Читать книгу "Теория формообразования в изобразительном искусстве"

4.4. Отношения величин и пропорции. Принцип «золотого сечения»

В окружающей человека действительности, в природных и искусственно созданных формах содержатся математические отношения величин. Они бывают разного рода. Самые простые – кратные, выражающиеся целыми числами. Например, отношения сторон квадрата (1:1) или прямоугольника, состоящего из двух квадратов (1:2).

Древнегреческий философ Платон (427–347 гг. до н. э.) упоминает геометрический способ удвоения площади квадрата построением на его диагонали большего квадрата. Второй квадрат содержит четыре «половинки» первого, следовательно, его площадь вдвое больше[93]93
  Платон. Менон // Платон. Собр. соч.: в 4 т. Т 1. М., 1990. С. 594–595 (85 а-с).


[Закрыть]. Это простейшее построение содержит в себе важную закономерность. Диагональ квадрата представляет собой иррациональную величину.

Если мы примем сторону квадрата за 1, то его диагональ равна √2, или 1,414… Таким образом, система мер, основанная на квадрате и его диагонали, несет в себе двойственность, бинарный принцип отношений простых целых и иррациональных чисел.

В истории античного искусства известен термин «квадратные фигуры» (греч. tetragonos). Древнеримский писатель Плиний Старший (23–79 н. э.) называл «выглядящими квадратными» (лат. signa quadrata) бронзовые статуи аргосской школы, в частности знаменитых «Дорифора» и «Диадумена» работы Поликлета. При этом он ссылался на энциклопедиста Марка Теренция Варрона (116-27 гг. до н. э.), предполагая, что слово «квадратный» может указывать не характер силуэта статуи, а способ пропорционирования, изложенный в теоретическом сочинении Поликлета «Канон» (сочинение не сохранилось). Статуи атлетов в изображении Поликлета действительно выглядят «квадратными» (в ином переводе – «широких пропорций»).

При анализе их пропорций оказывается, что модуль фигуры – сторона квадрата, диагональ которого, в свою очередь, служит стороной большего квадрата, и т. д. В результате все части статуи выстраиваются пропорционально в системе «парных мер»: рациональных и иррациональных отношений. Так, высота всей фигуры делится кратно на две, четыре и восемь частей (голова фигуры составляет 1/8 роста). Однако при пластическом движении (опоре атлета на одну ногу, вторая нога согнута в колене и отставлена назад) возникают иррациональные отношения. Если мы примем за единицу (сторона малого квадрата) верхнюю часть фигуры (независимо от ее действительного размера) – голову и торс до гребня подвздошной кости таза (на которую ложатся косые мышцы), то нижняя часть фигуры (тазовый пояс и опорная нога) будут равняться 1,618 (сторона большего квадрата). Соответственно вся высота фигуры – 2,618. Эти отношения связаны закономерностью «золотого сечения», открытой еще древними египтянами и являющейся универсальной.

Египетские строители решали исходную задачу так же, как спустя более четырех с половиной тысяч лет древнерусские плотники: на земле, с помощью мерного шнура, но методически иначе – построением так называемого «священного египетского треугольника». Они брали шнур – веревку, разделенную узлами на двенадцать равных частей, соединяли ее концы и, растягивая на земле, забивали колышки в землю на третьем, седьмом и двенадцатом делениях. При этом получался треугольник с отношениями сторон 3: 4: 5. Такой треугольник, согласно одной из основных аксиом геометрии, всегда будет прямоугольным. Прямой угол необходим для прочности постройки: центр тяжести (вершина) сооружения проецируется на середину основания. Построив прямой угол на земле, можно увеличивать его до любых размеров, строить план, переводить его в вертикальную плоскость. Из-за универсальных свойств этой фигуры египетские жрецы называли прямоугольный треугольник с отношениями сторон 3: 4: 5 «священным», символизирующим великую триаду богов: Исиду, Осириса и их сына Гора (егип. Hor – высота, небо). Гор олицетворял гипотенузу, Исида и Осирис – катеты «священного треугольника».

