерил время колебания с помощью собственного пульса. И действительно, каждое колебание длилось одинаковое количество его ударов.

Эта легенда чудесна, и мне хочется в нее верить, однако многие историки сомневаются в ее истинности. Она дошла до нас от первого и самого преданного биографа Галилея – Винченцо Вивиани. Этот молодой человек был помощником и учеником Галилея в конце жизни ученого, когда тот ослеп и жил под домашним арестом. Разумеется, испытывая вполне понятное почтение к своему старому учителю, Вивиани приукрасил пару историй, когда писал биографию ученого после его смерти.

Но даже если история недостоверна (но, может, и нет!), мы точно знаем, что Галилей проводил опыты с маятниками еще в 1602 году и писал о них в книге «Две новые науки». В этой книге, построенной как сократовский диалог, один из персонажей говорит так, словно был тогда в соборе с тем мечтательным юным студентом: «Тысячи раз наблюдал я колебания, в особенности церковных паникадил, подвешенных часто на очень длинных цепях и почему-либо совершающих незначительные движения»[121]121
  Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки. День первый. Перевод С. Н. Долгова. Прим. пер.


[Закрыть],[122]122
  Galileo, Discourses, 140, http://oll.libertyfund.org/titles/753#Galileo_0416_338.


[Закрыть]. В остальной части диалога разъясняется, что маятнику требуется одно и то же время, чтобы пройти дугу любого размера. Итак, мы знаем, что Галилей был хорошо знаком с явлением, описанным в рассказе Вивиани; остается только догадываться, действительно ли именно он открыл его в молодости.

В любом случае утверждение Галилея, что колебания маятника занимают одно и то же время, не совсем верно; для больших размахов потребуется чуть больше времени. Но если дуга достаточно мала, скажем меньше 20 градусов, то это практически точно. Такая неизменность маятника при небольших колебаниях называется изохронностью, от др.-греч. ίσος (изос) «равный» и χρόνος (хронос) «время». Это свойство создает теоретическую основу для метрономов и маятниковых часов, от обычных напольных до башенных часов в лондонском Биг-Бене. Галилей сам конструировал первые маятниковые часы в мире в последний год своей жизни, но умер, так и не успев их доделать. Первые работающие маятниковые часы появились пятнадцать лет спустя – их изобрел голландский математик и физик Христиан Гюйгенс.

Галилея особенно интриговал (и разочаровывал) открытый им любопытный факт – элегантное отношение между длиной маятника и его периодом (временем, которое потребуется маятнику, чтобы качнуться в обе стороны). Как объяснял ученый, «если мы пожелаем, чтобы один маятник качался в два раза медленнее, чем другой, то необходимо длину его сделать в четыре раза большею»[123]123
  Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки. День первый. Перевод С. Н. Долгова. Прим. пер.


[Закрыть]. Говоря языком отношений, он сформулировал общее правило: для тел, подвешенных на нитях разной длины, длины относятся друг к другу как квадраты периодов колебания[124]124
  Galileo, Discourses, 139. http://oll.libertyfund.org/titles/753#Galileo_0416_335.


[Закрыть]. К сожалению, Галилею так и не удалось доказать это математически. Это была эмпирическая закономерность, которая нуждалась в теоретическом объяснении. Ученый годами работал над этой проблемой, но так и не смог с нею справиться. С точки зрения современной науки он и не мог этого сделать. Объяснение требовало новой математики, которой не владели ни он, ни его современники. Пришлось ждать Исаака Ньютона и его открытия языка, на котором говорит Бог, – языка дифференциальных уравнений.

Галилей признавал, что изучение маятников многим может показаться крайне скучным[125]125
  Galileo, Discourses, 138, http://oll.libertyfund.org/titles/753#Galileo_0416_329.


[Закрыть], хотя более поздние работы показали, что это совсем не так. В математике загадки маятника стимулировали развитие анализа. В физике и технике маятники стали образцами колебаний. Подобно строке Уильяма Блейка, где мир виден в песчинке[126]126
  Отсылка к четверостишию Блейка из «Песен невинности» (1789):
Чтоб увидеть весь мир в песчаном зерне,Небеса в полевом цветке,Уместите вечность в одном лишь дне,Бесконечность – в одной руке.  Перевод Е. В. Поникарова. Прим. пер.


