Текст книги "Логика. Краткий курс"

Деление и классификация

Деление – это выделение частей объема общего имени или частей значения единичного имени на основе характеристики, называемой основанием деления. Деление первого вида называется таксономическим, а второго – мереологическим. Исходное имя называется делимым именем, или делимым понятием, а имена получаемых частей называются членами деления.

Таксономическое деление. Различают таксономические деления по изменению видообразующего признака и дихотомическое.

В делениях по изменению видообразующего признака члены деления выделяются на основании изменения характеристики, выступающей в качестве основания деления.

Пример 1. Люди, имеющие какое-то образование, делятся на имеющих начальное, неполное среднее, среднее, незаконченное высшее, высшее образование. Основание деления – изменение степени образования.

Пример 2. «В зависимости от специфики изучаемого предмета науки традиционно делятся на естественные, социально-гуманитарные и технические. Считается, что сфера интересов естественных наук – природа, социально-гуманитарных – жизнедеятельность человека, а технические науки являются продуктом изучения техники, или “искусственного мира” – специфического результата воздействия человека на природу»1111
  Берков В.Ф. Философия и методология науки. М., 2004. С. 18.


[Закрыть].

Сами видовые имена, получаемые в результате деления исходного имени, тоже могут оказаться объектами деления. В таком случае деление будет многоступенчатым. Например, государства можно делить на виды по месту расположения, а затем делить с точки зрения государственного устройства: унитарные (единое государственное образование); федерации (союз юридически относительно самостоятельных государственных образований – союзных республик, штатов, земель и т. д.); конфедерации (государственно-правовые образования).

Дихотомическое деление – это деление объема имени на два класса, предметы одного из которых характеризуются какой-то системой признаков, а предметы второго – отсутствием этой системы признаков. Частным случаем системы признаков является наличие или отсутствие свойства. Само слово «дихотоми΄я» имеет греческое происхождение и может быть переведено как «деление на две части», а буквально означает «сечение на две части». Пример: люди делятся на имеющих постоянное место жительства и не имеющих постоянного места жительства.

Дихотомическое деление тоже может быть многоступенчатым.

Например, учащиеся делятся на прилежных и не прилежных, а те и другие – на добросовестных и не добросовестных.

Мереологическое деление. От таксономического деления нужно отличать операцию членения предмета на составляющие части, или операцию анализа.

При таксономическом делении между делимым именем и членами деления (их объемами), имеет место отношение «род—вид». Это отношение (таксономическое) и дало название указанному виду деления. (Таксоно´мия – расположение в закономерном порядке. Этот термин заимствован из биологии, где классификация объектов по типу «род—вид» широко распространена.) В соответствии с такой терминологией объемы видовых имен называются таксонами.

Между результатами анализа и исходным объектом имеет место отношение «часть—целое», называемое мереологическим отношением. (Последний термин получил распространение после появления работ польского логика С. Лесневского, назвавшего мереологией раздел логики, в котором описывается указанное отношение.)

В настоящее время делением называют не только таксономическое деление, но и членение значения имени о предмете по типу «целое – часть» в аспекте какой-либо характеристики частей. При этом делении осуществляется переход от имени предмета (делимого имени) к именам частей этого предмета (к членам деления).

Мереологическое деление тоже может быть одноступенчатым и мно-гоступенчатым.

Каким является следующее деление? Стратегические вооружения делятся на наступательные и оборонительные; наступательные – на межконтинентальные баллистические ракеты (МКБР), баллистические ракеты на подводных лодках (БРПЛ), стратегические бомбардировщики (СБ); оборонительные – на наземные системы противоракетной обороны (НЗ СПРО), космические системы противоракетной обороны (К СПРО), воздушные системы противоракетной обороны (В СПРО).

Это многоступенчатое таксономическое деление. Правильное оно или нет? Очевидно, что неправильное, поскольку К СПРО являются также видом наступательного оружия, то есть оружием двойного назначения. Как исправить деление? Будет ли деление правильным, если К СПРО включить также в класс видов наступательных вооружений? Чтобы отвечать на вопросы такого типа, нужно изучить правила деления.

Правила деления. Ошибки в делениях.

