Текст книги "Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной"

Глава 4. Зарождение дифференциального исчисления

С современной точки зрения у анализа есть две стороны. Дифференциальное исчисление разбивает сложные задачи на бесконечное число более простых частей, а интегральное исчисление складывает их обратно, чтобы решить исходную задачу.

Если учесть, что разбиение естественным образом идет до обратного воссоздания, то новичкам кажется разумнее начинать с дифференциального исчисления. И действительно, именно так сегодня начинаются все курсы анализа. Они начинаются с производных – относительно простых методов нарезания и измельчения, а затем уже переходят к интегралам – гораздо более сложным методам сборки частей в единое целое. Студенты считают такой порядок изучения анализа более удобным, потому что сначала идет более легкий материал. Преподавателям он нравится, потому что при этом предмет кажется более логичным.

Но, как ни странно, история разворачивалась в обратном порядке. В работах Архимеда примерно в 250 году до нашей эры интегралы уже использовались фактически вовсю, в то время как производных никто не видел до 1600-х. Почему дифференциальное исчисление – более простая сторона предмета – появилось настолько позже интегрального? Причина в том, что оно выросло из алгебры, а алгебре потребовались столетия, чтобы вызреть, мигрировать и видоизмениться. В своей исходной форме в Китае, Индии и исламском мире[144]144
  Katz, Ideas of Calculus; Katz, History of Mathematics, главы 6 и 7; и Burton, History of Mathematics, 238–85.


[Закрыть] алгебра была полностью вербальной. Неизвестные были словами, а не нынешними x и y. Уравнения – длинными предложениями, а задачи – целыми абзацами. Однако после того как около 1200 года алгебра появилась в Европе, она превратилась в искусство символов. Это сделало ее более абстрактной… и более мощной. Эта новая порода, символьная алгебра, затем соединилась с геометрией и породила еще более крепкий гибрид – аналитическую геометрию, которая, в свою очередь, породила целый зоопарк кривых, изучение которых и привело к дифференциальному исчислению. В данной главе мы рассмотрим, как это происходило.

Расцвет алгебры на Востоке

Упоминание Китая, Индии и исламского мира должно изменить впечатление, возможно, сложившееся к этому моменту, что создание анализа было делом европейцев. Хотя анализ действительно расцвел в Европе, его истоки лежат в другом месте. В частности, алгебра пришла из Азии и Ближнего Востока. Это слово происходит от арабского «аль-джебр», что означает «восполнение», или «восстановление». Подразумевается операция, применяемая при решении уравнений, когда число переносится из одной части в другую, меняя знак – становясь из отрицательного положительным («восстанавливаясь»)[145]145
  Название происходит от написанного в IX веке трактата Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» – «Краткая книга о восполнении и противопоставлении». Под восполнением (аль-джебр) подразумевался перенос отрицательных членов в противоположную часть уравнения, чтобы они стали положительными (с отрицательными числами математики тогда не работали), под противопоставлением (аль-мукабала) – приведение подобных членов. Прим. пер.


[Закрыть]. Точно так же и геометрия, как мы видели, зародилась в Египте; считается, что отец греческой геометрии Фалес изучал ее именно там. И великая теорема Пифагора придумана не Пифагором: она была известна вавилонянам как минимум за тысячу лет до него, как свидетельствуют глиняные таблички из Междуречья, датируемые примерно 1800 годом до нашей эры. Нужно также иметь в виду, что, говоря о Древней Греции, мы подразумеваем огромную территорию, которая простиралась далеко за пределы Афин и Спарты. Она доходила до Египта на юге, до Италии и Сицилии на западе, включала средиземноморский берег Малой Азии, Ближний Восток, части Центральной Азии, Пакистана и Индии. Сам Пифагор был родом с острова Самос, расположенного у западного побережья Малой Азии (современная Турция). Архимед жил в Сиракузах – городе на юго-восточном побережье Сицилии. Евклид работал в Александрии – крупном портовом и научном центре в устье Нила в Египте.

После того как римляне завоевали греков, а особенно после сожжения Александрийской библиотеки и падения Западной Римской империи центр математики снова переместился на Восток. Сочинения Архимеда и Евклида перевели на арабский – равно как и труды Птолемея, Аристотеля и Платона. Ученые и писцы Константинополя и Багдада сохранили старые знания и добавили собственные идеи.

