Текст книги "Начало бесконечности. Объяснения, которые меняют мир"

Тест Тьюринга устроен похожим образом, однако акцент в нем делается на другом. Когда тестируется человек, нужно установить, в здравом ли он уме (и действует ли он по своей воле, а не в интересах другого лица). При тестировании искусственного интеллекта мы хотим найти трудноварьируемое объяснение тому факту, что его высказывания не могут исходить ни от какого человека, а могут принадлежать только искусственному интеллекту. В обоих случаях опрашивать человека в качестве контрольного примера бессмысленно.

Без разумного объяснения того, как были созданы высказывания некоего существа, наблюдения за этим процессом нам ничего не скажут. В тесте Тьюринга, на самом простом его уровне, нас нужно убедить в том, что высказывания не сочиняются непосредственно человеком, притворяющимся искусственным интеллектом, как в розыгрыше с Хофштадтером. Но подлог – это меньшая из возможных бед. Например, выше я предположил, что «Элбот» процитировал заготовленную шутку в ответ на ошибочно опознанное ключевое слово «spouse». Но значение этой шутки было бы совершенно иным, если бы мы знали, что это не заготовка, поскольку никто ее в программу не закладывал.

Но откуда мы могли бы это узнать? Только из разумного объяснения. Например, мы могли бы это знать, если бы сами написали программу. Или если бы автор программы объяснил нам, как она работает: как создает знания, включая шутки. Окажись объяснение разумным, нам следовало бы признать, что программа – искусственный интеллект. На самом деле, если бы у нас было только такое объяснение, но мы бы еще не видели результата работы программы и даже если бы она еще не была бы написана, мы бы все равно должны были заключить, что это настоящий искусственный интеллект. И тест Тьюринга был бы не нужен. Вот почему я говорю, что если бы недостаток вычислительной мощности был единственным препятствием в создании искусственного интеллекта, то не было бы смысла ждать его практической реализации.

Детальное объяснение принципа работы искусственного интеллекта вполне может оказаться исключительно сложным. На практике авторское объяснение всегда будет даваться на некоем эмерджентном, абстрактном уровне. Но это не мешает ему быть разумным. Разъяснять конкретные вычислительные шаги, из которых получилась шутка, не придется так же, как и теория эволюции не должна объяснять, почему в истории данной адаптации сохранилась или не сохранилась каждая конкретная мутация. Должно быть только объяснено, как это могло произойти и почему следует ожидать, что это случится, с учетом того, как работает программа. Если это разумное объяснение, мы убедимся в том, что шутка – знание в ней – зарождается в программе, а не в голове программиста. Таким образом, в зависимости от наилучшего доступного объяснения принципа работы программы одно и то же ее высказывание – шутка – может доказывать как то, что программа не думает, так и то, что она думает.

Природа юмора изучена недостаточно хорошо, поэтому мы не знаем, требуется ли универсальное мышление для составления шуток. Поэтому вполне понятно, что, несмотря на широкий диапазон тем, на которые можно пошутить, существуют скрытые связи, сводящие весь процесс придумывания шутки к единственной узкой функции. В этом случае однажды вместо людей могут появиться универсальные программы для придумывания шуток, так же, как сейчас у нас есть программы, не являющиеся людьми и играющие в шахматы. Звучит невероятно, но в отсутствие разумного объяснения, которое исключило бы такую возможность, мы не можем считать выдумывание шуток единственным способом оценки искусственного интеллекта. Но что мы можем сделать – это вести разговор на более чем разнообразные темы и следить за тем, адаптируются ли ответы программы по смыслу к различным возникающим в процессе целям. Если программа на самом деле думает, то в ходе такого разговора она проявит себя – одним из бесчисленных и непредсказуемых способов, – так же как это сделали бы вы или я.