Правило 1. Деление должно быть соразмерным, т. е. в случае таксономического деления объединение объемов членов деления должно дать объем делимого имени, а в случае мереологического деления мысленное соединение значений членов деления (частей предмета) должно составить делимый предмет.

При нарушении этого правила могут возникать следующие ошибки.

(а) «Неполное деление». Эта ошибка имеет место, если объединение объемов членов деления в случае таксономического деления составляет лишь часть объема делимого имени (не совпадающую с объемом), а в случае мереологического – если мысленное соединение частей составляет лишь часть делимого предмета (не совпадающую с предметом). Пример: треугольники делятся на остроугольные и тупоугольные (пропущен член «прямоугольные треугольники»);

б) «Деление с излишними членами». Эта ошибка совершается в тех случаях, когда в число членов деления включают имена, объемы которых не входят в объем делимого имени (в случае таксономического деления), а также когда к членам деления относят имена, значения которых не являются частями делимого предмета (в случае мереологического деления). Примеры: химические элементы делятся на металлы, неметаллы и сплавы (сплавы не являются химическими элементами).

Правило 2. Деление должно производиться по одному основанию, т. е. характеристика, выбираемая в качестве основания деления, в ходе деления не должна подменяться другой характеристикой.

При нарушении этого правила возникает ошибка, имеющая название «сбивчивое деление». Пример сбивчивого деления: животные делятся на домашних, диких и травоядных. Члены деления «домашние животные» и «дикие животные» выделены по одному основанию, а член деления «травоядные животные» – по другому.

Это правило относится к таксономическому делению. Его можно распространять и на мереологическое деление. Если часть членов мереологического деления выделяется в аспекте одного основания, а часть – в аспекте другого, то деление является сбивчивым.

Правило 3. Члены деления должны исключать друг друга, т. е. их объемы не должны иметь общих элементов в случае таксономического деления и их значения не должны иметь общих частей в случае мереологического деления. Пример: треугольники делятся на равнобедренные, равносторонние и разносторонние (члены деления не исключают друг друга, если равнобедренными треугольниками называть те, у которых, по крайней мере, две стороны равны).

Правило 4. Деление должно быть последовательным, т. е. в случае таксономического деления от родового имени следует переходить к видовым именам одного и того же уровня, а в случае мереологического – от целого к его частям, а от частей – к частям частей и т. д.

Ошибка, возникающая при нарушении этого правила, носит название «скачок в делении». Примеры неправильных делений: живые существа делятся на растения, позвоночных животных и беспозвоночных животных; скелет человека делится на скелет позвоночника, скелет грудной клетки, скелет головы и скелеты конечностей. Примеры правильных делений: живые существа делятся на растения и животных, растения – на однолетние и многолетние, животные – на позвоночных и беспозвоночных; скелет человека делится на скелеты конечностей, скелет туловища и скелет головы.

Классификация. Известный философ А. Л. Субботин о значении классификации пишет: «Предметы, отношения и явления природы столь многочисленны и разнообразны, что вряд ли когда-либо могли стать объектами успешного изучения, если бы не были приведены для этого в удобную систему, способную ограничить рассмотрение бесконечного множества отдельных объектов немногими. Такой системой в науке выступает классификация, распределение тех или иных предметов, отношений и явлений природы по группам на основании имеющегося у них сходства, или общности свойств. Таким образом, объектом непосредственного изучения становится целая группа – вид, род, класс – объектов, или, если хотите, те отдельные объекты, которые представляют целую группу объектов, поскольку несут в себе их характерные черты. Такого рода систематизацию, достаточно широкую и общую или же локальную и частную, предполагает практически любая отрасль науки. Этим группам объектов даются определенные, однозначные наименования, в своей совокупности образующие так называемую номенклатуру классификации. В качестве примеров номенклатуры упомянем хотя бы наименования у сотен тысяч видов растений и насекомых в ботанике и энтомологии или названия различных классов химических соединений в химии. Номенклатура составляет важную часть науки; она не дает потеряться в бесчисленных частностях отдельных объектов и заблудиться в лабиринте их многочисленных разновидностей»1212
  Субботин А. Л. Концепция методологии естествознания Джона Гершеля (из истории английского индуктивизма). М., 2007. С. 32–33.


