Текст книги "Занимательная физика. Книга 2"

Новое решение Колумбовой задачи

Колумб решил свою задачу о том, чтобы поставить яйцо, чересчур уж просто: надломил скорлупу.

Такое решение, в сущности, неверно: надломив скорлупу яйца, Колумб изменил его форму и, следовательно, поставил не яйцо, а другое тело; ведь вся суть здесь в форме яйца – изменяя форму, мы тем самым как бы заменяем его другим телом. Колумб дал решение задачи не для того тела, для которого оно искалось.

А вы можете решить задачу великого мореплавателя, нисколько не изменяя формы яйца, если воспользуетесь свойством волчка; для этого достаточно только привести яйцо во вращательное движение вокруг его длинной оси, и оно будет, не опрокидываясь, стоять некоторое время на тупом или даже на остром конце. Как это сделать – показывают рисунки 27 и 28: яйцу придают вращательное движение, быстро перекатывая его между пальцами. Отняв рýки, вы увидите, что яйцо продолжает еще некоторое время вращаться стоймя: задача Колумба решена!

Рис. 27. Как поставить яйцо, не надламывая его.

Рис. 28. Решение задачи Колумба: яйцо вращается стоймя.

Для опыта необходимо брать непременно вареные яйца[20]20
  Это ограничение не противоречит условию Колумбовой задачи: предложив свою задачу, Колумб взял яйцо тут же со стола, – а к столу, надо полагать, поданы были не сырые яйца.


[Закрыть]. Сколько бы вы ни старались, вам едва ли удастся заставить вращаться сырое яйцо, потому что внутренняя жидкая масса является в данном случае как бы тормозом. В этом, между прочим, состоит простой способ отличать сырые яйца от сваренных вкрутую – секрет, не известный многим хозяйкам.

Уничтоженная тяжесть

На рис. 29 изображен опыт, который, наверное, знаком вам: вращая достаточно быстро стакан с водой, как показано на рисунке, вы достигаете того, что вода не выливается из стакана даже в той части пути, где стакан опрокинут вверх дном.

Вероятно, для вас не составит затруднения объяснить причину столь странного на первый взгляд явления: центробежная сила, стремящаяся удалить вращающееся тело от центра, настолько велика в данном случае, что превышает силу тяжести – естественно, что вода не выливается.

Рис. 29. Вода не выливается из стакана, если заставить его достаточно быстро кружиться.

Напоминаю об этом общеизвестном опыте потому, что хочу предложить читателю задачу: с какою скоростью достаточно вращать стакан, чтобы развить центробежную силу, необходимую для успешности опыта?

Вычисление произвести совсем нетрудно, зная, что ускорение центробежной силы = ^v²/_R, где v O скорость, а R – радиус круга. Мы хотим, чтобы это ускорение было не меньше ускорения, сообщаемого телу силою тяжести, т. е. не меньше 9,8 метра. Допустим для простоты, что длина веревки, на которой вращается наш стакан, равна 1-му метру. Тогда имеем равенство

^v²/_{1 метр} = 9,8 метра,

из которого ясно, что искомая скорость вращения v = √9,8 = 3,14 метра в секунду. Так как длина окружности, описанной радиусом в 1 метр, равна 6,28 метра, то чтобы вода не вылилась, наш стакан должен делать полный оборот в 2 секунды. Подобная быстрота вращения вполне достижима, и опыт обыкновенно удается без труда.

Заметьте, что при таком вращении вес стакана все время меняется: в верхней части пути вес его совершенно уничтожается центробежной силой; зато внизу он удваивается, так как здесь центробежная сила прибавляется к нормальному весу тела.

Вы выступаете в роли Галилея

Одно время для любителей сильных ощущений устраивалось весьма своеобразное развлечение – так называемая «чертова качель». В сборнике научных забав Федо оно описано так:

«Качель подвешена к прочной горизонтальной перекладине, перекинутой через комнату на известной высоте над полом. Когда все сядут, особо приставленный к этому служитель запирает входную дверь, убирает доску, служившую для входа, и, заявив, что он сейчас даст возможность зрителям сделать небольшое воздушное путешествие – по-видимому, начинает легонько раскачивать качель. Вслед за тем он садится сзади качели, подобно кучеру в кэбах, или даже совсем выходит из залы.