Есть и более глубокая проблема. Способности искусственного интеллекта должны обладать своего рода универсальностью: специализированное мышление не будет считаться мышлением в том смысле, который предполагал Тьюринг. Я предположу, что каждый искусственный интеллект – это субъект – универсальный объяснитель. Можно допустить, что между искусственным интеллектом и «универсальным объяснителем / конструктором» есть и другие уровни универсальности и, возможно, есть отдельные уровни для таких свойств, как сознание. Но, по-видимому, все эти отличительные свойства появились одним скачком к универсальности у человека, и, хотя мы не преуспели в их объяснении, мне неизвестно ни одного убедительного аргумента в пользу того, что они находятся на других уровнях или их можно было достичь независимо друг от друга. Поэтому я предварительно предполагаю, что что они нераздельны. Так или иначе, нам следует ожидать, что искусственный интеллект будет достигнут скачком к универсальности от чего-то гораздо менее мощного. Напротив, способность имитировать человека неидеально или только в отдельных его функциях – это не форма универсальности. Она может существовать в виде отдельных уровней. А значит, даже если чатботы вдруг начнут имитировать (или обманывать) людей гораздо лучше, это все равно не приведет нас к искусственному интеллекту. Научиться лучше притворяться, что умеешь думать, – не то же самое, что приблизиться к способности думать.

Существует философское направление, главный принцип утверждает, что это, напротив, одно и то же. Это течение называется бихевиоризмом и является инструментализмом в применении к психологии. Другими словами, это учение о том, что психология может или должна только быть наукой о поведении, а не о мышлении, что она может только измерять и предсказывать отношения между внешними обстоятельствами людей («стимулами») и наблюдаемым поведением людей («реакцией»). Последнее, к сожалению, представляет собой именно тот подход, который в рамках теста Тьюринга должен применять судья, рассматривая кандидата на искусственный интеллект. Тем самым поддерживается установка, что если программе удается достаточно хорошо притворяться искусственным интеллектом, значит, она им обладает. Но в конечном счете программа, не являющаяся искусственным интеллектом, не может его имитировать. Путь к искусственному интеллекту не может лежать через все более удачные трюки, благодаря которым чатботы становятся более убедительными.

Вне сомнения, бихевиорист спросит: а в чем, собственно, разница между тем, что мы дадим чатботу очень богатый набор трюков, шаблонов и баз данных, и тем, что наделим его возможностями искусственного интеллекта. Что такое программа искусственного интеллекта, если не набор таких трюков?

При обсуждении ламаркизма в главе 4 я указал на фундаментальную разницу между усилением мышцы в течение жизни одной особи и увеличением ее силы в ходе эволюции. В первом случае знание о том, как достичь всех доступных мышечных сил должно присутствовать в генах особи еще до начала череды изменений. (И то же относится к знанию о том, как распознать обстоятельства, при которых нужно запускать изменения.) Это точный аналог «трюка», который программист должен встроить в чатбот: чатбот отвечает, «как если бы» он при составлении ответа создал часть знания, но на самом деле все знания были созданы заранее и в другом месте. Аналогом эволюционных изменений вида является творческое мышление человека. Аналог идеи о том, что искусственный интеллект можно создать, накапливая трюки чатбота, – это ламаркизм, теория о том, что новые адаптации можно объяснить изменениями, которые в действительности являются лишь проявлением существующих знаний.

Существует несколько современных областей научного поиска, которым присуще одно общее заблуждение. Область исследований по искусственному интеллекту, крутящаяся вокруг чатботов, целиком зашла в тупик, но и на других направлениях проблема связана с тем, что исследователи дают чрезмерно завышенные оценки своим реальным, хотя и относительно скромным достижениям. Одним из таких направлений является искусственная эволюция.