[Закрыть], физики и инженеры смогли увидеть мир в колебании маятника. Везде, где возникают колебания, применяется одна и та же математика. Доставляющие беспокойство движения пешеходного мостика, подпрыгивание автомобиля на амортизаторах, грохот стиральной машины с неравномерной загрузкой, трепетание жалюзи на ветерке, шевеления земли при повторных толчках после землетрясения, гудение флуоресцентных ламп, работающих с частотой шестьдесят герц, – в каждой области науки и техники сегодня найдется свой вариант таких ритмических движений, свой вариант колебаний. Маятник – это их дедушка. Его схема универсальна. Так что скучный – неподходящее слово.

Иногда взаимосвязи между маятниками и другими явлениями настолько точны, что уравнения можно даже не менять. Достаточно по-другому истолковать символы, а синтаксис оставить тем же. Как будто природа раз за разом возвращается к одному и тому же мотиву – регулярному повтору темы маятника. Например, уравнения для колебания маятника без изменений можно перенести на работу генераторов, вырабатывающих переменный ток и отправляющих его в наши дома и офисы. Благодаря такой родословной электрики называют свои уравнения уравнениями колебаний.

Те же уравнения возникают в квантовых осцилляциях высокотехнологического устройства, которое в миллиарды раз быстрее и миллионы раз меньше, чем любой генератор или напольные часы. В 1962 году Брайан Джозефсон, тогда 22-летний аспирант Кембриджского университета, предсказал, что при температурах, близких к абсолютному нулю, электроны могут проходить туда и обратно через непроницаемый барьер из диэлектрика между двумя сверхпроводниками, что казалось абсолютным нонсенсом согласно классической физике. Тем не менее анализ и квантовая механика вызвали к жизни эти маятникообразные колебания, или, если выражаться менее мистически, открыли возможность их появления. Через два года после предсказания Джозефсона в лаборатории были созданы условия, необходимые для их возникновения, и они действительно были обнаружены. У устройств, использующих джозефсоновский переход[127]127
  Strogatz, Sync, глава 5, и Richard Newrock, What Are Josephson Junctions? How Do They Work? Scientific American, https://www.scientificamerican.com/article/what-are-josephson-juncti/.


[Закрыть], масса областей практического применения. Они способны обнаруживать сверхслабые магнитные поля, в сто миллиардов раз слабее поля нашей планеты, что помогает геофизикам находить нефть глубоко под землей. Нейрохирурги используют джозефсоновские переходы, чтобы точно определять места опухолей головного мозга и обнаруживать у пациентов с эпилепсией поражения, вызывающие судороги. В отличие от эксплоративных операций[128]128
  Эксплоративная операция (от лат exploratio – «исследование»), также диагностическая операция – операция для уточнения диагноза (например, с помощью биопсии). Прим. пер.


[Закрыть], такие процедуры полностью неинвазивны[129]129
  Инвазивный (от лат invadere – «проникать внутрь») – основанный на введении инструментов через кожу пациента. При неинвазивных процедурах проникновения через кожу, наоборот, нет. Прим. пер.


[Закрыть]. Они работают посредством отображения мельчайших изменений магнитного поля, которое создается аномальными электрическими путями в мозге. Джозефсоновские переходы могут также обеспечить основу для крайне быстрых микросхем в следующем поколении компьютеров и даже сыграть определенную роль в квантовых вычислениях, которые произведут революцию в компьютерной науке, если это когда-нибудь произойдет.

Маятники также предоставили человечеству первый способ для точного отсчета времени. До появления маятниковых часов даже самые лучшие часы производили жалкое впечатление. Даже в идеальных условиях за день они отставали или уходили вперед на 15 минут. Маятниковые часы можно было сделать в сотни раз точнее. Они впервые давали реальную надежду на решение величайшей технологической задачи эпохи Галилея: найти способ определения долготы[130]130
  Sobel, Longitude.


