Текст книги "Как было на самом деле. Каждая история желает быть рассказанной"

5. Решение проблемы Плато в классе спектральных поверхностей. Ранняя защита докторской диссертации

1972 год

Защитил докторскую диссертацию 29 сентября 1972 г. В ней была решена важная проблема Плато в классе спектральных поверхностей. Тема диссертации: «Решение многомерной проблемы Плато в римановых многообразиях». Перед защитой неоднократно рассказывал эти свои результаты на семинарах кафедры дифференциальной геометрии и на семинарах ведущих наших математиков на других кафедрах. В частности, на известном семинаре выдающегося математика Марка Иосифовича Вишика. Он с большим интересом отнесся к моей работе. Потом мы с ним неоднократно обсуждали разные задачи из области геометрии и дифференциальных уравнений. На рис. 3.28 – мы с ним в Воронежской Зимней Математической Школе.

На момент моей защиты два математика – я и Евгений Михайлович Никишин, рис. 3.28-0 (тоже мехмат МГУ), – оказались самыми молодыми докторами наук вообще в СССР. Мне было 27 лет. Оппоненты по моей диссертации – известные математики: Михаил Михайлович Постников, Владимир Михайлович Алексеев и Дмитрий Викторович Аносов. Внешний отзыв пришел из Ленинградского отделения математического института им. В. А. Стеклова. Этот отзыв давал известнейший математик-тополог Владимир Абрамович Рохлин, рис. 3.28a. Несколько раз бывал у него в Ленинграде, в том числе и дома, рассказывал о своих работах.

Рис. 3.28. А. Т. Фоменко и М. Й. Вишик в одной из известных Воронежских Зимних Математических Школ.

Рис. 3.28-0. Е. М. Никишин (1945–1986).

Рис. 3.28a. В. А. Рохлин, 1966 год.

Итак, все мои оппоненты по диссертации – выдающиеся математики. На рис. 3.29, …, рис. 3.37, представлены некоторые моменты моей докторской защиты в МГУ, на мехмате, в большой аудитории 14–08. Голосование было положительным и единогласным. Вот фрагменты из стенограммы.

Рис. 3.29. Перед началом защиты докторской диссертации А. Т. Фоменко на Ученом Совете мехмата МГУ. 29 сентября 1972 года, аудитория 14–08. Слева направо: В. А. Садовничий, А. А. Кириллов, А. Т. Фоменко, В. М. Алексеев, П. К. Рашевский, М. М. Постников.

Рис. 3.30. Защита докторской диссертации А. Т. Фоменко. Слева направо: (?), П. С. Макурин, Ю. М. Смирнов, Н. В. Ефимов, П. К. Рашевский, Е. П. Долженко, (?), М. М. Постников, (?). 1972 год.

Рис. 3.31. Защита докторской диссертации А. Т. Фоменко. Слева направо: В. А. Ефремович, Г. Л. Литвинов, О. В. Мантуров, А. С. Солодовников, А. А. Кириллов, И. Л. Кантор, далее?

Рис. 3.32. Защита докторской диссертации А. Т. Фоменко. На первом ряду – А. Н. Колмогоров и П. С. Александров, справа – С. Б. Стечкин.

Рис. 3.33. Выступление А. Т. Фоменко на своей докторской защите. 1972 год.

Рис. 3.34. Выступление М. М. Постникова. 1972 год, 29 сентября.

Рис. 3.35. Выступление В. М. Алексеева. 1972 год, 29 сентября.

Рис. 3.36. Выступление Д. В. Аносова. 1972 год, 29 сентября.

Рис. 3.37. Выступление П. С. Александрова на защите докторской диссертации А. Т. Фоменко. 1972 год.

М. М. Постников. – «Задача Плато (о заклейке данного контура минимальной поверхностью) является одной из немногих классических задач, поставленная еще в XIX веке (150 лет тому назад) и несмотря на усилия многих выдающихся математиков, не получила до сих пор удовлетворительного решения. В рассматриваемой диссертации для этой задачи получено полное и окончательное решение в классе «спектральных поверхностей». Успех, достигнутый автором, определился не только тем, что он воспользовался всем обширным аппаратом современной алгебраической топологии, а и тем, что он понял внутренние геометрические причины неуспеха других исследователей. Автору диссертации удалось открыть новый геометрический факт – вопреки очевидности, что для улавливания некоторых естественных геометрических ситуаций обычных теорий бордизмов недостаточно, и необходимы, так называемые «бордизмы по модулю». Это позволило сформулировать «задачу Плато» для любой экстраординарной (спектральной) теории гомологий и даже (ко)гомологий. Автор решает задачу в этой общей постановке…

