Текст книги "Пьеро делла Франческа. От тайны к истокам"

Книга шестая

Глава I. Расположение здания согласно климатическим условиям.

Глава II. Соразмерность домов в зависимости от их местоположения.

Глава III. Пропорции главных помещений.

Глава IV. Правильное расположение помещений.

Глава V. Расположение домов сообразно потребностям хозяев.

Глава VI. Сельские постройки.

Глава VII. Греческий дом.

Глава VIII. Фундаменты.

Книга седьмая

Глава I. Полы.

Глава II. Приготовление извести для штука.

Глава III. Сводчатые потолки и штукатурные работы.

Глава IV. Штукатурка в сырых местах и украшение столовых.

Глава V. Стенная живопись.

Глава VI. Мрамор.

Глава VII. Естественные краски.

Глава VIII. Киноварь и ртуть.

Глава IX. Изготовление киновари.

Глава X. Искусственные краски. Черная.

Глава XI. Лазурь. Жженая охра.

Глава XII. Белила. Ярь-медянка. Сандарак.

Глава XIII. Багрянец.

Глава XIV. Краски, заменяющие багрянец, охру, горную зелень и индиго.

Книга восьмая

Глава I. Нахождение воды.

Глава II. Дождевая вода.

Глава III. Различные свойства отдельных водных источников.

Глава IV. Признаки хорошей воды.

Глава V. Нивелировка и нивелирные инструменты.

Глава VI. Проверка воды.

Книга девятая

Глава I. Зодиакальный круг и планеты.

Глава II. Фазы луны зодиака.

Глава III. Путь солнца по двенадцати знакам.

Глава IV. Северные созвездия.

Глава V. Южные созвездия.

Глава VI. Астрология и предсказания погоды.

Глава VII. Аналемма и ее вычерчивание.

Глава VIII. Солнечные и водяные часы.

Книга десятая

Глава I. Машины и орудия.

Глава II. Подъемные машины.

Глава III. Виды движения.

Глава IV. Водоподъемные машины.

Глава V. Водяные колеса и мельницы.

Глава VI. Водяной винт-улитка.

Глава VII. Насос Ктесибия.

Глава VIII. Водяной орган.

Глава IX. Годометр.

Глава X. Катапульты и скорпионы.

Глава XI. Баллисты.

Глава XII. Настройка катапульт.

Глава XIII. Осадные машины.

Глава XIV. Черепаха.

Глава XV. Черепаха Гегетора.

Глава XVI. Защитные приспособления.

Но из всех этих тем, озвученных в трактате, меня в связи с моими поисками привлекла только одна, получившая в наше время название «эргономическая система пропорционирования», а визуально воплощенная еще во времена Возрождения и получившая широкую известность благодаря рисунку Леонардо да Винчи «Человек Витрувия», который «стал знаковым изображением соотношений естественной человеческой формы и геометрических измерений» (Мэтью Ландрус «Сокровища Леонардо да Винчи»). Эту тему Витрувий затрагивает в главе первой Книги третьей.

«1. Композиция храмов основана на соразмерности, правила которой должны тщательно соблюдать архитекторы. Она возникает из пропорции… Пропорция есть соответствие между членами всего произведения и его целым по отношению к части, принятой за исходную, на чем и основана всякая соразмерность. Ибо дело в том, что никакой храм без соразмерности и пропорции не может иметь правильной композиции, если в нем не будет такого же точного членения, как у хорошо сложенного человека.

2. Ведь природа сложила человеческое тело так, что лицо от подбородка до верхней линии лба и начала корней волос составляет десятую долю тела, так же как и вытянутая кисть от запястья до конца среднего пальца; голова от подбородка до темени – восьмую, и вместе с шеей начиная с ее основания от верха груди до начала корней волос – шестую, а от середины груди до темени – четвертую. Что до длины самого лица, то расстояние от низа подбородка до низа ноздрей составляет его треть, нос от низа ноздрей до раздела бровей – столько же, и лоб от этого раздела до начала корней волос – тоже треть. Ступня составляет шестую часть тела, локтевая часть руки – четверть, и грудь тоже четверть. У остальных частей есть также своя соразмерность, которую тоже принимали в расчет знаменитые древние живописцы и ваятели и этим достигли великой и бесконечной славы.