[Закрыть].

Слово «классификация» происходит от латинских слов classis (разряд, класс, группа) и facere (делать). Классифицировать – образовывать классы, разряды, группировать. Эта операция предполагает также установление определенных отношений между образованными группами. То есть, классификация – особый вид систематизации предметов. Систематизация – образование системы или систем предметов. Будем, вслед за А. Л. Субботиным, процесс образования указанных систем называть классифицированием, а результаты этих процессов – классификациями. Классификация представляет собой особого вида деление или систему мереологических или таксономических делений. (В одной и той же классификации могут встречаться как таксономические, так и мереологические деления.)

Классификации отличаются от делений, не являющихся таковыми, рядом свойств.

Свойство первое. Классификация – это деление или система последовательных делений, которые произведены с точки зрения характеристик, в частности признаков, существенных для решения теоретической или практической задачи.

Чаще всего трудность классифицирования заключается именно в нахождении характеристики, используемой в качестве основания деления или системы делений и важной для решения тех или иных теоретических или практических проблем.

Второе свойство. В классификации предметы так распределены по группам, что по их месту в классификации можно судить об их свойствах. Предметы группы имеют определенное название1313
  Карл Линней по этому поводу пишет: «…Необходимо соединить … точное и определенное понятие с определенным названием. Пренебрежение этим приведет к тому, что все множество вещей нас подавит и всякий обмен сведениями прекратится из-за отсутствия общего языка». Цит. по: Капица С. П. Указ. соч. С. 274.


[Закрыть]. Примером может служить периодическая система химических элементов Д. И. Менделеева.

Третье свойство. Результаты классификации представлены или, по крайней мере, могут быть представлены, в виде таблиц или схем.

Пример таблицы – таблица Д. И. Менделеева.

В классификации должны соблюдаться перечисленные выше правила деления.

Кроме рассмотренной классификации, называемой естественной, в повседневной жизни, а также в науке на начальных стадиях исследования применяется так называемая искусственная классификация, т. е. распределение предметов на классы по несущественным признакам. Такой классификацией, например, является распределение фамилий в алфавитном порядке.

Искусственная классификация интересных идей может производиться при чтении научной и другой литературы. Можно, например, пронумеровать тетради, в которых делаются заметки. Пусть это будут тетради А, В и С. Можно в каждой тетради нумеровать работы (книги, статьи и т. д.), при чтении которых делаются заметки – отмечаются интересные мысли, факты, собственные соображения читающего и т. д., а также нумеровать сами заметки. Например, сделаны заметки 1–124 относительно книги, получившей номер 6 в тетради В. Указанная классификация идей не является, конечно, естественной, но ее можно использовать для нахождения нужного вспомогательного материала при написании научной работы.

Творческая работа (сочинение, доклад, статья) пишется на основе плана. План представляет собой естественную классификацию, являющуюся многоступенчатым делением, чаще всего системой таксономических и мереологических делений. Составлению плана предшествуют формулировка проблемы, которую предстоит решить, и нахождение идеи ее решения. Следует стремиться к составлению оптимального плана, то есть не слишком дробного и не слишком общего1414
  «…Можно отметить, что когда делений производят слишком мало или слишком много, и то и другое является недостатком, ибо первое не позволяет просветить ум в должной мере, а второе слишком рассеивает его» (Арно А., Николь П. Указ. соч. С. 165).


[Закрыть]. При составлении плана должны соблюдаться все правила деления.

После того, как составлен план работы, можно систематизировать произведенные ранее заметки. Заметки распределяются по главам и параграфам будущей работы, если работа носит обзорный или исторический характер. Например, если при написании § 3 главы 2 пригодятся заметки тетради А по книге 6, помеченные номерами 16, 18, 24, 25, то в плане к этому параграфу добавляется запись: А–6–16, 18, 24, 25 и т. д.

Не составляет труда сделать компьютерный вариант указанной классификации. Тогда содержание заметок можно перенести на соответствующие места плана работы.

Суждение

Что такое суждение? Разъясним на примерах. Суждения – это мысли, которые выражаются следующими предложениями: «Луна светит отраженным светом», «Терпение горько, но плод его сладок», «Бездарные люди чрезвычайно требовательные критики, не умея сделать наименьшее из возможного, от других они требуют совершенно невозможного», «Некоторые люди думают, что они живут, а на самом деле им это только кажется».

