Текст книги "Форма реальности"

Teandola, Amberylon, Madrihadria, Kaseniane, Quille, Abenellett…

При этом использовались пары букв – биграммы. Мы можем пойти дальше и задаться вопросом: с какой вероятностью очередная буква будет появляться после определенной последовательности из трех букв (триграммы). Для этого понадобится гораздо больше данных, потому что триграмм намного больше, чем диграмм. Зато получающийся список будет гораздо больше похож на настоящие имена:

Kendi, Jeane, Abby, Fleureemaira, Jean, Starlo, Caming, Bettilia…

При переходе к пятибуквенным комбинациям ситуация настолько улучшается, что мы нередко просто воспроизводим реальные имена из базы, однако кое-какие новые все же встречаются:

Adam, Dalila, Melicia, Kelsey, Bevan, Chrisann, Contrina, Susan…

Используя цепь с триграммами и имена детей, родившихся в 2017 году, мы получим такой список:

Anaki, Emalee, Chan, Jalee, Elif, Branshi, Naaviel, Corby, Luxton, Naftalene, Rayerson, Alahna…

Он определенно выглядит более современно, причем примерно половина в нем – реальные имена, с которыми ходят сейчас дети. Для младенцев 1917 года рождения:

Vensie, Adelle, Allwood, Walter, Wandeliottlie, Kathryn, Fran, Earnet, Carlus, Hazellia, Oberta…

Сколь бы ни была проста цепь Маркова, она как-то улавливает стиль использования имен в разные времена. И этот способ придумать имя выглядит творческим. Некоторые из этих имен весьма неплохи! Вы вполне можете представить, что ребенка зовут Jalee или в стиле ретро – Vensie, но вряд ли назовете его Naftalene[170]170
  Но шрифт naftalene так назвали. Прим. науч. ред.


[Закрыть].

Способность цепи Маркова генерировать нечто вроде языка заставляет задуматься: может быть, язык – это просто цепь Маркова? Не создаем ли мы, когда говорим, просто новые слова на основе нескольких последних произнесенных нами слов или на основе какого-то вероятностного распределения, которое мы знаем из всех когда-либо услышанных чужих фраз?

Дело не только в этом. В конце концов, мы подбираем слова, каким-то образом относящиеся к окружающему миру, а не просто повторяем уже сказанное.

И все же современные цепи Маркова могут генерировать нечто удивительно похожее на человеческий язык. Алгоритм GPT-3 компании OpenAI – духовный потомок текстовой машины Шеннона, только намного мощнее. На входе не три буквы, а фрагмент текста длиной в сотни слов, но принцип тот же: если есть недавно созданный текст, то какова вероятность, что следующее слово будет «эта», «геометрия» или «гололедица»?

Вы можете подумать, что это легко. Достаточно взять первые пять предложений из вашей книги, пропустить их через GPT-3 и получить список вероятностей для каждой возможной комбинации слов в этих предложениях.

Погодите, а с чего вы взяли, что это легко? Вообще-то нет. Просто предыдущий абзац – это попытка алгоритма GPT-3 продолжить текст из трех абзацев перед ним. Я выбрал самый осмысленный результат из десятка попыток. Но все результаты каким-то образом звучат так, словно они взяты из книги, которую вы читаете, и это, скажу я вам, несколько тревожит ее автора, даже когда предложения не имеют смысла вообще, как в этом фрагменте[171]171
  А вот как выглядит реальный сгенерированный русский текст на основе текста этой книги по семеркам букв: «Какой бы ни огорчатся, если бы взять букву с вероятно, могу заявить, что каждый мой ход ведет в позиций прием. Назад дороги почти все петли можно повернутый два разных концах подковы утверждении, что любили этого потребовалось не меняется. На этой поверхности психических центра этих данных, как метафорой ранее, с заражение умение убеждение: сплошной шар радиусом километр на северо-восточной боли усилия на более предложите этот вариантов». Прим. ред. [Если же сделать цепь Маркова, символами в которой будут не буквы, а слова, и обучить ее на большом корпусе соответствующей литературы, то получится алгоритм SciGen для написания случайных «научных» статей. При помощи этой программы была написана статья, опубликованная в журнале, выдававшем себя за научный: Жуков М. Корчеватель: Алгоритм типичной унификации точек доступа и избыточности. Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов (2008) № 8. Прим. науч. ред.]


[Закрыть]:

Если вы знакомы с понятием теоремы Байеса, то это должно быть для вас легко. Если есть вероятность 50 %, что следующим словом будет «эта», и 50-процентный шанс, что им будет «геометрия», то вероятность того, что следующим словом будет либо «эта геометрия», либо «гололедица», составляет (⁵⁰/₅₀)² = 0.