Как алгебра расцветала, а геометрия увядала

За столетия до появления алгебры геометрия существенно замедлила свое развитие. После смерти Архимеда в 212 году до нашей эры казалось, что никто не сравнится с ним на этом поле. Ну, почти никто. Около 250 года нашей эры китайский геометр Лю Хуэй усовершенствовал метод Архимеда для вычисления числа π[146]146
  С помощью вписанного 3072-угольника он получил π ≈ 3,1416. Затем, усовершенствовав свой метод, получил такое же приближение с помощью всего лишь 192-угольника. Прим. пер.


[Закрыть]. Спустя два столетия Цзу Чунчжи использовал метод Ли Хуэя для многоугольника с 24 576 сторонами. Совершив по тем временам героические вычислительные подвиги, он сузил границы для π до восьми цифр:

3,1415926 < π < 3,1415927.

Следующий шаг потребовал еще пяти столетий и был сделан арабским мудрецом Абу Али аль-Хасаном ибн аль-Хайсамом[147]147
  Katz, Ideas of Calculus, и J. J. O’Connor and E. F. Robertson, Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Haytham.html.


[Закрыть], известным на Западе как Альхазен. Он родился в Басре (Ирак) примерно в 965 году и работал в Каире во время золотого века ислама[148]148
  Золотой век ислама – период расцвета Арабского халифата, примерно с середины VIII до середины XIII века. Прим. пер.


[Закрыть], занимаясь всем – от теологии и философии до астрономии и медицины. В своих работах по геометрии Ибн аль-Хайсам вычислял объемы тел, которые Архимед никогда не рассматривал. Но какими бы впечатляющими ни были эти достижения, они были редкими признаками жизни для геометрии, да и ушло на них двенадцать столетий.

В течение того же длительного периода в алгебре и арифметике наблюдался быстрый и существенный прогресс. Индийские математики изобрели понятие нуля и десятичную позиционную систему счисления. В Египте, Ираке, Персии и Китае появились алгебраические методы решения уравнений. Во многом это было обусловлено практическими задачами, связанными с законами о наследстве, налогообложением, торговлей, бухгалтерией, вычислением процентов и прочими вопросами, где требовались числа и уравнения. В те времена, когда алгебра использовала словесные формулировки, решения давались в виде рецептов, пошаговых путей к ответу, как это разъяснялось в знаменитой книге Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми (около 780–850), имя которого осталось в названии пошаговых процедур – алгоритмов. Со временем купцы и исследователи принесли эту вербальную форму алгебры и индо-арабские десятичные цифры в Европу, а арабские сочинения стали переводить на латынь.

В Европе изучение алгебры как самостоятельной символьной системы стало процветать в эпоху Возрождения и достигло пика примерно в 1500 году, когда она приняла современный вид – с буквами для обозначения цифр. Во Франции в 1591 году Франсуа Виет[149]149
  Katz, History of Mathematics, 369–75.


[Закрыть] обозначал неизвестные величины гласными буквами, например А и Е, а постоянные величины – согласными, такими как B и G. (Сегодняшние обозначения неизвестных x, y, z и постоянных a, b, c появились спустя полвека в работе Рене Декарта). Замена слов буквами и символами значительно упростила работу с уравнениями и поиск решений.

Не менее серьезный прогресс произошел в области арифметики, когда Симон Стевин в Голландии показал, как использовать десятичные дроби[150]150
  Katz, History of Mathematics, 375–78.


[Закрыть]. При этом он разрушил старое аристотелевское различие между числами (означавшими целое количество неделимых единиц) и величинами (непрерывными количествами, которые можно было делить до бесконечности). До Стевина индо-арабские цифры уже использовались для целых чисел, но числа меньше единицы выражались обыкновенными дробями[151]151
  Десятичные дроби изредка использовались и до Стевина, но широко распространились в Европе именно после его труда «Десятая» (De Thiende, 1585). Прим. пер.


[Закрыть]. В новом подходе Стевина даже единицу можно было разделить на части и записать с помощью десятичной записи, ставя цифры после десятичной запятой[152]152
  Десятичной запятой в те времена не было. Стевин указывал над каждой цифрой номер соответствующего разряда. Прим. пер.