Рис. 30. Что кажется пассажирам «чертовой качели».

Между тем размахи качели становятся все больше и больше; она, по-видимому, поднимается до высоты перекладины, потом переходит за нее все выше и выше – и, наконец, описывает полный круг. Движение ускоряется все больше и больше, и качающиеся, хотя по большей части уже предупрежденные, испытывают несомненные ощущения качания и быстрого движения; им кажется, что они несутся вниз головой в пространстве, так что невольно хватаются за спинки сидений, чтобы не упасть.

Но вот размахи начинают уменьшаться; качель не поднимается уже более на высоту перекладины, и еще через несколько секунд останавливается совершенно.

На самом же деле качель все время висела неподвижно, пока продолжался опыт, и, напротив, сама комната, с помощью очень несложного механизма вращалась вокруг зрителей или, лучше сказать, вокруг горизонтальной оси. Всякого рода мебель прочно прикреплена к полу или к стенам залы; лампа, припаянная к столу так, что она, по-видимому, легко может перевернуться, состоит из электрической лампочки накаливания, скрытой под большим колпаком. Служитель, который, по-видимому, раскачивал качель, давая ей легкие толчки, в сущности, сообразовал их с легкими колебаниями залы и делал только вид, что раскачивает. Вся обстановка способствует полному успеху обмана».

Секрет иллюзии, как видите, прост до смешного. И всетаки я убежден, что если бы теперь, уже зная, в чем обман, вы очутились на «чертовой качели» – вы неизбежно поддались бы той же иллюзии. Вы знали бы, что висите неподвижно, и, несмотря на это, все-таки чувствовали бы, что вас кружит вниз головой. Такова сила иллюзии! Помните стихотворение Пушкина «Движение»?

 
Движенья нет, – сказал мудрец брадатый[21]21
  Греческий философ Зенон Элейский (VI в. до Р. Х.), учивший, что все в мире неподвижно и что только вследствие обмана чувств нам кажется, что какое-либо тело движется.


[Закрыть],
Другой[22]22
  Диоген.


[Закрыть] смолчал – и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить.
Хвалили все ответ замысловатый.
 
 
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день над нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей!
 

Среди ваших соседей по «качели», не посвященных в ее секрет, вы были бы своего рода Галилеем – только навыворот: Галилей доказывал, что небо неподвижно, а кружимся, вопреки очевидности, мы сами; вы же будете доказывать, что мы неподвижны, а вся комната вертится вокруг нас. Возможно, что вам пришлось бы при этом испытать и печальную участь Галилея: вам не поверили бы, вас осыпали бы насмешками, как человека, спорящего против самых очевидных вещей…

Мой спор с вами

Вот вам задача: вообразите, что вы в самом деле очутились в «чертовой качели» и хотите доказать своим соседям, что они заблуждаются. Не думайте, что это будет очень просто. Я предлагаю вам вступить со мной в этот спор. Сядем вместе с вами в «чертову качель», дождемся момента, когда, раскачавшись, она начнет, по-видимому, описывать полные круги, и заведем ученый диспут о том, что кружится: качель или вся комната? Прошу только помнить, что во время спора мы не должны покидать качели; все необходимое захватите с собой, пожалуйста, заблаговременно.

Вы. Как можно сомневаться в том, что мы неподвижны, а вертится комната! Ведь если бы нашу качель опрокинуть вверх дном, то мы с вами не повисли бы вниз головой, а выпали бы из нее. Но мы, слава Богу, не падаем. Значит, вертится комната, а не качель.

Рис. 31. Что происходит на самом деле.

Я. Однако, вспомните, что вода из быстро кружащегося стакана не выливается, хотя при вращении он и опрокидывается вверх дном (рис. 29). Велосипедист в «чертовой петле» (см. далее) также не падает, хотя и едет вниз головой. И воду, и велосипедиста удерживает центробежная сила. Быть может, и мы вращаемся с такой скоростью, что центробежная сила уничтожает нашу тяжесть.