Между этой задачей и текстовой машиной Шеннона действительно большая разница. Представьте, что у Шеннона огромная библиотека и он пытается с помощью этого метода составить английские предложения, начиная с тех пятисот слов, которые вы только что прочитали. Он просматривает книги до тех пор, пока не найдет ту, где эти слова расположены в точно таком же порядке, чтобы он мог записать следующее слово. Конечно же, он этих слов не находит! Никто (надеюсь!) никогда не написал эти пятьсот слов так, как только что сделал я. Поэтому метод Шеннона потерпит неудачу на первом же шаге. Это равнозначно попытке найти следующую букву после буквосочетания XZ. На его полке просто может не оказаться книги с такой биграммой. Тогда он пожимает плечами и сдается? Давайте припишем Клоду больше целеустремленности! Например, можно сказать, что мы раньше никогда не встречали XZ, но, возможно, видели биграммы, в каком-то смысле похожие на XZ? Тогда можно взять буквы, которые следовали за этими биграммами. Как только мы начинаем размышлять подобным образом, мы выносим суждения о том, какие последовательности букв «близки» к другим последовательностям, а это означает, что мы думаем о геометрии последовательностей букв. Непонятно, какую «близость» нам следует подразумевать, и проблема усложняется еще больше, когда мы говорим о фрагменте текста из пятисот слов. Что значит один фрагмент близок к другому? Это геометрия языка? Или стиля? И как компьютер должен это понимать? Мы еще вернемся к этому вопросу. Но сначала познакомимся с величайшим в мире игроком в шашки.

Глава 5. «Его стиль – непобедимость»

Величайший чемпион в истории человечества в своей области – лучше, чем Серена Уильямс в теннисе, Бейб Рут в хоумранах[172]172
  Хоумран – удачный удар в бейсболе, позволяющий атакующей команде совершить пробежку. Бейбу Руту принадлежит рекорд Главной лиги бейсбола по количеству хоумранов за карьеру (714). Прим. пер.


[Закрыть], Агата Кристи в написании бестселлеров и Бейонсе в проведении зрелищных концертов, – был кротким профессором математики и изредка проповедником, который жил со своей престарелой матерью с Таллахасси (штат Флорида). Его звали Марион Тинсли, и он играл в английские шашки[173]173
  Английские шашки (чекерс) отличаются от русских: простые шашки могут бить только вперед, а дамки ограничены в ходах. Прим. пер.


[Закрыть], причем так, как никто не играл до него и не будет играть после.

Тинсли вырос в Колумбусе, где научился играть в шашки у квартирантки, жившей в их доме, – некоей миссис Кершоу, которая радовалась своему превосходству над мальчиком. «О, как она гоготала[174]174
  О, как она гоготала: L. Renner, “Crown Him, His Name Is Marion Tinsley,” Orlando Sentinel, Apr. 27, 1985.


[Закрыть], перепрыгивая через мои шашки», – вспоминал Тинсли. Подростку повезло, что неподалеку, в Толедо, жил тогдашний чемпион мира Эйса Лонг. Начиная с 1944 года[175]175
  Начиная с 1944 года: G. Belsky, “A Checkered Career,” Sports Illustrated, Dec. 28, 1992.


[Закрыть] Тинсли изучал шашки с Лонгом по выходным, а через два года, в девятнадцать, стал вторым на чемпионате США (хотя так никогда и не обыграл миссис Кершоу, переехавшую много лет назад). Он выиграл чемпионат США в 1954 году, уже будучи аспирантом, изучавшим математику в Университете штата Огайо. В следующем году он стал чемпионом мира – титул, который он будет время от времени подтверждать в течение следующих сорока лет, поскольку периодически брал перерывы в игре. В 1958 году он защитил свой титул в матче против Дерека Олдбери из Великобритании: 9 побед, 24 ничьи, 1 поражение. Еще один матч за шашечную корону он выиграл в 1985 году, обыграв своего наставника Эйсу Лонга: 6 побед, 28 ничьих, 1 поражение, а в 1975-м проиграл[176]176
  В 1975 году он проиграл: биографический материал о ранней жизни Тинсли в основном взят из книги Jonathan Shaeffer, One Jump Ahead (New York: Springer-Verlag, 1997), 127–33.


[Закрыть] одну игру Эверетту Фуллеру в победном для себя турнире Florida Open.

С 1951 по 1990 год Тинсли сыграл больше тысячи турнирных партий против величайших игроков в английские шашки и проиграл всего три[177]177
  Если учитывать все официальные партии, то с 1950 года Тинсли проиграл пять партий людям и еще две – компьютерной программе «Чинук», о чем будет сказано ниже. Прим. пер.


[Закрыть].

У него не было запугивающих манер, он не издевался, не насмехался и не куражился над оппонентами. Он просто выигрывал, выигрывал и выигрывал. Берк Гранжан, секретарь Американской федерации шашек, сказал: «Его стиль – непобедимость»[178]178
  Его стиль – непобедимость: Renner, “Crown Him, His Name Is Marion Tinsley.”


[Закрыть]. В интервью перед матчем в Лондоне в 1992 году Тинсли объяснял: «У меня просто нет стресса и напряжения[179]179
  У меня просто нет стресса и напряжения: Schaeffer, One Jump Ahead, 1.


[Закрыть], поскольку я чувствую, что не могу проиграть».