[Закрыть]. Сегодня нам это кажется само собой разумеющимся, но тогда это была революционная идея, которая способствовала появлению анализа. Как только единица перестала быть священной и неделимой, все величины – целые, дробные иррациональные – слились в единое семейство чисел на равных основаниях. В результате анализ получил бесконечно точные действительные числа, необходимые для описания пространства, времени, движения и изменений.

Незадолго до того как геометрия скооперировалась с алгеброй, прозвучало последнее «ура!» в честь геометрических методов старой школы Архимеда. В начале XVII века Кеплер нашел объем криволинейных тел (типа винных бочек и бубликов), мысленно представляя их разрезанными на бесконечно тонкие диски, в то время как Галилей и его ученики Эванджелиста Торричелли и Бонавентура Кавальери[153]153
  Alexander, Infinitesimal, обсуждает их споры с иезуитами по поводу бесконечно малых, которые считались опасными не только с математических, но и с религиозных позиций.


[Закрыть] аналогичным образом вычисляли площади, объемы и положения центра тяжести различных форм – представляя их состоящими из бесконечных множеств линий и поверхностей. И хотя подход этих людей к бесконечности и бесконечно малым величинам был небрежным, а их методы не отличались строгостью, тем не менее они были мощными и интуитивно понятными. Они приводили к ответам гораздо быстрее и проще, чем метод исчерпывания, так что это казалось захватывающим достижением (хотя теперь мы знаем, что Архимед их опередил; та же идея содержалась в его «Методе», который в то время еще томился незамеченным в молитвеннике в монастыре).

В любом случае, хотя прогресс новых последователей Архимеда в то время выглядел многообещающе, такому продолжению старого подхода не суждено было добиться успеха. Там, где было действие, появилась алгебра символов. А вместе с ней наконец были посеяны семена ее самых мощных ответвлений – аналитической геометрии и дифференциального исчисления.

Встреча алгебры с геометрией

Первый прорыв произошел примерно в 1630 году, когда два французских математика (вскоре ставшие соперниками) Пьер де Ферма и Рене Декарт независимо друг от друга связали алгебру и геометрию. Их работа привела к новой области математики – аналитической геометрии, действие в которой развивалось на координатной плоскости – арене, где уравнения оживали и принимали различные формы.

Сегодня мы используем координатную плоскость для построения графиков зависимости между переменными. Например, рассмотрим зависимость количества калорий от моих порой позорных привычек в еде. Иногда я позволяю себе пару кусочков хлеба с корицей и изюмом на завтрак. На упаковке написано, что каждый ломтик содержит колоссальные 200 калорий[154]154
  На самом деле, когда дело касается продуктов, речь всегда идет о т. н. больших калориях, или килокалориях (то есть тысячах калорий). Прим. пер.


[Закрыть]. (Если бы я хотел есть более здоровую пищу, то мог бы довольствоваться зерновым хлебом, который покупает жена, в нем всего 130 калорий, но в нашем примере я предпочитаю хлеб с корицей и изюмом, потому что 200 – более удобное число с математической точки зрения, пусть и худшее в смысле калорийности, чем 130.)

Вот график числа калорий, которые я получаю вместе с одним, двумя или тремя ломтиками хлеба.

Поскольку в каждом кусочке 200 калорий, то в двух кусках их будет 400, а в трех – 600. Если нанести эти три точки на график, все они окажутся на прямой линии, то есть у нас получается линейная зависимость между числом съеденных кусков и количеством калорий. Если мы обозначим буквой x число кусков, а буквой y – число употребленных калорий, то линейную зависимость можно записать в виде y = 200x. Эту формулу можно использовать для любого количества хлеба. Например, полтора ломтика дадут 300 калорий, и соответствующая точка будет лежать на той же построенной прямой. Поэтому имеет смысл соединять все точки на таких графиках.

Я понимаю, что все это может показаться очевидным, но тем не менее хотел подчеркнуть, что в прошлом это было очевидно не всегда – ведь кто-то же должен был придумать изображать зависимость на такой абстрактной диаграмме. Это не всегда очевидно и сегодня, по крайней мере для детей при их первом знакомстве с подобными графиками.

