Текст книги "Загадки и диковинки в мире чисел"

Миллион секунд

Как вы думаете, сколько времени отняла бы у вас работа – пересчитать миллион каких-либо предметов, по одному каждую секунду? Оказывается, что, считая безостановочно по 10 часов в сутки, вы закончили бы подсчет в месяц времени. Приблизительно удостовериться в этом нетрудно даже устным вычислением: в часе 3600 секунд, в 10 часах – 36000; в трое суток вы, следовательно, пересчитаете всего около 100 тысяч предметов, а так как миллион в десять раз больше, то, чтобы досчитать до него, понадобится 30 дней[39]39
  Отметим для сведения, что в году (астрономическом) 31556926 секунд.


[Закрыть]. Если бы вам платили за месяц службы всего один миллион рублей, выдавая ваше жалование единичными рублями, то все рабочее время уходило бы только на получение жалованья.

Отсюда следует, между прочим, что предложенная ранее работа – проставить в тетради миллион точек – потребовала бы много недель самого усердного и неустанного труда[40]40
  До какой степени люди склонны недооценивать величину миллионов, показывает следующий поучительный пример. Тот самый Уоллес, который так предостерегает других от преуменьшения миллиона, заканчивает приведенный выше (стр. 144–145) отрывок таким советом:
  «В маленьких размерах каждый может устроить это сам для себя: стоит только достать сотню листов толстой бумаги, разлиновать их на квадратики и поставить крупные черные точки. Подобное изображение было бы очень поучительно, хотя не в такой, конечно, степени, как осуществленное в большом масштабе». Почтенный автор, по-видимому, полагал, что подобная работа под силу одному человеку. Между тем мы уже знаем, что для этого потребовался бы настоящий подвиг труда – несколько месяцев непрерывной работы, всецело посвященной кропотливой расстановке в квадратиках крупных черных точек (конечно, не по одной в секунду). Ошибка Уоллеса произошла, разумеется, вследствие недооценки истинной величины миллиона.


[Закрыть]. Да и тетрадь для этого понадобилась бы страниц в тысячу. Тем не менее такой труд был однажды выполнен. В одном распространенном английском журнале я видел недавно воспроизведение страницы из тетради, «единственное содержание которой составляет миллион аккуратно расставленных точек, по тысяче на странице». Все 500 листов этой заботливо переплетенной тетради были предварительно разграфлены карандашом и заполнены рукой одного беспримерно терпеливого школьного учителя чистописания в середине прошлого столетия. Работа, по словам дочери покойного «автора», доставившей эту тетрадь в редакцию, отняла у добровольного труженика длинный ряд лет.

В миллион раз толще волоса

Тонкость волоса вошла чуть ли не в поговорку. Все часто видят волос и хорошо знают, насколько он тонок. Толщина его не превосходит 0,1 миллиметра. Представьте себе, однако, что волос стал в миллион раз толще – какова тогда была бы его толщина. Был ли бы он толщиной в руку? Или в бревно? Или в большую бочку? Или, может быть, ширина его достигла бы ширины комнаты средних размеров?

Если вы никогда не задумывались над такой задачей, то можно почти поручиться, что, не проделав соответствующего вычисления, – выдадите грубо ошибочный ответ. Мало того: вы будете, пожалуй, даже оспаривать правильный ответ – настолько он покажется неправдоподобным. В самом деле: оказывается, что волос, увеличенный по толщине в миллион раз, имел бы сажен 50 в поперечнике! Это кажется невероятным, но дайте себе труд сделать подсчет, и вы убедитесь, что так и есть: 0,1 миллиметра × 1000000 = 0,1 метра × 1000 = 0,1 километра = 100 метров, или 50 сажен[41]41
  Мы проделали здесь умножение несколько необычным путем – вместо умножения числа мы только заменили самую единицу меры другою, в миллион раз большею. Этот прием очень удобен для устных подсчетов, и им следует пользоваться при выкладках с метрическими мерами.


[Закрыть].

