Текст книги "Физика движения. Альтернативная теоретическая механика, или Осознание знания. Книга в двух томах. Том I"

Обоюдное равноправное участие взаимодействующих объектов в формировании силы взаимодействия, как правило, определяется в полевых взаимодействиях. Силовыми полями принято считать некую тонкую материальную субстанцию, которая обеспечивает взаимодействия по типу гравитационного и электрического взаимодействий. «Инерционные» поля, в которых образуется «инерционный» потенциал, характеризующийся напряженностью инерционного поля или попросту инерционным ускорением, в современной физике не рассматриваются. С точки зрения классической физики они не существуют в природе.

Контактные взаимодействия традиционно связывают с силой упругости, которую во втором законе Ньютона академически заменяют готовой внешней силой. Однако готовая сила упругости это только конечный результат перераспределения энергии контактного взаимодействия за счёт явления инерции, в процессе которого, как описано в главе 1.2, фактически образуется силовое поле, состоящее из амеров, подобное силовому полю гравитационного взаимодействия и, по-видимому, электрического взаимодействия. Иначе феномен готовой силы упругости становится необъяснимым в принципе. В классической физике силы упругости объясняются электрическими силами, что для неё ничего толком не проясняет, но подтверждает предложенный нами в главе 1.2 механизм взаимодействия.

Таким образом, есть все основания считать, что физический механизм контактного взаимодействия принципиально ничем не отличает от физических механизмов остальных типов взаимодействия, осуществляющихся через соответствующие силовые поля, и в частности от гравитационного взаимодействия. При этом гравитационная постоянная это физическая величина, характеризующая соотношение коэффициентов гравитационного и инертного взаимодействия. Кроме того, гравитационная постоянная определяет связь между линейной геометрической характеристикой распространения силового взаимодействия на тела с объёмным характером формирования полной силы взаимодействия.

Ерохин фактически также пытается привести физическое выражение для силы инертного взаимодействия в соответствие с физическим выражением для силы гравитационного взаимодействия. Но это возможно только, если они имеют принципиально одинаковый физический механизм с учётом индивидуальных отличий. Однако Ерохин преследует совсем иные цели, доказать ненужность коэффициента (G), который как раз и позволяет связать эти подвиды взаимодействия. Поэтому Ерохин не осознаёт, что это не вопрос размерности, а вопрос физической взаимосвязи явлений природы в силу общности её законов, которая обеспечивается вовсе не размерностью физических величин.

Размерность гравитационной постоянной (м³ / (кг * с²)) действительно связана с объёмным ускорением. Физический смысл гравитационной постоянной, отражённый в её размерности фактически связывает линейную характеристику изменения напряжённости объёмного силового поля взаимодействия на единицу гравитационной массы в зависимости от расстояния между взаимодействующими телами ((м³ / с²) / кг).

Это невозможно не заметить, что очевидно и побудило приверженцев системы LT поспешно избавиться от фундаментальности гравитационной постоянной, превратив её в коэффициент перевода между системами измерения, а также отказаться и от размерности массы в килограммах-штуках и заменить их объёмным ускорением пространства. Однако пустой объём без килограммов-штук вещества не определяет никаких сил.

Напряжённость силового поля не может определяться линейным ускорением, как это часто трактуется в классической физике, потому что любое силовое поле распространяется сферически, т.е. объёмно. Линейное ускоренное движение это только следствие объёмного распространения силового взаимодействия. Следовательно, коэффициенты типов взаимодействия и гравитационная постоянная в частности с учётом их численного значения – это, в том числе и готовые коэффициенты связи линейного приращения движения чистого вещества с объёмом чистого пустого пространства, в котором распространяется силовое поле.

Однако это ни в коем случае не перевод вещества в пространство, который предлагают приверженцы системы LT. К тому же их перевод физически некорректен ещё и по следующей причине:

Они вычисляют коэффициент перевода всей физики в метры на основе гравитационной постоянной, т.е. на основе частного коэффициента, учитывающего только частное соотношение двух типов взаимодействия. Но ведь соотношение между другими типами взаимодействия не соответствует величине гравитационной постоянной.