Вспомним идею Эдисона о том, что прогресс требует сменяющих друг друга фаз «вдохновения» и «работы в поте лица», а также то, что благодаря компьютерам и другим технологиям появляется все больше возможностей автоматизации для второй фазы. Этот приятный результат ввел в заблуждение тех, кто слишком уверен в достижении искусственной эволюции (и искусственного интеллекта). Допустим, например, что вы аспирант со специализацией в области робототехники и хотите сконструировать робота, который будет ходить на двух ногах лучше предыдущих. Первая стадия решения этой задачи должна включать в себя вдохновение, другими словами, творческое мышление, направленное на улучшение попыток предыдущих исследователей. Вы будете отталкиваться от них, от известных решений других задачах, которые, по вашим предположениям, могут иметь отношение к данной, и от строения ходящих животных. Все это составляет существующие знания, которые вы будете варьировать и комбинировать по-новому, а затем критиковать и снова варьировать. В итоге вы создадите техническую конструкцию нового робота: ноги с рычагами, шарнирами, тяговыми тросами и моторами; тело с блоком питания; органы чувств, через которые робот будет получать обратную связь и тем самым сможет правильно управлять конечностями; а также компьютер, который будет осуществлять управление. В этой конструкции вами для ходьбы будет наилучшим возможным способом адаптировано все, кроме программы в компьютере.

Программа должна будет распознавать такие ситуации, когда, например, робот вот-вот потеряет равновесие или наталкивается на препятствие, вычислять соответствующее действие и выполнять его. Это самая сложная часть исследовательского проекта. Как узнать, когда лучше обойти препятствие слева, а когда – справа, когда перепрыгнуть через него, а когда отпихнуть его в сторону, или пройти прямо по нему, или шагнуть шире, чтобы не наступить на него, или решить, что его преодолеть нельзя и повернуть назад? И как именно в каждом из таких случаев нужно осуществить все эти действия по отсылке бесчисленного количества сигналов в моторы и механизмы в соответствии с обратной связью, полученной от органов чувств?

Разумеется, вы разобьете задачу на подзадачи. Поворот на один заданный угол похож на поворот на любой другой. Поэтому можно написать подпрограмму для поворота, которая возьмет на себя весь континуум возможных случаев. Готовую подпрограмму можно будет просто вызывать из остальных частей программы при необходимости поворота, и в этих частях знания о том, что именно требуется для поворота, будут излишними. Задав и решив столько таких подзадач, сколько возможно, вы создадите код или язык, весьма хорошо приспособленный для формулирования движений робота при ходьбе. Каждый вызов одной из подпрограмм – это такая формулировка или команда на данном языке.

До этого момента большая часть того, что вы сделали, относится к «вдохновению»: она требовала творческого мышления. Настало время попотеть. Автоматизировав все, что вы знаете, как автоматизировать, вы столкнетесь с единственной возможностью для достижения дополнительной функциональности: обратиться к методу проб и ошибок. Однако теперь у вас есть преимущество в виде языка, который был вами адаптирован для передачи роботу инструкций по ходьбе. Поэтому можно начать с программы, простой на этом языке, но очень сложной в плане элементарных команд компьютера и означающей, например, «Идти вперед; при столкновении с препятствием остановиться». Затем можно запустить эту программу и посмотреть, что будет делать робот. (Или проверить ее на компьютерной модели робота.) Если робот споткнется и упадет или произойдет еще что-то нежелательное, программу можно модифицировать – все на том же уже созданном вами языке высокого уровня, – устраняя недостатки по мере их выявления. Вдохновения для такого метода нужно меньше, а вот попотеть придется.

Но есть и альтернативный подход: можно переложить вторую фазу на компьютер, но с использованием так называемого эволюционного алгоритма. С помощью одной и той же компьютерной модели запускается множество пробных версий, в каждой из которых самая первая программа случайным образом немного меняется. Эволюционный алгоритм подвергает каждого смоделированного робота набору тестов, задуманных вами: сколько он может пройти, не упав; насколько хорошо он преодолевает препятствия и пересеченную местность и так далее. В конце каждого прогона остается программа, показавшая наилучшие результаты, а остальные отбрасываются. Затем создается множество вариантов этой выбранной программы, и процесс повторяется. После тысяч итераций такого «эволюционного» процесса может оказаться, что робот согласно установленным вами критериям ходит достаточно хорошо. Теперь можно писать диссертацию. И вы не только сможете утверждать, что сконструированный вами робот ходит с требуемой степенью ловкости, но и что вы на компьютере реализовали эволюцию.