Числа 3, 4, 5, их сумма 12, а также 7, сумма 3 и 4, – все эти величины часто встречаются в природе. В культурах разных народов мира они имели символическое значение и объявлялись священными. Мы знаем также, что высота самой высокой пирамиды Хуфу в Гизе относится к стороне основания как 5: 8, а поперечное сечение второй пирамиды – Хафра – представляет собой два «египетских священных треугольника» с отношением сторон 3: 4: 5.

Французский архитектор А. Фурнье де Кора, норвежская художница Е. Килланд и русский архитектор В. Н. Владимиров[94]94
  Fournier des Corats A. La Proportion Egyptienne et les Rapports de Divine Harmonie. Paris, 1957; Kielland E. Geometry in Egyptian Art. London, 1955; Владимиров В. Н. Пропорции в египетской архитектуре. М., 1944.


[Закрыть], изучая приемы пропорционирования древних зодчих, независимо друг от друга пришли к модели, объединяющей геометрические фигуры и численные отношения, закономерно повторяющиеся в планах и разрезах древних сооружений. Эта модель получила название египетской системы диагоналей. Если мы возьмем квадрат (с отношением сторон 1: 1) и спроецируем его диагональ (√2) на продолжение одной из сторон, а затем из найденной точки восстановим перпендикуляр, то получим новую фигуру – прямоугольник. Проведя и в нем диагональ, обнаружим, что она равна √3. Повторим построение и увидим новый прямоугольник с более длинной стороной. Диагональ этого прямоугольника будет равняться √4, т. е. 2. Проецируя эту диагональ как в предыдущих случаях и восстановив перпендикуляр, получаем так называемый двусмежный квадрат (состоящий из двух равных квадратов) с диагональю √5.

Внутри двусмежного квадрата (два квадрата чаще всего образуют планы древнеегипетских храмов) помещается ряд диагоналей и, соответственно иррациональных величин, связанных определенной последовательностью. Формулу подобной закономерности, как известно, впервые вывел древнегреческий мыслитель Пифагор Самосский (570–490 гг. до н. э.).

Согласно легенде, Пифагор учился у египетских жрецов. После того как персидский царь Камбис II в 525 г. до н. э. захватил Египет, Пифагор попал в плен и был отправлен в Вавилон, где продолжил обучение у халдейских магов. Независимо от того, соответствует ли эта легенда исторической действительности, логично предположить, что Пифагор, знакомый с египетской системой мер, не мог не обратить внимания на то, что сумма квадратов катетов «египетского священного треугольника» равняется квадрату гипотенузы: 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25). Это и есть теорема Пифагора в простейшем численном выражении. В графическом выражении теоремы очевидна ее основа – прямоугольный треугольник со свойствами сторон, аналогичными «египетскому» (сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы). Одновременно этот треугольник является половиной двусмежного квадрата с диагональю – главной фигуры «египетской системы диагоналей».

Основной шаг в разработке теории гармонии был сделан в эпоху итальянского Возрождения – выдающимся художником Леонардо да Винчи и его другом, математиком, монахом ордена францисканцев Лукой Паччоли (1445–1517). В 1496 г. в Милане Леонардо и Паччоли начали работу над сочинением «О Божественной пропорции» (ит. «De Divina proportione», 1496–1498). В 1509 г. в Венеции Л. Паччоли опубликовал новое издание книги. Леонардо предположительно принадлежит второе название – «Золотое сечение» (лат. Sectio aurea). В сохранившихся записках выдающегося художника отсутствует упоминание «золотого сечения», тем не менее традиция на основании косвенных свидетельств связывает это правило с его именем. Графический способ построения идеальной «золотой пропорции» прост, как все гениальное, он не требует никаких вычислений и предполагает всего два движения циркулем. Этот способ до настоящего времени используют в процессе обучения студентов архитектурных факультетов и называют «способом архитекторов».