3. Подобно этому и части храмов должны, каждая в отдельности, находиться в самой стройной соразмерности и соответствии с общей величиной целого. Далее, естественный центр человеческого тела – пупок. Ибо если положить человека навзничь с распростертыми руками и ногами и приставить ножку циркуля к его пупку, то при описании окружности линия ее коснется пальцев обеих рук и ног. Точно так же, как из тела может быть получено очертание окружности, из него можно образовать и фигуру квадрата. Ибо если измерить расстояние от подошвы ног до темени и положить ту же меру к распростертым рукам, то получится одинаковая ширина и длина, так же как на правильных квадратных площадях.

4. Следовательно, если природа сложила человеческое тело так, что его члены по своим пропорциям соответствуют внешнему его очертанию, то древние были, очевидно, вполне правы, установив, что при постройках зданий отдельные их члены должны находиться в точной соразмерности с общим видом всей фигуры…»

Но конкретно, о какой пропорциональной закономерности, используемой в архитектуре для членения деталей фасада по отношению к его плоскости, Витрувий в своем трактате не говорит, и многие исследователи выдвигают свои гипотезы. Но на пропорции, применяемые в изучаемых мною работах, меня навели две цитаты, относящиеся уже к творчеству архитекторов эпохи Возрождения. Первая относится к Брунеллески и принадлежит перу его биографа Манетти:

«Брунеллески задумал вновь обрести способы превосходных зодчих и секреты мастерства древних, их музыкальных пропорций…»

Вторая цитата – из письма Леона Баттиста Альберти Маттео Пасти по поводу строительства церкви в Римини:

«Что же касается размеров и пропорций столбов, ты [сам] видишь, откуда они получаются; все, что ты изменишь, расстроит всю музыку».

И эти две цитаты, и последующее, более пристальное изучение музыкальной теории Пифагора дали объяснение делению исходного модуля – фигуры Адама – на 1/2, 1/3 и 1/4 части в композиции фрески Мазаччо «Троица» и вложили новое звучание в высказывание Протагора: «Человек есть мерило всех вещей».

«Музыкальное искусство настолько приобрело популярность при изучении древней философии, что, когда пифагорейцы перед сном отрешались от дневных забот, они пользовались некоторыми напевами, чтобы к ним приходил спокойный и глубокий сон. И аналогичным образом, проснувшись, они освобождались от неподвижности и оцепенения сна некоторыми другими мелодиями. Разумеется, это [делали люди], сведущие в том, что любая связь нашей души и тела спаяна музыкальным согласованием. Ведь каково состояние нашего тела, так и передаются [соответствующими] движениями биения нашего сердца, что – как передают – Демокрит сообщил врачу Гиппократу, когда он посетил его для лечения в тюрьме, потому что всеми гражданами он рассматривался как сумасшедший. Но отчего же это [так происходит]?

Невозможно сомневаться в том, что состояние нашей души и тела в известной мере обусловлено теми же пропорциями, исследование которых позже покажет музыкальные гармонии, [их] соединение и сочетания» (Боэций «О музыкальном установлении»).