Но он проиграл. Вы уже поняли, к чему все идет, верно? Тинсли выиграл матч в 1992 году, но в итоге был свергнут с престола своим лондонским оппонентом – единственным, кто был лучше величайшего в истории игрока в английские шашки. Это была компьютерная программа «Чинук» (Chinook), разработанная в Альбертском университете под руководством специалиста по теории игр Джонатана Шеффера, и сейчас, когда вы читаете эту книгу, она – чемпион мира по английским шашкам. Конечно, я не знаю, когда именно вы будете ее читать, но уверен в своем утверждении, потому что «Чинук» сохранит титул чемпиона до скончания времен. Марион Тинсли чувствовал, что не может проиграть. Для «Чинука» это не просто чувство. Он не может проиграть. Это доказано математически. Игра окончена.

Тинсли и «Чинук» уже сталкивались раньше. В 1990 году они играли выставочный матч в Эдмонтоне из четырнадцати партий. Тринадцать партий матча закончились вничью, но один раз на десятом ходу программа допустила ошибку. «Ты пожалеешь об этом», – сказал Тинсли, увидев ход. Однако машине потребовалось[180]180
  Однако машине потребовалось еще: Schaeffer, One Jump Ahead, 194.


[Закрыть] еще 23 хода, чтобы понять свою ошибку и сдать партию[181]181
  Шеффер, который тогда делал ходы за свою программу, писал: «Я еще не успел отпустить шашку, когда Тинсли поднял с удивлением глаза и сказал: “Ты пожалеешь об этом”. Будучи неопытным в общении с великим Тинсли, я сидел и молча думал: “Откуда он знает? Моя программа смотрит на 20 ходов вперед и говорит, что у нее преимущество”. Через несколько ходов оценка “Чинука” упала до равенства. Еще через несколько она утверждала, что у Тинсли лучше. Потом заявила, что у нее неприятности. Наконец, ситуация стала такой плохой, что мы сдались. Комментируя партию, Тинсли сказал, что видел весь ход игры до конца и знал, что победит, с 11-го хода – следующего после нашей ошибки. “Чинуку” нужно было смотреть на 60 ходов вперед, чтобы знать, что десятый ход проигрывает». Прим. пер.


[Закрыть].

К 1992 году баланс начал смещаться. Именно тогда Тинсли впервые проиграл «Чинуку» – в первом шашечном матче на первенство мира между человеком и машиной. «Никто не был счастлив[182]182
  Никто не был счастлив: цитируется по работе J. Propp, “Chinook,” American Chess Journal, November 1997; http://www.chabris.com/pub/acj/extra/Propp/Propp01.html.


[Закрыть], – вспоминает Шеффер. – Я ожидал, что буду прыгать и веселиться». Вместо этого появилась хандра. Проигрыш Тинсли означал, что эпоха человеческого превосходства в английских шашках близится к завершению.

Хотя не так сразу. «Чинук» выиграл у Тинсли еще одну партию. Когда Тинсли поднялся, чтобы пожать руку Шефферу при сдаче, зрители решили, что игроки согласились на ничью. Никто в зале, кроме Тинсли и «Чинука», не мог увидеть, что машина победила. Затем Тинсли собрался, выиграл еще три партии, а вместе с ними и матч. Он остался чемпионом мира, но программа «Чинук» стала первым противником, выигравшим у Тинсли две партии со времен правления Трумэна.

Если вас это утешит, ничтожные смертные, то на самом деле Тинсли никогда не проигрывал «Чинуку», то есть не совсем так. В августе 1994 года 67-летний Тинсли согласился на реванш. К этому моменту программа провела 94 игры против лучших шашистов, ни разу не проиграв. Аппаратное обеспечение модернизировали: у «Чинука» был гигабайт оперативной памяти – впечатляющее вооружение на тот момент, хотя сейчас это примерно четверть возможностей операционной системы Android на дешевом телефоне. Тинсли и «Чинук» встретились в Компьютерном музее Бостона, находящемся в здании с видом на гавань. Тинсли надел зеленый костюм и приколол булавку для галстука с надписью: «Иисус». Игры проходили в присутствии большого количества зрителей, в основном других шашистов. Матч начался с шести ничьих подряд за три дня, и в большинстве партий никакого напряжения и опасностей для игроков не наблюдалось. На четвертый день Тинсли попросил отложить партию: ночью у него случилось расстройство желудка, и он не мог уснуть. Шеффер отвез его в больницу на обследование. Сильно обеспокоенный Тинсли сообщил Шефферу данные для связи со своей сестрой на случай, если понадобятся родственники, и сказал: «Я готов уйти». Пообщавшись с врачом и сделав рентгеновский снимок, он отдохнул после обеда, однако на следующее утро сообщил, что снова не спал. «Я сдаю матч и титул “Чинуку”», – сказал он собравшимся организаторам. Так закончилась эпоха человеческого доминирования в английских шашках[183]183
  В 1995 году «Чинук» защитил титул, победив Дона Лафферти (1 победа и 31 ничья). После этого Шеффер решил больше не играть с людьми, а сосредоточился на том, чтобы полностью решить игру. В 2007 году было объявлено, что цель достигнута. При правильной игре в чекерс всегда получается ничья. Прим. пер.