Предположим, что отрезок величины (a+b) требуется разделить в наиболее гармоничных, наилучших с эстетической точки зрения отношениях. Для этого построим на заданном отрезке двусмежный квадрат, проведем в нем диагональ (√5), а затем перенесем размер стороны квадрата (или малого катета образовавшегося при этом прямоугольного треугольника Пифагора) на диагональ. Затем другим движением циркуля (либо мерного шнура) перенесем получившийся остаток диагонали (√5 – 1) на большой катет (равный 2). В результате большой катет (или большая сторона двусмежного квадрата) будет разделена на две неравные части, при одном взгляде на которые ощущаются гармонические отношения. Зрительный опыт подсказывает, что наилучшие отношения – не 1: 1 и не 1: 2, а некратные, примерно 1: 1,6. Именно так выглядят отношения сторон дверных и оконных проемов в классической архитектуре, столешниц и мебельных филенок, письменных досок, большинства форматов альбомов и листов писчей бумаги. Те же отношения получаются, если мы проверим свои ощущения вычислением.

Закон гармонии математически доказывается следующим образом. Отношение всего заданного отрезка (а + b) к его бо́льшей части (остатку диагонали двусмежного квадрата) будет составлять.

При любых численных значениях это отношение будет выражено иррациональным числом, бесконечной дробью 1,618033… Если же проверить отношение большей части (а) к меньшей части заданного отрезка (b), то мы, на удивление, получим то же самое число: = 1,618033… Формулу можно записать следующим об разом: (a+b): a = a: b (целое относится к бо́льшей части так же, как большая часть относится к меньшей). От перемены мест членов этой пропорции результат не меняется.

Эстетический смысл этой формулы заключается в том, что данная пропорция является наилучшей и единственно возможной – тем идеальным случаем, когда уравниваются отношения частей какой-либо величины (формы) между собой и каждой из этих частей к целому. Иначе говоря, в «формуле красоты» единой закономерностью связаны отношения частей и целого. По замечанию Платона, «наилучшая аналогия делает целое и его части нераздельными». Все прочие способы и приемы гармонизации имеют частный характер, а «золотая пропорция» – всеобщий. Отсюда и название.

Наиболее яркий пример действия этой закономерности – отношения плана и фасада Парфенона в Афинах (447–438 гг. до н. э.) – общепризнанного эталона гармонии в архитектуре. Исследователей всегда удивляло наличие в обмерах этого шедевра множества некратных мер и иррациональных отношений и прежде всего отклонение плана храма от традиционного размера в два квадрата. Правило «золотой пропорции» объясняет эту «странность». Если спроецировать диагональ двусмежного квадрата стилобата Парфенона на продолжение его длинной стороны, то мы получим действительные отношения плана этой постройки: 1: √5. Иначе говоря, если ширину главного фасада храма (30,89 м) принять за 1, то отношение ширины к длине бокового фасада по стилобату (69,54 м) будет составлять 1: √5. Такими же отношениями связаны все размеры внутреннего пространства: наоса, пронаоса и опистодома. Главный фасад Парфенона (без треугольного фронтона) вписывается в двусмежный квадрат. Колонна вместе с капителью (10,43 м) составляет меньший член «золотой пропорции». Больший отрезок «золотого сечения» соответствует общей высоте здания вместе с кровлей. Те же отношения повторяются в деталях вплоть до мельчайших.

Наличие иррациональных отношений, на первый взгляд неудобных при измерениях, позволяет связать единой закономерностью размеры всех частей здания и каждой из этих частей с целым. Не подозревая о столь непростом правиле, зритель интуитивно ощущает с любой точки зрения эту всепроникающую целостность. Исходное «золотое число» (1,618033…) принято обозначать для краткости греческой буквой φ («фи»), с которой начинается имя выдающегося скульптора и архитектора античности Фидия (ок. 490 – ок. 430 гг. до н. э.), одного из создателей Парфенона.