Такая процедура с успехом осуществлялась уже много раз. Это полезная методика. И, безусловно, она представляет собой «эволюцию» в смысле чередования вариации и отбора. Но эволюция ли это в более важном смысле создания знаний путем вариации и отбора? Когда-нибудь мы достигнем и этого, но я сомневаюсь в том, что на данный момент это уже достигнуто, по той же причине, по которой я сомневаюсь в том, что чатботы обладают интеллектом, пусть и небольшим. Просто потому, что их способностям есть гораздо более очевидное объяснение, а именно творческое мышление программиста.

Исключение возможности того, что в случае «искусственной эволюции» знание было создано программистом, логически эквивалентно проверке, является ли программа искусственным интеллектом, только это задача сложнее, потому что объем знаний, якобы создаваемых в ходе «эволюции», гораздо меньше. Даже если вы сами и есть программист, то не можете судить, вы создали этот относительно небольшой объем знаний или нет. С одной стороны, те знания, которые вы заложили в язык за многие месяцы разработки, будут иметь определенную сферу применимости, потому что в них закодированы некоторые общие истины о законах геометрии, механики и так далее. С другой стороны, вы разрабатывали язык, постоянно учитывая, для выражения какого рода способностей он в итоге будет использоваться.

Идея с тестом Тьюринга наводит на мысль о том, что, если заложить в программу «Элиза» достаточно шаблонов стандартных ответов, она сможет автоматически создавать знания; искусственная эволюция наводит на мысль о том, что при наличии вариации и отбора эволюция (адаптаций) станет происходить автоматически. Но ни то, ни другое не обязательно верно. В обоих случаях есть другая возможность, что во время работы программы вообще не будет создаваться знаний, а появляться они будут только во время разработки ее программистом.

Кажется, в таких проектах неизменно происходит одно: если по достижении запланированной цели «эволюционная» программа продолжает работать, то дальнейших улучшений уже не происходит. Именно так должно было быть, если все знания, заложенные в удачно сконструированном роботе, на самом деле получены от программиста. Но такая критика неубедительна: в ходе биологической эволюции также часто достигаются «локальные максимумы приспособленности». Кроме того, уже достигнув своей загадочной формы универсальности, она как будто замерла лет так на миллиард, прежде чем создать более или менее значительные новые знания. Но все же достижение результатов, которые вполне могут быть обусловлены чем-то еще, не есть доказательство эволюции.

Поэтому я сомневаюсь, что в ходе какой-либо «искусственной эволюции» когда-либо создавались знания. Того же взгляда и по тем же причинам я придерживаюсь относительно немного иного типа «искусственной эволюции», при которой в виртуальной среде развиваются смоделированные организмы, а также когда друг с другом стравливаются различные виртуальные виды.

Чтобы проверить это утверждение, я бы хотел увидеть эксперимент немного другого вида: уберем из проекта аспиранта. Вместо робота, сконструированного так, чтобы он мог развивать свои способности к ходьбе, возьмем робота, который уже применяется в какой-нибудь реальной ситуации и может ходить. Далее, мы не будем создавать специальный язык подпрограмм для выражения гипотез о том, как ходить, а заменим существующую программу в существующем микропроцессоре случайными числами. В качестве мутаций возьмем ошибки того типа, которые все равно случаются в таких процессорах (хотя при моделировании можно задавать частоту, с которой мы позволим им случаться). Все это делается, чтобы исключить возможность того, что в конструкцию системы вводятся человеческие знания и привносимые ими новые возможности будут восприниматься как результат эволюции. Затем, как обычно, начнем моделирование этой мутирующей системы – столько раз, сколько угодно. Если робот в конце концов пойдет лучше, чем было изначально, то я ошибся. Если он продолжит совершенствовать свой навык и после этого, то я ошибся очень сильно.