[Закрыть] в морских путешествиях. В отличие от широты, которую можно установить, просто глядя на Солнце и звезды, долгота не имеет аналога в физической среде – это искусственная конструкция. Но проблема ее измерения была весьма реальной. В эпоху мировых открытий моряки отправлялись в океаны, чтобы воевать или вести торговлю, но часто сбивались с пути или садились на мель, потому что не знали своего местонахождения. Правительства Португалии, Испании, Англии и Голландии предлагали огромные деньги любому, кто решит проблему долготы. Это была задача первостепенной важности.

Когда Галилей в последний год жизни пытался сконструировать маятниковые часы, он имел в виду именно задачу определения долготы. Ученые уже с 1500-х годов знали, что проблему можно решить с помощью очень точных часов. Штурман мог установить часы в порту отправления и выйти в море с домашним временем. Чтобы определить долготу судна при его движении на восток или запад, штурман мог свериться с часами в точный момент местного полудня (когда солнце находится выше всего в небе). Поскольку Земля делает полный оборот (360 градусов) за 24 часа, каждый час расхождения между местным и домашним временем соответствует 15 градусам разницы в долготе. Однако в терминах расстояния 15 градусов на экваторе означает колоссальную тысячу миль. Следовательно, чтобы при такой схеме судно попадало в нужное место с допустимой ошибкой в несколько миль, точность хода часов должна была составлять несколько секунд в день. И эту точность требовалось поддерживать в бурном океане, при резких колебаниях давления воздуха и температуры, в условиях солености и влажности – факторах, способных привести к ржавлению механизма часов, растяжению пружин, загустеванию смазки, что могло ускорить, замедлить или даже остановить их ход

Галилей умер, так и не успев сконструировать часы, которые можно было бы использовать для определения долготы. Христиан Гюйгенс представил свои маятниковые часы Лондонскому королевскому обществу в качестве решения проблемы, однако их конструкцию сочли неудовлетворительной, поскольку часы были слишком чувствительны к изменениям в окружающей среде. Позднее Гюйгенс изобрел морской хронометр, в котором колебания регулировались спиральной пружиной, а не маятником – новаторский проект, проложивший дорогу карманным и современным наручным часам. В итоге проблема долготы была решена в середине 1700-х Джоном Харрисоном, английским часовщиком-самоучкой. При испытаниях в море в 1760-х годах его хронометр H4 смог измерить долготу с точностью до 10 миль, чего оказалось достаточно для получения награды в 20 тысяч фунтов стерлингов от британского парламента (эквивалентно нескольким миллионам современных долларов)[131]131
  Премия была установлена в 1714 году. Харрисон создал несколько хронометров H1, H2, H3, H4, постепенно улучшая конструкцию и получая от государства некоторые средства на работу. В 1773 году после вмешательства короля Георга III изобретатель (которому было уже 80 лет) наконец добился платы в сумме 8750 фунтов за свои достижения, однако формально официальной премии Харрисон не получал (объявленную награду так никому и не вручили). Впрочем, в течение многих лет работы часовщик получил от Комиссии долгот и парламента в сумме свыше 23 тысяч фунтов. Прим. пер.


[Закрыть].

В нашу эпоху проблема навигации по-прежнему опирается на точное измерение времени. Рассмотрим систему глобального позиционирования[132]132
  Thompson, Global Positioning System, и https://www.gps.gov.


[Закрыть]. Точно так же как механические часы были ключом к решению задачи определения долготы, атомные часы – это ключ к определению местоположения объектов на Земле с точностью до нескольких метров. Атомные часы – современная версия маятниковых часов Галилея. Они тоже следят за временем, отсчитывая колебания, только отслеживают не движения грузика, раскачивающегося вперед-назад, а подсчитывают колебания атомов при переходах между различными энергетическими состояниями, которых за одну секунду происходит 9 192 631 770. Хотя механизм и другой, принцип тот же. Повторяющиеся движения в противоположных направлениях можно использовать для определения времени.