«Жизнеописание Пифагора, известное нам по Диогену Лаэрцию, Ямблиху и Порфирию, есть сплошная легенда или, точнее, наслоение легенд; учение, которое ему приписывается, – новопифагорейское учение, то есть смесь платонизма и стоицизма в форме арифметической символики. Учение ранних пифагорейцев известно нам по свидетельствам Платона и Аристотеля, а также по немногим фрагментам Филолая, которые признаются подлинными. Фрагменты других пифагорейцев, в том числе Архита, признаются подложными: сам Пифагор, по преданию, не оставил письменного изложения своего учения, и Филолай считается первым писателем, давшим изложение пифагорейской доктрины. При таких условиях трудно с достоверностью отделить первоначальное существо пифагорейского учения от позднейших наслоений и начертать хотя бы общий план его развития. Пифагор был первым мыслителем, который назвал себя “философом”. Если верить преданию, Пифагор также впервые назвал вселенную космосом, то есть строем, складом. Предметом его философии был именно космос, то есть мир как закономерное стройное целое, подчиненное законам “гармонии и числа”. По-видимому, Пифагор был знаком с учениями Анаксимандра и Анаксимена и, подобно последнему, представлял себе мир носящимся в беспредельном воздушном пространстве и дышащим окружающею его атмосферой. Но в противоположность монизму милетской школы Пифагор исходил из предположения двойственности начал, согласованных в мироздании. Из одного беспредельного и неопределенного стихийного хаоса невозможно объяснить определенное устройство, форму, индивидуальность вещей, которые познаются нами лишь поскольку они определены. “Беспредельное” Анаксимандра не может быть единым началом вещей; иначе ничто определенное, никакой “предел” не был бы мыслим. С другой стороны, и “предел” предполагает нечто такое, что определяется им. Каждая вещь имеет границу, которая определяет ее материю, отграничивая, отделяя ее от других вещей. Линия ограничивается и определяется двумя точками, плоскость – линиями, тело – плоскостями. Все вещи разделяются пустыми промежутками пространства; само по себе оно неопределенно и беспредельно, но промежутки его определяются конкретными вещами. Отсюда вывод, что “природа, сущая в космосе, гармонически слажена из беспредельных и определяющих (начал); так устроен и весь космос, и все, что в нем”, по словам Филолая…» – так описываются общие теоретические воззрения Пифагора и его последователей в статье Энциклопедии Брокгауза и Эфрона.

Более развернутое представление о том, что вкладывалось древними философами в понятие «гармония музыки», «сила музыки» и «космическая музыка», можно прочитать в книге первой «О музыкальном установлении» Боэция:

«Очевидно, ведущему речь о музыке для изучающих ее вначале необходимо сказать, сколько мы откроем воспринимаемых родов музыки. Их существует три. Первая – мировая, вторая – человеческая, а третья – использующая какие-то инструменты, подобно кифаре, тибиям и прочим [инструментам], которые сопровождают пение.

Прежде всею, особенно пристально должна изучаться та из них, которая [называется] “мировой”, так как она наблюдается в самом небе, либо в связи стихий, либо в разнообразии времен года. Разве возможно, чтобы быстрая механика неба двигалась [своим] ходом в молчании и безмолвии? И если до нашего слуха это звучание не доходит, то многим необходимо рассказать о причинах этого. Столь быстрое движение таких огромных тел вообще не может не производить звучаний, особенно когда движения планет объединены таким согласованием, что ничто [другое] не может мыслиться столь [крепко] соединенным и столь [крепко] связанным. И ведь одни [планеты] несутся более высоко, а другие более низко, и все они вращаются со столь соразмерной скоростью, что посредством различных неравенств движений создается определенный строй. Поэтому в таком круговращении небесного свода не может исчезнуть определенный строй гармонии. Действительно, если бы некоторая гармония не связывала различные и противоположные значения четырех элементов, то разве оказалось бы возможным, чтобы они сошлись в едином теле и механизме? Но все это различие создает столь большое разнообразие времен и плодов, что оно образует единое тело года. Отсюда [следует], если бы в душе и мысли ты выбросил что-либо из того, что способствует разнообразию в явлениях, то все они погибли бы и, как я сказал бы, не сохранили бы никакой согласованности. И подобно тому, как [одна] мелодия звучания существует в низких струнах, потому что низина не опускается до полного безмолвия, а другая мелодия находится вверху, [но так, чтобы]чересчур напряженные струны не рвались из-за высоты звучания, а [получающееся] целое представляет собой согласное и согласованное, так же и в музыке Вселенной мы не видим ничего, что может быть чрезмерным, так как от чрезмерности разрушилось бы своеобразие других [элементов, составляющих целое]. Однако все то, что существует, либо приносит свои плоды, либо помогает другим, чтобы они приносили [свои плоды]. Ведь то, что зима скрепляет, весна распускает, лето сушит, осень делает зрелым, и времена года либо сами по очереди приносят свои плоды, либо помогают другим, чтобы они приносили. Но об этом нужно позже подробнее сказать.