Одна из главных особенностей описанного эксперимента, отсутствующая при обычном способе осуществления искусственной эволюции, состоит в том, что язык (подпрограмм) должен развиваться вместе с теми адаптациями, которые с его помощью выражаются. Как раз это и происходило в биосфере перед скачком к универсальности, который вылился в генетический код ДНК. Как я говорил, возможно, все предыдущие генетические коды кодировали только небольшое число очень похожих организмов. А та чрезвычайно богатая биосфера, которую мы видим вокруг себя, созданная случайной вариацией генов при неизменном языке, представляет собой нечто, ставшее возможным лишь после этого скачка. Мы даже не знаем, универсальность какого типа была там создана. Так почему мы полагаем, что наша искусственная эволюция сможет обойтись без этого?

Думаю, мы должны принять тот факт, что как искусственная эволюция, так и искусственный интеллект – задачи трудные. В том, как эти явления были достигнуты в природе, нечто очень важное остается неизвестным. Попытки воспроизвести их искусственным путем без понимания этого неизвестного, пожалуй, стоило предпринять. Но их неудача не должна нас удивлять. В частности, мы не знаем, почему код ДНК, развившийся для описания бактерий, оказался достаточно сильным, чтобы описать динозавров и людей. И хотя кажется очевидным, что у искусственного интеллекта будут квалиа и сознание, объяснить эти понятия мы не можем. А раз так, то как можно ожидать, что мы смоделируем их с помощью компьютерной программы? Или почему они должны сами собой возникнуть в ходе проектов, нацеленных на достижение чего-то другого? Я полагаю, что, когда мы все-таки разберемся в этом, реализовать искусственным путем эволюцию и интеллект вместе со всеми характерными для них атрибутами не составит большого труда.

Терминология

Квалиа – субъективные аспекты чувственного опыта.

Бихевиоризм – инструментализм применительно к психологии. Учение о том, что наука может (или должна) измерять и предсказывать лишь поведение людей в ответ на стимулы.

Краткое содержание

В области (универсального) искусственного интеллекта не достигнуто никакого прогресса из-за нерешенной философской проблемы, лежащей в ее основе: мы не понимаем, как устроено творческое мышление. Как только мы разберемся в этом, запрограммировать его не составить труда. Даже искусственной эволюции мы, возможно, еще не добились, несмотря на видимость обратного. Проблема заключается в том, что мы не понимаем природу универсальности системы репликации ДНК.

8. Окно в бесконечность

Много столетий назад математики поняли, что с бесконечностями можно уверенно работать и извлекать из этой абстракции пользу. Бесконечные множества, бесконечно большие величины, а также бесконечно малые – все имеет смысл. Многие их свойства трудны для понимания, появление теорий о бесконечных величинах всегда вызывало споры; но ведь и многие факты о конечных сущностях столь же контринтуитивны. То, что Докинз называет «аргументом, основанном на личном недоверии», – не аргумент: это все равно что предпочитать парохиальные заблуждения универсальным истинам.

С античных времен над бесконечностью размышляли и в физике. Евклидово пространство было бесконечным; так или иначе, пространство обычно рассматривалось как континуум: даже конечный отрезок состоял из бесконечного множества точек. Между двумя произвольными моментами времени также было бесконечно много моментов. Но до изобретения Ньютоном и Лейбницем дифференциального исчисления, метода анализа непрерывных изменений в терминах бесконечного числа бесконечно малых изменений, представление о непрерывных величинах было обрывочно и противоречиво.

«Начала бесконечности» – возможность неограниченного роста знания в будущем – зависят от ряда других бесконечностей. Одна из них – универсальность законов природы, позволяющая применять конечные, локальные символы ко всему времени и пространству, а также ко всем известным и всем возможным явлениям. Другое понятие – существование физических объектов, являющихся универсальными объяснителями, – людей, – которые, как оказывается, обязательно являются и универсальными конструкторами, и должны содержать в себе универсальные классические компьютеры.

Многие формы универсальности сами по себе ссылаются на бесконечность некоторого вида, хотя их всегда можно трактовать как нечто неограниченное, а не актуально бесконечное. Противники бесконечности называют это «потенциальной бесконечностью», в отличие от «реализованной»[44]44
  В русском языке чаще говорят об актуальной бесконечности. – Прим. ред.