В свою очередь, время может определить ваше местоположение. Когда вы используете GPS в своем телефоне или автомобиле, ваше устройство принимает беспроводные сигналы как минимум от четырех из двадцати четырех спутников системы глобального позиционирования, которые вращаются на орбите высотой около 20 тысяч километров. На каждом спутнике есть четверо атомных часов, синхронизированных между собой с точностью до миллиардной доли секунды. Различные спутники, которые видны вашему приемнику, направляют непрерывный поток сигналов, фиксируя время с точностью до наносекунды. Вот тут-то и нужны атомные часы. Их потрясающая временная точность преобразуется в не менее потрясающую пространственную точность, которую мы и привыкли ожидать от системы GPS.

Этот расчет опирается на триангуляцию – старый метод геопозиционирования, основанный на геометрии. В случае GPS он работает следующим образом: когда сигналы с четырех спутников поступают на приемник, ваше GPS-устройство сравнивает время их получения со временем их отправления и получает четыре разности, которые чуть-чуть отличаются, потому что спутники находятся от вас на разных расстояниях. Ваше устройство умножает эти разности на скорость света и получает расстояние до спутников. Поскольку положения спутников известны и точно контролируются, ваш GPS-приемник может провести триангуляцию и определить, в какой точке на поверхности он располагается. Он может также определить высоту над уровнем моря и скорость. По сути, GPS преобразует очень точные измерения времени в очень точные измерения расстояния и тем самым – в очень точные измерения местоположения и движения.

Система глобального позиционирования была разработана армией США во время холодной войны. Первоначальная цель состояла в отслеживании положения американских подводных лодок с ядерным оружием и обеспечении оценок их текущего положения, чтобы в случае необходимости нанесения ядерного удара они могли сверхточно нацеливать свои межконтинентальные баллистические ракеты. Мирные приложения GPS включают точные модели сельского хозяйства, слепую посадку самолетов в сильном тумане и системы службы 911, автоматически рассчитывающие оптимальные маршруты для автомобилей скорой помощи и пожарных.

Однако GPS – это больше чем система местоположения и направления. Она позволяет синхронизировать время с точностью до сотни наносекунд, а это важно для координации банковских переводов и иных финансовых транзакций. Она также поддерживает синхронизацию мобильных телефонов и в сетях передачи данных, что позволяет более эффективно делить частоты в электромагнитном спектре.

Я подробно рассказываю об этом потому, что GPS – яркий пример скрытой полезности анализа. Как это часто случается, анализ работает за кулисами повседневной жизни. В случае GPS почти все аспекты системы зависят от анализа. Подумайте о беспроводной связи между спутниками и приемниками; анализ предсказал электромагнитные волны, которые после упомянутой ранее работы Максвелла сделали возможной беспроводную связь. Без анализа не было бы ни ее, ни GPS. Аналогично атомные часы в спутниках системы GPS используют квантово-механические колебания атомов цезия; анализ лежит в основе уравнений квантовой механики и способов их решения. Без анализа не было бы атомных часов. Я мог бы продолжать: анализ лежит в основе математических методов расчета траекторий спутников и управления их движением, а также учета эйнштейновских релятивистских поправок при измерении времени, поскольку они двигаются с большой скоростью в сильном гравитационном поле, – но я надеюсь, что суть ясна. Анализ позволил создать многое из того, что привело к появлению глобальной системы позиционирования. Естественно, анализ не делал это в одиночку. Он был второстепенным, но в то же время очень важным игроком. Он входил в команду наряду с электротехникой, квантовой физикой, авиакосмической промышленностью и другими партнерами.

Давайте вернемся к молодому Галилею, сидящему в Пизанском соборе и размышляющему о колебаниях люстры. Теперь мы видим, что его мысли о маятниках и равном периоде колебаний оказали огромное влияние на ход развития цивилизации, причем не только в его, но и в нашу эпоху.