Человеческую же музыку понимает всякий, кто углубляется в самого себя. Что сочетало бы эту бестелесную жизнь разума с телом, если бы не некое согласование и надлежащее устройство, аналогичное тому, которое производит консонанс из низких и высоких звуков? Что другое соединяло бы между собой части души, которая, – как указывает Аристотель, – соединена из разумного и неразумного? Действительно, что другое соединяло бы элементы тела или связывало бы между собой части определенным согласованием? Но об этом я также скажу позже.

Третьей же называется та музыка, которая издается какими-либо инструментами. Она производится либо натяженностью (как при струнах), либо воздухом (как в тибиях или теми [инструментами], которые приводятся в движение водой или ударами [воздуха], как в [инструментах] ударяющихся полой медью, отчего получаются различные звуки)».

А в современном исследовании «Числа – основа гармонии. Музыка и математика» музыкальная теория Пифагора описана так:

«Простейшее соотношение образуется, если зажать струну ровно посередине. Это отношение в числовом виде записывается как 2:1 и соответствует интервалу в одну октаву (например, от ноты до до следующего до). Еще одно простейшее соотношение образуется, если прижать струну в точке, отстоящей от конца струны на треть ее длины. В числовом виде это отношение записывается как 3:2 и соответствует интервалу в одну квинту (интервал от до до соль). Если прижать струну в точке, отстоящей от ее конца на четверть длины, что в числовом виде записывается как 4:3, получится интервал, известный под названием “кварта” (интервал от до до фа). Пифагор назвал эти интервалы “диапазон”, “диапент” и “диатессарон”» (приложение IV).

Но в том же трактате Боэция «О музыкальном установлении», написанном почти полторы тысячи лет назад и, соответственно, еще испытавшем на себе непосредственное влияние античной музыкальной мысли, опыты Пифагора приведены более подробно:

«10. Каким образом Пифагор обнаружил пропорции консонансов

Это послужило главной причиной того, почему Пифагор перешел от оставленного [им] суждения слуха к решениям [проблем] посредством рациональных критериев, которые не доверяют человеческому слуху, так как [его восприятие] изменчиво отчасти из-за [своей] природы, отчасти из-за внешних обстоятельств, отчасти оно видоизменяется с возрастом.

Пифагор не полагается также на материалы, в которых систематически создается переменность и непостоянство. Так, если бы ты захотел изучить струны, то либо влажный воздух ослаблял бы [их] вибрацию, либо более сухой активизировал бы [ее], либо большая величина струны сделала бы звучание более низким или меньшая сделала бы [его] высоту более высокой, либо каким-то другим образом изменилось бы состояние прежней стабильности. И всякий раз подобное происходило бы и с другими материалами. Определяя все эти мимолетные и незначительные [отклонения] и долго помышляя об истине, [Пифагор постоянно] разыскивал [ее]. Каким же образом он разумом изучал устойчивые и постоянные признаки консонансов [станет ясно из следующего рассказа].