Суждения – это мысли, в которых утверждаются наличия или отсутствия каких-либо положений дел. Эти мысли выражаются, как правило, повествовательными предложениями и могут оцениваться как истинные или ложные.

Из сказанного о суждениях нельзя образовать определение суждения. В каких случаях выражения не определяются? Таких случаев несколько. Первый – нет необходимости в определении (выражение ясно без определения или для решения познавательной задачи определение не требуется). Этот случай здесь не подходит. Нам бы хотелось дать определение суждения. Второй – не можем определить, так как не знаем, как это сделать. Этот случай здесь тоже не подходит, так как автор данного текста знает, как определить суждение. Третий – можно дать определение, но для этого нужно описать все элементарные суждения (простые), а затем описать все способы образования из некоторых суждений других, более сложных, суждений. Такие определения называются индуктивными. Поскольку в книге будут изложены не все простые суждения и не все способы образования сложных суждений, придется отказаться от определения суждения. Можно, конечно, дать номинальное определение суждения, сказав, что в данном учебнике под суждениями понимаются все перечисленные простые суждения и все суждения, которые образованы из суждений посредством, опять же перечисляемых, способов.

Заметим, что логическая культура заключается не только в том, что человек дает правильные определения (или другие разъяснения) выражений, когда это нужно, но и в том, что он осознает невозможность определения на данном этапе познания.

Простые суждения. Простым называется суждение, в котором нельзя выделить часть, в свою очередь являющуюся суждением. Сложными называются суждения, в которых можно выделить часть, являющуюся суждением. (Имеется в виду часть, не совпадающая с целым.)

Вопрос. Какие из следующих суждений являются сложными, а какие простыми? (1) Идет дождь, и идет снег. (2) Возможно, что в следующем году будет солнечное затмение. (3) Неверно, что в будущем году будет солнечное затмение. (4) Каждый человек способен получить среднее образование.

Ответ. Суждение (1) сложное. Суждения (2) и (3) тоже сложные, так как из второго суждения, как и из третьего, можно образовать суждение «В следующем году будет солнечное затмение». Четвертое суждение простое, поскольку, если отбросить слово «каждый», то будет получено выражение «Человек способен получить высшее образование», не являющееся суждением, поскольку не ясно без контекста, о любом человеке идет речь или о некоторых людях.

Среди простых суждений выделяют атрибутивные, или категорические, суждения и суждения об отношениях.

Атрибутивные (категорические) суждения. Атрибутивными называются суждения, в которых выражается принадлежность предметам свойств или отсутствие у предметов каких-либо свойств. Атрибутивные суждения можно истолковать как суждения о полном или частичном включении или не включении одного множества предметов в другое или как суждения о принадлежности или непринадлежности предмета классу предметов.

Примеры: «Некоторые учащиеся являются несовершеннолетними». «Ни один кит не является рыбой». «Аргентина – республика». В каждом атрибутивном суждении есть субъект (логическое подлежащее), предикат (логическое сказуемое) и связка (в предложениях русского языка, выражающих атрибутивные суждения, связка иногда лишь подразумевается), а в некоторых имеются еще и так называемые кванторные (количественные) слова («некоторые», «все», «ни один» и др.). Субъект и предикат называются терминами суждения.

Субъект часто обозначается латинской буквой S или s (от лат. subjectum)1515
  Заглавными латинскими буквами обозначаются общие имена, а строчными – единичные.


[Закрыть], а предикат – Р (от лат. praedicatum). В суждении «Некоторая наука не является гуманитарной» субъект (S) – «наука», предикат (P) – «гуманитарная», связка – «не является», а «некоторая» – кванторное слово.

Атрибутивные суждения делятся на виды «по качеству» и «по количеству».

По качеству они делятся на утвердительные и отрицательные. В утвердительных выражается полное или частичное включение класса предметов в класс предметов или же принадлежность некоторого предмета классу предметов. В отрицательных – невключение класса (части класса) в некоторый класс предметов, непринадлежность предмета классу предметов. Суждение «Полынь является лекарственным растением» – утвердительное, а суждение «Солнце не является планетой» – отрицательное.