[Закрыть]. В тот же день стали известны результаты рентгеновского обследования: опухоль в поджелудочной железе. Спустя восемь месяцев Тинсли умер.

АКБАР, ДЖЕФФ И ДЕРЕВО ИГРЫ «НИМ»

Как вы можете строго доказать, что не проиграете игру? Вне зависимости от того, насколько хорошо вы играете, обязательно найдется какой-то крохотный кусочек стратегии, который вы упустили из виду, как в каком-то фильме 1980-х о лыжниках, где аутсайдер оставляет позади фаворитов.

Но нет. Мы можем доказать какие-то утверждения об играх точно так же, как и утверждения из геометрии, потому что игры – это геометрия. Я мог бы нарисовать для вас геометрию английских шашек (хотя на самом деле не мог бы, потому что это заняло бы миллионы страниц, а слабый человеческий сенсорный аппарат не смог бы ее понять), но начнем мы с более простой игры «Ним».

Вот ее правила. Два игрока сидят перед грудой камней (количество кучек и камней может быть разным, все варианты все равно называются «Ним»). Игроки по очереди берут камни. За один раз игрок может взять любое количество камней, но только из одной кучки (это единственное правило игры). Пропускать ход запрещено: обязательно нужно взять хотя бы один камень. Побеждает тот, кто возьмет последний камень.

Итак, пусть Акбар и Джефф[184]184
  Акбар и Джефф – персонажи комикса Мэтта Грейнинга «Жизнь в аду». Прим. пер.


[Закрыть], [185]185
  Пусть Акбар и Джефф: Matt Groening, Life in Hell, 1977–2012.


[Закрыть] играют в «Ним». Для простоты предположим, что у нас всего две кучки и в каждой по два камня. Акбар ходит первым. Что ему делать? Он мог бы взять два камня, полностью забрав одну из кучек. Но это плохая идея, потому что тогда Джефф заберет вторую кучу и выиграет. Поэтому Акбару нужно взять один камень из какой-то кучки. Но это не лучший вариант, потому что у Джеффа есть убийственный ход – взять один камень из другой кучки, после чего в обеих кучках остается по одному камню. Предвидя неизбежный конец, Акбар угрюмо берет один камень. Из какой кучки? Совершенно неважно, и Акбар это понимает. Джефф забирает последний камень и побеждает. Не имеет значения, какой первый ход сделает Акбар. Если Джефф не сделает ошибки, он победит.

А если у нас три кучки по два камня в каждой? А если по десять или по сто камней? Внезапно играть в уме становится существенно сложнее.

Поэтому давайте возьмем бумагу и карандаш и нарисуем ход игры, когда вы начинаете с двумя кучками по два камня. Вначале у Акбара есть два варианта: взять один камень или два. Вот небольшой набросок результатов его действий. Самый нижний рисунок – это стартовое положение в игре; делая ход, вы перемещаетесь по диаграмме вверх по одной из ветвей, отходящих от текущего положения.

Да, я слышу ваше замечание: строго говоря, у Акбара четыре варианта, поскольку он может взять один камень из первой кучки, один из второй, оба камня из первой кучки или оба из второй. Но здесь мы действуем в стиле Пуанкаре и «называем разные вещи одним именем». У «Нима» идеальная симметрия – как минимум на момент начала игры; какую бы кучку Акбар ни выбрал в первый раз, вы называете ее левой. Всё последующее рассуждение осталось бы прежним, если бы мы назвали эту кучку правой, – просто слова «левый» и «правый» повсюду меняются местами. Это тот самый момент в математике, когда мы любим говорить «без потери общности», и это всего лишь причудливый способ сказать: «Сейчас я сделаю предположение, но, если оно вам не нравится, сделайте противоположное предположение, и все останется как есть, за исключением того, что слова “левый” и “правый” повсюду поменяются местами». Если это вас действительно беспокоит, переверните книгу вверх ногами.

Теперь ход Джеффа. Его выбор зависит от хода Акбара. Если Акбар взял один камень, то слева остался один камень и два справа. Поэтому у Джеффа три варианта: забрать последний камень слева, взять один камень справа или два камня справа. Если же Акбар взял два камня, то есть оставил всего одну кучку, то у Джеффа всего два варианта: взять один камень или оба.

Вы не находите, что этот абзац чуточку трудноват для чтения? Мне было немного скучно его писать. Картинка лучше!

Мы можем продолжать рисовать таким образом, пока не изучим все возможные варианты развития игры. Это не займет много времени. В конце концов, игрок обязан за ход брать хотя бы один камень; поскольку изначально их было четыре, игра закончится максимум за четыре хода. Вот она целиком – игра «Ним» (две кучки по два камня) в геометрической форме.