Конечно, система LT отличается внешней стройностью, заключающейся в возможности построить упорядоченный ряд или простую двухмерную таблицу физических величин, в которой расположение физических величин определялось бы по степеням (м) и (с). Однако красивый «дизайн» это не самое главное для физики. Тем более что сами физические величины выглядят в этом дизайне не очень-то красиво. Поэтому неестественность и «некрасивость» системы LT связана, в том числе и с высокими степенями размерных параметров физических величин.

Высшие порядки степеней в системе LT лишает её не только естественности и «красивости», но и вообще всякого физического смысла. Если в системе СИ по размерности физических величин легко можно определить их физический смысл, хотя бы на уровне его официального современного понимания, то какой смысл в степенях пространства больших третьей в нашем трёхмерном пространстве? Где сторонники системы LT видели пространство, которое простирается в четырёх и даже в пяти направлениях? Что такое, например, (м⁴ / с⁴), (м⁴ / с⁵) или (м⁵ / с⁵)? Не зная названия этих физических величин вряд ли можно догадаться, что это означает. А между тем это якобы: сила, работа и мощность соответственно.

Допустим размерность секунды, стоящей в знаменателе, в степени сколь угодно большей, чем вторая понять всё-таки можно. Секунда в минус третьей – это ускорение ускорения. В минус четвёртой – это ускорение ускорения-ускорения и т.д.. Однако зачем нужны ускорения высших порядков? Все эти ускорения ускорений вряд ли целесообразно определять в реальной действительности. Физический смысл ускорения исчерпывается секундой в минус второй степени. Дальше «ловить блох» не имеет смысла, т.к. это уже не принципиально.

Достаточно просто обозначить само понятие ускорения в отличие от постоянной скорости, т.к. одна только переменная скорость без понятия ускорения не в полной мере описывает переменное движение. Однако высшие порядки ускорения уже избыточны для его описания, т.к. все ускорения высших порядков усредняются в первом ускорении. Поэтому ускорения высших порядков и не применяются в современной физике.

В чём простота системы LT, если после сокращения всего многообразия природы всего до двух мерностей в виде двух характеристик L и Т, в итоге получаются пяти мерные размерности физических величин? Сторонники системы LT возмущаются корневыми размерностями, но чем лучше и чем понятнее их многостепенные размерности? Почему сторонники системы LT не пишут статей, в которых бы доходчиво разъяснялась якобы естественность степеней пространства больше третьей?

Про многомерность вселенной мы уже слышали не раз. Однако авторы таких теорий вместо объяснений сути этих мерностей утверждают, что человеческому разуму эти категории недоступны. Точно такая же ситуация получается и в якобы «естественной» системе LT. Естественная она видимо только для сверхчеловеческого разума. Во всяком случае, популяризаторы системы LT этот вопрос упорно замалчивают.

Теперь вернёмся к различным видам механического движения.

3. ФИЗИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Материя существует только в движении. Движение это неотъемлемое свойство материи. Формы и виды движения так же разнообразны, как и формы и виды материи. Но подобно тому, как все виды материи предположительно образуются из одинаковых базовых элементов мировой материальной среды – амеров, все виды механического движения образуются из базовых элементов движения. Очевидно, что базовым элементом механического движения, именно как свойства материи, является такое движение, которое отражает это свойство в чистом виде, т.е. в отсутствие факторов, изменяющих его. Известно, что движение претерпевает изменения при взаимодействии материи, следовательно, базовым неискажённым элементом движения является перемещение в пространстве свободного от каких-либо взаимодействий элемента материи или физического тела, все элементы которого, даже взаимодействуя между собой, одновременно совершают и совместное неискажённое движение.

Из этого следует, что базовым элементом механического движения является равномерное прямолинейное движение по инерции, т.к. это и есть неизменённое (неискажённое) движение матери в отсутствие взаимодействий. Простейшим изменением равномерного прямолинейного движения является изменение его скорости по величине, которое может быть достигнуто однократным единичным актом взаимодействия вдоль линии исходного движения. Процесс рождения ускоренного прямолинейного движения, мы в принципе рассмотрели в главе «Инерция и силы инерции». Более сложным является криволинейное движение, которое так же имеет свой базовый неизменяемый элемент – равномерное вращательное движение.