Здесь есть определенный творческий подход. Прежде всего представление употребления пищи в виде картинки. Это требует гибкости ума. В калориях нет ничего графического. На графике нет реалистичного изображения изюминок и завитков корицы, вложенных в хлеб. Наш график – абстракция, но он дает возможность взаимодействовать различным областям математики: области чисел, таких как число калорий и ломтиков хлеба, области отношений вроде y = 200x и области форм, где есть две перпендикулярные оси, а точки лежат на прямой линии. Благодаря этому слиянию идей скромная диаграмма сочетает числа, зависимости и формы, позволяя объединять арифметику, алгебру и геометрию. Различные ветви математики столетиями работали по отдельности, а теперь слились воедино. (Вспомните, что древние греки ставили геометрию выше арифметики и алгебры и не позволяли им смешиваться, по крайней мере не часто.)

Еще одно слияние относится к горизонтальной и вертикальной осям. Их часто называют осью x и осью y – по переменным, которыми мы их обычно обозначаем. Эти оси – числовые прямые. Подумайте об этом термине: числовые прямые. Числа представлены в виде точек на какой-то прямой. Арифметика соединена с геометрией, причем еще до того, как мы наносим какие-то данные!

Древние греки просто бы истошно орали при таком нарушении протокола. Для них числа означали исключительно дискретные количества, например целые числа и дроби. Напротив, непрерывные количества, такие как длина какой-нибудь линии, считались величинами – принципиально другими сущностями, отличными от чисел. Таким образом, почти два тысячелетия от Архимеда до начала XVII века числа не рассматривались как эквивалент континуума точек на прямой. В этом смысле идея числовой прямой была радикальным нарушением. Сегодня мы даже не задумываемся об этом и ждем, что ученики начальной школы поймут, что числа могут быть наглядно представлены таким образом.

С точки зрения древних греков здесь имеется еще одно богохульство – график полностью пренебрегает сравнением подобного с подобным, скажем яблок с яблоками или калорий с калориями. Вместо этого он показывает ломтики хлеба на одной оси и калории на другой. Их нельзя сравнивать напрямую, и тем не менее мы, не моргнув глазом, делаем это с помощью графиков. Мы просто преобразуем калории и ломтики в числа, означающие действительные числа, бесконечные десятичные дроби, универсальную валюту современной математики. Греки проводили четкие различия между длинами, площадями и объемами, но для нас это просто действительные числа.

Уравнения как кривые

Безусловно, Ферма и Декарт никогда не использовали координатную плоскость для изучения таких осязаемых вещей, как хлеб с корицей и изюмом. Для них она была инструментом изучения чистой геометрии.

Работая независимо друг от друга, каждый из них заметил, что любое линейное уравнение (то есть уравнение, где переменные x и y появляются только в первой степени) дает прямую линию на координатной плоскости. Такая связь между линейными уравнениями и прямыми предполагала возможную связь между нелинейными уравнениями и кривыми. В линейное уравнение вроде y = 200x переменные x и y входят в первой степени, а не возводятся во вторую, третью и любую более высокую степень. Ферма и Декарт поняли, что в ту же игру можно играть с другими степенями и уравнениями. Они могли бы составить любое уравнение, какое пожелают, сделать с x и y все что угодно – возвести одну переменную в квадрат, а другую в куб, перемножить их, сложить, да все что заблагорассудится, – а затем интерпретировать результат как кривую. С определенным везением она может оказаться интересной, возможно, даже такой, которую никто никогда не представлял, а Архимед никогда не изучал. Любое уравнение с x и y становилось новым приключением. Одновременно изменялась точка зрения: вместо того чтобы смотреть на кривую, вы начинали с уравнения и смотрели, какого рода кривую оно дает. Пересадите геометрию на заднее сиденье и дайте управлять алгебре.

Ферма и Декарт начали с рассмотрения квадратных уравнений. В них, кроме констант (например, 200) или линейных членов x и x², должны быть переменные во второй степени, то есть квадратичные члены, такие как y, xy или y². Возведение в квадрат традиционно интерпретировалось как поиск площади, то есть x² означало площадь квадрата со стороной x. В древности площадь считалась величиной, принципиально отличной от длины или объема. Однако для Ферма и Декарта x² было всего лишь еще одним действительным числом; это означало, что его можно отобразить на числовой прямой – ровно так же, как x, x³ или любую иную степень x.