Вы. Но мы легко можем вычислить центробежную силу и убедиться, достаточна ли она, чтобы уничтожить силу тяжести. Зная наше расстояние от оси вращения и число оборотов в секунду, мы легко определим по формуле…

Я. Не трудитесь вычислять. Владелец «чертовой качели», зная о нашем споре, предупредил меня, что число оборотов будет вполне достаточно, чтобы явление объяснялось по-моему. Следовательно, вычисление на этот раз ничего не докажет: каждый из нас в праве будет оставаться при своем мнении.

Вы. Но я еще не потерял надежду вас переубедить. Видите, вода из этого стакана не выливается на пол… Впрочем, вы и тут сошлетесь на центробежную силу. Хорошо же: вот отвес – он все время направлен к нашим ногам, т. е. вниз. Если бы вертелись мы, а комната оставалась неподвижной, отвес был бы все время обращен к полу, – т. е. вытягивался бы то к нашим головам, то в стороны.

Я. Ошибаетесь: если бы мы вертелись с достаточной скоростью, – именно так, чтобы центробежное ускорение превышало ускорение тяжести, – отвес все время был бы натянут вдоль радиуса вращения, т. е. к нашим ногам. Это мы и наблюдаем.

Вы. Ну, вот вам, наконец, решающий опыт: я роняю свой портсигар за борт нашей качели, и он падает – прямо в потолок! Ясно, что потолок очутился на месте пола, потому что предметы, сколько известно, вверх не падают.

Я. Опять вы забыли о центробежной силе! Ведь она может преодолеть силу тяжести. Следовательно, ваш портсигар вовсе не должен был упасть непременно на пол: центробежная сила может отбросить его, вопреки силе тяжести, и на потолок и на стены.

Вы. Если так, то я вас поймал вашей центробежной силой. Вы говорите, что комната не вертится, да? Почему же, в таком случае, мой портсигар продолжает спокойно лежать на потолке, а не падает с него на пол?

Я. Меня тоже удивляет, что портсигар, уроненный вами на потолок, так и остался лежать на нем. Но если бы вы были правы, т. е. если бы комната вертелась вокруг нас, – портсигар должен был перекидываться с потолка на пол и на стены.

Вы. Но позвольте: ведь это и доказывает, что комната вертится: портсигар удерживается на потолке тою же центробежною силою, которая так долго помогала вам оспаривать меня.

Теперь она заговорила в мою пользу!

Я. Да, но уверены ли вы, что и пол и, потолок, и все стены не покрыты слоем липкого клея, удерживающим упавшие на него вещи? Любезный владелец «чертовой качели», зная о нашем споре, конечно, предусмотрел это и позаботился о том, чтобы спор затянулся подольше. Как видите, и этот довод пока ничего еще не доказывает.

Финал нашего спора

Теперь позвольте посоветовать вам, как одержать победу в этом споре. Надо взять с собой на «качель» пружинные весы, положить на их чашку гирю, например в 1 фунт, и следить за положением указателя: он все время будет показывать один и тот же вес, именно – один фунт. Это и есть бесспорное доказательство неподвижности качели.

В самом деле: если бы мы вместе с пружинными весами описывали круги около оси, то на гирю, кроме силы тяжести, действовала бы также центробежная сила, которая в нижних точках нашего пути прибавлялась бы к весу гири, а в верхних – отнималась бы от него; мы должны были бы замечать, что гиря то становится тяжелее (вдвое с лишним), то почти ничего не весит. А раз этого не заметно, значит – вращается комната, а не мы.

В заколдованном шаре

Один предприниматель (конечно, американец) устроил для развлечения публики очень забавную и даже поучительную карусель в форме шарообразной вращающейся комнаты. Люди внутри ее испытывают такие необыкновенные ощущения, какие мы считаем возможными разве только во сне или в волшебной сказке.