Равномерное вращательное движение точно так же как и равномерное прямолинейное движение по инерции является неизменяемым в отсутствие внешних факторов универсальным свойством матери, т.е. криволинейным движением в чистом виде. Оно содержит все элементы, т.е. все разновидности изменения механического движения, которые характеризуют произвольное криволинейное движение. Это и ломанное криволинейное движение, а так же непрерывное преобразование прямолинейной траектории по кривизне и по абсолютной величине линейной скорости.

На первый взгляд может показаться парадоксальным, что неизменяемое свойство произвольного криволинейного движения движения может содержать все элементы его изменения. Однако постоянные параметры равномерного вращательного движения на макроуровне его общей кинематики это есть не что иное, как усреднённые переменные параметры, которые проявляются на микроуровне в соответствии с физическим механизмом преобразования движения по направлению. Следовательно, подбирая для разных участков траектории произвольного криволинейного движения эталонные участки равномерного вращательного движения, можно легко установить усреднённые параметры произвольного криволинейного движения, которые в достаточно малом интервале времени вполне соответствуют мгновенным параметрам в любой его точке.

Конечно же, принципиально любое механическое движение можно измерять только одним единственным универсальным базовым элементом, т.е. равномерным прямолинейным движением. Однако для этого потребуется значительно более сложный методический путь с применением усреднения огромного количества параметров движения по микроскопическим прямолинейным участкам вписанной ломаной траектории. В равномерном же вращательном движении эти усреднения выполнены самой природой. Остаётся только вписать в рассматриваемый участок траектории подходящее равномерное вращательное движение.

Вот об этих особенностях и физической сущности неизменяемого на первый взгляд равномерного вращательного движения мы и поговорим в настоящей главе. Начнём с классических представлений о равномерном вращательном движении.

3.1. Примеры классической модели вращательного движения

(Учебник «Физика-9» Тема 13. Введение в кинематику)

§13-л. Центростремительное ускорение

Рассмотрим спутник, летящий по круговой орбите вокруг Земли. Так как спутник летит равномерно, значит, его скорость не изменяется по величине. Но так как спутник летит по окружности, то вектор его скорости непрерывно меняет направление. Итак, несмотря на постоянство скорости по величине, вектор скорости изменяется. Следовательно, существует ускорение.

Физика 9

Найдем, куда направлен вектор ускорения спутника в точках А и В. Для этого сделаем схематичный чертеж, обозначив Землю зеленой точкой, а спутник – красной.

Физика 9

Чтобы найти вектор ускорения, выберем вблизи положений спутника А и В пары точек А₁, А₂ и В₁, В₂. Изобразим в каждой из них вектор скорости спутника (левый чертеж). Пользуясь правилом треугольника, совместим начала векторов и проведем красным цветом вектор разности (правый чертеж).

Как видите, вектор разности скоростей, а, значит, и сонаправленный с ним вектор ускорения спутника направлен к центру окружности, где расположена Земля. Именно поэтому ускорение и называется центростремительным. Итак, тело, равномерно движущееся по окружности, имеет ускорение, вектор которого направлен к центру этой окружности.

Центростремительное ускорение можно вычислять по формуле

а = ΔV/Δt

однако при равномерном движении по окружности проще воспользоваться формулой

а = V²_л/R

Она выводится из геометрических построений. Они достаточно громоздки, и мы не будем их рассматривать.

***

(О. Ф. Кабардин «ФИЗИКА» МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1991)

Рис. 17

Определим ускорение тела, движущегося равномерно по окружности радиусом R. За интервал времени ∆t тело проходит путь ∆s = v*∆t.