Такую диаграмму математики называют деревом. Возможно, чтобы ботаническая метафора сработала, вам нужно слегка приглядеться. Самая нижняя точка, место начала игры, – это корень, из которого все растет. Восходящие пути называются ветвями. Некоторые люди любят называть точку, где ветвь заканчивается и больше не разветвляется, листом[186]186
  Таковы уж математики; как только мы получаем метафору, мы выжимаем из нее всю кровь до последней капли. Но дальше лесная терминология не заходит: у математического дерева нет коры, сучков, ксилемы и флоэмы. Впрочем, группа деревьев действительно называется лесом.


[Закрыть].

Это дерево изображает нашу игру, давая полную картину всех возможных в ней состояний и всех путей между ними. Картинка рассказывает историю. Вы делаете выбор, и он направляет вас по какой-то из ветвей. После этого вы останетесь на этой ветке и ее ответвлениях до конца. Назад дороги нет. Все, что вам остается, – выбирать дальше, проходить по все более мелким ветвям и приближаться к неизбежному концу по мере того, как возможность выбора иссякает.

По сути, я говорю, что ваша жизнь – это дерево.

ЭНТУЗИАЗМ ДЕРЕВА РЕАЛЬНОСТИ

Геометрические объекты интересны широкому кругу людей, потому что они перекликаются с реальными вещами, с которыми мы периодически сталкиваемся в жизни. Если бы единственными треугольными предметами во Вселенной были металлические ударные музыкальные инструменты, то мы уделяли бы изучению треугольников гораздо меньше внимания.

С помощью дерева можно изобразить не только игру. Та же геометрия есть повсюду. Разумеется, в настоящих деревьях с корой, которые поглощают углекислый газ. В генеалогических (родословных) деревьях, где ветви определяются не выбором вариантов, а рождением детей. Корень родословного древа – это пара-основатель, конечные точки-листья – это члены семьи, у которых не было (или пока нет) детей. Обычно генеалогическое древо изображают с корнем вверху: мы называем себя потомками и находимся на нисходящей линии от предков.

Артерии в нашем теле тоже образуют дерево. Корень – это аорта, большая трубка, несущая насыщенную кислородом кровь от сердца; от нее отходят правая и левая коронарные артерии, плечеголовной ствол, левая общая сонная артерия, левая подключичная артерия, бронхиальные артерии, пищеводные артерии… Каждая из них, в свою очередь, делится на более мелкие артерии; плечеголовной ствол – на правую общую сонную артерию и правую подключичную артерию; правая общая сонная артерия разветвляется на внешнюю и внутреннюю сонные артерии примерно там, где подбородок соприкасается с шеей, и так далее, вплоть до крохотной сети артериол диаметром в один-два волоса – последней остановки крови перед тем, как она избавится от кислорода и начнет свое путешествие обратно к легким за его новой порцией.

Не у всех внутри одинаковое кровеносное дерево! Иллюстрация выглядит похожей на тест для иностранцев с несколькими ответами, хотя на самом деле на ней изображены разновидности ветвления артерий[187]187
  Ветвление артерий: это рисунок 6 из работы Ronald S. Chamberlain, “Essential Functional Hepatic and Biliary Anatomy for the Surgeon,” IntechOpen, Feb. 13, 2013; https://www.intechopen.com/books/hepatic-surgery/essential-functional-hepatic-and-biliary-anatomy-for-the-surgeon.


[Закрыть], питающих нашу печень.

Река – это дерево[188]188
  Тут поучительно вспомнить, что у дерева ветвятся не только ветки, но и корни, а у реки, помимо системы притоков, часто бывает дельта. Прим. науч. ред.


[Закрыть]. Только помните, что двигаться тут надо против течения. Корень – это залив или море, куда впадает река. Отсюда вы поднимаетесь по ней, а она тем временем разветвляется на притоки, затем на притоки притоков и так далее – вплоть до истока.

То же самое относится к любой иерархической классификации, например линнеевской классификации биологических видов. Царства делятся на отделы, отделы – на классы, классы – на порядки, порядки – на семейства, семейства – на роды, роды – на виды. Вот дерево деревьев:

Добро и зло – тоже деревья! Speculum Virginum («Зеркало девственниц») – это дидактический трактат для средневековых монахинь, составленный, как принято считать, монахом-бенедиктинцем Конрадом из монастыря Хирзау в Шварцвальде в XII веке, хотя вопросы авторства в истории литературы столь отдаленного времени крайне сложны. Тем не менее эта книга существует и в ней есть Древо Добродетелей и Древо Пороков. Зло интереснее, так что обратимся к порокам[189]189
  Обратимся к порокам: взято из Walters Art Gallery, http://www.thedigitalwalters.org/Data/WaltersManuscripts/W72/data/W.72/sap/W72_000056_sap.jpg.


[Закрыть].

Корень дерева, источник всех пороков, – это superbia (гордыня), прорастающая из головы какого-то богато одетого господина. Потомки гордыни включают ira (гнев), avaritia (алчность), а в верхней части страницы – luxuria (похоть, блуд), слово, услужливо начертанное на тазе улыбающегося мужчины. У каждого из грехов есть собственные потомки: семь отпрысков гнева включают богохульство и оскорбление, а похоть порождает libido, fornicario и turpitudo. (Не могу сказать, что улавливаю между ними тонкие различия[190]190
  Сладострастие, распутство и безнравственность соответственно. Прим. науч. ред.