Однажды, когда по некому Божественному повелению, он, проходя мимо мастерских ремесленников, услышал удары молотов, [способных] неким образом из разных звуков создавать единое согласование, он [обнаружил] то, что долго искал. Пораженный, он подошел к работающим и, долго соображая, решил, что различие звуков создается силами ударяющихся [молотов], и чтобы это установить точнее, он приказал [кузнецам] поменять между собой молоты. Но [оказалось, что] своеобразие звучаний заключалось не в мышцах людей, а было связано с изменяющимися молотами. Когда он узнает это, он измеряет вес молотов, которые согласовывались друг с другом в консонансе октавы, [и] они оказались в двойном весе. Тот же [молот], который был удвоен [по сравнению] с другим, содержал 4/3 третьего [молота], с которым он звучал, разумеется, в кварте. А относительно некоторого другого [молота], который соединялся с ним же в консонансе квинты, [Пифагор] открыл, что тот же [молот] по отношению к предыдущему удвоенному [по весу молоту] имеет 3/2. А те два [молота], к которым предыдущий удвоенный был признан в отношениях 4/3 и 3/2, взвешенные, имели друг к другу отношение 9/8. Пятый же [молот], несозвучный со всеми [другими], был отброшен».

И хотя первая цитата из Брокгауза не несет в себе, как кажется на первый взгляд, никакой конкретной информации, при более внимательном прочтении она отсылает нас как к Эвклиду, так и к Платону и к надписи над входом в его Академию: «Да не геометр да не войдет сюда». Чтобы увидеть связь с Эвклидом, достаточно прочитать определения, приведенные в книге первой «Начал»:

«1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же – длина без ширины.

3. Концы же линии – точки.

4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.

5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину».

Платон в диалоге «Тимей», где рассматривается построение космоса как живого целого, никогда не погибающего и вечно вращающегося в себе, подробно описывает пропорциональные соотношения, лежащие в его основе:

«Бог сотворил душу… из той сущности, которая неделима и вечно тождественна, и той, которая претерпевает разделение в телах, он создал путем смешения третий, средний вид сущности, причастный природе тождественного и природе иного, и подобным же образом поставил его между тем, что неделимо, и тем, что претерпевает разделение в телах. Затем, взяв эти три [начала], он слил их всех в единую идею, силой принудив не поддающуюся смешению природу иного сопряжению с тождественным. Слив их таким образом при участии сущности и сделав из трех одно, он это целое в свою очередь разделил на нужное число частей, каждая из которых являла собой смесь тождественного, иного и сущности. Делить же он начал следующим образом: прежде всего отнял от целого одну долю, затем вторую, вдвое большую, третью – в полтора раза больше второй и в три раза больше первой, четвертую – вдвое больше второй, пятую – вдвое больше третьей, шестую – в восемь раз больше первой, а седьмую – больше первой в двадцать семь раз. После этого он стал заполнять образовавшиеся двойные и тройные промежутки, отсекая от той же смеси всё новые доли и помещая их между прежними долями таким образом, чтобы в каждом промежутке было по два средних члена, из которых один превышал бы меньший из крайних членов на такую же его часть, на какую часть превышал бы его большой, а другой превышал бы меньший крайний член и уступал большему на одинаковое число. Благодаря этим скрепам возникли новые промежутки, по 3/2, 4/3 и 9/8, внутри прежних промежутков».

Но этот фрагмент, посвященный космической душе, опять нас возвращает к Эвклиду и к ряду предложений из двух книг «Начал», а точнее, к предложениям 4, 7, 8 книги II и предложениям 1–5 книги XIII, которые являются вариантами предложения 11 книги II – «Данную прямую рассечь так, чтобы прямоугольник, заключенный между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке», известного как «золотое сечение», или деление отрезка в крайнем и среднем отношении. И в комментариях к «Началам» Эвклида написано:

«Рассматриваемые пять предложений первоначально составляли одно целое с предложениями 4, 7 и 8 книги II и были механически с небольшими поправками перенесены Эвклидом в книгу XIII. Это впечатление еще более укрепляется тем обстоятельством, что, как заметили уже многие комментаторы начиная с Коммандино, при доказательстве указанных предложений вторая книга игнорируется полностью. Более того, предложение 2 книги XIII по существу равнозначаще геометрическому построению предложения 11 книги II. Все это позволяет думать, что предложения 4, 7, 8 книги II и предложения 1–5 книги XIII представляют остатки одного из самых древних в истории греческой геометрии документов, восходящих, по всей вероятности, к первой половине V века и возникшего в пифагорейской школе на основании того материала, который был вывезен из Египта. Сравнительную древность документа можно установить из того обстоятельства, что предложения 4 и 7 книги II служат в ней для доказательства обобщенной теоремы Пифагора».

Но если в этом отрывке из Платона и невозможно точно увидеть «золотую пропорцию», лежащую в основе космоса, то другой отрывок из этого диалога развеивает все сомнения:

«Бог, приступая к составлению тела Вселенной, сотворил его из огня и земли. Однако два члена сами по себе не могут быть хорошо сопряжены без третьего, ибо необходимо, чтобы между одним и другим родилась некая объединяющая их связь. Прекраснейшая же из связей такая, которая в наибольшей степени единит себя и связуемое, и задачу эту наилучшим образом выполняет пропорция, ибо, когда из трех чисел – как кубических, так и квадратных – при любом среднем числе первое так относится к среднему, как среднее к последнему, и, соответственно, последнее к среднему, как среднее к первому, тогда при перемещении средних чисел на первое и последнее место, а последнего и первого, напротив, на средние места выяснится, что отношение необходимо остается прежним, а коль скоро это так, значит, все эти числа образуют между собой единство».

И если снова вернуться к рассмотрению геометрической схемы, лежащей в основе композиции фрески Мазаччо «Троица», и выделить в ряд последовательность делений исходного модуля и сравнить эту последовательность с выделенной Боэцием «В музыкальном установлении» во второй книге, то можно обнаружить ряд прямых параллелей.

«16. О гармоническом среднем и более пространное исследование его

Однако я полагаю, что, начиная исследование гармоники, не следует обходить молчанием те [положения], которые могут сказать о ней более основательно. Поэтому пусть будет установлена гармоническая пропорциональность, и пусть в той вышеприведенной последовательности членов будут установлены [такие] разности между ними:

      разности

   1          2

3       4       6

      члены

Разве ты не видишь, что отношение 4:3 дает консонанс кварты, 6:4 приводит к согласию квинты, а 6:3 смешивает симфонию октавы и сами их разности вновь устанавливают тот же консонанс? Действительно, 2:1 – двойное отношение, установленное в консонансе октавы. Потому что если бы крайние [члены] были умножены на себя и таким же образом был бы увеличен умноженный на себя средний [член], то сопоставляющиеся числа сохранят вид и согласованное созвучие тона. Ведь трижды шесть – 18, а четырежды четыре – 16. Но число 18 превосходит меньшее 16 на восьмую часть. И далее, если меньший член умножить на себя, то получится 9, а если бы больший член увеличился умножением на себя, то получилось бы 36, которые [то есть 9 и 36], сравниваемые друг с другом [составляют] четвертное отношение, то есть сохраняют консонанс двойной октавы. Потому что если мы рассматриваем это более обобщенно, то все это будет взаимное умножение на себя разностей [членов] либо [самих] членов. Ведь если меньший член умножается на средний, то получится 12. Аналогично, если меньший член умножается на больший, то получится 18. Если же средний член умножается на величину большего, то будет 24. Если же меньший член умножается сам на себя, то будет 9. Таким же образом, если средний [член умножается сам на себя], то будет 16. Наконец, если 6, которое является наибольшим [членом], умножить на себя, то получится 36. Следовательно, эти [числа] располагаются в [следующем] порядке:

36 24  18  16  12  9

Итак, звучащие [здесь следующие интервалы]: консонанс кварты сохраняется в отношении 24:18 и 12:9, квинты – 18:12, 24:16 и 36:12, тройное же отношение, которое является отношением дуодецимы – 36:12, четвертное же отношение, которое является двойной октавой, – 36:9, а эпогдоос, который представляет собой тон, – 18:16».