Иметь правильное представление о миллионе – значит уметь оценивать длину миллиона знакомых промежутков, не ошибаясь в сотни и в тысячи раз. А ведь большинство людей на вопрос нашей задачи отвечают, что волос, при увеличении по толщине в миллион раз, был бы толщиною с бочку или бревно, т. е. называют величину именно в сто или тысячу раз меньшую.

Упражнения с миллионом

Проделаем еще ряд упражнений, чтобы освоиться надлежащим образом с величиною миллиона. Вы убедились уже, вероятно, на двух предыдущих примерах, насколько обычное наше представление о нем превратно и как полезно упражняться в миллионном счете, чтобы это превратное представление исправить.

Величина обыкновенной комнатной мухи общеизвестна – около 7 миллиметров в длину. Но какова была бы ее длина при увеличении в миллион раз – скажет не всякий. Умножим 7 мм на 1000000, получим 7 километров – примерно ширина Москвы или Петрограда. С трудом верится, что муха, увеличенная по длине в миллион раз, могла бы покрыть своим телом столичный город.

Увеличьте мысленно в миллион раз (по ширине) ваши карманные часы – и получите снова поражающий результат, который едва ли вам удастся предугадать: они имели бы в ширину верст 50, а каждая цифра простиралась бы на целую географическую милю.

Человек в миллион раз выше обычного роста достигал бы вышины 1700 верст; он был бы всего в 8 раз меньше поперечника земного шара. Буквально одним шагом мог бы он перешагнуть из Петрограда в Москву, а если бы лег, то растянулся бы от Петрограда до Крыма.

Приведу еще несколько готовых подсчетов того же рода, предоставляя проверку их читателю:

Сделав миллион шагов по одному направлению, вы отошли бы верст на 600. От Москвы до Петрограда примерно и будет миллион шагов.

Миллион человек, выстроенных в одну шеренгу плечом к плечу, растянулись бы на 250 верст.

Миллионом стаканов воды можно наполнить 200 огромных восьмидесятиведерных бочек.

Миллионом точек типографского шрифта – например, этой книги, – поставленные рядом, вплотную, растянулись бы на сажен 70—100.

Зачерпывая миллион раз наперстком, вы вычерпаете около сотни ведер.

Книга в миллион страниц имела бы в толщину сажен 25.

Миллион букв заключает книга убористой печати в 600–800 страниц среднего формата.

Миллион дней – более 27 столетий. От Рождества Христова не прошло еще миллиона дней.

Названия числовых великанов

Прежде чем перейти к еще большим числовым гигантам – миллиардам, биллионам, триллионам и т. д. – остановимся немного на их названиях. Слово «миллион» понимается всеми одинаково: тысяча тысяч. Но слова биллион, триллион и т. д. сравнительно недавно придуманы и еще не получили единообразного значения. При финансовых расчетах, а следовательно, и в житейском обиходе принято у нас называть «биллионом» тысячу миллионов, а «триллионом» – миллион миллионов. Но в книгах по астрономии и физике вы встречаете эти названия уже в другом значении: биллион означает здесь не тысячу, а миллион миллионов, триллион – миллион миллионов миллионов, квадраллион – миллион миллионов миллионов миллионов, и т. д. Короче говоря: в астрономических книгах каждое новое высшее наименование принято давать миллиону низших, а в финансовых расчетах и в обиходе – тысяче низших.

В приведенной здесь табличке наглядно показано это различие:

Вы видите, что физик называет биллионом то, что финансист называет триллионом и т. д., так что, во избежание недоразумений, следует наименование всегда сопровождать цифрами. Это, пожалуй, единственный случай в практике, когда обозначение суммы прописью скорее затемняет, чем поясняет написанное цифрами. Вы видите также, что астрономы и физики гораздо экономнее пользуются новыми названиями, чем финансисты, которым, впрочем, нет основания особенно скупиться в этом отношении, так как им почти не приходится иметь дело более чем с 12-значными числами; в науке же 20-значные числа – нередкие гости[42]42
  Надо заметить, впрочем, что обычные цифровые обозначения весьма больших чисел и их названия употребляются лишь в популярно-научных книгах; в книгах же строго научных по физике и астрономии пользуются обыкновенно иным способом обозначения: биллион обозначается 10¹², триллион – 10¹⁸, двадцать семь тысяч биллионов – 27–10¹⁵ и т. д. При таком способе обозначения сберегается место и, кроме того, гораздо легче производить над числами различные действия (по правилам, изучаемым в алгебре).