[Закрыть], и это одна из причин, почему из меня получилась бы плохая средневековая монахиня.)

С течением времени проблемы людей становятся не столько этическими, сколько корпоративными, а дерево возвращается в виде организационной диаграммы – схемы, показывающей структуру взаимоотношений внутри компании. Такое дерево сообщает, кто кому подчиняется и кто кому приказывает. Вот, возможно, первая такая схема, составленная инженером Дэниелом Маккаллумом в 1855 году для железной дороги Нью-Йорка и Эри. Впоследствии Маккаллум будет руководить всеми железными дорогами сил Союза во время Гражданской войны[191]191
  Когда вы слышите «шотландец XIX века» и «офицер времен Гражданской войны», то, вероятно, думаете: «Готов поспорить, что у этого парня была великолепная борода». И должен сказать, вы не ошибаетесь.


[Закрыть].

Информация течет от листьев обратно к корню, президенту железной дороги, в то время как власть течет в противоположном направлении: от президента через цепочки подчиненных к листьям и почкам, которые напечатаны слишком мелко, чтобы их можно было прочитать на этой странице: рабочие, машинисты, плотники и смазчики[192]192
  Мне тоже пришлось искать объяснение. Это рабочие, которые чистят и смазывают части двигателя.


[Закрыть]. Эта диаграмма не совсем дерево; на ней организационная структура сочетается с изображением железнодорожных линий, которыми управляет организация. В центре она похожа на Древо Пороков, а по краям – на американские пригороды конца XX века, если смотреть на них сверху. Дерево отображает геометрию иерархии по тем же причинам, по которым оно представляет геометрию игры «Ним» или геометрию сада расходящихся тропок[193]193
  «Сад расходящихся тропок» (El jardín de senderos que se bifurcan) – рассказ Хорхе Луиса Борхеса. Прим. науч. ред.


[Закрыть], составляющих нашу жизнь; нет циклов, нет бесконечного возвращения. Если я руковожу вами, то вы не можете руководить мной. Если одна позиция в «Ниме» следует из другой, то ни один ход не может вернуть вас в предыдущее состояние; это то, что мешает играм длиться вечно[194]194
  На самом деле существует более общее понятие, нежели дерево, – так называемый ориентированный ациклический граф, который более точно отражает ситуацию: в таком графе ветви могут соединяться, но циклов при этом не образуется, потому что по ветвям можно двигаться только в одном направлении. Представьте генеалогическое древо аристократа, родители которого могут иметь общего прадеда или прабабку, а то и нескольких. Анализ ориентированных ациклических графов может оказаться несколько более неприятным делом, чем анализ деревьев, однако большая часть того, о чем мы рассказываем в этой главе, к ним тоже применима.


[Закрыть].

Но больше артерий, рек и грехов мне нравятся деревья чисел. Вот как они создаются. Вы начинаете с какого-нибудь числа, скажем 1001, и затем рубите его топором. Я имею в виду, что вы находите два меньших числа, произведение которых равно 1001. Например, 1001 = 13 × 77. А теперь рубим топором каждый из множителей. Мы можем разрубить 77 на 7 × 11. А 13? Вот здесь мы застряли: это число нельзя представить в виде произведения двух меньших чисел. Машите топором, сколько хотите, все равно ничего не выйдет. То же самое верно для 7 и 11. Мы можем записать то, что только что сделали, в виде дерева, где каждая ветвь изображает удар топора.

Листья дерева – числа, которые уже не разбиваются, – мы называем простыми числами, базовыми кирпичиками лего, из которых составлены все числа. Все числа? Откуда я это знаю? Благодаря дереву. На каждом этапе размахивания топором число, на которое мы нацелились, либо делится на два меньших множителя, либо нет, и если не делится, то оно простое. Мы рубим до тех пор, пока не сможем больше рубить. И в этот момент все оставшиеся числа оказываются простыми. Это может занять много времени, если мы начнем, например, с 1024:

или получиться сразу, если начать с простого числа вроде 1009:

Однако рано или поздно это произойдет.

Такой процесс не может продолжаться вечно, поскольку с каждым ударом топора числа в дереве становятся меньше, а последовательность целых положительных чисел, которые уменьшаются на каждом шаге, в итоге должна достигнуть конца и остановиться[195]195
  Последняя фраза выглядит очевидной, и в некотором роде так и есть, однако стоит немного задуматься, что утверждение стало бы неверным, если бы я пропустил слово «положительных»: как насчет 2, 1, 0, –1, –2, –3…? А если бы не было слова «целых», то и насчет 1, 0,1, 0,01, 0,001…?


[Закрыть].

В финале этого фестиваля рубки получается дерево, все листья которого – числа, не раскладывающиеся на множители, то есть простые числа, и если их все перемножить, то мы получим число, с которого начали.

Тот факт, что любое целое число[196]196
  Что любое целое число: Ahmet G. Agargün and Colin R. Fletcher, “Al-Fārisī and the Fundamental Theorem of Arithmetic,” Historia Mathematica 21, no. 2 (1994): 162–73.