Для нахождения вектора ускорения (а) нужно найти разность векторов скорости ∆v = v_В – v_А и определить отношение изменения скорости к малому интервалу времени ∆t, за который произошло это изменение:

а = ∆v / ∆t

из подобия треугольников ОАВ и ВСД следует:

ОА / АВ = ВС / СД (3.1.1)

Если интервал времени мал, то мал и угол α. При малых значениях угла α длина хорды АВ примерно равна длине дуги АВ, т. е. АВ ≈ v * ∆t и СД = ∆v. Тогда из выражения (3.1) получаем:

R / v * ∆t ≈ v / ∆v (3.1.2)

∆v = v ² * ∆t /R (3.1.3)

Поскольку

а = ∆v / ∆t (3.1.4)

из выражений (3.1.3) и (3.1.4) получаем:

а = v ² / R

Классическая физика утверждает, что чем меньше угол альфа, тем ближе направление вектора (∆V) к направлению на центр окружности (О), следовательно, «центростремительное ускорение равное отношению вектора (∆V) к интервалу времени (∆t) при условии, что интервал времени очень мал, направлено на центр (О)». Однако из рисунка 17 видно, что вектор (∆v) приближается к направлению на центр окружности только потому, что вектор (v_А) при стремлении (∆t) к нулю приближается к направлению вектора (v_В) и соответственно к направлению касательной.

***

Вращательное движение. Равномерное движение точки по окружности. Вектор угловой скорости. Угловое ускорение.

(Mechanicshistori.ru Классическая механика)

(нумерация формул и рисунков оригинальная)

При равноускоренном движении частица движется все время в одной плоскости, образуемой начальным вектором скорости v (0) и постоянным ускорением a (докажите это). Однако очевидно, что далеко не всякое плоское движение является равноускоренным.

Пример плоского неравноускоренного движения, известный вам из школьного курса физики, – это равномерное движение по окружности. Давайте рассмотрим его здесь. Поскольку это движение плоское, выберем в качестве этой плоскости, плоскость XY. Начало координат выберем в центре окружности (pис. 1).

Рис. 1. Равномерное движение по окружности

Координаты частицы выразим через величину радиуса окружности r и угол α:

х = r * cosα

y = r * sinα (1)

Поскольку движение происходит по окружности, r от времени не зависит. Функцией времени является только угол α (t). Производная от угла по времени называется угловой скоростью вращения ω:

ω = dα (t) / dt (2)

При равномерном вращении по окружности ω=const и можно проинтегрировать это уравнение. В результате

α = ω * t + const (3)

Константа интегрирования выбирается из условия α (0) = 0. Таким образом,

х (t) = r * cos (ω * t)

y (t) = r * sin (ω * t) (4)

Это полностью определяет движение. Так, скорость материальной точки определяется производными по времени от координат:

V_x = dx/dt = -ω * r * sin (ω*t)

Vy = dy/dt = ω * r * cos (ω*t) (5)

Скалярное произведение равно:

r * v = x* Vx + y * V_y =

= r * cos (ω * t) * (-ω * r * sin (ω * t)) + r * sin (ω * t) * (ω * r * cos (ω * t)) = 0 (6)

что означает перпендикулярность векторов r и v, то есть скорость действительно направлена по касательной к окружности. Абсолютная величина скорости равна:

|V| = √V_x + V_у = √ ω² * r² * sin² (ω * t) + ω² * r² * cos² (ω * t) = ω * r = const (7)

она не зависит от времени, движение действительно равномерное (но по окружности).

Дифференцируя по времени скорость, мы можем определить ускорение:

a_x = dV_x / dt = – ω² * r * cos (ω * t)

a_y = dV_y / dt = ω² * r * sin (ω * t) (8)

откуда следует, что ускорение зависит от времени, то есть движение не является равноускоренным.

Примечание авт. – ААА:

Далее авторы находят, что абсолютная величина ускорения, так же, как и скорости является постоянной. Однако, обратите внимание, если по скорости движение при этом всё-таки считается равномерным, то по ускорению оно в классической физике является неравноускоренным, хотя никаких принципиальных отличий одинакового равномерного изменения по направлению одинаково постоянных по абсолютной величине скорости и ускорения нет! Ё!

Разъяснений этому противоречию в классической физике вы не найдёте, т.к. его не может быть в принципе, потому что физически, т.е. в реальной действительности такого противоречия просто нет. Любое равномерное изменение чего либо во времени, в том числе и направления, не может быть определено термином, обозначающим неравномерность, хоть по скорости, хоть по ускорению. А всё, что не обусловлено физически не может соответствовать и абстрактной логике математиков, т.к. другой логики, кроме логики природы просто нет!