По количеству атрибутивные суждения делятся на единичные, общие и частные. В единичных суждениях выражается принадлежность или непринадлежность предмета классу предметов. Пример: «Австрия – европейская страна». В общих – включение или невключение класса предметов в класс. Примеры: «Все металлы являются электропроводными». «Ни одна звезда не является обитаемой». В частных суждениях выражается частичное включение или невключение класса предметов в класс предметов. Примеры: «Некоторые спортсмены являются чемпионами мира». «Некоторые политики являются ораторами». В частных суждениях слово «некоторые» употребляется в смысле «по крайней мере один, а может быть, и все», поэтому, например, суждение «Некоторые белки` не являются живыми существами» истинно, так как ни один бело`к не является живым существом.

При решении вопроса о правильности или неправильности рассуждений и в некоторых других случаях используется так называемое объединенное деление атрибутивных суждений по качеству и количеству на общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные.

Общеутвердительными являются суждения, которые общие и утвердительные.

Общеотрицательное суждение является общим и отрицательным.

Частноутвердительное суждение – частное и утвердительное.

Частноотрицательное суждение – это суждение, являющееся частным и отрицательным.

Структура общеутвердительного суждения:

каждый (все) S есть (суть) Р; (обозначение: А (или SaP)).

Структура частноутвердительного суждения:

некоторый (некоторые) S есть (суть) Р; (обозначение: I (или SiP)).

Структура общеотрицательного суждения:

каждый (ни один) S не есть Р; (обозначение: E (или SeP)).

Структура частноотрицательного суждения:

некоторый (некоторые) S не есть (не суть) P; (обозначение: O (или SoP)).

Структура единичных суждений: s есть P (единичноутвердительное), s не есть P (единичноотрицательное).

Суждения об отношениях. Суждения, в которых говорится о том, что определенное отношение имеет место (или не имеет места) между элементами пар, троек и т. д. предметов, называются суждениями об отношениях; таковыми являются, например, суждения: «Москва больше Рязани», «Каждый родитель знает некоторых учителей лучше, чем некоторых спортсменов». В первом суждении утверждается, что отношение «больший» имеет место между Москвой и Рязанью, во втором утверждается, что отношение «знающий лучше, чем» имеет место между каждым родителем, некоторыми учителями и некоторыми спортсменами.

Суждения об отношениях делятся по качеству на утвердительные и отрицательные. В утвердительных суждениях об отношениях говорится о том, что предметы находятся в определенном отношении. В отрицательных говорится о том, что предметы не находятся в определенном отношении.

Суждения об отношениях делятся на виды и по количеству. Так, суждения о двухместных отношениях делятся по количеству на единично-единичные, обще-общие, частно-частные, единично-общие, единично-частные, обще-единичные, частно-единичные, обще-частные, частно-общие.

Примеры этих суждений: «Иванов выше Петрова» (единично-единичные). «Каждый ученик нашего класса знает каждого учителя нашей школы» (обще-общее). «Некоторые ученики нашего класса знают некоторых чемпионов мира» (частно-частное). «Иванов знает каждого ученика нашего класса» (единично-общее). «Иванов изучает некоторые науки» (единично-частное). «Все ученики нашего класса изучают английский язык» (обще-единичное). «Некоторые ученики нашего класса изучают французский язык» (частно-единичное). «Каждый ученик нашего класса знает какого-нибудь спортсмена» (обще-частное). «Некоторые ученики нашего класса знают каждого футболиста московского “Динамо”» (частно-общее).

Аналогично деление на виды по количеству суждений о трехместных, четырехместных и т. д. отношениях. Так, суждение «Некоторые студенты МГУ знают некоторые древние языки лучше любого современного иностранного языка» является частно-частно-общим.

Кроме атрибутивных суждений и суждений об отношениях иногда в качестве специальных видов простых суждений выделяют суждения существования (типа «Инопланетяне существуют») и суждения тождества (равенства) (типа «2² = 4»). Мы не рассматриваем суждения этих видов, поскольку суждения существования можно, с определенными оговорками, истолковать как атрибутивные, суждения равенства – как суждения об отношениях.