[Закрыть], каким бы большим и сложным оно ни было, можно выразить как произведение простых множителей, вероятно, впервые был доказан примерно в конце XIII века персидским математиком (и пионером в оптике – в те времена специализация была менее распространена) Камалом ад-Дин аль-Фариси в трактате (Тадхкират аль-Ахбаб фи байан аль-Тахабб «Записки для друзей о доказательстве дружественности»[197]197
  «Дружественность» тут означает не отношения с друзьями, а свойство натуральных чисел. Два числа называются дружественными, если сумма собственных (то есть не равных самому числу) делителей первого числа равна второму числу, а сумма собственных делителей второго числа равна первому числу. Это интересная история, но я не вижу в ней геометрии, так что подожду до другого раза.


[Закрыть]).

С учетом вышесказанного это может показаться странным. Почему потребовалось почти две тысячи лет, чтобы пройти от определения простого числа у пифагорейцев до теоремы аль-Фариси? Здесь снова причина в геометрии. Евклид определенно понимал факты, из которых для современного специалиста по теории чисел немедленно следует вывод, что любое простое число можно разложить на простые: некоторые на кучу простых, как 1024, или только на одно, как 1009, или на нечто среднее, как 1001. Однако Евклид не пишет о произведениях большого количества простых множителей, и мы предполагаем, что причина в том, что он просто не мог этого сделать. Для Евклида все было геометрией, поэтому любое число он представлял как длину какого-то отрезка. Сказать, что число делится на 5, – значит сказать, что на этом отрезке укладываются пять одинаковых отрезков меньшей длины. Когда Евклид умножает два числа, он представляет результат в виде площади прямоугольника, длина и ширина которого – те два числа, что мы перемножили (сомножители). Когда Евклид умножает три числа, он называет результат телесное, поскольку воспринимает его как объем прямоугольного кирпича с длиной, шириной и высотой, равными сомножителям[198]198
  «Когда же три числа, перемножаемые между собой, производят нечто, то возникающее есть телесное, стороны же его – перемножаемые между собой числа». «Начала», книга VII. Перевод Д. Мордухай-Болтовского. Прим. пер.


[Закрыть].

Математика в основе своей – творческое занятие, которое задействует все наши когнитивные и творческие способности. Когда мы занимаемся геометрией, мы используем то, что наш разум и тело знают о размерах и форме тел в пространстве. Евклид добился успехов в теории чисел не в перерывах между занятиями геометрией, а благодаря своим работам по геометрии. Воспринимая числа как длины отрезков, он смог понять их лучше своих предшественников. Однако привязка теории чисел к геометрической интуиции одновременно и ограничивала его. Произведение двух чисел было площадью прямоугольника, а трех чисел – объемом кирпича-параллелепипеда. А произведение четырех чисел? Это не та величина, которую можно реализовать в трехмерном пространстве, где мы живем. Поэтому такие величины Евклид обходит молчанием. Более алгебраический подход математиков средневековой Персии был не так сильно привязан к нашему физическому опыту и поэтому лучше способствовал переходу к чисто умственным абстрактным сферам. Однако это не означает, что в нем нет геометрии. Как мы уже видели, геометрия не ограничивается тремя измерениями, их может быть сколько угодно. Просто нужно больше напряжения при воображении. Мы доберемся и до этого.

ДЕРЕВО ИГРЫ «НИМ»

Мы видели, что игра «Ним», подобно организации железной дороги или неизбежному человеческому падению в греховную пропасть, описывается каким-то конечным деревом. Независимо от того, каким путем пойдут игроки по ветвям, в итоге они оказываются в конечной точке, в листе; кто-то выиграл, а кто-то проиграл.

Но кто?

Оказывается, дерево может нам сказать и это.

Фокус в том, чтобы начать с конца игры. Это самый простой способ определить, кто выигрывает! Если камней не осталось, то тот, кто только что сделал ход, выиграл. Так что, если моя очередь ходить, а камней нет, я проиграл. Чтобы отследить это, я украшу дерево игры, нарисованное ранее, надписав букву П над всеми позициями, где нет камней. Это напомнит нам, что я проигрываю, если окажусь в одной из этих позиций при своем ходе.

А если есть всего один камень? Тогда у меня только один вариант. Я беру камень и выигрываю. Поэтому я пишу букву В над каждой такой позицией.

Как насчет двух камней в одной куче? Теперь ситуация усложняется, поскольку у меня есть выбор. Я могу взять оба камня и, сделав это, выиграю. Но если я глуп, невнимателен, извращен или, наоборот, великодушен и беру всего один камень, то я оставляю противнику выигрышную позицию, которую мы только что обозначили буквой В, и проигрываю. Какой буквой нужно обозначить позицию, где все зависит от моих действий? Будем исходить из того, что игроки в конкурентных играх не отличаются глупостью, невнимательностью, извращенностью или великодушием, а хотят победить и всегда выбирают тот ход, который ведет к победе. Поэтому обозначим такую позицию В. Уточняю: это вовсе не значит, что я выиграю, что бы я ни делал дальше. В большинстве игр это вовсе не так: какой бы хорошей ни была ваша позиция, всегда есть риск сделать неудачный ход. Буква В просто означает, что один из имеющихся у меня ходов ставит моего противника в проигрышную позицию. Вы можете рассматривать это как «путь к победе».