Но продолжим изложение статьи:

Абсолютная величина ускорения (модуль), тем не менее, остается постоянной:

а =|a| = √ a_x + a_y = ω² * r (9)

или, так как ω * r = V, то мы получаем:

|a| = V² / r (10)

– известную из школьного курса физики формулу для центростремительного ускорения. Почему центростремительного? Да потому, что вектор a направлен к центру. В этом нетрудно убедиться, подсчитав скалярное произведение:

а * r = a_x * x + a_y * y =

= – (ω² * r * cos (ω * t)) * r * cos (ω * t) + (-ω² * r * sin (ω * t)) * r * sin (ω * t) =

= – ω² * r² (11)

С другой стороны,

а * r = |a| * |r| * cos (a^r) = ω² * r² * cos (a^r) (12)

Из сравнения двух этих выражений получаем, что cos (a^r) = -1. Таким образом, вектор ускорения антипараллелен вектору r, то есть направлен к центру. В результате картина направлений векторов выглядит, как показано на рис. 2.

Рис. 2. Радиус-вектор, скорость и ускорение материальной точки при равномерном движении по окружности.

Примечание авт. – ААА:

Это также не соответствует логике природы, т.к. радиус-вектор введён в математику искусственно по абстрактному определению. На практике расстояние можно измерять в любом направлении. Либо по активному зондирующему сигналу от точки отсчёта, что соответствует существующему радиус-вектору. Либо по активному зондирующему сигналу объекта, что соответствует обратному радиус-вектору. Принцип определения координат точки на траектории при этом один и тот же. Следовательно, нет никаких принципиальных препятствий в использовании обратного радиус-вектора не только на практике, но и в теории.

Но тогда антипараллельность ускорения радиус-вектору будет означать направленность центростремительного ускорения от центра вращения! А если вообще отказаться от векторной направленности расстояния между объектом и центром и оперировать только его величиной, что и в теории и на практике вполне достаточно для определения координат, то радиус-вектор превратится в обычную скалярную радиус-линейку. Однако при этом ответа на вопрос о направлении центростремительного ускорения в рассматриваемой статье вообще не будет.

Далее будет показано, что ни один другой метод определения классического центростремительного ускорения так же не содержит достоверных сведений о его направлении, т.к. – это не физическое ускорение, а обобщённая академическая величина, характеризующая среднюю силу статического в среднем пульсирующего напряжения и соответственно энергетику преобразования движения по направлению в равномерном вращательном движении.

Таким образом, центростремительное ускорение в классической физике направлено на центр вращения не физически, а условно академически, т.е. волевым решением, которое согласуется только с некоторыми нашими субъективными восприятиями вращения, но не имеет никакого отношения к реальной действительности ускоренного перемещения в общей кинематике равномерного вращательного движения!

Есть замечания так же и по точности определения центростремительного ускорения всеми без исключения классическими методами. В описываемом в настоящей статье методе центростремительное ускорение якобы получено с абсолютной точностью безо всяких ссылок на пренебрежение ничтожно малыми членами, как обычно бывает при дифференцировании, например, определение центростремительного ускорения у Гюйгенса. Между тем приращение координат измеряется по прямой линии, т.е. по хорде к дуге реальной круговой траектории движения. Следовательно, в любом, даже самом малом интервале времени, центростремительное ускорение не может быть определено с абсолютной точностью.

Далее мы с вами убедимся, что на самом деле, центростремительное ускорение, как и ускорение любого равноускоренного движения, может быть определено с абсолютной точностью простым арифметическим делением приращения скорости движения на время этого приращения, т.е. безо всяких ничтожно малых членов, получаемых при различного рода дифференцировании неравномерных движений. Это свидетельствует о том, что вопреки утверждению классической физики равномерное движение по окружности, как минимум не является неравноускоренным. В масштабе общей кинематики оно даже не является равноускоренным. Это полностью равномерное инерционное движение, т.к. внешние силы не принимают в нём никакого участия и не изменяют его геометрию ускоренно.