Но если связь с музыкальной теорией Пифагора – деление исходного модуля на 1/2, 1/4 и 1/3 – в построении композиции фрески Мазаччо «Троица» лежит на поверхности, то связь этого построения с «золотой пропорцией» я нашла не сразу. Только после того как я перевела построения на кальку, мое внимание было привлечено тем, как эти простроенные на основе музыкальных пропорций отрезки соотносятся непосредственно между собой. У меня возникло ощущение, что гномон I и гномон II образуют между собой «золотую пропорцию», так же как и базовый квадрат и сумма гномонов I и II. И для того чтобы узнать ответ, я простроила эти квадраты на отдельном листе с условным размером базового квадрата десять сантиметров (приложение V). И полученный мною результат в прямом смысле меня ошеломил. В отношении соотношения между собой гномонов I и II попадание было абсолютно точное, а базовый квадрат и сумма гномонов I и II имели в своем соотношении погрешность 1,7 %, или при суммарной длине отрезков 16,7 см разница с «золотой пропорцией» составляла 0,3 мм. То есть при последовательном применении деления модуля по музыкальной теории Пифагора можно добиться расположения линий в композиции по законам «золотой пропорции», что также можно косвенно подтвердить цитатой из следующей главы «О музыкальном установлении» Боэция:

«17. Каким образом вышеназванные средние попеременно помещаются среди двух членов [пропорции]

Обыкновенно случается, что два члена даются и излагаются так, чтобы мы установили между ними то арифметическое, то геометрическое, то гармоническое среднее. Об этих [явлениях] мы сказали также в арифметических [книгах]. Однако само это [положение] мы сейчас кратко объясним [здесь]. Если разыскивается среднее арифметическое, то очевидно, что должна быть обнаружена разность данных членов и разделена, а затем прибавлена к меньшему числу.

Пусть будут установлены члены 10 и, с другой стороны, 40 и пусть разыскивается их среднее согласно арифметической пропорциональности. Вначале я отыскиваю разность обоих [членов], которая составляет 30. Это [число] я делю пополам – будет 15. [Затем] я добавляю это к меньшему числу, то есть к 10, это дает 25. Значит, если бы это среднее помещалось между 40 и 10, то арифметическая пропорциональность получилась бы следующим образом: 10, 25, 40.

Так же мы помещаем между теми же членами геометрическое среднее. Я умножаю крайние [члены] на [их] собственное число, так что 10 [умноженное] на 40 даст 400. Из него я вычитаю квадратный корень, что будет 20. Ведь 20 [умноженное] на 20 дает 400. Значит, если я поместил бы это среднее 20 между 10 и 40, то оно было бы геометрическим средним, [как] сделано в нижеприведенной таблице: 10, 20, 40.

Но если мы будем искать гармоническое среднее, то мы сложим крайние [члены] и получим 50. Их разницу, которая составляет 30, мы умножим на меньший член, то есть на 10, и таким же образом 10 [умножим] на 30, что дает 300. [Затем] мы делим его на 50 – будет 6. Когда мы добавим это к меньшему члену, то получится 16. Значит, если бы это среднее число мы поместили между 10 и 40, то получилась бы гармоническая пропорциональность: 10, 16, 40».

Также это мое открытие имеет косвенную связь с одним из предложений «Начал» Эвклида, а точнее, с предложением 5 книги XIII (приложение VI):

«Если прямая линия разделена в крайнем и среднем отношении и к ней приставлена ‹прямая›, равная большему отрезку, то вся прямая уже разделяется в крайнем и среднем отношении и большим отрезком будет первоначальная прямая.