Чтобы понять устройство этого заколдованного шара, вспомним сначала, что испытывает человек, стоящий на быстро вращающейся круглой платформе. Центробежная сила, развивающаяся при ее вращении, стремится отбросить человека наружу; чем дальше вы стоите от центра, тем сильнее будет клонить и тянуть вас наружу. Если вы закроете глаза, вам будет казаться, что вы стоите не на ровном полу, а на наклонной плоскости, на которой с трудом сохраняете равновесие. Это станет понятно, когда рассмотрим, какие силы действуют здесь на ваше тело (рис. 32). Центробежная сила тянет вас горизонтально; тяжесть – тянет вниз; обе силы, складываясь по правилу параллелограмма, дают равнодействующую силу, которая тянет тело наклонно вниз. Чем быстрее вращается платформа, тем больше становится эта равнодействующая и направляется более отлого.

Рис. 32. Что испытывает человек на краю вращающейся платформы. (Платформа изображена в разрезе.)

Представьте же себе теперь, что край платформы загнут вверх, и вы стоите на этой наклонной, отогнутой части. Если платформа неподвижна, вы в таком положении не удержитесь, а сползете или даже опрокинетесь. Другое дело, если платформа вращается: тогда эта наклонная плоскость станет для вас, при известной скорости, как бы горизонтальной, потому что равнодействующая веса и центробежной силы направится тоже наклонно, под прямым углом к отогнутой части платформы[23]23
  Это, кстати, объясняет, почему на закруглениях железнодорожного пути наружный рельс устраивают выше внутреннего, а также – почему наклоняют внутрь круговую дорожку для велосипедов и почему некоторые велосипедисты-виртуозы могут кататься по круто наклоненному круговому настилу (рис. 34).


[Закрыть].

Рис. 33. Человек спокойно стоит на наклонной части вращающейся платформы.

Легко понять, что чем центробежная сила больше, тем под бóльшим углом должна быть наклонена платформа, чтобы находящийся на ней человек не упал, – и наоборот. Центробежная же сила, как известно, возрастает с удалением от оси. Если вращающейся платформе придать такую кривизну, чтобы при определенной скорости угол наклона ее поверхности в каждой точке соответствовал направлению равнодействующей, то помещенный на ней человек будет чувствовать себя во всех ее точках, как на горизонтальной плоскости. Математическим вычислением найдено, что такая кривая поверхность есть внутренняя поверхность особого геометрического тела – параболоида. Эту поверхность можно получить, если быстро вращать вокруг своей оси стакан, до половины налитый водою: тогда вода у краев поднимется, а в центре опустится, и поверхность ее примет форму параболоида.

Рис. 34. Велосипедист, едущий по наклонной круговой дорожке, удерживается в равновесии центробежной силой.

Если вместо воды в стакан налить растопленный воск и продолжать вращение до тех пор, пока воск не остынет, то затвердевшая поверхность его даст нам точную форму параболоида. При известной скорости вращения такая поверхность является для тяжелых тел как бы горизонтальной: шарик, положенный в любую ее точку, не скатывается вниз, а остается в равновесии (рис. 35).

Теперь легко будет понять устройство заколдованной сферы. Дно ее (см. рис. 36) составляет большая вращающаяся платформа, которой придана кривизна параболоида. Хотя вращение, благодаря скрытому под платформой механизму, совершается чрезвычайно плавно, но все же люди на платформе испытывали бы головокружение, если бы все окружающие предметы не перемещались вместе с ними. Чтобы избежать этого и не дать возможности наблюдателю догадаться, что он движется, вращающуюся платформу помещают внутри большого шара, непрозрачные стенки которого движутся с такою же скоростью, как и сама платформа.

Рис. 35. Если этот бокал вращать с надлежащей скоростью, то шарик не скатится на его дно: равнодействующая (R) силы тяжести (Р) и центробежной силы (С) будет прижимать шарик к стенке.

Рис. 36. Истинное положение людей внутри «заколдованного шара».