[Закрыть]. Например, начало бесконечности можно описать либо как условие, при котором «прогресс в будущем будет неограничен», либо как условие, при котором «будет достигнут бесконечный по масштабу прогресса». Но я использую эти понятия взаимозаменяемо, потому что в данном контексте между ними нет содержательной разницы.

В философии математики существует направление, называемое финитизмом, в котором утверждается, что существуют только конечные абстрактные сущности. Так, например, натуральных чисел бесконечно много, но финитисты настаивают на том, что это просто фигура речи. По их словам, в действительности существует лишь конечное правило для образования каждого натурального числа (или, точнее говоря, его записи) из предыдущего, а ничего реально бесконечного тут нет. Но это учение сталкивается со следующей проблемой: есть ли в ряду натуральных чисел наибольшее? Если есть, то это противоречит существованию правила, позволяющего построить еще большее число. Если нет, то неверно, что количество натуральных чисел конечно. И здесь финитистам приходится отрицать логический принцип, называемый «законом исключенного третьего», который гласит, что для каждого содержательного утверждения верно либо оно, либо его отрицание. Согласно финитистам получается, что, хотя среди натуральных чисел нет наибольшего, их все равно не бесконечно много.

Финитизм – это инструментализм применительно к математике: это принципиальное неприятие объяснения. Он пытается рассматривать математические сущности только как процедуры, которым следуют математики, правила для написания значков на бумаге и так далее – и иногда это полезно, но связи с реальностью в этом нет, разве что с конечными объектами из опыта, такими как два яблока или три апельсина. Поэтому финитизм по сути своей антропоцентричен, что неудивительно, так как согласно ему ограниченность есть достоинство теории, а не наоборот. У финитизма есть и еще один роковой недостаток, который привносят в науку инструментализм и эмпиризм: допущение, что у математиков есть своего рода привилегированный доступ к конечным сущностям, а к бесконечным – нет. Но это не так. Все наблюдения нагружены теорией. Любые абстрактные теоретические рассуждения – тоже. Добраться до абстрактных сущностей, конечных или бесконечных, как и до физических сущностей, можно только через теорию.

Другими словами, финитизм, как и инструментализм, – это не что иное, как план, цель которого помешать достижению прогресса в понимании сущностей, выходящих за рамки непосредственного опыта. А значит, и достижению прогресса вообще, ведь, как я объяснил, в рамках нашего «непосредственного опыта» сущностей нет.

Все вышеприведенное обсуждение предполагает универсальность разума. Сфера досягаемости науки имеет неотъемлемые ограничения; это относится и к математике, и к любому направлению философии. Но если вы считаете, что существуют границы той области, в которой разум есть должный судья идей, значит, вы верите в иррациональное или в сверхъестественное. Аналогично если вы отрицаете бесконечное, то вы застряли в конечном, а конечно парохиально. Здесь нельзя остановиться посередине. Самое разумное объяснение чего бы то ни было в конечном счете включает в себя универсальность, а значит, и бесконечность. Сферу объяснимого нельзя взять и ограничить в приказном порядке.

Одним из проявлений этого в математике стал принцип, впервые явно сформулированный в девятнадцатом веке математиком Георгом Кантором, согласно которому абстрактные сущности можно определить любым желаемым способом через другие сущности при условии, что определения однозначны и непротиворечивы. Кантор заложил основы современного математического исследования бесконечности. В двадцатом веке его принцип отстаивал и обобщал математик Джон Конуэй, который дал ему эксцентричное, но вполне подходящее название – движение за освобождение математиков. Согласно Конуэю, открытия Кантора встретили резкое неприятие со стороны современников, включая большинство математиков того времени и также многих ученых, философов – и богословов. Как это ни парадоксально, религиозные возражения по сути строились на принципе заурядности. Попытки понять бесконечность и работать с ней в них характеризовались как посягательство на прерогативу Бога. В середине двадцатого века, через много лет после того, как исследования в области бесконечности стали обычным для математики делом и нашли в ней бесчисленное множество приложений, философ Людвиг Виттгенштейн все еще презрительно осуждал их за «бессмысленность». (Правда, в конечном итоге он предъявил это обвинение и философии в целом, включая свою собственную работу, см. главу 12.)