Сегодня предполагается, что даже школьники умеют строить графики уравнений наподобие y = x², и соответствующая кривая оказывается параболой. Примечательно, что все уравнения, содержащие квадратичные члены по x и y, но не включающие члены более высоких степеней, дают кривые только четырех возможных типов: параболы, эллипсы, гиперболы и окружности. Это все. (Если не считать некоторых вырожденных случаев, когда появляются прямые, точки или графика нет вообще, но эти редкие странности мы можем смело игнорировать.) Например, квадратное уравнение xy = 1 дает гиперболу, x² + y² = 4 – окружность, а x² + 2y² = 4 – эллипс. Даже такая страшная на вид зависимость, как x² + 2xy + 2y² + x + 3y = 2 должна быть одним из четырех вышеуказанных вариантов. Оказывается, это парабола.

Ферма и Декарт первыми обнаружили это замечательное соответствие: квадратные уравнения относительно x и y представляют собой алгебраические аналоги конических сечений греков – четырех видов кривых, получающихся при сечении конуса под различными углами. Здесь, на новой арене Ферма и Декарта, вновь, подобно призракам из тумана, вынырнули классические кривые.

Вместе лучше

Новообретенная связь между алгеброй и геометрией оказалась благом для обеих областей. Каждая могла помочь компенсировать недостатки другой. Геометрия обращалась к правому полушарию мозга. Она была интуитивно понятной и наглядной, а истинность утверждений часто была видна с первого взгляда. Однако она требовала определенной изобретательности. В случае геометрии нередко не было ни единого намека, с чего начинать доказательство. Для этого требовались гениальные идеи.

Алгебра же была систематической. С уравнениями можно было разбираться спокойно, почти бездумно: вы могли добавить по одинаковой величине к их обеим частям, сократить слагаемые, выразить относительно неизвестной величины и выполнить дюжину других процедур и алгоритмов по стандартным рецептам. Алгебраические процессы могут успокаивать, как вязание. Но при этом алгебра страдала от пустоты. Ее символы были пусты. Они ничего не означали, пока им не придавали какое-то значение. Нечего было представлять наглядно. Алгебра была левополушарной и механической.

Однако вместе алгебра и геометрия были неудержимы. Алгебра дала геометрии систему. Вместо изобретательности теперь требовалось упорство. Она превращала сложные вопросы, нуждающиеся в понимании, в простые, хотя и трудоемкие вычисления. Использование символов освободило разум и сэкономило время и энергию.

Со своей стороны, геометрия придала алгебре смысл. Уравнения перестали быть бесплодными; теперь они воплощали извилистые геометрические формы. Как только уравнения стали рассматривать с точки зрения геометрии, появился целый новый континент кривых и поверхностей. Пышные джунгли геометрической флоры и фауны ждали, когда их обнаружат, каталогизируют, классифицируют и анатомируют.

Ферма против Декарта

Любой изучающий математику и физику обязательно столкнется с именами Ферма и Декарта. Однако никто из моих учителей или учебников не рассказывал об их соперничестве и о том, насколько злобным мог быть Декарт. Чтобы понять, что стояло на кону в их сражениях, вам нужно больше узнать об их жизни и амбициозных целях.

Рене Декарт (1596–1650)[155]155
  О его жизни смотрите Clarke, Descartes; Simmons, Calculus Gems, 84–92; и Asimov, Asimov’s Biographical Encyclopedia, 106–8. Краткое изложение его математики и физики для широкой аудитории смотрите в книгах: Kline, Mathematics in Western Culture, 159–81; Edwards, The Historical Development; Katz, History of Mathematics, разделы 11.1 и 12.1; и Burton, History of Mathematics, раздел 8.2. Серьезный исторический анализ его трудов по математике и физике смотрите в работах: Michael S. Mahoney, Descartes: Mathematics and Physics, в Gillispie, Complete Dictionary, также онлайн в Encyclopedia Britannica, https://www.encyclopedia.com/science/dictionaries-thesauruses-pictures-and-press-releases/descartes-mathematics-and-physics.


[Закрыть] был одним из самых амбициозных мыслителей всех времен. Дерзкий, интеллектуально бесстрашный и презирающий авторитеты, с раздутым эго, не уступавшим по масштабам его гению. Например, о греческом подходе к геометрии, который почитали все математики в течение двух тысяч лет, он пренебрежительно писал: «То, чему нас учили древние, настолько скудно и по большей части настолько ненадежно, что единственный подход к истине, на который я могу надеяться, – отказаться от всех путей, которыми они следовали»[156]156
  René Descartes, Les Passions de l’Ame (1649), Цитируется по: Guicciardini, Isaac Newton, 31.