Кеплер и загадка движения планет

То, что Галилео Галилей делал для движения объектов на Земле, Иоганн Кеплер[133]133
  О жизни и трудах Кеплера смотрите Owen Gingerich, Johannes Kepler, в Gillispie, Complete Dictionary, vol. 7, в интернете по адресу https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/astronomy-biographies/johannes-kepler#kjen14, с дополнениями, сделанными J. R. Voelkel в томе 22. Смотрите также Kline, Mathematics in Western Culture, 110–25; Edwards, The Historical Development, 99–103; Asimov, Asimov’s Biographical Encyclopedia, 96–99; Simmons, Calculus Gems, 69–83; и Burton, History of Mathematics, 355–60.


[Закрыть] делал для движения планет в небесах. Он разгадал старую задачу перемещения планет и исполнил мечту пифагорейцев, показав, что Солнечной системой управляет своеобразная небесная гармония. Подобно Пифагору с его струнами и Галилею с его маятниками и летающими телами, Кеплер открыл, что движение планет подчиняется математическим закономерностям. И, подобно Галилею, был очарован ими, хотя и огорчен, что не может их объяснить.

Как и Галилей, Кеплер родился в неблагополучной семье, но ситуация у него была значительно хуже: отец был наемным солдатом «с криминальными наклонностями»[134]134
  Цитируется по: Gingerich, Johannes Kepler, https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/astronomy-biographies/johannes-kepler#kjen14.


[Закрыть], как позднее вспоминал ученый, а мать (что вполне объяснимо) была «раздражительной»[135]135
  Цитируется по: Gingerich, Johannes Kepler, https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/astronomy-biographies/johannes-kepler#kjen14.


[Закрыть]. Вдобавок ко всему в детстве Кеплер заразился оспой и едва не умер, получив необратимые повреждения рук и зрения, из-за чего не мог бы во взрослом возрасте заниматься физическим трудом.

К счастью, он был умен. Будучи подростком, Иоганн изучал математику и коперниканскую астрономию в Тюбингене, где его признали обладателем «такого превосходного и величественного ума, что от него можно ожидать чего-то особенного»[136]136
  Цитируется по: Gingerich, Johannes Kepler, https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/astronomy-biographies/johannes-kepler#kjen14.


[Закрыть]. После получения степени магистра в 1591 году Кеплер изучал теологию в Тюбингене и планировал стать протестантским священником. Однако когда в протестантской школе в Граце умер преподаватель математики, церковные власти выбрали на это место Кеплера, хотя будущий ученый и неохотно отказался от духовной карьеры. Сегодня все, кто изучает физику и астрономию, знают о трех законах движения планет Кеплера. Однако часто упускается из виду история его мучительной, почти фанатичной борьбы за их открытие. Он десятилетиями кропотливо искал закономерности, движимый мистицизмом и верой, что в ночных положениях Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна должен быть некий божественный порядок.

Через год после приезда в Грац Кеплер решил, что ему открылась тайна космоса. Во время урока к нему внезапно пришло видение, как должны располагаться планеты вокруг Солнца. Идея заключалась в том, что планеты переносятся небесными сферами, вложенными друг в друга подобно матрешкам, а расстояния между ними определяются пятью платоновыми телами: куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Платон знал, а Евклид доказал, что других правильных многогранников не существует. Кеплеру их уникальность и симметрия казались вполне пригодными для вечности.

Он лихорадочно производил расчеты. «День и ночь я был поглощен вычислениями, чтобы увидеть, согласуется ли эта идея с орбитами Коперника, или мою радость развеет ветер. За несколько дней все заработало, и я наблюдал, как одно тело за другим точно занимало свое место между планетами»[137]137
  Цитируется по: Gingerich, Johannes Kepler, https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/astronomy-biographies/johannes-kepler#kjen14.


[Закрыть].

Он описал октаэдр вокруг сферы Меркурия, а через его вершины провел сферу Венеры, вокруг которой затем описал икосаэдр, а через его вершины прошла сфера Земли, и так он поступил со всеми планетами, сцепляя сферы и платоновы тела подобно трехмерной головоломке. Он изобразил получившуюся систему в разрезе на рисунке в своей книге «Тайна мироздания», вышедшей в 1596 году.

