Текст книги "Математика в занимательных рассказах"

Хитрое разрешение мудреной задачи
В.Г. Бенедиктов

Одна баба, торговавшая яйцами, имея у себя к продаже девять десятков яиц, отправила на рынок трех дочерей своих и, вверив старшей и самой смышленой из них десяток, поручила другой 3 десятка, а третьей полсотни. При этом она сказала им:

– Условьтесь наперед между собой насчет цены, по которой вы продавать будете, и от этого условия не отступайтесь; все вы крепко держитесь одной и той же цены; но я надеюсь, что старшая дочь моя, по своей смышлености, даже и при общем между вами условии, по какой цене продавать, сумеет выручить столько за свой десяток, сколько вторая выручит за 3 десятка, да научит вторую сестру выручить за ее 3 десятка столько же, сколько младшая выручит за полсотни. Пусть выручки всех троих да цены будут одинаковы. Притом я желала бы, чтоб вы продали все яйца так, чтобы пришлось круглым счетом не меньше 10 копеек за десяток, а за все 9 десятков – не меньше 90 копеек, или 30-ти алтын.

Задача была мудреная. Дочери, идучи на рынок, стали между собой совещаться, причем вторая и третья обращались к уму и совету старшей.

Та, обдумав дело, сказала:

– Будем, сестры, продавать наши яйца не десятками, как это делалось у нас до сих пор, а семерками: семь яиц – семерик; на каждый семерик и цену положим одну, которой все и будут крепко держаться, как мать сказала. Чур, не опускать с положенной цены ни копейки. За первый семерик алтын, согласны?

– Дешевенько, – сказала вторая.

– Ну, – возразила старшая, – зато мы поднимем цену на те яйца, которые за продажею круглых семериков в корзинах у нас останутся. Я заранее проверила, что яичных торговок, кроме нас, на рынке никого не будет. Сбивать цены некому; на остальное же добро, когда есть спрос, а товар на исходе, известное дело, цена возвышается. Вот мы на остальных-то яйцах и наверстаем.

– А почем будем продавать остальные? – спросила младшая.

– По 3 алтына за каждое яичко. Давай, да и только. Те, кому очень нужно, – дадут.

– Дорогонько, – заметила опять средняя.

– Что ж, – подхватила старшая, – зато первые-то яйца по семеркам пойдут дешево. Одно на другое и наведет.

Согласились.

Пришли на рынок. Каждая из сестер села на своем месте отдельно и продает. Обрадовавшись дешевизне, покупщики и покупщицы бросились к младшей, у которой было полсотни яиц, и все их расхватали. Семерым она продавала по семерику и выручила 7 алтын, а одно яйцо осталось у нее в корзине. Вторая, имевшая 3 десятка, продала 4-м покупательницам по семерику и в корзине у нее осталось два яйца: выручила она 4 алтына. У старшей купили семерик, за который она получила один алтын; 3 яйца осталось.

Вдруг явилась кухарка, посланная барыней на рынок с тем, чтобы купить непременно десяток яиц во что бы то ни стало. На короткое время к барыне в гости приехали сыновья ее, которые страшно любят яичницу. Кухарка туда-сюда по рынку мечется: яйца распроданы; всего у трех торговок, пришедших на рынок, осталось только 6 яиц: у одной – одно яйцо, у другой – 2, у третьей – 3. Давай и те сюда!

Разумеется, кухарка прежде кинулась к той, у которой осталось 3, а это была старшая дочь, продавшая за алтын свой единственный семерик. Кухарка спрашивает:

– Что хочешь за свои 3 яйца?

А та в ответ:

– По три алтына за яичко.

– Что ты? С ума сошла! – говорит кухарка.

А та:

– Как угодно, – говорит, – ниже не отдам. Это последние.

Кухарка бросилась к той, у которой 2 яйца в корзине.

– Почем?

– По 3 алтына. Такая цена установилась. Все яйца вышли.

– А твое яйчишко сколько стоит? – спрашивает кухарка у младшей.

Та отвечает:

– Три алтына.

Нечего делать. Пришлось купить по неслыханной цене.

– Давайте сюда все остальные яйца.