Первая глава имеет по существу чисто алгебраически-топологический характер. Здесь автор демонстрирует блестящее владение техникой алгебраической топологии. Центральной главой диссертации остается глава II, в которой доказывается основная теорема существования, непосредственным построением минимизирующей последовательности и доказательством ее сходимости. Уже эта часть диссертации с избытком удовлетворяет всем мыслимым требованиям, которые можно разумным образом предъявить к докторской диссертации. Поэтому нет необходимости останавливаться на главе III, которая сама по себе является полноценной докторской диссертацией. При написании диссертации перед автором стояла трудная проблема. Диссертант затратил много труда, чтобы по возможности облегчить труд читателя и в литературном отношении диссертацию сделать весьма качественной.

Рассматриваемая диссертация является выдающимся научным трудом, содержащим принципиально новые результаты в очень трудной классической области, имеющие окончательный характер».

Д. В. Аносов. – «Предложена обобщенная постановка многомерной задачи Плато. Доказана теорема существования минимального компакта при этой обобщенной постановке задачи и его регулярности всюду.

Получена оценка минимальных компактов, реализующих циклы и т. д. Полученные диссертантом результаты едва ли нуждаются в особых комментариях, так как они являются новыми и очень сильными при любой, сколько угодно классической оценке задачи. Диссертация является ценным вкладом в науку и безусловно удовлетворяет самым строгим требованиям».

В. М. Алексеев. – «В диссертации решена весьма важная и интересная математическая проблема (многомерная задача Плато в классе «спектральных поверхностей»). Автором предложено обобщение классической задачи Плато, которое естественно увязывает ее с современными разделами топологии. Для этой обобщенной постановки автором получена теорема существования. Разработанные диссертантом методы и их конструкции позволяют эффективно находить решение задачи минимизации в важном классе конкретных примеров и получать информацию о дифференциально-геометрических и топологических свойствах изучаемых объектов. Рассматриваемая диссертация удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к диссертациям».

Далее выступил академик П. С. Александров. В частности он сказал: «Мне кажется, что имеется довольно общеизвестная истина, что основное бедствие, которое испытывает математика и которое влияет на большинство других наук, заключается в чрезвычайном количественном, а не качественном росте разобщенных работ. И в общем это «грандиозное строительство» несколько напоминает строительство Вавилонской башни, результатом которого было то, что строители заговорили на разных языках и потеряли способность понимать друг друга, на чем это строительство, как это написано в Библии, и закончилось. Боюсь, что нечто подобное происходит сейчас в математике. Чтобы избежать этого, необходимо усилия наших исследователей направить на решение таких проблем, чтобы поводом для исследования было не желание написать какую-то работу, защитить ее и добиться того, чтобы его процитировали коллеги, а на действительно честную потребность в решении чего-то существенного, обогащающего науку…

Хочу сказать, что рассматриваемая работа (я даже не хочу называть ее диссертацией потому, что один из оппонентов уже сказал, что эта работа есть совокупность двух докторских диссертаций), – демонстрирует здесь по существу сочетание чистого интереса к науке и прекрасного вкуса в этой научной честности. Широта познания, а также интересы диссертанта сыграли весьма существенную роль в полученных результатах, потому что из того, что здесь говорилось, можно усмотреть, что тут происходит чрезвычайно увлекательная игра между геометрическими и алгебраическими, по существу, теоретико-множественными понятиями. И я думаю, что без такого владения всеми основными направлениями в современной топологии, в современной геометрии и направлениями современной алгебры, в направлении классической формы, и в направлении теоретико-множественном, – не владей автор работы всеми этими вещами, едва ли он мог бы найти пути, которые ведут к решению поставленной задачи, и едва ли он мог бы поставить эту задачу так, как ее нужно было поставить и как он ее поставил. И недаром тут было сказано, что эта теория обращена ко всей математике. Так вот, эту поглощающую все работу, автор проделал в полной мере и с большим увлечением нам доложил ее здесь…

И все мы прекрасно понимаем, что работа диссертанта – это большой шаг вперед, сделанный в науке математике, и что автор ее не только достоин степени доктора, но он достоин еще гораздо более высокого звания, звания настоящего математика, настоящего ученого и настоящего представителя своей науки. Вот то впечатление, которое я вынес от этой защиты и которым хотел поделиться с вами, членами Ученого Совета». (Конец цитаты).