[Закрыть]. Что касается личных качеств, то он мог быть подозрительным и обидчивым. На самом известном его портрете изображен человек с изможденным лицом, надменными глазами и ехидными усиками. Очень похож на мультяшного злодея.

Декарт намеревался построить человеческое знание на фундаменте разума, науки и скептицизма. Больше всего он известен своими философскими работами, которые увековечила знаменитая фраза Cogito ergo sum («Мыслю, следовательно, существую»). Другими словами, когда все находится под сомнением, несомненно как минимум одно: сомневающийся ум существует. Его аналитический подход, который, похоже, был вдохновлен строгой логикой математики, сегодня принято рассматривать как начало современной философии. В своей самой знаменитой книге «Рассуждение о методе» Декарт ввел новый бодрящий стиль размышления о философских проблемах, а также включил три приложения, представляющие интерес сами по себе: одно посвящено геометрии, в нем он представил свой подход к аналитической геометрии; второе – оптике, что имело большую важность в эпоху, когда телескопы, микроскопы и линзы были новейшими технологиями; а третье – погоде, и о нем почти забыли, за исключением правильного объяснения природы радуги. Его обширного интеллекта хватало на все. Он рассматривал живое тело как систему механических устройств и помещал душу в эпифиз (шишковидное тело мозга). Он предложил грандиозную (но неверную) систему мира, согласно которой невидимые вихри пронизывали все пространство, а планеты носились, как листья в водовороте.

Декарт родился в состоятельной семье. В детстве он был болезненным ребенком, и ему разрешали оставаться в кровати и размышлять, сколько захочется, – привычка, которую он сохранил на всю жизнь, никогда не вставая до полудня. Мать умерла, когда ему исполнился всего год, но, к счастью, оставила ему значительное наследство, что позволило ему в дальнейшем вести праздную жизнь, полную приключений. Он нанялся в голландскую армию, но никогда не видел сражений[157]157
  После голландской армии в 1619 году Декарт поступил на баварскую службу и участвовал в Тридцатилетней войне – в частности, сражался в битве на Белой горе под Прагой в 1620 году. Вернувшись во Францию, он побывал на осаде Ла-Рошели. Повторно в Голландию на двадцать лет он уехал в 1628 году. Прим. пер.


[Закрыть], и у него было достаточно времени для занятий философией. В Голландии он провел большую часть жизни, развивая свои идеи, общаясь и споря с другими великими мыслителями. В 1650 году он с неохотой перебрался в Швецию (которую презирал как «страну медведей, скал и льдин»[158]158
  Henry Woodhead, Memoirs of Christina, Queen of Sweden (London: Hurst and Blackett, 1863), 285.


[Закрыть]), согласившись стать наставником шведской королевы Кристины. К несчастью для Декарта, энергичная молодая королева вставала рано и настояла, чтобы занятия начинались в пять часов утра – безумное время для кого угодно, а тем более для Декарта, привыкшего подниматься в полдень. Та зима в Стокгольме выдалась самой холодной за последние десятилетия. Через несколько недель Декарт подхватил пневмонию и умер.

Пьер де Ферма (1601–1665)[159]159
  Оптимальное рассмотрение можно найти в книге Mahoney, Mathematical Career. Живо и увлекательно о Ферма (словно автор был одним из участников описываемых событий) – Simmons, Calculus Gems, 96–105. Если вы не читали Симмонса, обязательно прочитайте.


[Закрыть] был на пять лет моложе Декарта и вел спокойную размеренную жизнь представителя верхушки среднего класса. Днем он был юристом и провинциальным судьей в Тулузе, расположенной вдали от парижской суеты, а ночью – мужем и отцом. Придя с работы, он ужинал с женой и пятью детьми, а затем на несколько часов отдавался своей единственной истинной страсти – математике. В то время как Декарт был крупным мыслителем с колоссальными амбициями, Ферма был скромным, тихим, уравновешенным и наивным. Его цели были куда скромнее, чем у Декарта. Он не считал себя философом или ученым. Ему хватало математики. Он занимался ею как любитель, вкладывая душу. Ферма не видел необходимости публиковать свои результаты и не занимался этим. Он делал для себя небольшие заметки в книгах, которые читал, – в классических греческих трудах Диофанта и Архимеда, и время от времени отправлял свои идеи тем ученым, которые, по его мнению, могли бы их оценить. Он никогда не уезжал далеко от Тулузы и не встречался с крупными математиками своего времени, но переписывался с ними через Марена Мерсенна – францисканского монаха, математика и координатора научной жизни того времени.