И кухарка дала старшей за ее 3 яйца – 9 алтын, что и составило с имевшимся у нее алтыном – 10; второй заплатила она за ее пару яиц – 6 алтын; с вырученными за 4 семерика 4-мя алтынами это составило также 10 алтын. Младшая получила от кухарки за свое остальное яичко – 3 алтына и, приложив их к 7-ми алтынам, вырученным за проданные прежде 7 семериков, увидела у себя в выручке тоже 10 алтын.

После этого дочери возвратились домой и, отдав матери своей каждая свои 10 алтын, рассказали, как они продавали и как, соблюдая относительно цены одно общее условие, достигли того, что выручки как за один десяток, так и за три десятка и за полсотни оказались одинаковыми.

Мать была очень довольна точным выполнением данного ею дочерям своим поручения и находчивостью своей старшей дочери, по совету которой оно выполнилось; а еще больше осталась довольна тем, что и общая выручка дочерей – 30 алтын, или 90 копеек, – соответствовала ее желанию.

Примечание редактора

УВЕСЕЛИТЕЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА В.Г. БЕНЕДИКТОВА

В библиотеке Русского Общества Любителей Мироведения в Ленинграде хранится найденная лишь в 1924 г. неопубликованная рукопись поэта В.Г. Бенедиктова, посвященная математическим развлечениям (поэт в последние годы жизни посвящал свой досуг занятиям математикой и астрономией).

Рукопись эта представляет собою, по-видимому, вполне законченное сочинение небольшого объема (около двух печатных листов) и является, по всем признакам, не переводом, а трудом самостоятельным. На рукописи нет даты ее составления, но можно установить, что она относится к 1869 году, за пять лет до смерти поэта. Указание это извлечено мною из данных одного расчета в последней главе рукописи, где автор говорит о 7376 годах, «насчитываемых от сотворения мира»: это соответствует, по церковному летосчислению, 1868 годам нашей эры.

Заглавие рукописи неизвестно, так как первый лист не сохранился. О характере же труда и его назначении говорится в кратком «вступлении» следующее:

«Арифметический расчет может быть прилагаем к разным увеселительным занятиям, играм, шуткам и т. п.

Многие так называемые фокусы (подчеркнуто в рукописи) основываются на числовых соображениях, между прочим и производимые при посредстве обыкновенных игральных карт, где принимается в расчет или число самих карт, или число очков, представляемых теми или другими картами, или и то и другое вместе. Некоторые задачи, в решение которых должны входить самые громадные числа, представляют факты любопытные и дают понятие об этих превосходящих всякое воображение числах. Мы вводим их в эту дополнительную часть арифметики. Некоторые вопросы для разрешения их требуют особой изворотливости ума и могут быть решаемы, хотя с первого взгляда кажутся совершенно нелепыми и противоречащими здравому смыслу, как, например, приведенная здесь, между прочим, задача под заглавием «Хитрая продажа яиц». Прикладная практическая часть арифметики требует иногда не только знания теоретических правил, излагаемых в чистой арифметике, но и находчивости, приобретаемой через умственное развитие при знакомстве с различными сторонами не только дел, но и безделиц, которым поэтому дать здесь место мы сочли не излишним».

Сочинение разбито на 20 коротких ненумерованных глав, имеющих каждая особый заголовок – в стиле сходного по содержанию старинного труда Баше-де-Мезирьяка «Занимательные и приятные задачи», единственного сборника арифметических развлечений, с которым наш поэт мог быть знаком. Первые главы носят следующие заголовки: «Так называемые магические квадраты», «Угадывание задуманного числа от 1 до 30», «Угадывание втайне распределенных сумм», «Задуманная втайне цифра, сама по себе обнаруживающаяся», «Узнавание вычеркнутой цифры» и т. п. Затем следует ряд карточных фокусов арифметического характера. После них – любопытная глава «Чародействующий полководец и арифметическая армия» (оригинальный, незаимствованный сюжет); умножение с помощью пальцев, представленное в форме анекдота; перепечатанная нами выше задача с продажей яиц.

Предпоследняя глава «Недостаток в пшеничных зернах для 64 клеток шахматной доски» рассказывает старинную легенду об изобретателе шахматной игры.