Две кучки по одному камню – совершенно другое дело. Что бы я ни делал, я ставлю соперника в позицию В, обеспечивающую ему выигрыш. Следовательно, ее нужно подписать буквой П.

Вот так на данный момент выглядит наше дерево.

Теперь можем продолжить, двигаясь назад во времени шаг за шагом. Две кучки, в одной два камня, а в другой один? У нас есть три варианта хода: убрать меньшую кучку, убрать большую кучку или взять из нее один камень. Получающиеся позиции уже обозначены В, В, П. Но поскольку один из ходов означает проигрыш моего противника, мне следует выбрать именно его, и данная позиция получает букву В. Игрок, которому осталась позиция с двумя кучками или одной, выигрывает, если сделает верный ход.

Вы выигрываете, когда ваш противник вынужден проиграть. Звучит как мотивационный плакат в спортзале, но на самом деле это математика. На языке деревьев это означает следующее: «Обозначайте позицию буквой В, если в ней существует ветвь, ведущая в позицию П». По тем же соображениям обозначайте позицию буквой П, если это не так. Ведь это означает, что при любом выборе вы оставляете оппоненту позицию В. Вы проигрываете, когда ваш оппонент может победить, что бы вы ни делали.

Все сводится к следующему.

ДВА ПРАВИЛА

Первое правило. Если каждый мой ход ведет в позицию В, то моя текущая позиция – П.

Второе правило. Если какой-то сделанный мной ход приведет в позицию П, то моя текущая позиция – В.

Эти два правила позволяют нам системно маркировать любое положение буквами П или В – вплоть до корня, с которого мы начинали игру. При этом мы никогда не зациклимся, потому что у деревьев нет циклов.

Корень обозначен буквой П, поэтому начинающий игру Акбар проигрывает, если, конечно, Джефф не сделает неправильного хода.

Я могу описать этот процесс словами, но стоит ли? Чтобы досконально с ним разобраться, нужно поиграть самому. Позовите друга, предложите поиграть в «Ним» с двумя кучками по два камня. Пусть ваш друг ходит первым (поскольку вы, возможно, не такой уж и хороший друг). А теперь используйте нарисованное выше дерево для выбора ходов. Выигрывайте, выигрывайте и выигрывайте. Так вы прочувствуете, как это работает.

Метод дерева работает для игры «Ним» с большим количеством кучек и камней, то есть для всех вариантов игры. Хотите знать, кто выиграет с двумя кучками по 20 камней в каждой? Можете нарисовать большое дерево, спуститься по нему и выяснить это. (Побеждает Джефф.) Две кучки по 100 камней? (Все равно Джефф.) Одна куча из 100 камней, а вторая из 1000? (Здесь победит Акбар[199]199
  Упражнение для читателя: можете ли вы объяснить, почему это утверждение следует из предыдущего?


[Закрыть].) Более того, промаркированное дерево не просто говорит вам, кто победит, – оно показывает, как побеждать. Если вы находитесь в позиции В, то знаете, что как минимум один ход ведет в положение П, – сделайте его. Если вы в положении П, философски пожмите плечами, сделайте произвольный ход и надейтесь, что противник накосячит.

В случае, когда в игре «Ним» только две кучки, можно избежать утомительной маркировки всего дерева, применив более простой (и, честно говоря, более красивый) способ выяснить, кто победит, использующий симметрию левого и правого. Помните, насколько проще доказательство Паппа для моста ослов, основанное на симметрии, чем исходное евклидово? С «Ним» во многом то же. Предположим, что Акбар и Джефф начинают игру с двумя кучками по 100 камней в каждой. Хотите рисовать такое дерево? Я тоже не хочу. Поэтому есть способ получше. Думаю, вам знакома такая невероятно раздражающая ситуация, когда младший ребенок повторяет все за старшим? «Прекрати за мной повторять». «Прекрати за мной повторять». «Ты надоел». «Ты надоел». И так далее. Что ж, представьте, что Джефф выбрал такую тактику в игре. Что бы ни сделал Акбар, Джефф повторяет его действие на другой кучке. Акбар берет 15 камней из левой кучи, оставляя 85? Тогда Джефф берет 15 камней из правой; теперь в обеих кучах по 85 камней. Акбар переключается на правую кучу и забирает 17 камней, оставляя 68? Джефф делает то же самое с левой. Джефф всегда зеркально отражает действия Акбара, постоянно уравнивая стопки. В частности, Джефф никогда не сможет первым забрать всю кучу, потому что всего лишь повторяет действия Акбара. Поэтому Акбар первым покончит с одной из кучек, и тогда Джефф повторит это действие на другой кучке и выиграет. Следовательно, игра «Ним» с двумя равными кучами – это победа Джеффа. Его стратегия столь же непобедима, сколь и раздражительна.