Таково устройство «волшебной сферы». Что же испытываете вы, находясь на платформе, внутри сферы? Когда сфера вращается, пол под ногами кажется вам горизонтальным, в какой бы точке кривой платформы вы ни находились – у оси, где пол действительно горизонтален, или у края, где он наклонен на 45 градусов. Если вы перейдете с одного края платформы на другой, то вам покажется, будто весь огромный шар, с легкостью мыльного пузыря, перевалился на другой бок под тяжестью вашего тела: ведь вы во всякой точке чувствуете себя, как на горизонтальной плоскости! Положение же других людей, стоящих в наклонном положении, должно представляться вам до крайности необычайным: вам буквально будет казаться, что люди, как мухи, ходят по стенам.

Вода, вылитая на пол заколдованного шара, растеклась бы ровным слоем по его кривой поверхности. Людям казалось бы, что вода стоит перед ними наклонной стеной…

Еще более удивительные эффекты может создать велосипедист, катающийся внутри этой сферы. Если он станет быстро кружиться на платформе в направлении ее вращения, то развиваемая им центробежная сила присоединится к центробежной силе сферы; вследствие этого, велосипед приобретает такую устойчивость, что может, не опрокидываясь, въезжать на внутренние стенки сферы и кружиться по ним параллельно краям пола. Наблюдателям же на краю платформы будет казаться, что он катится по потолку! Привычные представления о законах тяжести словно отменяются в этом поистине заколдованном шаре, и мы переносимся в сказочный мир чудес…

Рис. 37. Что представляется человеку, находящемуся внутри «заколдованного шара».

«Чертова петля»

Так называется головокружительный велосипедный трюк, нередко исполняемый в цирках: велосипед едет по спирали снизу вверх и описывает полный круг, несмотря на то, что по верхней части круга ему приходится катиться вниз головой. На арене устраивают деревянную дорожку в виде петли с одним или несколькими завитками, как изображено на наших рисунках. Артист съезжает на велосипеде по наклонной части петли, затем быстро взлетает на своем стальном коне вверх, по круговой ее части, совершает полный оборот, буквально вися вниз головой, и благополучно съезжает на землю. Теперь этот цирковой трюк довольно обычен, но лет 60–70 тому назад он был еще новинкой. Мы приводим здесь старинную афишу одного лондонского цирка, относящуюся к 40-м годам прошлого века – едва ли не первое объявление о «чертовой петле» (рис. 38).

Этот головоломный велосипедный фокус кажется зрителям верхом акробатического искусства. Озадаченная публика в недоумении спрашивает себя: какая таинственная сила удерживает смельчака вниз головой? Недоверчиво настроенные готовы подозревать здесь ловкий обман – какие-нибудь искусно скрытые веревки, поддерживающие велосипедиста, или что-нибудь в этом роде.

Рис. 38[24]24
  * Фут (англ. foot – ступня) – британская, американская и старорусская единица измерения расстояния, равная 30,48 сантиметрам. Не входит в систему СИ. – Прим. изд.


[Закрыть]. Самое старое объявление о «чертовой петле». Английская афиша 40-х годов прошлого века.

«Чертова петля» изображена на рисунке неправильно – с такой петли тележка неминуемо должна сорваться. Почему?

Между тем, в этом фокусе нет ничего сверхъестественного. Все объясняется законами механики.

Никакого особенного умения или знания какого-либо секрета от артиста не требуется: бильярдный шар, пущенный по этой дорожке, с не меньшим успехом выполнил бы тот же фокус. На старинном рисунке английской афиши вы видите не велосипед, а простую тележку, скользящую по рельсам.

Наш читатель, конечно, догадывается, какая сила уничтожает здесь вес велосипедиста и его стального коня и прижимает его вниз головой к дорожке «чертовой петли». Это все та же центробежная сила, которая уже объяснила нам несколько загадочных явлений. Однако фокус удается не всегда: необходимо в точности рассчитать высоту, с которой велосипедист должен начать свое движение – иначе центробежная сила может оказаться не достаточной для уничтожения его веса, и тогда фокус может кончиться очень печально.

Рис. 39. Простая «чертова петля».