Наконец, 20-я глава: «Громадное число живших на земном шаре его обитателей» заключает очень любопытный подсчет. «Предположим, что первоначально от одной пары людей произошло две пары, что от каждой из этих пар произошло по две пары, и потом каждая пара производит две пары. По этому предположению размножение на земле людей шло в геометрической прогрессии: 1, 2, 4, 8, 16, 32… Возьмем столько членов этой прогрессии, сколько могло перейти человеческих поколений в течение 7376 лет, насчитываемых от сотворения мира [по библейскому исчислению; отсюда выясняется дата рукописи: 1869 г.]. Положим на каждое поколение 50 лет». Насчитывая всех поколений, начиная от первой пары человеческих существ, 140 и беря 140 членов прогрессии, автор приходит к выводу, что число всех живших на земле людей достигает 4 септильонов. «Половину из этого числа отбросим, принимая в соображение, что многие из родившихся умирают в младенчестве… Значит, останемся только при двух септильонах». Септильоном Бенедиктов называет единицу с 42 нулями.

Далее, вес этого количества людей – «160 сепстильонов фунтов» – он сопоставляет с «весом» земного шара, который принимает в 3 1/2 квадрильона фунтов (вместо 14 квадрильонов).

Результат получается поистине разительный: общий вес всех прежде живших людей превышает вес, земного шара в 45 триллионов раз. Исправленный расчет дал бы 10 триллионов, что, конечно, мало меняет дело. «Это показывает, заключает автор, что один и тот же вещественный материал, из которого формировались телесные составы живших на свете людей, был в обороте по крайней мере 45 триллионов раз, и за каждую вещественную частицу, перебывавшую в различных живых человеческих телах, могли бы спорить 45 триллионов индивидуумов».

Результат этот станет еще более поразителен, если принять в расчет, что человечество существует на земном шаре не 7 тысяч лет, а около полумиллиона. Далее, надо иметь в виду, что не вся масса земного шара участвовала в «формировании телесных составов живших на свете людей», а только масса поверхностного слоя нашей планеты, составляющего незначительную часть всего объема Земли. Наконец, в споре за «каждую вещественную частицу, перебывавшую в живых телах», должно было предъявить свои права и бесчисленное множество животных, населявших нашу планету, начиная с древнейших геологических эпох…

Все эти ошеломляющие выводы, однако, совершенно нереальны. Они основаны на грубо ошибочном допущении, что каждая пара людей, жившая на Земле, производила две пары. В действительности же огромное число людей погибало, не успев оставить никакого потомства.

Это совершенно опрокидывает приведенные раньше соображения и расчеты. Правильный расчет дает для численности всего прежде жившего человечества цифру порядка только нескольких десятков биллионов.

Масса такого числа людей составляет лишь около одной десятимиллиардной доли массы нашей планеты. При равномерном покрытии земного шара подобный объем образовал слой толщиною, примерно, в 1–2 десятых доли миллиметра. Сказанное даже отдаленно непохоже на необычайную картину, нарисованную Бенедиктовым.

Возвращаясь к рукописи, надо отметить еще, что в период ее составления (1869 г.) на русском языке не было еще ни одного сочинения подобного содержания, не только оригинального, но даже и переводного. Да и на Западе имелись только два старинных французских сочинения – Баше-де-Мезирьяка (1612 г.) и 4-томный труд Озанама (1694 г. и ряд позднейших переизданий). По планировке и отчасти по содержанию сочинение Бенедиктова приближается к книге Баше.

Фокусы с числами

Проделайте внимательно над задуманным числом все выкладки, о которых здесь говорится, – и книга отгадает результат ваших вычислений.

Если результат иной, проверьте свои выкладки и удостоверьтесь, что ошиблись вы, а не книга.