А теперь вновь вернёмся к текущей статье:

До сих пор при рассмотрении вращательного движения мы оперировали проекциями векторов на оси координат. Между тем, часто бывает полезно иметь соотношения, не зависящие от выбора системы координат, или, как говорят, записанные в векторной форме. Примером таких соотношений является выражение для координаты и скорости частицы при равноускоренном движении. Определим угловую скорость вращения (ω) как производную по времени от угла поворота α: ω = dα/dt.

При рассмотрении вращательного движения мы ввели угол поворота, теперь зададимся вопросом, какой величиной, скалярной или векторной, является угол поворота. Ведь когда говорят о повороте, нужно указывать не только величину угла поворота, но и то, вокруг какой оси происходит вращение (поворот) и в какую сторону (по часовой стрелке или против). В разобранном выше примере осью вращения была ось z и, поскольку мы использовали правую систему координат, вращение происходило по часовой стрелке (если смотреть в положительном направлении вдоль оси z) (pис. 3).

Рис. 3. Направление вращения

С этой точки зрения угол поворота должен быть величиной векторной. Однако, как мы убедимся на следующей лекции, произвольный угол поворота вектором, вообще говоря, не является. Понятие вектора применимо лишь по отношению к бесконечно малым углам поворота.

Поэтому, говоря о повороте на какой-то малый угол Δα, можно приближенно говорить о векторе Δα, величина которого равна углу поворота, а направление показывает направление оси вращения так, чтобы поворот происходил по часовой стрелке, или в соответствии с правилом буравчика. В нашем конкретном случае вектор Δα коллинеарен с направлением оси z. Зададимся вопросом, как связано перемещение материальной точки Δr при повороте ее радиус-вектора r на малый угол Δα (pис. 4).

Рис. 4. Связь вектора перемещения с углом поворота

На этот вопрос легко ответить, если речь идет о бесконечно малых поворотах Δα. Тогда бесконечно малым является и перемещение dr. Его величина (равная длине хорды) совпадает теперь с длиной дуги, то есть

dr = r * dα (13)

а по направлению вектор dr совпадает с касательной, то есть перпендикулярен r. В результате мы имеем три взаимно перпендикулярные вектора r, dr и dα, образующие правую тройку (pис. 5),

Рис. 5. Взаимная ориентация трех векторов.

Причем |dr| = |r| * |dα|. Те, кто помнят из школьного курса о векторном произведении векторов, без труда сообразят, что искомое соотношение можно записать в виде векторного равенства:

dr = [r × dα] (14)

Действительно, по определению, векторным произведением двух векторов A×B называется вектор:

C = [A×B] (15)

который направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат (или которую образуют) два вектора A и B, в сторону от этой плоскости, соответствующую правилу буравчика (см. рис. 6).

Рис. 6. Ориентация трех векторов в векторном произведении

Величина же вектора C равна произведению модулей векторов на синус угла между ними:

|C| = |A|×|B| * sin (A^B) (16)

В нашем случае угол между векторами dα и r равен 90^°, так что синус равен единице. А поскольку, как мы уже писали, |dr| = r * dα, то мы убеждаемся в справедливости векторного соотношения dr = [r × dα].

Разделив обе стороны этого равенства на бесконечно малый временной интервал dt, в течение которого произошло изменение вектора r на dr, мы получим

dr / dt = [dα / dt × r] (17)

Но величина, стоящая в левой части равенства, есть не что иное, как скорость частицы v, а производная

dα / dt = ω (18)

называется вектором угловой скорости. Ее мы вначале ввели по абсолютной величине, а теперь показали, что имеет смысл говорить об угловой скорости вращения как о векторе. Ее величина определяет величину угловой скорости (скорость вращения, или скорость изменения угла), а направление параллельно оси вращения, причем так, что имеет место правило буравчика. Итак, мы получили, что

V = [ω×r] (19) Ориентация этих трех векторов показана на pис. 7.

Рис. 7. Ориентация радиус-вектора, вектора скорости и угловой скорости.