Пусть прямая линия АВ разделена в крайнем и среднем отношении в точке С, и пусть большим отрезком будет АС; [отложим] AD равной АС. Я утверждаю, что прямая АВ уже разделяется в А в крайнем и среднем отношении и что большим отрезком будет первоначальная прямая АВ.

Действительно, надстроим на АВ квадрат АЕ и вычертим обычную фигуру. Поскольку АВ разделяется в С в крайнем и среднем отношении, то, значит, [прямоугольник] между АВ, ВС будет равен [квадрату] на АС (определение 3 и предложение 17 книги VI). И [прямоугольник] между АВ, ВС есть СЕ, [квадрат] же на АС [есть] CG; значит, СЕ равен GC. Но [прямоугольник] СЕ равен GE (предложение 43 книги I), GC же равен DG; значит, и DG будет равен GE; [прибавим общий GB]. Значит, весь DK будет равен всему АЕ. И DK есть [прямоугольник] между BD, DA (ибо AD равна DL), АЕ же [квадрат] на АВ; значит, [прямоугольник] между BD, DA будет равен [квадрату] на АВ. Значит, будет, что как DB к ВА, так и ВА к AD (предложение 17 книги V). Но DB больше ВА; значит, и ВА больше AD (предложение 14 книги V).

Итак, DB разделяется в А в крайнем и среднем отношении, и большим отрезком будет АВ, что и требовалось доказать».

И все это вместе дало мне осознание того, что художники Возрождения не просто механически переносили исторические знания в свои работы, а целенаправленно искали методы, которые позволили бы им добиваться божественной гармонии в своих работах. В чем я в дальнейшем абсолютно убедилась.

«Говорят, что Музыка услаждает слух, одно из природных чувств, а та [перспектива] – зрение, обладающее большим достоинством, ибо оно служит первыми вратами разума. Говорят также, что первая обращает внимание на звучащее число и на значимую меру времени его звучания; а вторая – на натуральное число, согласно всякому его определению, и на меру видимой линии. Если первая воссоздает душу согласно гармонии, то вторая доставляет большее наслаждение благодаря должному расстоянию и разнообразию цветов; и если первая рассматривает гармонические пропорции, то вторая – арифметические и геометрические (Фра Лука Пачоли «Divina proportione»).

Мазаччо не оставил после своей смерти никаких теоретических трудов, так же как и Филиппо Брунеллески. Но эти идеи, абсолютно ясно изложенные, можно встретить в теоретических трудах другого художника Возрождения, современника Мазаччо и Брунеллески – Леона Баттиста Альберти в «Десяти книгах о зодчестве».

«Для нас важно следующее. Мы сказали, что гармония есть созвучие голосов, приятное для слуха. Из звуков одни – низкие, другие – высокие. Более низкий звук издается более длинной струной, более высокие – более короткими. Из разнообразия этих звуков получаются разнообразные гармонии, которые древние путем взаимного сравнения созвучных струн свели к определенным числам…

В подобного рода созвучиях соотношение струн таково: sesquialtera [полуторное созвучие, квинта] названо так потому, что здесь большая струна по своей длине содержит всю меньшую и еще половину меньшей… В квинте, следовательно, большей струне будет дано число три, а меньшей – число два. Квартой называется такое созвучие, в которой большая струна содержит всю меньшую и сверх того еще треть меньшей. Большей струне, стало быть, ты даешь число четыре, а меньшей – три. А в том созвучии, которое называется диапасон [октава], одно число вдвое больше другого, относясь к последнему как два к единице, или целое к половине; в дуодециме – как три к единице, или целое к своей трети, в двойной октаве – как четыре к единице, или целое к своей четверти. Словом, музыкальные числа – перечислю их бегло – следующие: один, два, три, четыре. Есть еще, как я сказал, тон, в котором большая струна, сравниваемая с меньшей, превосходит меньшую на восьмую часть.