Теперь вкратце и наглядно объясню – что такое «проблема Плато», и что, собственно говоря, мне удалось сделать. Когда бельгийский физик Жозеф Плато в XIX веке начал опыты по изучению конфигурации мыльных пленок, он вряд ли предполагал, что они послужат толчком к развитию целого научного направления, бурно развивающегося до настоящего времени и известного под названием «проблема Плато». Опыты Плато хорошо знакомы нам с детства – это выдувание мыльных пузырей или конструирование мыльных пленок, затягивающих проволочный контур.

Берем гибкую тонкую проволоку, туалетное мыло и миску воды. Растворяем мыло в теплой воде, добавляем ложку глицерина. Из проволоки делаем замкнутый контур с ручкой. Опускаем его в мыльный раствор и осторожно вынимаем. На нем повисает красивая радужная мыльная пленка, ограниченная этим контуром. Замысловато изгибая контур, можно получать самые разнообразные формы пленок. Физический принцип, лежащий в основе возникновения мыльных пленок, достаточно прост: физическая система сохраняет свою конфигурацию только в том случае, когда она не может легко изменить ее, заняв положение с меньшим значением энергии. Энергия мыльной пленки пропорциональна ее площади. Поэтому жидкая пленка превращается в эластичную поверхность, стремящуюся минимизировать свою площадь, и, следовательно, минимизировать энергию натяжения, приходящуюся на единицу площади. Минимальные поверхности встречаются в живой природе и физике как поверхности раздела двух сред с одинаковым давлением, находящихся в равновесии.

Таким образом, математической моделью мыльной пленки служит гладкая (или кусочно-гладкая) поверхность минимальной площади, затягивающая данный контур, рис. 3.38. Математики называют ее минимальной поверхностью. Такие поверхности являются математическим объектом, достаточно хорошо моделирующим физические мыльные пленки. Математическая теория минимальных поверхностей относится к так называемому вариационному исчислению – области анализа и геометрии, возникшей в XVIII веке. В наши дни для развития теории минимальных поверхностей привлекаются современные средства топологии и дифференциальной геометрии. Это богатая и сложная наука. Здесь переплетаются теории дифференциальных уравнений, групп Ли, гомологий и когомологий, бордизмов и т. д.

Рис. 3.38. Мыльная пленка = минимальная поверхность, затягивающая замкнутый проволочный контур.

Рассмотрим сначала простой случай, когда контур не слишком сильно изогнут – а именно, когда его можно взаимно-однозначно спроектировать на выпуклый контур, лежащий в некоторой плоскости. Тогда, оказывается, существует одна и только одна минимальная поверхность, затягивающая данный контур. Если же не ограничиваться простейшими контурами, то теорема единственности перестает быть верной: на один и тот же контур иногда можно натянуть несколько совсем разных минимальных поверхностей, рис. 3.39.

Рис. 3.39. Несколько минимальных поверхностей, затягивающих один и тот же граничный контур.

Если сильно запутать контур (например, заузлить его), то не только может нарушиться единственность пленки, но и сама ее структура может сильно усложниться. В общем случае «почти наверняка» появляются особые точки (сингулярности), то есть такие точки, в окрестности которых пленка уже не устроена, как слегка изогнутый диск, а имеет более сложную, ветвящуюся структуру, рис. 3.40, рис. 3.41, рис. 3.42.

Рис. 3.40. Если граничный контур достаточно сложный, то на минимальной поверхности (на мыльной пленке) появляются особые точки, сингулярности.

Рис. 3.41. Чем сложнее граничный контур, тем больше может быть особенностей у минимальной поверхности.

Рис. 3.42. Пример сложной минимальной поверхности, ограниченной достаточно сложным контуром.

Оказывается, минимальные поверхности широко распространены в природе. Например, как наиболее экономные поверхности, формирующие скелеты некоторых живых организмов. Весьма эффектный пример особенностей минимальных поверхностей дают скелеты радиолярий, микроскопических морских животных, имеющих самые разнообразные и экзотические формы. Радиолярии состоят из небольших комочков протоплазмы, заключенных в пенообразные формы, наподобие мыльных пузырей и пленок. Минимальные поверхности, образующиеся в радиоляриях, имеют много особых точек и ребер ветвления, на которых и концентрируется основная масса жидкости, входящей в состав организма.

Здесь жидкость тормозится и оседает, образуя «водяные отрезки». Концентрация жидкости вдоль ребер ветвления приводит к тому, что твердые фракции морской воды и соли оседают вдоль этих ребер и постепенно образуют твердый скелет животного. После его гибели мягкие ткани распадаются и остается твердый скелет. На рис. 3.43 показано несколько скелетов радиолярий.