[Закрыть].

Миллиард

Слово «миллиард» употребляется у нас в смысле тысячи миллионов как при денежных вычислениях, так и в точных науках. Но, например, в Германии и в Америке под миллиардом иногда разумеют не тысячу, а всего сто миллионов. Этим, между прочим, можно объяснить себе, что слово ««миллиардер» было в ходу за океаном еще тогда, когда ни один из тамошних богачей не имел состояния в тысячу долларов. Огромное состояние Рокфеллера незадолго до войны исчислялось «всего» 900 миллионов долларов, а остальных миллиардеров – меньшими числами. Только во время войны появились в Америке миллиардеры в нашем смысле слова (их называют на родине «биллионерами»).

Чтобы составить себе представление об огромности миллиарда, подумайте о том, что в книжке, которую вы сейчас читаете, заключается немногим более 200000 букв. В пяти таких книжках окажется один миллион букв. А миллиард букв будет заключать в себе стопка из 5000 экземпляров этой книжки – стопка, которая, будучи аккуратно сложена, составила бы столб высотой с Исаакиевский собор.

Миллиард секунд часы отобьют более чем в 30 лет. А миллиард минут составляет более

19 столетий; человечество всего двадцать лет тому назад (29 апреля 1902 года, в 10 ч 40 мин) начало считать второй миллиард минут от первого дня нашего летосчисления.

Биллион и триллион

Ощутить огромность этих числовых исполинов трудно даже человеку, опытному в обращении с миллионами. Великан миллион – такой же карлик рядом с сверхвеликаном биллионом, как единица рядом с миллионом. Об этом взаимоотношении мы обыкновенно забываем и не делаем в своем воображении большой разницы между миллионом, биллионом и триллионом. Мы уподобляемся здесь тем первобытным народам, которые умеют считать только до 2 или до 3, а все числа свыше их одинаково обозначают словом много. «Подобно тому, как ботокудам кажется несущественной разница между двумя и тремя, – говорит известный германский математик проф. Г. Шуберт, – так и многим современным культурным людям представляется несущественной разница между биллионом и триллионом. По крайней мере, они не думают о том, что одно из этих чисел в миллион раз больше другого и что, значит, первое относится ко второму приблизительно так, как расстояние от Берлина до Сан-Франциско относится к ширине улицы».

Волос, увеличенный по толщине в биллион раз, был бы раз в 8 шире земного шара, а муха при таком увеличении была бы в 70 раз толще Солнца!

Взаимоотношение между миллионом, биллионом и триллионом можно с некоторою наглядностью представить следующим образом. В Петрограде теперь (1923 г.) примерно миллион жителей. Вообразите же себе длинный прямой ряд городов таких, как Петроград, – целый миллион их: в этой цепи столиц, тянущихся на семь миллионов верст (в 20 раз дальше Луны) будет насчитываться биллион жителей… Теперь вообразите, что перед вами не один такой ряд городов, а целый миллион рядов, т. е. квадрат, каждая сторона которого состоит из миллиона Петроградов и который внутри сплошь уставлен Петроградами: в этом квадрате будет триллион жителей… Одним триллионом кирпичей можно было бы, размещая их плотным слоем по твердой поверхности земного шара, покрыть все материки равномерным сплошным пластом высотою с четырехэтажный дом (8 сажен).