Именно через Мерсенна и сцепились Ферма с Декартом[160]160
  Mahoney, Mathematical Career, глава 4.


[Закрыть]. Среди математиков живший в Париже Мерсенн был непререкаемым авторитетом. Во времена, предшествовавшие интернету, он связывал людей, ведя обширнейшую переписку. Однако ему в какой-то степени не хватало такта и осмотрительности. У него был талант разжигать конфликты: например, Мерсенн показывал полученные им личные письма и раскрывал конфиденциальные рукописи до их публикации. Вокруг него сложился круг математиков – не совсем, конечно, уровня Ферма или Декарта, но тем не менее достаточно сильных, которые, по-видимому, имели зуб на Декарта. Они всегда насмехались над ним и его грандиозным «Рассуждением о методе».

Поэтому, когда Декарт услышал через Мерсенна, что некий тип в Тулузе – какой-то любитель по имени Ферма – утверждает, что разработал метод аналитической геометрии на десять лет раньше него и что тот же самый любитель (да кто он вообще такой?!) поставил под сомнение его теорию оптики, ученый счел, что ему в очередной раз строят козни. В последующие годы он яростно сражался с Ферма и пытался погубить его репутацию[161]161
  Mahoney, Mathematical Career, 171.


[Закрыть]. В конце концов, Декарту было что терять. В «Рассуждении» он утверждал, что его аналитический метод – единственный истинный путь к знанию. И если Ферма мог превзойти его, даже не пользуясь его методом, то весь его проект оказывался под угрозой.

Декарт безжалостно чернил Ферма и в какой-то степени в этом преуспел. Работы Ферма до 1679 года никогда должным образом не публиковались. Его результаты распространялись устно или через письма, но по-настоящему были оценены только спустя долгое время после смерти. Сам Декарт добился успеха. Его «Рассуждение» стало знаменитым, и следующее поколение изучало аналитическую геометрию по нему. Даже сегодня школьники знают о декартовых координатах, хотя первым их придумал Ферма[162]162
  Я согласен с оценкой в книге Simmons, Calculus Gems, 98, как следует распределять заслуги в отношении аналитической геометрии: «На первый взгляд кажется, что труд Декарта выглядит аналитической геометрией, но не является ею; в то время как труд Ферма так не выглядит, но является ею». Более взвешенные взгляды смотрите в книгах: Katz, History of Mathematics, 432–42, and Edwards, The Historical Development, 95–97.


[Закрыть].

Поиск анализа, давно утерянного метода открытий

Споры между Ферма и Декартом велись в течение первой половины XVII века, когда математики мечтали найти метод анализа для геометрии[163]163
  Guicciardini, Isaac Newton, и Katz, History of Mathematics, 368–69.


[Закрыть]. Здесь слово «анализ» (как и в аналитической геометрии) следует понимать в архаическом смысле – как средство получения результатов, а не их доказательства. В то время было широко распространено подозрение, что древние располагали таким методом открытий, но намеренно скрывали его. Декарт, например, утверждал, что древние греки «обладали знаниями видов математики, весьма отличных от тех, что распространены в наше время… но я считаю, что эти авторы потом с каким-то низким коварством, поистине неблаговидным, скрыли это знание»[164]164
  Декарт, правило 4 в «Правилах для руководства ума» (1629), как Цитируется по Katz, History of Mathematics, 368–69.


[Закрыть].

Казалось, что символьная алгебра могла быть таким утраченным методом. Однако в более консервативных кругах она натолкнулась на реакционный скептицизм. Когда поколение спустя Ньютон сказал: «Алгебра – это анализ для неумех в математике»[165]165
  Цитируется по: Guicciardini, Isaac Newton, 77.


[Закрыть], это было тонко завуалированное оскорбление Декарта, яркого примера «неумех», опирающихся на алгебру как на костыль при решении задач.

При такой атаке Ньютон придерживался традиционного различия между анализом и синтезом. При анализе человек решает задачу с конца, как будто ответ уже получен, а затем возвращается к началу в надежде найти путь к сделанным предположениям. Примерно так действуют школьники, когда, отталкиваясь от ответа, пытаются выяснить, как к нему добраться.