Рис. 3.43. Скелеты радиолярий, наглядно показывающие структуру ребер и точек ветвления минимальных поверхностей.

Примерами минимальных поверхностей могут служить хорошо известные мембраны – это и барабанная перепонка в нашем ухе; это мембраны, служащие границами живых клеток и т. п. В 30-е и 40-е годы XX века был достигнут большой прогресс в изучении свойств двумерных минимальных поверхностей в трехмерном пространстве. Обычно «проблема Плато» формулируется так: верно ли, что на любой замкнутый контур можно натянуть минимальную поверхность? И если «да», то – сколько таких поверхностей, и каковы их топологические свойства? С математической точки зрения это весьма непростая проблема.

Замечательные результаты в этом направлении были получены в первой половине XX века Дугласом, Радо, Курантом и др. В частности, была доказана фундаментальная теорема, утверждающая, что для любого достаточно хорошего одномерного контура (то есть, замкнутой кривой) всегда существует минимальная поверхность в трехмерном пространстве, затягивающая этот контур, причем ее площадь не превышает площади любой другой поверхности, затягивающей этот же контур.

После решения проблемы Плато для контуров в трехмерном пространстве математики перешли к «многомерной проблеме Плато». То есть вместо одномерного контура теперь рассматриваются «многомерные контуры» – замкнутые многообразия (компактные поверхности без края).

Проблема звучит так: на любой ли «многомерный контур» можно натянуть минимальную поверхность (на единицу большей размерности) наименьшей возможной площади (объема)? Эта многомерная задача связана с многочисленными приложениями как в математике, так и в механике, математической физике. Многомерная проблема оказалась чрезвычайно трудной. Начиная с 60-х годов XX века в этой области произошел существенный скачок, связанный с такими именами, как: Федерер, Флеминг, Миранда, Райфенберг, Морри, Бомбьери, Джусти, Альмгрен, де Джиорджи, Саймонс, Лоусон и другие. Выяснилось, что в многомерном случае требуется сначала правильно сформулировать понятие границы и минимальной поверхности, затягивающей эту границу. Для этого был привлечен язык теории гомологий, что позволило доказать теорему существования глобально минимальной поверхности для заданного «гомологического контура» (замечательные результаты Райфенберга, Федерера и других).

Что сделал я? Мне удалось решить многомерную проблему Плато в постановке, весьма близкой к классической двумерной. А именно – в качестве «контура» рассматривается произвольное замкнутое компактное многообразие (без края), а в качестве «поверхностей» = «пленок», имеющих его своей «границей», рассматриваются компактные множества, являющиеся непрерывными образами гладких многообразий с заданным краем-границей (таких многообразий может быть много, бесконечное число).

Такие «пленки» сами могут не являться многообразиями, поскольку могут иметь сложные, «запутанные» особенности. Но эти множества «параметризованы многообразиями». Оказалось, что в классе таких компактов = «спектральных поверхностей» всегда существует глобально минимальная поверхность, затягивающая заданный «контур». На самом деле, этот мой результат является частным случаем куда более общей теории, построенной мною, в которой «спектральная проблема Плато» успешно решена в классах «параметризованных поверхностей» с заранее фиксированной границей, то есть затягивающих «контур» в смысле обобщенных (спектральных) гомологий или когомологий. Оказалось, что всегда существует многомерная минимальная «пленка», то есть имеющая наименьший объем в классе поверхностей с той же границей. Нетривиальным фактом оказалось, что такие минимальные поверхности могут состоять из «кусков» (стратов) различных размерностей, каждый из которых тоже минимален.

Доказанный мною результат оказался технически достаточно сложным.

Успех был достигнут благодаря неожиданному для многих математиков новому подходу. Для решения многомерной проблемы Плато я привлек язык и технику обобщенных (спектральных) гомологий и когомологий. В частности, теорию бордизмов.

Статья Роберта Ньютона о вычислении D" опубликована в 1972 г. Newton R. R. «Astronomical evidence concerning non-gravitational forces in the Earth-Moon system». – Astrophys. Space Sci. 1972, vol.16, pp.179–200. Эта статья сыграла заметную роль в начале моих исследований хронологии, см. 1973 год.

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ:

• 14 Фоменко А. Т. «Вполне геодезические модели циклов». – Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М., изд-во МГУ, 1972, вып. 16, с. 14–98.

• 15 Фоменко А. Т. «Многомерная задача Плато на римановых многообразиях». – Тезисы VI Всесоюзной топологической конференции. Тбилиси. Матем. Ин-т им. В. А. Стеклова, Матем. Ин-т им. А. М. Размадзе, 1972, с. 120.