Квадрат с диагональю – универсальная строительная фигура – был одним из символов братства дионисийских архитекторов. О закономерностях «золотого сечения» как основе гармонии космоса упоминается в диалоге Платона «Тимей» (ок. 360 г. до н. э.), созданном в поздний период творчества великого греческого философа. Об этом же написано во второй книге «Начал» Евклида (ок. 300 г. до н. э.), в трудах Гипсикла Александрийского (ок. 180 – ок. 120 г. до н. э.) и Паппа Александрийского (вторая половина III в. н. э.).

В эпоху Возрождения закономерностью отношений гармонических величин интересовался немецкий художник из Нюрнберга Альбрехт Дюрер (1471–1528). Известно, что в 1500–1504 гг. он непосредственно работал над этой темой. Во время второй поездки в Италию, осенью 1506 г., Дюрер специально отбыл из Венеции в Болонью, чтобы встретиться с Лукой Паччоли. С 1515 г. Дюрер писал «Книгу о пропорциях». В 1528 г. был опубликован его трактат «О пропорциях человеческого тела». Считается, что знаменитая гравюра Дюрера «Адам и Ева» (1504) создана в результате штудий пропорций фигуры человека по трактату Витрувия, в которых голова составляет 1/8 высоты фигуры.

Однако в отличие от своих предшественников Дюрер использовал не один, а три канона пропорций (1: 9, 1: 8, 1: 7) – в зависимости от характера, пола, возраста изображаемого персонажа. Леонардо да Винчи, работая вместе с Лукой Паччоли над трактатом «О Божественной пропорции», также обращался к сочинению Витрувия «Десять книг об архитектуре» (18–16 гг. до н. э.). Знаменитый рисунок Леонардо, представляющий фигуру человека, вписанную в круг и квадрат, рассматривают в качестве интерпретации одного из положений теории Витрувия. Его называют «Вечный дом» (лат. Domus Aeternus). Похожие рисунки есть у А. Дюрера, Микеланджело – художников, которые также размышляли над закономерностями гармонии. Анализируя рисунок Леонардо да Винчи, мы увидим, что размер верхней части фигуры (от макушки до пупка) соотносится с размером нижней части по правилу «золотого сечения». Если верхний размер принять за 1, то нижний будет равен 1,618, а вся высота фигуры соответственно 2,618 (последний размер называют «квадратом золотого числа»).

Дальнейшее развитие теории гармонии связано с именем Леонардо Пизанского (1180–1240) по прозванию Леонардо Фибоначчи (ит. Fibonacci – Сын доброй природы). Математик-любитель, торговец и путешественник из итальянского города Пиза Фибоначчи увлекался различными головоломками. В 1202 г. он опубликовал «Книгу абаки» (лат. «Liber Abaci»). Слово «абака» помимо названия «доски» – верхней части капители дорического ордера, в античности обозначало счетную или игральную доску с углублениями, по которым передвигали «косточки» – единицы меры или веса. В книге, в частности, приводилась задача, сформулированная следующим образом. Как подсчитать приплод кроликов за год от одной пары, если известно, что каждая пара начиная со второго месяца будет приносить в месяц еще по паре. В результате подсчета у Фибоначчи получился ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 (к концу года получилось 377 пар кроликов). На самом деле этот ряд бесконечен. Его главное свойство заключается в том, что каждый последующий член ряда равняется сумме двух предыдущих. Если же мы попробуем вычислять отношения соседних чисел, то каждый раз будем получать бесконечную дробь, в пределе стремящуюся к «золотому числу» – чем больше величины, тем ближе к искомому 1,618 или 0,618 (в зависимости от того, делим ли мы большее на меньшее или меньшее на большее). Например:

С 1596 г. выдающийся немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер (1571–1630) изучал закономерности обращения планет вокруг Солнца и доказал, в частности, что радиусы и периоды обращения планет связаны числами ряда Фибоначчи. В дальнейшем ученые многих областей знания убеждались в том, что природа, если можно так сказать, построена на закономерностях, которые описываются не искусственно введенным натуральным рядом чисел, а числами ряда Фибоначчи. Ботаники увидели эти числа в строении растений, зоологи – в форме моллюсков, кристаллографы – в структуре кристаллов, анатомы – в строении форм человеческого тела[95]95
  Васютинский Н. А. Золотая пропорция. М., 1990; Волошинов А. В. Математика и искусство. М., 1992; Ковалев Ф. В. Золотое сечение в живописи. Киев, 1989.


[Закрыть].

В 1854 г. немецкий литератор и ученый Адольф Цейзинг (18101876) опубликовал книгу «Эстетические исследования», в которой абсолютизировал «правило золотого числа», распространив его на все проявления красоты в природе и в искусстве. Эта книга вызвала бурю негодования среди противников теории гармонии. Многие специалисты скептически относятся к теоретическому и практическому значению правила «золотого сечения», но, как бы то ни было, два иррациональных числа, известных нам из школьного курса математики, – π (3,14…) и φ (1,618…), чаще других определяют гармонический строй природных и искусственных объектов.

В отличие от иррациональных глубин творчества числовые закономерности отношений величин и наилучших пропорций подлежат точному расчету, анализу, фиксированию, и, следовательно, их легче передавать от одного поколения мастеров к другому, от учителей к подмастерьям в качестве «секретов мастерства».

Однако в практике строительства зодчие разных времен до возникновения научной теории гармонии, как правило, интуитивно следовали закономерностям гармонизации формы. Критерием гармонии пропорций служила «золотая середина» (лат. aurea mediocritas), а образцом – отношения величин, наблюдаемые в природе. Так древние эллины в своей архитектуре использовали целые числа, кратные модули и рациональные приемы, но вводили «оптические поправки» и нюансирование, придававшие отношениям величин легкую неправильность. Таковы курватура (искривление прямых линий и плоскостей), энтасис (легкое утолщение колонн в средней части), контракция (нарушение равенства интерколумниев, сближение расстояний между колоннами). Они также использовали эпиморные отношения (греч. epi – сверх, над и morion – часть, частица), в которых в отличие от простых кратных (1: 2; 1: 3; 1: 4) превышение большей части равняется одной доле меньшей (например, 2: 3; 3: 4; 8: 9), что практически близко отношениям «золотых отрезков».

Такой способ проявился, в частности, при расчете количества колонн древнегреческих храмов на переднем и боковых фасадах по эпиморной формуле: n: (n + 1), когда на боковом фасаде количество колонн на одну больше, чем на переднем. Подобную закономерность греки называли «аналогия» (греч. analogia), что дословно, в отличие от современного прочтения термина, означало «вновь-отношение».

В Национальном археологическом музее в Неаполе и в музее Терм в Риме хранятся необычные предметы, найденные при раскопках Помпей и условно называемые пропорциональными циркулями. Они различаются в деталях, но сходятся в главном – две деревянные планки крестообразно скреплены неподвижным шарниром. Отношения их сторон соответствуют правилу «золотого сечения». Археологи находят схожие инструменты в разных регионах античного мира. Вероятно, они служили эталонами пропорциональных модулей в архитектуре.

Знаменитый математик и философ Пифагор известен не только рассмотренной нами ранее теоремой, но и оригинальной теорией гармонии численных отношений. В конце жизни после путешествий на Восток Пифагор покинул остров Самос и поселился в Кротоне (Южная Италия). После кончины учителя его ученики и последователи около 450 г. до н. э. образовали братство пифагорейцев. Согласно учению Пифагора, гармония есть добро, заложенное Творцом, зло – диссонанс, противоречащий природе и нарушающий красоту мира. Познать гармонию можно через числа, на которых основан весь мир. Число 7, хебдомада (греч. hebdomados – седмерица), является сокровенной основой Вселенной, это «девственное число», поскольку оно не рождается делением и не делится надвое (таковы же числа 5 и 9). Число 10, напротив, «рождает» другие. Число 7 появляется на свет средним арифметическим чисел 4 и 10 (4 + 10 = 14; 14: 2 = 7). Пифагорейцы обозначали число 7 словом «кайрос» (судьба, удача). Декада (число 10) и монада (число 1) символизируют совершенство. Число 5 обозначает небесный союз, космическую свадьбу, поскольку складывается из мужского, неделимого (3) и женского, делимого (2) начал. Число у пифагорейцев есть принципиальная основа сущности вещей и одновременно основа их познания. Онтология и гносеология в пифагорейском учении неразделимы. Поэтому главный тезис учения Пифагора «Все есть число» следует понимать как утверждение идеального начала мира. Прекрасное произведение искусства отражает «гармонию небесных сфер». Личность мастера представляет собой инструмент непрерывного божественного Творения и является посредником между небом и землей.

Работая с числами, пифагорейцы изображали количественные отношения наглядно, с помощью геометрических фигур и точек. Главная фигура – тетрактис (четверик) образована числами 1, 2, 3, 4. Их сумма равна 10 (архетипу Вселенной, «завершенности всех вещей»). Тетрактис образует также триграмму – треугольник и гексаграмму – шестиугольник с седьмой точкой в центре, означающей «седьмой день Творения». Тетрактис также связан с симметрией как универсальной закономерностью устройства Вселенной, поскольку «рождает» симметричные многогранники, позднее названные по имени древнегреческого философа телами Платона. Другой важный символ – пентаграмма (пятиугольник), он получается соединением точек тетрактиса. Все численные отношения частей пентаграммы, вплоть до мельчайших, следуют правилу «золотого сечения». Причем эти отношения повторяются в теоретически бесконечном количестве вписанных одна в другую пятиугольных звезд. В этом символе также нетрудно увидеть бесконечность и гармонию Вселенной.

Разработанная пифагорейцами система «зримых чисел», связь количественных отношений и простых геометрических фигур, имела огромное значение для создания всеобщей теории гармонии и, в частности, искусства пропорционирования в архитектуре. Существенна также открытая Пифагором связь закономерностей зрительной и звуковой гармонии. Гармонические интервалы, найденные Пифагором, соответствуют ладам античной музыки и пропорциям древнегреческих архитектурных ордеров: дорического (2: 1), ионического (3: 2), коринфского (4: 3).

Нетрудно заметить, что в этих отношениях присутствуют числа «египетского священного треугольника», т. е. отношения, заложенные в пропорциях многих памятников архитектуры древности (3: 4: 5). К найденным интервалам Пифагор прибавил гармонический тетрахорд (четырехструнник) с отношением 9: 8 и вывел собственную идеальную пропорцию: 12: 9 = 8: 6.

Исследования пифагорейцев позволили разделить смысл понятий «соразмерность» и «пропорциональность». Так Витрувий под соразмерностью понимал метрические, т. е. равномерные членения формы (симметрию), а пропорциональность считал ритмическим строем. Он добавил к этому понятие модуса (лат. modus – мера, величина, протяжение, положение). Модальность, или ладовость, – согласованность всех частей формы на основе какого-либо элемента, чаще всего модуля (наименьшей части, принимаемой за единицу измерения). Модальность придает пропорциональному строю эмоциональную окраску, тональность (в современной теории гармонии эти понятия распространяют и на цветовые отношения).

По Витрувию, дорийскому модусу, или ордеру в архитектуре, с отношением высоты колонны к ее нижнему диаметру (эмбату) 1: 7, соответствует интервал октавы пифагорейского гармонического звукоряда (12: 6, или 2: 1), что определяет мощный, мужественный и суровый стиль дорийской архитектуры. Ионическому модусу, с отношением высоты колонны к ее нижнему диаметру 1: 8, соответствует музыкальный интервал квинты (12: 8, или 3: 2), второй после октавы, что создает утонченный, изящный образ ионических построек. Коринфскому модусу, с отношением высоты колонны к ее нижнему диаметру 1:9, соответствует музыкальный интервал кварты (12: 9, или 4: 3), или энгармонический строй (от греч. en и harmonios – приравненный, согласный, стройный) изысканно-пышного коринфского храма.[96]96
  Витрувий. Десять книг об архитектуре. С. 65 (Кн. IV, гл. I).


[Закрыть]

В истории классической архитектуры модуль как единица измерения не был постоянной величиной. Основной модуль – фут (греч. pous – стопа, нога). Его размер в разное время и в различных областях античного мира колебался от 0,295 до 0,310 м. Древние римляне, которые оперировали в своей архитектуре кратными числами, в качестве модуля избирали 5/2 каких-либо единиц измерения: локтей или футов. Эту странность можно объяснить тем, что при любых построениях на основе отношений 5: 2 получаются производные, близкие идеальному «золотому сечению».

В эпоху Возрождения Леон Баттиста Альберти в качестве модуля в архитектуре использовал одну шестую условного роста человека. При этом Альберти ссылался на трактат Витрувия, согласно которому стопа (фут) составляет одну шестую фигуры. Такая система называется экземпедой (греч. exempedoo – наблюдать со всей строгостью, прочно, неколебимо). Альберти именовал ее также «шестистопной». В трактате «О статуе» (1435) Альберти утверждал, что эта система позволяет добиваться ясных композиционных связей фигуры человека с формируемым вокруг него архитектурным пространством.

Немецкий архитектор Маттеус Роритцер (? – ок. 1493), член большой семьи строителей, участвовавших в возведении собора в Регенсбурге (Бавария), написал трактат «О камне» (1486), в котором предложил систему измерений, основанную на «поворотном квадрате» (каждая сторона квадрата делится пополам, а затем в эту фигуру вписывается второй квадрат под углом 45 и т. д.). Система последовательно уменьшающихся квадратов, приведенная в трактате Роритцера, образует «вавилон», напоминающий схематическое изображение Вавилонской башни – символа дерзости архитектурной мысли.

Академик Борис Александрович Рыбаков (1908–2001), изучая в 1940-х годах систему мер древнерусских строителей, обратил внимание на так называемые «вавилоны» – схематические изображения не то лабиринта, не то вавилонской башни (сказания о строительстве Вавилонской башни встречаются в древнерусских летописях). Подобные знаки известны в древней Месопотамии, Восточном Средиземноморье, на Кавказе и в Западной Европе. В Скандинавии и на севере России (на Соловецких островах) «вавилонами» называли каменные круги-лабиринты. В раскопках древнего Киева обнаружены «вавилоны», вычерченные на керамидах (черепицах). Б. А. Рыбаков считал, что подобные изображения отражают систему пропорционирования, заимствованную Русью из Византии[97]97
  Рыбаков Б. А. Русские системы мер длины XI–XV вв. // Советская этнография. 1949. № 1.


[Закрыть].

Практическое пропорционирование простейших построек плотницких дел мастерами осуществлялось без вычислений на основе построения квадрата и его диагонали. Основной мерой была длина бревна, а модулем – клеть (клетник – «тонкий лес») из уложенных друг на друга венцов – связанных по углам четырех бревен, образующих квадрат. Нижний венец бревен называется окладным. При этом первой задачей было построение на земле прямого угла. Эту задачу решали с помощью двух мерных шнуров – путем уравнивания диагоналей окладного венца (равенство диагоналей дает квадрат). Решение следующей задачи, проецирования диагонали (или ее производной) на продолжение стороны квадрата, давало второй модуль, равный стороне квадрата удвоенной площади. Так на земле вычерчивали план будущего сооружения, к примеру церкви – основную клеть (так называемая клетская церковь) с пристроенными к ней притвором и алтарем. Удивительно и одновременно закономерно, что древнерусские плотники нашли простейшее решение задачи, известной в античности. Точно так же ее решали древнегреческие скульпторы, а затем византийские строители.