Я уже упоминал другие примеры принципиального неприятия бесконечности. Необъяснимую антипатию к универсальным системам записи чисел выражали Архимед, Аполлоний и другие. Существуют такие учения, как инструментализм и финитизм. Принцип заурядности начинает с того, чтобы уйти от ограниченности взглядов и добраться до бесконечности, но в итоге загоняет науку в бесконечно малый, непредставительный пузырь постижимости. Есть еще пессимизм, который (как будет показано в следующей главе) стремится объяснить неудачи существованием конечной границы совершенствования. Один из примеров пессимизма – парадоксальная парохиальность сравнения Земли со звездолетом – транспортным средством, которое гораздо лучше подошло бы в качестве метафоры бесконечности.

Всякий раз обращаясь к бесконечности, мы опираемся на бесконечную сферу применимости какой-либо идеи. Всегда, когда идея бесконечности имеет смысл, это связано с тем, что существует объяснение, каким образом некий конечный набор правил для манипулирования конечными символами ссылается на нечто бесконечное. (Повторю, что это также лежит в основе всех остальных наших знаний.)

В математике бесконечность изучается посредством бесконечных множеств (то есть множеств с бесконечным числом элементов). Определяющее свойство бесконечного множества заключается в том, что некоторая его часть содержит столько же элементов, сколько все оно целом. Возьмем, например, натуральные числа:

В верхней строке на рисунке каждое натуральное число встречается ровно один раз. В нижней строке содержится только часть этого множества: натуральные числа, начиная с 2. Чтобы показать, что в этих двух множествах одинаковое число элементов, на рисунке между ними установлено соответствие, которое математики называют «взаимно однозначным».

Чтобы проиллюстрировать некоторые интуитивные вещи, от которых приходится отказаться, рассуждая о бесконечности, математик Давид Гильберт придумал мысленный эксперимент. Он представил себе гостиницу с бесконечным числом номеров: отель «Бесконечность». Номера пронумерованы с помощью натуральных чисел, начиная с 1 и заканчивая… Чем же?

Число на двери последнего номера отеля – не бесконечность. Во-первых, последнего номера вообще нет. Мысль о том, что в любом пронумерованном множестве гостиничных номеров есть элемент с наибольшим числом на двери, – это первое интуитивное представление из повседневной жизни, которое придется отбросить. Во-вторых, в любой конечной гостинице, в которой номера пронумерованы от 1, будет один под номером, равным общему их числу, а также другие с близкими номерами: если бы номеров было десять, на двери одного из них стояло бы десять, а среди остальных был бы номер девять. Но в отеле «Бесконечность», в котором число номеров бесконечно, порядковые номера их всех бесконечно далеки от бесконечности.

Теперь представьте, что отель заполнен. В каждом номере может жить один и только один человек. Когда «заполнена» конечная гостиница, это все равно что «свободных мест нет». Но в отеле «Бесконечность» место найдется всегда. Одно из условий пребывания в нем – постояльцам придется сменить номер, когда администратор их об этом попросит. По прибытии нового гостя по системе оповещения проходит сообщение: «Просим всех постояльцев немедленно переехать в номер, на двери которого число на единицу больше, чем на двери занимаемого вами сейчас номера». Таким образом, по схеме, представленной на первом в этой главе рисунке, тот, кто жил в номере 1, переезжает в номер 2, а тот, кто жил в номере 2, – в номер 3 и так далее. Что же происходит в последнем номере? Но ведь последнего нет, и такого вопроса просто не возникает. Вновь прибывший заселяется в номер 1. Бронировать место в отеле «Бесконечность» не нужно.

Очевидно, в нашей Вселенной не может быть такого места, как отель «Бесконечность», поскольку в нем нарушается несколько законов физики. Однако это математический мысленный эксперимент, поэтому единственное ограничение на воображаемые законы физики – их непротиворечивость. И из-за этого требования непротиворечивости они контринтуитивны: в интуитивных вещах, касающихся бесконечности, часто отсутствует логика.