• 16 Фоменко А. Т. «Минимальные компакты в римановых многообразиях и гипотеза Райфенберга». – Известия АН СССР. 1972, т. 36, № 5, с. 1049–1080.

• 17 Фоменко А. Т. «Многомерная задача Плато в римановых многообразиях». – Математический Сборник. 1972, т. 89, вып. 3, с. 475–520.

СМИ (О МАТЕМАТИКЕ И ЖИВОПИСИ)

1972 год, 6 октября. Газета «Известия». Заметка «МГУ: мозаика новостей». Сообщается о молодом докторе наук в 27 лет – А. Т. Фоменко. 1972 год, 7 октября. Газета «Известия». Заметка «МГУ: только факты». Сообщение о блестящей защите А. Т. Фоменко докторской диссертации в 27 лет. В частности, сказано: «Анатолий закончил университет всего пять лет назад. В конце 1970 года успешно защитил кандидатскую диссертацию. И вот новый успех, о котором академик Герой Социалистического Труда П. Александров сказал: – Диссертация Фоменко «Задача Плато на римановых многообразиях» – очень серьезное, большое исследование…». 1972 год, 17 октября. Газета «Московский Университет». Статья «Доктор наук в 27 лет» об успешной защите А. Т. Фоменко докторской диссертации. 1972 год, 23 октября. Газета «Вечерняя Москва». Статья В. Костина «Доктор точных наук» о молодом ученом МГУ А. Т. Фоменко, его лекциях и увлечениях. 1972 год, 8 декабря. Газета «Московский Комсомолец». Сообщение об успешной защите докторской диссертации А. Т. Фоменко, краткая его биография, число опубликованных работ, увлечения музыкой и живописью. Приведены две его фотографии: Фоменко у мольберта и Фоменко читает лекцию студентам МГУ.

1973 год

Мне случайно попадается статья Роберта Ньютона о загадочном скачке в поведении второй производной D" лунной элонгации, опубликованная в 1972 году, см. выше. Примерно в это же время происходит научная конференция «Место астрономии в древнем мире», организованная Британским Королевским Обществом и Британской Академией (но я пока о ней ничего не знаю). Участники конференции бурно обсуждали причину обнаруженного Ньютоном непонятного скачка D", но не пришли ни к какому определенному выводу. Начинаю работу над проблемой D", опираясь на статью Р. Ньютона. В то время я интересовался также вопросами небесной механики, посещал, как уже говорилось, семинары член-корреспондента Дмитрия Евгеньевича Охоцимского (потом академика с 1991 года) и профессора (в будущем – академика, с 1992 года) Валентина Витальевича Румянцева.

Обращаю внимание на то, что в основе вычисления Робертом Ньютоном значений параметра D" лежат даты древних затмений, взятые им из традиционных хронологических таблиц, составленных историками. И тут я вспоминаю разговоры на мехмате, что ученый-энциклопедист Н. А. Морозов, почетный академик АН СССР, как-то совсем по-иному датировал древние затмения, указывая на крупные ошибки предыдущих историков астрономии. Обращаюсь к М. М. Постникову и прошу у него тот том Морозова, где по-новому датируются старинные затмения, рис. 3.44. Получаю этот том и внимательно изучаю раздел о датировке старинных затмений. Выясняется, что многие «античные» и средневековые затмения в действительности (то есть при точном и объективном подходе) датируются астрономически куда более поздними эпохами, то есть значительно более близкими к нашему времени, чем сегодня считается.

Рис. 3.44. М. М. Постников и А. Т. Фоменко.

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ:

• 18 Фоменко А. Т. «Многомерная задача Плато на римановых многообразиях». – Математические Заметки. 1973, т. 13, № 1, с. 159–167.

• 19 Фоменко А. Т. «Геометрические вариационные задачи». – Сборник «Современные проблемы математики». В серии: «Итоги науки и техники». – М., ВИНИТИ, 1973, с. 39–60.

СМИ (О МАТЕМАТИКЕ И ЖИВОПИСИ)

1973 год, 4 января. Чехословацкая газета «Руде Право» приводит краткую биографию Фоменко, его успехи и фотоснимок: Фоменко читает лекцию студентам МГУ. 1973 год, 19 апреля. Газета «Вечерняя Москва». Сообщение Н. Кузьмина об успешном решении А. Т. Фоменко задачи Плато, защите докторской диссертации в 27 лет и увлеченности Фоменко живописью. Приведен снимок: Анатолий Фоменко у мольберта.