Чтобы получить ускорение a, надо от обеих частей взять производную по времени. Если ω постоянно (как по величине, так и по направлению), то

а = dV / dt = [ω × dr / dt] = [ω×V] (20)

то есть ускорение оказывается перпендикулярным угловой скорости вращения ω и скорости движения v. А поскольку последняя направлена по касательной, то, значит, ускорение направлено либо параллельно r, либо антипараллельно. Как именно, можно выяснить, подставив в вышеприведенную формулу значение v:

a = [ω×V] = ω× [ω×r] = ω * (ω * r) – r * (ω * ω) = ω* (ω * r) – – ω² * r (21)

Поскольку в рассматриваемом нами примере начало координат выбрано в центре окружности, то угловая скорость ω и радиус-вектор r перпендикулярны друг другу а, следовательно, их скалярное произведение равно нулю (вообще говоря, как мы сейчас увидим, далеко не всегда ω_┴r) и мы получаем

a = – ω² * r (22)

то есть антипараллельность векторов a и r (вспомните термин «центростремительное ускорение»). По величине они таковы: |a| = ω² * |r|, то есть, имеем уже знакомый результат.

Вы можете спросить, зачем нам понадобилось иметь дело с векторным и с двойным векторным произведением, если мы уже разобрали движение по окружности, дифференцируя по времени проекции материальной точки на оси координат (причем получили результаты, известные со школьной скамьи). Стоит ли игра свеч? Да, стоит, во-первых, потому, что мы записали законы движения в инвариантной, как говорят, форме, не зависящей от выбора конкретной системы координат. Во-вторых, записанные нами соотношения справедливы и в более общем случае, когда мы рассматриваем вращение системы материальных точек или твердого тела как целого (pис. 8).

Рис. 8. Вращение твердого тела.

Имея в виду эту картину, нетрудно показать, что здесь, хотя ω и r не перпендикулярны друг другу, тем не менее, выполняется прежнее соотношение для скорости движения некоторой выбранной нами точки с радиус-вектором r:

V = [ω×r] (23)

Действительно, как следует из рис. 8, точка движется по окружности радиуса p=r*sinβ со скоростью v=ω*r= ω*r *sinβ. Но поскольку β – это угол между векторами ω и r, мы убеждаемся в справедливости этой формулы.

Теперь нам понятно происхождение дополнительного слагаемого в центростремительном ускорении (см. pис. 9):

Рис. 9. Центростремительное ускорение.

a = ω * (ω * r) – ω² * r (24)

Таким образом, ускорение a на самом деле направлено не к центру, а к оси вращения, поэтому его можно было бы называть осестремительным. Но, разумеется, дело не в названиях.

В пользу соотношения V = [ω×r] говорит и то, что оно справедливо в более общем случае, когда вектор угловой скорости ω не является постоянным и зависит от времени: ω (t). Тогда формула для ускорения изменится – в ней появится дополнительное слагаемое:

a = dV / dt = [(dω / dt) × r] + [ω × dr/dt] =

= [β× r] + [ω × v] (25)

Величина β = dω/dt называется угловым ускорением. Оно появляется, если меняется по величине угловая скорость (замедляется, например, вращение вокруг фиксированной оси) либо поворачивается с течением времени сама ось вращения (либо и то и другое).

Рис. 10. Взаимное расположение единичных ортов.

В заключение для справок приведем выражение для декартовых компонент векторного произведения C = [A×B]:

C_x = [A×B] _x = A_y B_z – A_zB_y, {xyz}

C_y = [A×B] _y = A_z B_x – A_xB_z, {yzx}

C_z = [A×B] _z = A_x B_y – A_yB_x, {zxy} (26)

Здесь для запоминания следует использовать указанные выше циклические перестановки. Эти соотношения легко доказываются, если записать каждый вектор в виде

A = A_xi + A_yj + A_zk (27)

и, аналогично, вектор B. Затем следует учесть, что векторные произведения единичных ортов i, j и k между собой равны соответственно (см. pис. 10)

[i×j] = k, [k×i] = j, [j×k] = i (28)

и что при изменении порядка сомножителей изменяется знак векторного произведения:

[i×j] = – [j×i] и т. д. (29)

Далее нужно произвести векторное умножение, воспользовавшись приведенными выше правилами.

[A×B] = [(A_xi + A_yj + A_zk) × (B_xi + B_yj + B_zk)] (30)

(нумерация формул и рисунков оригинальная)