Изучение древнерусских мер длины выявляет сложную и даже изощренную систему. Оказывается, что строители использовали не одну и не две меры, а шесть основных и одну дополнительную – сажень (др. – русск., от сягать – протягивать руку). Древнерусская мерная сажень (расстояние вытянутых рук, ее длина колебалась от 170,5 см в XII в. до 190,8 см в XV–XVI в.) соответствует 6 греческим футам, или 4 локтям, 24 палестам (мера длины в 4 пальца).

Сравнив отношения нескольких саженей, использовавшихся в древнерусском строительстве, и построив «вавилон» (по Б. А. Рыбакову), можно, допустив известную вольность, вписать в него фигуру человека по известному рисунку Леонардо да Винчи. Отношение косой сажени к «великой косой» составит 216: 249,46 = 7: 8. Отношение прямой сажени к мерной: 152,76: 176,4 = 5: 6. Отношение мерной сажени к «сажени без чети» (без четы, так как у нее нет соответствующей антропоморфной пары): 176,4: 197,21 = 0,9: 1. На Руси применяли еще одну меру – сажень тмутороканскую, или греческую. Малая тмутороканская сажень равнялась двойному шагу человека, или 5/6 его роста (в зависимости от колебания размера мерной сажени изменялась от 142 до 154 см). Строители использовали в качестве «точки отсчета» две основные сажени: мерную в виде стороны исходного квадрата и «великую косую» как его диагональ. Далее получали множество производных. Отметим лишь еще одно отношение: мерной полусажени к «малой сажени» (высоте торса по канону Поликлета): , которое равняется «золотому числу» ф. Антропоморфность древнерусских мер длины очевидна, как и аналогия мерных систем средневековой Руси и европейского Запада.

В эпоху классицизма XVIII–XIX вв. образцом гармонии служили постройки выдающегося итальянского архитектора Андреа Палладио (1508–1580). Основные проекты архитектора приведены в его трактате «Четыре книги об архитектуре» (1570). Композиции палладианских зданий соответствуют правилу прямого угла и параллельности диагоналей, а также отношениям: 1: 1, 3: 4, 4: 5, 3: 2, 2: 4, 4: 3, 5: 3, 5: 8, 8: 9, 13: 8. Эти числа совпадают с числами ряда Фибоначчи, однако сам Палладио пользовался только целыми отношениями, в его трактате не упоминается правило «золотого сечения» и лишь изредка отмечаются отношения стороны квадрата и его диагонали.

Русский архитектор Николай Александрович Львов (1751–1803) в 1777 и в 1781 гг. совершил поездки в Италию, где проникся красотой построек Палладио. Восемь лет он трудился над переводом на русский язык трактата итальянского архитектора и издал его в 1798 г. с собственными рисунками. Иван Владиславович Жолтовский (1867–1959) следовал заветам Андреа Палладио, считая его архитектуру актуальной во все времена, и, более того, пытался на основе палладианского канона разработать собственную теорию гармонизации формы в архитектуре. В 1887–1898 гг. Жолтовский учился в петербургской Академии художеств. Работал в Москве. Постройки Палладио изучал в Италии. Создал собственный перевод палладианского трактата.

В качестве нового модуля Жолтовский прибавил к классическому ряду величин, основанному на правиле «золотого сечения» (1; 0,618; 0,382; 0,236 и т. д.), «удвоенную третью величину» (0,236 × 2 = 0,472). Результатом такого усовершенствования стала более гибкая система нескольких мер, обеспечивающих подвижное взаимодействие пропорций здания в целом и всех его деталей (472, 492, 507, 528). Отношение 528: 472, часто встречающееся в истории классической архитектуры, получило название «живой квадрат», или «функция Жолтовского». По теории Жолтовского, рационализм, точный расчет обязательно должны дополняться иррациональным ощущением «тайны красоты».