I Задумайте число меньше 10 (кроме нуля)

Умножьте его на 3

К результату прибавьте 2

Полученное умножьте на 3

К результату прибавьте задуманное число

Первую цифру итога зачеркните

К оставшейся прибавьте 2

Полученное разделите на 4

К результату прибавьте 19

II Задумайте число меньше 10 (кроме нуля)

Умножьте его на 5

Полученное удвойте

К результату прибавьте 14

От суммы отнимите 8

Первую цифру результата зачеркните

Оставшееся разделите на 3

К результату прибавьте 10

III Задумайте число меньше 10 (кроме нуля)

Прибавьте к нему 29

Последнюю цифру результата отбросьте

Оставшееся умножьте на 10

К результату прибавьте 4

Полученное умножьте на 3

От результата отнимите 2

IV Задумайте число меньше 10 (кроме нуля)

Умножьте его на 5

Полученное удвойте

От результата отнимите задуманное число

В полученной разности сложите цифры

К итогу прибавьте 2

Сумму возвысьте в квадрат

От полученного числа отнимите 10

Разность разделите на 3

V Задумайте число меньше 10 (кроме нуля)

Умножьте его на 25

Прибавьте 3

Полученное умножьте на 4

Зачеркните первую цифру результата

Оставшееся число возвысьте в квадрат

Цифры результата сложите

Прибавьте 7

VI Задумайте число из двух цифр

Прибавьте к нему 7

Сумму отнимите от 110

К разности прибавьте 15

Прибавьте к итогу задуманное число

Полученное число разделите пополам

От результата отнимите 9

Разность умножьте на 3

VII Задумайте число меньше 100

Прибавьте к нему 12

Сумму отнимите от 130

К разности прибавьте 5

К итогу прибавьте задуманное число

От суммы отнимите 120

Разность умножьте на 7

Отнимите 1

Оставшееся разделите пополам

Прибавьте 30

VIII Задумайте любое число (кроме нуля)

Удвойте его

К полученному прибавьте 1

Вновь полученное умножьте на 5

Отбросьте все цифры, кроме последней

Оставшуюся цифру умножьте на нее же

Сложите цифры результата

IX Задумайте число меньше 100

Прибавьте к нему 20

Полученное число отнимите от 170

От оставшегося отнимите 6

К разности прибавьте задуманное число

В полученном числе сложите цифры

Сумму умножьте на нее же

От итога отнимите 1

Полученное разделите пополам

Прибавьте 8

X Задумайте число из трех цифр

Припишите к нему справа его самого

Полученное число разделите на 7

Результат разделите на задуманное число

Полученное разделите на 11

Результат удвойте

В полученном числе сложите цифры

ОБЪЯСНЕНИЕ «ОТГАДЫВАНИЯ»

I. Если задуманное число а, то проделываемые выкладки таковы:

(3а + 2) × 3 + а = 10а + 6

Получается двухзначный результат, первая цифра которого есть задуманное число, а вторая 6.

Зачеркиванием первой цифры задуманное число исключается. Дальнейшее понятно само собой.

Случаи отгадывания на страницах в заданиях II, III, V, VIII представляют различные видоизменения сейчас описанного.

Иным способом исключается задуманное число в случаях отгадывания на страницах в заданиях IV, VI, VII, IX. Например, в задании IX проделываемые выкладки сначала таковы:

170 – (а + 20) – 6 + а = 144

Дальнейшее понятно само собой.

Особый прием используется при отгадывании задачи Х. Приписать к трехзначному числу справа его самого это то же, что умножить число на 1001 (например, 356 × 1001 = = 356356). Но 1001 = 7 × 11 × 13. Поэтому, если задумано трехзначное число а, то проделываемые выкладки таковы:

Дальнейшее понятно.

Как видите, во всех случаях отгадывание основано на том, что задуманное число при выкладках исключается. Зная это, попробуйте сами придумать несколько новых примеров отгадывания.

Задачи напоследок

Разнообразие погоды

ЗАДАЧА

Будем характеризовать погоду только по одному признаку, – покрыто ли небо облаками или нет, т. е. станем различать лишь дни ясные и пасмурные. Как вы думаете, много ли при таком условии возможно недель с различным чередованием погоды?

Казалось бы, немного: пройдет месяца два, и все комбинации ясных и пасмурных дней в неделе будут исчерпаны; тогда неизбежно повторится одна из тех комбинаций, которые уже наблюдались прежде.

Попробуем, однако, точно подсчитать, сколько различных комбинаций возможно при таких условиях. Это – одна из задач, неожиданно приводящих к пятому математическому действию, то есть – возведению в степень.

Итак: сколькими различными способами могут на одной неделе чередоваться ясные и пасмурные дни?