Сложные суждения. Сложные суждения образуются из простых, а также из других сложных суждений с помощью союзов «если…, то…», «или», «и», и т. д., с помощью отрицания «неверно, что», модальных терминов «возможно, что», «необходимо, что», «случайно, что», и т. д. Эти союзы в обыденном языке употребляются в различных смыслах. В научном и деловом языках им придается точный смысл.

Соединительные суждения – это суждения, в которых утверждается наличие двух или более ситуаций. Пример: «Взошло солнце, настало утро». Чаще всего такие утверждения выражаются посредством предложений, содержащих союз «и».

Как уже было сказано, встречающийся в естественном языке союз «и» употребляется в нескольких значениях. Сравним суждения: «Идет дождь, и светит солнце», «Я вышел на улицу и (я) сломал ногу». Если в первом суждении можно переставить составляющие его простые суждения без изменения смысла суждения в целом, то во втором суждении этого сделать нельзя.

В связи с тем, что грамматический союз «и» употребляется в разных смыслах, выделяют разные виды соединительных суждений.

Первый. Одновременно-конъюнктивное – это суждение, в котором утверждается одновременное существование двух ситуаций. Оно образуется из двух суждений посредством союза, обозначаемого знаком &⁼, называемым знаком одновременной конъюнкции. Выражение «A&⁼B» читается «A и одновременно B».

Второй. Последовательно-конъюнктивное – это суждение, в котором утверждается последовательное возникновение или существование двух или более ситуаций. Последовательно-конъюнктивные суждения образуются из двух или более суждений при помощи союзов, обозначаемых символами &^→2, &^→3 и т. д. в зависимости от числа суждений, из которых они образуются. Эти символы называются знаками последовательной конъюнкции и соответственно читаются «…, а затем…», «…, затем…, а затем…» и т. д. Индексы 2, 3 и т. д. указывают на местность союза. Структура суждения с двухместным союзом: &^→2(A,B), или А&^→2В. Пример: «Прошел дождь, а затем засияло солнце». Вместо выражения «а затем» чаще всего употребляется союз «и»: «Прошел дождь, и засияло солнце». Структура суждения с трехместным союзом: &^→3(A,B,C). Пример: «Петров вышел из дома, сломал ногу, и его отправили в больницу».

Третий. Последовательно-одновременно-конъюнктивное – это суждение, в котором утверждается последовательное возникновение двух, трех и т. д. ситуаций, а потом их одновременное существование. Они образуются из двух или более суждений при помощи союзов, обозначаемых символами &^→2,=, &^→3,= и т. д. в зависимости от числа суждений, из которых они образуются. Примеры: «Шел дождь, потом пошел снег, хотя дождь продолжил идти». «Шел дождь, потом пошел снег, потом поднялся ветер, хотя дождь и снег продолжали идти, и ветер продолжался». Обозначим суждения «Шел снег», «Шел дождь», «Поднялся ветер», соответственно, буквами A, B, C.

Структура первого суждения: &^→2,=(A, B), структура второго: &^→3,=(A, B, C).

Задание. Опишите другие виды утверждений о наличии двух, трех и т. д. ситуаций, то есть другие виды соединительных суждений. Рассмотрите возможность сведения этих суждений к сложным суждениям, состоящим только из суждений вида A&⁼B, А&^→2В, &^→3(A, B, C)… .

Замечание. В каждой науке, достаточно развитой, выделяют два уровня исследований – эмпирический и теоретический. На первом уровне производится сбор фактов (накопление информации об исследуемых объектах). В данном случае мы «собрали» такие факты: соединительные суждения образуются из других суждений посредством союзов, обозначаемых знаками &⁼, &^→2, &^→3 …, &^→2,=, &^→3,=…, и посредством других союзов.