Его прозрение многое объясняло. Поскольку было всего пять платоновых тел и только шесть планет (включая Землю), это означало пять промежутков между ними. Все имело смысл. Геометрия управляла космосом. Он хотел стать теологом и теперь мог с удовлетворением написать одному из наставников: «Смотрите, как Бог прославляется моими усилиями в астрономии»[138]138
  Цитируется по: Gingerich, Johannes Kepler, https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/astronomy-biographies/johannes-kepler#kjen14.


[Закрыть].

На самом деле эта теория не совсем соответствовала имеющимся фактам, особенно в отношении положения Меркурия и Юпитера. Это несоответствие означало, что что-то было не так, но что? Неверна теория, данные или и то и другое? Астроном подозревал, что неверными могут быть данные, но не настаивал на правильности своих теоретических построений (что было мудро, как мы теперь знаем, поскольку теория Кеплера не имела шансов на успех, ведь планет больше шести).

Тем не менее он не сдавался и продолжал размышлять о планетах, а вскоре добился успеха, когда Тихо Браге пригласил его в помощники. Тихо (как его всегда именовали историки) был лучшим астрономом-наблюдателем в мире. Его данные были на порядок точнее всех полученных ранее. Еще до появления телескопов он создал специальные инструменты, которые позволяли ему невооруженным глазом разрешать угловые положения планет с точностью до двух угловых минут, то есть до тридцатой доли градуса.

Чтобы понять, насколько мал этот угол, представьте себе полную Луну в ясную ночь и вытяните перед лицом мизинец. Его ширина – около 60 угловых минут, а Луна – примерно вдвое меньше. Поэтому, когда мы говорим, что Тихо Браге использовал разрешение в две минуты дуги, это означает, что если вы по всей ширине мизинца на равных расстояниях нарисуете 30 точек (или 15 точек поперек Луны), то Тихо сможет отличить эти точки между собой.

После смерти Тихо Браге в 1601 году Кеплер унаследовал его данные о Марсе и других планетах. Чтобы объяснять их движение, он пробовал одну теорию за другой, заставляя планеты двигаться то по эпициклам, то по яйцевидным кривым, то по кругам, где Солнце находилось не в центре. Но все эти модели давали расхождение с данными Тихо, что нельзя было игнорировать. «Дорогой читатель, – сокрушался Кеплер после одного такого вычисления, – если ты устал от столь утомительной процедуры, пожалей меня, ибо я проделал ее как минимум 70 раз»[139]139
  Кеплер в Astronomia Nova, цитируется по Owen Gingerich, The Book Nobody Read: Chasing the Revolutions of Nicolaus Copernicus (New York: Penguin, 2005), 48.


[Закрыть].

Первый закон Кеплера: эллиптические орбиты

В поисках объяснения движения планет Кеплер в конце концов попробовал хорошо известную кривую – эллипс. Как и парабола, эллипс изучался учеными античности. Из главы 2 мы узнали, что древнегреческие геометры определяли эллипс как овалоподобную кривую, образованную при сечении конуса наклонной плоскостью, угол наклона которой меньше, чем у образующей конуса[140]140
  Образующая конуса – прямая, соединяющая вершину с границей основания конуса. Все образующие конуса в совокупности дают боковую поверхность конуса. Прим. пер.


[Закрыть]. Если плоскость почти горизонтальна, то эллипс в сечении будет почти кругом; если же плоскость почти параллельна образующей, то эллипс будет сильно вытянутым и похожим на сигару. Если вы начнете менять наклон плоскости, эллипс будет принимать вид от округлого до сильно сжатого.

Есть еще один простой способ начертить эллипс – с помощью нескольких обычных предметов.

Возьмите карандаш, пробковую доску, лист бумаги, две кнопки и кусок нитки. Положите бумагу на доску. Прикрепите кнопками к бумаге концы нитки так, чтобы она немного провисала. Затем натяните нить кончиком карандаша и начните рисовать кривую, удерживая при этом нить натянутой. Когда карандаш обойдет вокруг обеих кнопок и вернется в исходную точку, получившаяся кривая и будет эллипсом.

Особую роль тут играет положение кнопок. Кеплер назвал их фокусами (или фокальными точками) эллипса. Они настолько же важны для эллипса, как центр для окружности. Окружность определяется как множество точек, расстояние от которых до данной точки (центра) – постоянная величина. Аналогично эллипс – это множество точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) – постоянная величина. В нашей конструкции из нитки и двух кнопок эта постоянная сумма двух расстояний в точности равна длине натянутой нити.

Первое величайшее открытие Кеплера – и на этот раз он не ошибся и не нуждался в пересмотре своих идей – состояло в том, что все планеты двигаются по эллиптическим орбитам. Не окружность и не окружность в сочетании с круглыми эпициклами, как считали Аристотель, Птолемей, Коперник и даже Галилей. Нет. Эллипсы. Более того, он обнаружил, что Солнце находится в одном из фокусов эллиптической орбиты для всех планет.

Это было поразительно, именно на такую божественную подсказку Кеплер и надеялся. Планеты двигались в соответствии с геометрией. Пусть это и не геометрия пяти платоновых тел, как он предполагал изначально, но тем не менее его инстинктивные догадки были правильными. Геометрия действительно управляла небесами.

Второй закон Кеплера: равные площади за равное время

Кеплер обнаружил в имеющихся данных еще одну закономерность. Если первая касалась траектории планет, то эта – их скоростей. Сегодня она известна как второй закон Кеплера, который гласит: воображаемая линия, проведенная от Солнца к планете, заметает равные площади за равные промежутки времени, когда планета двигается по своей орбите.

Чтобы разъяснить смысл этого закона, предположим, что мы смотрим, где сегодня на своей эллиптической орбите находится Марс. Соедините эту точку с Солнцем прямой линией.

Теперь представьте эту линию как щетку дворника-стеклоочистителя, где Солнце находится в шарнире, а Марс – на кончике щетки (правда, стеклоочиститель двигается в обоих направлениях, а наш отрезок – всегда в одну сторону, причем очень-очень медленно). По мере перемещения Марса по своей орбите в последующие ночи наш отрезок-стеклоочиститель заметает внутри эллипса какую-то площадь. Если мы снова посмотрим на Марс через какое-то время (скажем, через три недели), то наш отрезок заметет фигуру, называемую сектором.

Кеплер обнаружил, что площадь «трехнедельного» сектора остается неизменной, где бы ни находился Марс на своей орбите. Если мы посмотрим на Марс в любых двух точках его орбиты, разделенных равными промежутками времени, то все получающиеся секторы всегда будут иметь одинаковые площади, независимо от их места нахождения на орбите.

Попросту говоря, второй закон утверждает, что планеты двигаются не с постоянной скоростью. Чем ближе они к Солнцу, тем быстрее перемещаются. Утверждение о заметании равных площадей за равные промежутки времени – способ сформулировать это точно.

Если время перехода из P₁ в P₂ равно времени перехода из P₃ в P₄, то получающиеся секторы имеют равные площади.

Как Кеплер измерил площадь эллиптического сектора, учитывая, что у него одна изогнутая сторона? Он поступил так же, как и Архимед – разрезал сектор на много тонких ломтиков и аппроксимировал их треугольниками. Затем вычислил их площадь (это просто, потому что у них прямые стороны) и сложил их, чтобы оценить площадь исходного сектора. По сути, он применил архимедову версию интегрального исчисления к реальным данным.

Третий закон Кеплера и священный экстаз

Законы, которые мы обсуждали до сих пор – каждая планета движется по эллипсу с фокусом в Солнце, а ее радиус заметает равные площади за равные промежутки времени, – относятся к каждой планете в отдельности. Кеплер открыл их оба в 1609 году. Но ему потребовалось еще десять лет, чтобы открыть третий, «коллективный» закон, связывающий всю Солнечную систему единой нумерологической закономерностью. Он стал результатом многих месяцев яростных вычислений и появился спустя двадцать лет после мучительного промаха с платоновыми телами. В своем предисловии к «Гармонии мира» (1619) Кеплер в экстатическом восторге писал, что наконец-то увидел план Бога: «Ныне, после того как 18 месяцев назад впервые забрезжил рассвет, после того как 3 месяца назад наступил ясный день и лишь несколько дней назад взошло яркое солнце чудеснейшего зрелища, ничто не может остановить меня. Я отдаюсь священному экстазу. Не боясь насмешек смертных, я исповедуюсь открыто»[141]141
  Цитируется по: Gingerich, Johannes Kepler, https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/astronomy-biographies/johannes-kepler#kjen14.


[Закрыть].

Числовой закономерностью, так очаровавшей Кеплера, стало открытие, что квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу ее среднего расстояния от Солнца. Иными словами, отношение T² / a³ одинаково для всех планет. Здесь T – это время оборота планеты вокруг Солнца (1 год для Земли, 1,9 года для Марса, 11,9 лет для Юпитера и так далее), а буквой a обозначено среднее расстояние планеты от Солнца. Его определить несколько сложнее, потому что реальное расстояние до планеты меняется в силу того, что орбита эллиптична: иногда она ближе к Солнцу, а иногда дальше. Чтобы учесть это, Кеплер определил a как среднее значение самого малого и самого большого расстояния.

Суть третьего закона проста: чем дальше планета от Солнца, тем медленнее она движется и тем больше время ее оборота. Однако интересно то, что период обращения не пропорционален просто расстоянию. Например, период обращения нашей ближайшей соседки Венеры равен 61,5 % от нашего года, но среднее расстояние от Солнца у нее – 72,3 % от земного, а не 61,5 %, как можно было бы наивно полагать. А все потому, что период в квадрате пропорционален расстоянию в кубе (а не в квадрате), поэтому зависимость между периодом и расстоянием сложнее, чем прямая пропорциональность.

Если T и a выразить в виде процентной доли от земного периода и земного расстояния, как мы сделали выше, то третий закон Кеплера упрощается до формулы: T² = a³. Прямой пропорциональности нет. Чтобы посмотреть, насколько хорошо он работает, подставим параметры Венеры: T² = (0,615)² ≈ 0,378, в то время как a³ = (0,723)³ ≈ 0,378. Точность – три значащие цифры. Вот почему Кеплер был так взволнован. Не менее впечатляющи результаты и для остальных планет.

Кеплер и Галилей, сходство и различия

Кеплер и Галилей никогда не встречались, но они переписывались, обсуждали свои коперниканские взгляды и открытия, сделанные в астрономии. Когда некоторые люди отказывались смотреть в телескоп Галилея, опасаясь, что это инструмент дьявола, ученый написал Кеплеру: «Мой дорогой Кеплер, хотел бы я, чтобы мы посмеялись над необычайной глупостью толпы. Что бы вы сказали о выдающихся философах этого университета, которые со ослиным упорством, несмотря на мои тысячекратные приглашения, отказывались смотреть на планеты или на Луну в мой телескоп?»[142]142
  Цитируется по: Martínez, Science Secrets, 34.


[Закрыть]

В чем-то Кеплер и Галилей были похожи. Оба интересовались движением. Оба работали в области интегрального исчисления: Кеплер – над объемами криволинейных тел (например, винных бочек), Галилей – над центрами тяжести параболоидов. При этом они следовали духу Архимеда, разрезая в уме твердые тела на множество тоненьких слоев, похожих на ломтики салями.

Но в остальном они дополняли друг друга. Особенно это проявлялось в научных открытиях: Галилей занимался законами движения на Земле, а Кеплер – в Солнечной системе. Однако взаимодополняемость проникает еще глубже, вплоть до научного стиля и склонностей. Галилей был рациональным человеком, Кеплер – мистиком.

Галилей был интеллектуальным потомком Архимеда, очарованным механикой. В своей первой публикации он правдоподобно изложил легенду «Эврика!», показав, как Архимед с помощью ванны и весов смог определить, что корона правителя Гиерона сделана не из чистого золота, и вычислить точное количество серебра, которое подмешал в нее вороватый ювелир. Галилей продолжал развивать работы Архимеда на протяжении всей жизни, часто расширяя его механику – от равновесия к движению.