Математика в цирке

Я знаю, что длинные ряды «бездушных» формул отпугивают весьма многих любителей физики. Но, право же, отказываясь от знакомства с математической стороной явлений, такие недруги математики лишают себя огромного удовольствия заранее предвидеть ход явления и определять все его условия. В данном, например, случае две-три «бездушные» формулы помогут нам в точности определить, при каких условиях возможно успешное выполнение столь удивительного фокуса, как «чертова петля».

Приступим же к расчетам.

Обозначим буквами разные величины, с которыми нам придется вести расчеты:

Буквой h обозначим высоту, с которой скатывается велосипедист.

Буквой r обозначим радиус «петли».

Буквой m – общую массу артиста вместе с велосипедом; вес их выразится тогда через mg.

Буквой g – ускорение силы тяжести на земной поверхности; оно равно 9,8 метра.

Буквой v₁ обозначим скорость велосипеда в тот момент, когда он достигает конца наклонной дорожки и начинает описывать круг.

Буквой v₂ – скорость велосипеда в самой верхней точке круга.

Все эти величины мы можем связать двумя равенствами. Во-первых, мы знаем, что скорость v₁ тела в нижней точки наклонного пути равна

v₁ = √(2gh), откуда: v₁² = 2gh. (1)

Во-вторых, воспользуемся так называемым «уравнением живых сил»: работа силы, действующей на тело на некотором пути, равна изменению живой силы тела во время прохождения этого пути. Изменение живой силы на пути от точки А до точки В «чертовой петли» (рис. 40) равна разности

(mv₁²)/2 – (mv₂²)/2.

Работа же, произведенная на этом пути, равна работе силы тяжести при поднятии груза mg (вес артиста вместе с велосипедом) на высоту 2r (поперечник петли); эта работа выражается произведением mg × 2r = 2mgr. Итак, мы можем написать равенство

(mv₁²)/2 – (mv₂²)/2 = 2mgr. (2)

Рис. 40. Расчет «чертовой петли».

Для того, чтобы велосипедист, достигнув высшей точки кругового пути, не упал вниз, нужно, чтобы развивающаяся при этом центробежная сила была больше, нежели вес артиста вместе с велосипедом, т. е. надо, чтобы

Подставив в уравнение (2) вместо v₁² равную величину 2gh (см. уравнение 1-е), имеем

Подставив это значение ^v₂² в неравенство (3), имеем:

В результате вычислений мы узнали, что для успешного выполнения этого головоломного фокуса необходимо устроить «чертову петлю» так, чтобы поперечник круговой части (т. е. петли) был не больше ⁴/₅ высоты наклонной части пути. Крутизна наклона, как видите, роли не играет, – нужно только, чтобы пункт, с которого велосипедист начинает спускаться, возвышался над вершиной петли более чем на ¹/₄ ее поперечника. (При двойной «чертовой петле», изображенной на рис. 41, вершина второй петли должна быть ниже первой.) Если, например, петля имеет в поперечнике 8 саженей, то артист должен начать спуск не менее чем с 10-саженной высоты. Не выполни он этого условия – и никакое искусство не поможет ему описать «чертову петлю»: достигнув ее верхней части, он неминуемо сорвется вниз, так как центробежная сила не будет достаточна, чтобы противодействовать силе тяжести.

Рис. 41. Двойная «чертова петля».

Поэтому, между прочим, ошибочно изображение «чертовой петли» на приведенной ранее старинной афише (рис. 38): вершина петли чересчур приподнята. На такой петле катастрофа неминуема.

Надо заметить, что при исполнении этого трюка велосипедист едет без цепи, предоставляя свою машину действию тяжести: ни ускорить, ни замедлить своего движения он не может. Все искусство артиста заключается в том, чтобы держаться середины деревянной дорожки; при малейшем уклонении он рискует съехать с дорожки и быть с силою отброшенным в сторону. Скорость движения велосипедиста по кругу весьма велика: при круге с поперечником в 8 саженей он совершает оборот в 3 секунды. Это соответствует скорости 120 верст в час! Управлять велосипедом при такой быстроте, конечно, немыслимо; но этого и не надо: можно смело положиться на законы механики.