Если бы все видимые в сильнейшие телескопы звезды обоих небесных полушарий, т. е. не менее 30 миллионов звезд, – были обитаемы и населены каждая в 20 раз более, нежели наша Земля, – то и тогда на всех этих звездах, вместе взятых, едва насчитывался бы один триллион людей.

Наконец, последнюю иллюстрацию мы заимствуем из мира мельчайших частиц, составляющих все тела природы, – из мира молекул. Молекула по ширине меньше точки типографского шрифта этой книги примерно в миллион раз. После всех предшествовавших упражнений вы уже можете по этому числу до известной степени составить себе представление о малости молекулы. Теперь вообразите триллион таких молекул[43]43
  В каждом кубическом сантиметре воздуха (т. е. примерно в наперстке) насчитывается – отметим кстати – от 20 до 30 триллионов молекул. Не знаешь, чему изумляться больше: огромной численности молекул или их невообразимой малости…


[Закрыть], нанизанных вплотную на одну нитку. Какой длины была бы эта нить? Ею можно было бы семь раз обмотать земной шар по экватору!

Квадриллион

В старинной (XVIII в.) «Арифметике» Магницкого, о которой мы не раз уже упоминали, приводится таблица названий классов чисел, доведенная до квадриллиона, т. е. единицы с 24 нулями[44]44
  Магницкий придерживался той классификации чисел, которая дает каждое новое наименование миллиону низших единиц (биллион – миллион миллионов, и т. д.)


[Закрыть].

Вслед за этим помещены стихи:

 
Число есть бесконечно,
умом нам недотечно,
И никто знает конца,
кроме всех бога творца.
Несть бо нам определьно
тем же есть и бездельно
 
 
Множайших чисел искати
и больше сей писати
Превосходной таблицы,
умов наших границы
И аще кому треба
счисляти что внутрь неба
 
 
Довлеет числа сего
к вещем всем мира сего.
 

Наш старинный математик хотел сказать этими стихами, что так как ум человеческий не может обнять бесконечного ряда чисел, то бесцельно составлять числа больше тех, которые представлены в его таблице, «умов наших границе»; заключающиеся в ней числа (от единицы до квадриллионов включительно) достаточны для исчисления всех вещей видимого мира – достаточны даже для тех, «кому треба счисляти что внутрь неба».

Любопытно отметить, что Магницкий оказался в данном случае прозорливцем. По крайней мере, современная наука в самом деле не ощущает еще нужды в числах высшего наименования, чем квадриллионы, не обращается к числам, превышающим квадриллионы. Расстояния самых отдаленных звездных скоплений, по новейшим оценкам астрономов, исчисляемые 200000 «световыхлет»[45]45
  Световой год – путь, проходимый лучом света в 1 год (свет пробегает в секунду 300000 километров).


[Закрыть], в переводе на километры выражаются триллионами. Это – доступные сильнейшим телескопам видимые границы вселенной. Расстояние всех других звезд, расположенных «внутри неба», выражаются, конечно, меньшими числами. Число звезд исчисляется «всего лишь» сотнями миллионов. Древность старейших из них не превышает, по самой щедрой оценке, биллиона лет. Массы звезд исчисляются тысячами квадриллионов тонн.

Обращаясь в другую сторону, к миру весьма малых величин, мы и здесь не ощущаем пока надобности пользоваться числами свыше квадриллионов. Число молекул в кубическом сантиметре газа – одно из самых больших множеств, реально исчисленных, – выражается десятками триллионов. Число колебаний в секунду для самых быстро колеблющихся волн лучистой энергии (лучей Рентгена) не превышает 40 триллионов. Величина самого малого предмета, какой существует в природе, – атома положительного электричества – все же не меньше триллионной части миллиметра. Если бы мы вздумали подсчитать, сколько ведер воды заключают в себе все океаны земного шара, то и тогда не дошли бы до квадриллионов, потому что при общем объеме в 1440 миллионов куб. километров океаны заключают «всего» 1440 триллионов литров или 120 триллионов ведер. Для подсчета числа капель в океане (считая даже объем капли 1 куб. миллиметр – что весьма немного), нам не понадобилось бы обратиться к наименованиям выше квадриллиона, потому что число это равно 1440 квадриллионам. Правильно, значит, сказал Магницкий о квадриллионе, что

 
довлеет числа сего
к вещем всем мира сего.
 

Кубическая миля и кубический километр

В заключение остановимся на арифметическом (вернее, пожалуй, геометрическом) великане особого рода – на кубической миле; мы имеем в виду географическую милю – длиною в 7 верст или примерно столько же километров. С кубическими мерами наше воображение справляется довольно слабо; мы обычно значительно преуменьшаем их величину – особенно для крупных кубических единиц, с которыми приходится иметь дело в астрономии. Но если мы превратно представляем себе уже кубическую милю – самую большую из наших объемных мер, – то как ошибочны должны быть наши представления об объеме земного шара, других планет, солнца? Стоит поэтому уделить немного времени и внимания, чтобы постараться приобрести о кубической миле более соответствующее представление.

В дальнейшем воспользуемся живописным изложением талантливого германского популяризатора А. Бернштейна, приведя, в слегка измененном виде, длинную выписку из его полузабытой книжечки – «Фантастическое путешествие через вселенную» (появившейся более полувека тому назад).

«Положим, что по прямому шоссе мы можем видеть на целую милю вперед. Сделаем мачту длиною в милю и поставим ее на одном конце дороги, у верстового столба. Теперь взглянем вверх и посмотрим, как высока наша мачта. Положим, что возле этой мачты стоит одинаковой с ней высоты человеческая статуя – статуя в семь верст высоты. В такой статуе колено будет находиться на высоте 900 сажен; нужно было бы поставить один на другой 18 Исаакиевских соборов, чтобы добраться только до колена. Потребовалось бы взгромоздить одну на другую 25 египетских пирамид, чтобы достигнуть поясницы статуи.

Вообразим теперь, что мы поставили две таких мачты вышиною в милю на расстоянии мили одна от другой и соединили обе мачты досками; получилась бы стена в милю длины и милю вышины. Это – квадратная миля.

Если бы подобная стена действительно существовала, например, вдоль Невы в Петрограде, то – заметим мимоходом – климатические условия этого места изменились бы баснословным образом: северная сторона города могла бы иметь еще суровую зиму, когда южная уже наслаждалась бы ранним летом. В марте месяце можно было бы с одной стороны стены прогуливаться в лодке, а с другой – ездить в санях и кататься на коньках… Но мы отвлеклись в сторону.

Мы имеем деревянную стену, стоящую отвесно. Представим себе еще четыре подобных стены, сколоченные вместе, как ящик. Сверху прикроем его крышкой в милю длины и милю ширины. Ящик этот займет объем кубической мили. Посмотрим теперь, как он велик, т. е. что и сколько в нем может поместиться.

Начнем с того, что, сняв крышку, бросим в ящик все здания Петрограда. Они займут там очень немного места. Отправимся в Москву и по дороге захватим все губернские и уездные города. Но так как все это только покрыло дно ящика, то для заполнения его поищем материалов в другом месте. Возьмем Париж со всеми его триумфальными воротами, колоннами, башнями и бросим туда же. Все это летит, как в пропасть; прибавка едва заметна. Прибавим Лондон, Вену, Берлин. Но так как всего этого мало, чтобы хоть сколько-нибудь заполнить пустоту в ящике, то станем бросать туда без разбора все города, крепости, замки, деревни, отдельные здания. Все-таки мало. Бросим туда все, что только сделано руками человека в Европе; но и с этим ящик едва наполняется до одной четверти. Прибавим все корабли мира; но и это мало помогает. Бросим в ящик все египетские пирамиды, все рельсы Старого и Нового Света, все машины и фабрики мира, – все, что сделано людьми в Азии, Африке, Америке, Австралии. Ящик заполняется едва до половины. Встряхнем его, чтобы в нем улеглось ровнее, и попробуем, нельзя ли дополнить его людьми.

Соберем всю солому и всю хлопчатую бумагу, существующую в мире, и расстелем ее в ящике – мы получим слой, предохраняющий людей от ушибов, сопряженных с выполнением подобного опыта. Все население Германии – 50 миллионов человек – уляжется в первом слое. Покроем их мягким слоем в фут толщиною и уложим еще 50 миллионов. Покроем и этот слой и, кладя далее слой на слой, поместим в ящике все население Европы, Азии, Африки, Америки, Австралии… Все это заняло не более 35 слоев, т. е., считая слой толщиной в метр, – всего 35 метров. Понадобилось бы в 50 раз больше людей, чем их существует на свете, чтобы наполнить вторую половину ящика.

Что же нам делать? Если бы мы пожелали поместить в ящике весь животный мир – всех лошадей, быков, ослов, мулов, баранов, верблюдов, на них наложить всех птиц, рыб, змей, все, что летает и ползет, – то и тогда мы не наполнили бы ящика доверху без помощи скал и камней.

Ящик же наш занимает объем всего лишь в одну кубическую милю. Право, можно питать к ней некоторое почтение!

Возможно ли, чтобы кубическая миля была так велика? Неужели ящик в милю длины, ширины и высоты нечем наполнить? Неужели нельзя придумать машины, которая наготовила бы достаточно материала для его заполнения?

Сделаем пробу. Соорудим кирпичный завод и устроим такую машину, которая каждую секунду приготовляет один готовый кирпич в форме куба с ребром в 1 фут. Устроим ее так, чтобы работа шла днем и ночью без перерыва и каждый сделанный кирпич сам укладывался бы в ящик.

Итак, машина пущена. Глаз едва в состоянии следить за работой. Подождем: вероятно, машина скоро окончит свое дело.

Действительно, скоро… Мы можем в точности вычислить это. Ежесекундно машина укладывает один кирпич, в минуту – 60, в час – 3600, в сутки – 86400, в год – около 31 миллиона.

Но сколько подобных кирпичей нужно для заполнения ящика? Квадрат со стороною в 7 верст, или 24500 футов, заключает круглым счетом 600 миллионов квадратных футов. Нужно 600 миллионов кирпичей, чтобы выложить первый слой. А так как фабрика изготовляет ежегодно всего 31 миллион кирпичей, то ясно, что для покрытия только дна ящика нужно около 20 лет.

Ящик же имеет в вышину милю; это значит, что для заполнения его нужно 24500 таких слоев, какие заполняют дно. Сделав умножение, убедимся, что машина наша вовсе не так скоро окончит свою работу, как нам казалось. Она должна день и ночь работать без малого полмиллиона лет, чтобы исполнить свою задачу…

Такова кубическая миля. А из земного шара можно сделать 660 миллионов подобных ящиков! При всем почтении к кубической миле, к земному шару приходится питать еще большее уважение».

Теперь, когда неимоверная огромность кубической мили (около 350 куб. километров) стала до некоторой степени ощущаться читателем, мы прибавим, что целая кубическая миля пшеничных зерен насчитывала бы их «всего» несколько триллионов.

Весьма внушительную вместимость имеет и кубический километр. Нетрудно подсчитать, например, что ящик таких размеров мог бы вместить 5000 биллионов спичек, вплотную уложенных; для изготовления такого количества спичек фабрика, выпускающая миллион спичек в сутки, должна была бы работать 14 миллионов лет; а чтобы такое число спичек доставить, потребовалось бы 10 миллионов вагонов – поезд длиною в 100000 километров, т. е. в 2¹/₂ раза длиннее земного экватора. И все-таки в целом кубическом километре воды содержится не более одного триллиона мельчайших капель (считая объем капли 1 куб. миллиметр), – в миллион раз меньше квадриллиона.

Исполинские размеры триллиона и квадриллиона, после сказанного о кубических миле и километре, еще более вырастают в нашем сознании.