РЕШЕНИЕ

Первый день недели может быть либо ясный, либо пасмурный; имеем, значит, пока две «комбинации».

В течение двухдневного периода возможны следующие чередования ясных и пасмурных дней:

ясный и ясный

ясный и пасмурный

пасмурный и ясный

пасмурный и пасмурный.

Итого в течение двух дней 22 различного рода чередований. В трехдневный промежуток каждая из четырех комбинаций первых двух дней сочетается с двумя комбинациями третьего дня; всех родов чередований будет

2² × 2 = 23

В течение четырех дней число чередований достигнет

2³ × 2 = 24

За пять дней возможно 25, за шесть дней 26 и, наконец, за неделю 27 = 128 различного рода чередований.

Отсюда следует, что недель с различным порядком следования ясных и пасмурных дней имеется 128. Спустя 128 × 7 = 896 дней непременно должно повториться одно из прежде бывших сочетаний; повторение, конечно, может случиться и раньше, но 896 дней – срок, по истечении которого такое повторение неизбежно. И обратно: может пройти целых два года, даже больше (2 года и 166 дней), в течение которых ни одна неделя по погоде не будет похожа на другую.

Суеверный велосипедист

ЗАДАЧА

До недавнего времени каждому велосипеду присваивался номер подобно тому, как это делается для автомашин. Эти номера были шестизначные.

Некто купил себе велосипед, желая выучиться ездить на нем. Владелец велосипеда оказался на редкость суеверным человеком. Узнав о существовании повреждения велосипеда, именуемого «восьмеркой», он решил, что удачи ему не будет, если ему достанется велосипедный номер, в котором будет хоть одна цифра 8. Однако, идя за получением номера, он утешал себя следующим рассуждением. В написании каждого числа могут участвовать 10 цифр: 0, 1…, 9. Из них «несчастливой» является только цифра 8. Поэтому имеется лишь один шанс из десяти за то, что номер окажется «несчастливым».

Правильно ли было это рассуждение?

РЕШЕНИЕ

Всего имелось 999 999 номеров:

от 000 001, 000 002 и т. д. до 999 999.

Подсчитаем, сколько существует «счастливых» номеров. На первом месте может стоять любая из девяти «счастливых» цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. На втором – также любая из этих девяти цифр. Поэтому существует 9 × 9 = 92 «счастливых» двухзначных комбинаций. К каждой из этих комбинаций можно приписать (на третьем месте) любую из девяти цифр, так что «счастливых» трехзначных комбинаций возможно 92 × 9 = 93.

Таким же образом определяем, что число шестизначных «счастливых» комбинаций равно 96. Следует, однако, учесть, что в это число входит комбинация 000 000, которая непригодна в качестве велосипедного номера. Таким образом, число «счастливых» велосипедных номеров равно 96 – 1 = 531 440, что составляет немногим более 53 % всех номеров, а не 90 %, как предполагал велосипедист.

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что среди семизначных номеров имеется больше «несчастливых» номеров, чем «счастливых».

Тремя двойками

Всем, вероятно, известно, как следует написать три цифры, чтобы изобразить ими возможно большее число. Надо взять три девятки и расположить их так:

999,

т. е. написать третью «сверхстепень» от 9.

Число это столь чудовищно велико, что никакие сравнения не помогают уяснить себе его грандиозность. Число электронов видимой Вселенной ничтожно по сравнению с ним. В моей «Занимательной арифметике» (глава десятая) уже говорилось об этом. Возвращаюсь к этой задаче лишь потому, что хочу предложить здесь по ее образцу другую.

Тремя двойками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.

РЕШЕНИЕ

Под свежим впечатлением трехъярусного расположения девяток вы, вероятно, готовы дать и двойкам такое же расположение:

Однако на этот раз ожидаемого эффекта не получается. Написанное число невелико – меньше даже, чем 222. В самом деле: ведь мы написали всего лишь 24, т. е. 16.

Подлинно наибольшее число из трех двоек – не 222 и не 222 (т. е. 484), а

2²² = 4 × 194 304.

Пример очень поучителен. Он показывает, что в математике опасно поступать по аналогии; она легко может повести к ошибочным заключениям.