Аналогично поступали математики Древнего Египта. Сначала они накапливали информацию о площадях конкретных треугольников. Возникала проблема хранения этих знаний, поскольку требовалось много папируса. Если бы они знали, как вычислять площадь любого треугольника, то эта проблема отпала бы. В настоящее время хранение информации упростилось, поскольку появились электронные носители информации, да и бумага стоит не так дорого, как папирус. Но дело не только в хранении информации. Реальные треугольники не полностью соответствуют геометрическим. Они не такие правильные. Определять их площади труднее, чем определять площади воображаемых геометрических треугольников. Задача науки – упрощать возникающие проблемные ситуации, чтобы их легче было решать. Особенно это важно в условиях «массового» образования, когда к научным знаниям приобщаются не только талантливые, а в большинстве случаев, люди со средними способностями. В такой ситуации требуются упрощения явлений, чтобы можно было в этих явлениях ориентироваться. Как упростить учение о соединительных суждениях? Создадим модель, выделяющую то, что есть общего в различных соединительных союзах. Сначала зрительно отметим, что во всех приведенных союзах (&⁼, &^→2, &^→3 …, &^→2,=, &^→3,=…,) есть знак &. Этим знаком выражается общее свойство союзов: при ложности хотя бы одного из суждений, из которых образовано сложное соединительное суждение, сложное суждение ложно. Однако, если все составляющие суждения истинны, сложное суждение еще не истинно. Например, утверждается, что шел дождь, и (одновременно) шел снег. Пусть истинно, что шел дождь, и истинно, что шел снег. Однако чтобы суждение было истинным, нужно выяснить, было ли это одновременно или нет. Если одновременно, то истинно, а если нет, то ложно. Создадим такую модель соединительной связи: суждение A&B истинно, если и только если истинно как A, так и B. Это определение союза & является контекстуальным. Определение можно представить в виде таблицы, называемой таблицей истинности.

Буквами и и л обозначены значения «истина» и «ложь».

Будем называть суждение A&B (просто) конъюнктивным, или неопределенно конъюнктивным. Такое понимание соединительного суждения допустимо в тех случаях, когда от времени, в которое происходят события (ситуации и т. д.) A и B можно отвлекаться. Например, на вопрос: «Какие иностранные языки изучал Петров?» можно ответить: «Он изучал английский язык и изучал французский». В некоторых случаях не требуется информация о том, изучал ли он сначала один из этих языков, а потом другой, или одновременно изучал и т. д. Еще пример. При заключении договора партнеры, которые доверяют друг другу, могут не указывать, какая ситуация должна иметь место раньше другой, или же должны ли ситуации произойти одновременно. Символ & будем называть знаком конъюнкции.

Разделительные суждения – это суждения, в которых утверждается наличие одной из двух, трех и т. д. ситуаций. Если утверждается наличие ровно одной из двух или более ситуаций, то суждение называется строго-разделительным, или строго-дизъюнктивным. Чаще всего такое утверждение выражается посредством предложений с союзом «или…, или…» («либо…, либо…»), «или…, или…, или…» и т. д., но может выражаться и посредством предложений с союзом «или», если ясно, например, из контекста, что имеет место утверждение о наличии ровно одной из двух ситуаций. Союз «или…, или…» обозначается символом ˅ (читается «или…, или…»), называемым знаком строгой дизъюнкции. Символ ˅ (другое обозначение – ˅₂) – это знак двухместной строгой дизъюнкции. Он определяется посредством таблицы:

Знак трехместной строгой дизъюнкции – ˅₃ (читается «или…, или…, или…») определяется посредством следующей таблицы:

Пример суждения этого вида: «Либо Иванов первым решит эту проблему, либо Петров, либо Сидоров».

В общем случае строго-дизъюнктивное суждение ˅_n (A₁, … , A_n), где n ≥ 2, можно определить так: это суждение, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно одно и только одно суждение из составляющих его суждений, т. е. из (A₁, …, A_n).

Суждение, посредством которого выражается наличие по крайней мере одной из двух ситуаций, называется нестрого-разделительным, или соединительно-разделительным, или (нестрого) дизъюнктивным. Обычно такое суждение образуется из двух суждений посредством союза «или», имеющего такой смысл: имеет место либо одна ситуация, либо другая, либо обе ситуации имеют место одновременно, либо имеет место сначала первая, а потом вторая, или сначала вторая, а потом первая, или сначала возникает одна, а потом они существуют вместе, и т. д. Этот союз (обозначение – ˅) можно выразить через союз строгой дизъюнкции и знаки одновременной, последовательной и последовательно-одновременной конъюнкции и т. д.: