Текст книги "Легко ли плыть в сиропе. Откуда берутся странные научные открытия"

Легко ли плыть в сиропе?

Итак, с бегом по воде и пролетом сквозь струйки дождя разобрались. А как насчет плавания в сиропе? Где человек поплывет быстрее – в сладкой воде или в обычной? Ответ на этот вопрос нашли Эдвард Касслер и Брайан Геттельфингер с кафедры химического машиностроения и материаловедения Миннесотского университета, что принесло им, помимо морального удовлетворения от прекрасно выполненной работы, еще и Игнобелевскую премию по химии за 2005 год.

Как отмечают сами лауреаты в своей эпохальной статье[16]16
  B. Gettelfinger, E. L. Cussler. Will humans swim faster or slower in syrup? American Institute of Chemical Engineers Journal, 2004, 50 (11): 2646–2647. https://doi.org/10.1002/aic.10389


[Закрыть], один из них принимал участие в отборочных олимпийских соревнованиях по плаванию и там случайно заметил, что в соленой воде плавать легче. К слову сказать, нам этот феномен объясняли где-то в седьмом классе на уроках физики, когда изучали закон Архимеда, но то нам, а бедолагам-американцам до всего приходится доходить своим умом и на собственном опыте.

В соленой воде из-за увеличения плотности растет выталкивающая сила Архимеда, так что на воде держаться действительно легче. Но из этого отнюдь не следует, что в соленой воде легче, а главное, быстрее плыть, чем в пресной, поскольку у соленой воды не только плотность, но и вязкость выше, чем у пресной.

По признанию лауреатов, в их лаборатории шли жаркие, неутихающие дискуссии о влиянии вязкости на скорость плавания. Единства мнений не было – все участники прений разбились на три группы. Большинство, в основном специалисты по динамике жидкостей, утверждали, что человек поплывет медленнее, ведь на преодоление сопротивления более вязкой жидкости нужно тратить больше усилий. Другие возражали: человек при гребке толкается руками, чем создает тягу, стало быть, чем плотнее жидкость, тем более мощным выходит толчок. Третьи же предполагали, что эти эффекты компенсируют друг друга, отчего плавать в соленой воде не легче и не тяжелее, чем в пресной.

Видимо, обсуждение этого животрепещущего вопроса перешло в такую бурную стадию, что Касслер и Геттельфингер для примирения сторон решились на постановку натурного эксперимента. От соленой воды отказались по той причине, что увеличение ее вязкости относительно невелико и эффект, если он будет обнаружен, мог попасть в коридор ошибок. Нужно было радикальное увеличение вязкости раствора – так родилась идея сладкого сиропа, вероятно, во время поедания блинчиков с кленовым сиропом.

Но тут возникли две технические проблемы. Для надежного измерения скорости плавания дистанция должна быть достаточно большой, как минимум 25 м или ярдов, так как дело происходило в США. А это полноценный плавательный бассейн для соревнований. Причем желательно иметь два таких бассейна, один с сиропом, другой – с обычной водой, чтобы проводить сравнительные испытания в идентичных условиях. А еще лучше – несколько плавательных бассейнов разного объема, чтобы избежать влияния глубины на скорость пловца. То, как удалось исследователям уговорить администрацию выделить им университетский плавательный комплекс для проведения эпохального эксперимента, навсегда осталось загадкой.

Вторая проблема – сладкий состав для плавания. Первым на ум пришел кукурузный сироп. Нашлись и спонсоры, готовые предоставить необходимую для эксперимента тысячу тонн этого вещества, благо его производят и потребляют в США в немереных количествах. Но смыв такого объема сладкого сиропа в канализацию вызвал бы локальную экологическую катастрофу, кроме того, плотность кукурузного сиропа существенно отличается от плотности воды, что непременно исказило бы результаты эксперимента. В конце концов решили использовать природный гелеобразователь – гуаровую камедь. Это вещество часто используют в кулинарии и пищевой промышленности, то есть для человека оно безопасно. Итак, 320 кг камеди растворили в 650 кубометрах воды бассейна, получив концентрацию 0,05 %. Плотность сиропа осталась на уровне плотности воды, а вязкость выросла в два раза.

С чем не возникло никаких проблем, так это с пловцами-добровольцами. Какой студент откажется от возможности принять участие в таком прикольном эксперименте и сделать селфи в бассейне с сиропом? После строгого отбора сформировали команду из десяти пловцов. Каждый из них сначала проплывал 25 ярдов в бассейне с тысячей кубометров чистой воды, спустя три минуты – два раза по 25 ярдов в экспериментальном бассейне и затем, приняв душ, еще 25 ярдов в таком же бассейне с чистой водой. Фиксировали не только скорость, но и такие детали, как время отталкивания от стенки и количество гребков. Результат получился однозначный: вязкость на всем этом никак не отражалась.

Этому было дано вполне научное объяснение. Влияние вязкости на движение чего-нибудь в жидкости передается числом Рейнольдса – произведением характерного размера на скорость движения, отнесенную к вязкости. Для человека оно достигает значения 600. Это значит, что для пловца главное – силы инерции, а не силы вязкости. И жидкость обтекает его тело не ламинарно, а турбулентно, то есть с завихрениями. При таком режиме затрачиваемые усилия пропорциональны квадрату скорости, вязкость же отвечает лишь за 10 % затрат энергии пловца. Вот если бы вязкость увеличить в тысячу раз – в таком сиропе плыть было бы труднее, чем в воде, но, с другой стороны, и толкаться было бы проще. А какой фактор пересилит, так и не удалось выяснить в ходе эксперимента, видимо, вследствие заботы о судьбе канализации в спортивном сооружении.

Интересно, что снижение вязкости подобных сомнений не вызывает. Оно точно облегчит плавание: менее вязкая жидкость не только хорошо обтекает тело, но и отлично сопротивляется движениям рук, то есть интенсивность создаваемых ими вихрей сохраняется. Изготовители костюмов для плавания учитывают этот эффект, обеспечивая спортсмену именно легкость обтекания, то есть дополнительно понижая число Рейнольдса.

А кто-нибудь живет в мире, где число Рейнольдса мало? Как там можно плавать? Да, такой мир существует, и не где-нибудь в мантии Земли, а непосредственно в нас самих. Это мир микроорганизмов. Из-за их размеров вода для них оказывается средой с очень малым числом Рейнольдса. Поэтому движение микробов резко отличается от движения человека или рыбы. Ведь если число Рейнольдса мало, тогда инерция не действует, и, если не прикладывать усилия, сразу остановишься. Но это еще не все: повторяющимися движениями нельзя продвинуться далеко вперед. Вот, например, кальмар, который медленно втягивает в себя воду, а затем быстро ее выбрасывает и получает ускорение. В мире с малым числом Рейнольдса этот фокус не пройдет: независимо от того, быстрое движение или медленное, при заборе воды кальмар станет смещаться назад, а при выбросе – на такое же расстояние вперед и в результате останется на одном месте. Двигаться в таких условиях можно, только если возвратных движений нет вовсе.

Такой движитель известен – это штопор. При его повороте возникает две силы. Одна направлена по касательной к штопору, эта сила для движения не нужна, хоть она и велика. Другая, гораздо меньшая, направлена вдоль оси вращения. Она-то и способна обеспечить тягу при малом числе Рейнольдса. Именно так двигаются жгутиковые микроорганизмы. А также сперматозоиды. Собственно, все мы появились на свет исключительно благодаря тому, что эти мельчайшие частички жизни приспособились быстро перемещаться в мире с малым числом Рейнольдса, энергично вращая своим жгутиком и так продвигаясь к заветной цели.

За сколько секунд можно справить нужду?

Мы не случайно посвятили столько места и времени рассказам о взаимодействии живых существ с жидкостями. Жидкости с их изменчивостью формы сами порой кажутся живыми. Можно часами смотреть на волны, бегущие по поверхности моря, или капающую из крана воду. А вот часами сидеть, уставившись в неподвижную стенку, – это, извините, диагноз. Гидродинамика с ее элегантными уравнениями и неожиданными следствиями неизмеримо интереснее сухого сопромата – так в технических вузах называют курс «Сопротивление материалов».

Не знаем, как у вас, а у нас классические гидродинамические выражения, типа "уравнение неразрывности струи" или "скорость истечения жидкости", всегда вызывали ассоциации с процессом, которому все люди предаются по нескольку раз на дню. Но эти ассоциации никогда не претворялись в желание заняться исследованием столь жизненно важного процесса – вероятно, поэтому мы никогда и не станем лауреатами Игнобелевской премии.

Не таков доцент Дэвид Ху из Технологического университета Джорджии, о котором мы уже упоминали в одном из предыдущих рассказов. Вот у него за мыслью следует слово, а слово не расходится с делом. Он, вообще-то, занимается гидродинамикой и механикой сплошных сред – науками сложными, насыщенными многоэтажными формулами, которые присущи тензорному исчислению и требуют немалого воображения. Видимо, для развития воображения он и поручает своим студентам решать весьма остроумные задачи. Например, изучить гидродинамику потока муравьев, вытекающих из носика чайника подобно потоку воды, или продемонстрировать, что лягушка при ловле мух использует на языке слизь, обладающую свойствами неньютоновской жидкости.

Несомненно, что замеченная нами ассоциация не прошла мимо внимания и доцента Ху. Но у него она породила вполне резонные вопросы: как зависит время опорожнения мочевого пузыря или кишечника от размера живого существа, освобождающегося от этих продуктов жизнедеятельности, а также от количества предварительно выпитого и съеденного? За вопросами последовали исследования: одно посвящено мочеиспусканию[17]17
  P. J Yang, J. Pham, J. Choo, D. L. Hu. Duration of urination does not change with body size. PNAS, 2014, 111 (33): 11932–11937. https://doi.org/10.1073/pnas.1402289111


[Закрыть], второе – дефекации. Оба исследования произвели неизгладимое впечатление на Игнобелевский комитет, что принесло доценту Ху с сотрудниками премию по физике за 2015 год. Кратко результат формулируется так: любое животное опорожняет свой мочевой пузырь примерно за 21 секунду, а время выхода твердых экскрементов составляет в среднем 12 секунд.

Как же это было установлено и в чем причина подобного единообразия, если смотреть на явление с точки зрения механики сплошных сред? Исследователи при поддержке грантов для молодых специалистов Национального научного фонда США и президента университета начали свой тернистый путь к славе с простейшего вида работы – наблюдения за соответствующим процессом у разных животных. Для этого они снимали на видеокамеру акты испражнения обитателей зоопарка Атланты, а также пользовались видеороликами из интернета. Довольно скоро в наблюдениях стала прослеживаться система.

Так, оказалось, что существует два механизма избавления организма от отработанной жидкости. Маленькие животные, весом до трех килограммов, делают это капельками, а большие животные – струйкой или струей, в зависимости от размера. На этом-то этапе и была установлена удивительная закономерность, которая принесла участникам работы почетный нанограмм золота: время испускания мочи у крупных животных оказалось константой, не зависящей от веса: 21±13 секунд. Разброс, конечно, великоват, но кривая распределения имеет привычный колоколообразный вид нормального распределения. При этом различие в размерах животных огромно: у кота объем мочевого пузыря в 3600 раз меньше, чем у слона! Казалось бы, слону нипочем за котом не успеть. Но успевает. Как же это ему удается?

Для поиска ответа была построена ставшая знаменитой математическая модель. Вот ее краткое описание. Представим, что по трубе, длина и диаметр которой соответствуют таковым у мочеиспускательного канала животного, течет поток жидкости. Его движению способствуют две силы: давление мочевого пузыря и сила тяжести, а замедляют его вязкость, сила инерции и капиллярная сила. Давление пузыря удивительным образом представляет собой фундаментальную физиологическую константу: как показали измерения, проведенные зоологами, у млекопитающих оно составляет примерно 5,2 кПа независимо от размеров животного. Гравитационная сила, она же гидростатическое давление, пропорциональна высоте трубы. Сила инерции, или динамическое давление, – квадрату скорости потока. Сила вязкого давления – квадрату скорости потока и отношению длины трубы к ее диаметру. А капиллярная сила, стремящаяся свернуть струю в капли, обратно пропорциональна диаметру трубы.

Для больших животных остается первые три силы, а вязкостью и капиллярной силой можно пренебречь. Тогда получится уравнение, в котором скорость потока выражена через параметры трубы и давление пузыря. Подставив этот результат в формулу для вычисления времени опорожнения мочевого пузыря, которое равно отношению его объема к скорости движения потока и площади поперечного сечения, получаем зависимость от объема пузыря и опять же параметров трубы. А они, как выяснили исследователи из группы Ху, закономерным образом зависят от веса тела: объем пропорционален весу в первой степени, а длина и диаметр мочеиспускательного канала – кубическому корню из веса. Подстановка этих зависимостей в формулу для времени показывает, что оно пропорционально весу в степени 1/6, или примерно 0,16, то есть зависимость от веса все-таки есть, но очень слабая. В общем-то точный расчет времени по экспериментальным данным дает не совсем константу, а именно слабую зависимость – с показателем 0,13. Такое совпадение свидетельствует: модель очень хороша. Из нее становится ясно, почему кот и слон освобождаются от жидкости за одно время: у слона всё больше – и пузырь, и длина канала, и его диаметр. В результате выше вклад силы тяжести, которая увеличивает скорость истечения потока, это и позволяет слону догнать кота в заочном соревновании.

А вот с мышами и крысами все сложнее. У них вклад капиллярных сил очень велик, ведь диаметр канала маленький. Эти силы так запутывают дело, что простую формулу вывести не получается, никаких инвариантов выявить не удается. Это соответствует эксперименту: время мочеиспускания у мелких животных различается двадцатикратно – от 0,1 до 2 секунд! Модель позволила рассчитать и параметры самого маленького животного, способного самостоятельно избавляться от мочи: у него диаметр канала равен 100 мкм. Это соответствует длине канала в 1,7 мм и весу в 0,8 г. Таковы параметры новорожденных мышат – их вес 0,5–3 г. И действительно, мать слизывает у них капельки мочи, которые в соответствии с игнобелевской моделью и не должны сами отделяться от канала. А вот насекомые в принципе не писают: у них продукты азотистого обмена выходят в сухом виде вместе с калом; аналоги почек у насекомых – мальпигиевы трубочки – открываются в кишку, а не во внешнюю среду.

По мнению авторов работы, их исследование – не просто удовлетворение любопытства, оно имеет практическую значимость. Во-первых, многие нарушения мочеиспускания изучают на животных, и теперь в руках медиков есть надежный инструмент для масштабирования полученных данных, чтобы их можно было применять к человеку. А во-вторых, бионический принцип позволит инженерам лучше проектировать масштабируемые гидродинамические системы, ведь мочевой пузырь и связанный с ним канал ничем не отличаются от какого-нибудь нефтехранилища, привязанного к нефтепроводу.

Аналогичную модель удалось создать для объяснения феномена дефекации. Действуя по схожей методике, исследователи из лаборатории доцента Ху определили: у подавляющего большинства млекопитающих, у которых твердые отходы жизнедеятельности выходят единым куском, а не орешками, как у коз или зайцев, имеется свой инвариант: этот процесс в норме (то есть без расстройства кишечника) занимает 12 секунд вне зависимости от веса животного. При этом скорость дефекации пропорциональна кубическому корню из веса, то есть длине животного, поскольку последняя также пропорциональна этому корню. Статистическая обработка данных измерения показывает соответственно, что время дефекации очень слабо зависит от веса – в степени −0,09, то есть чем больше вес, тем меньше время опорожнения, хотя 40-сантиметровая прямая кишка слона в десять раз длиннее, чем у кота.

Причиной такой инвариантности служит подобный найденному в первой работе набор физиологических констант и зависимостей, связывающих некие размеры с весом тела. В данном случае фундаментальной константой для всех млекопитающих стало минимальное давление, оказываемое гладкими мышцами кишечника на выделение в процессе дефекации, – 0,64 кПа; максимальное давление – в семь раз больше. С весом же тела связаны такие геометрические параметры, как диаметр и длина прямой кишки, а также толщина слизи на ее стенках: все они пропорциональны кубическому корню от веса. Интересно, что давление оказалось меньше, чем модуль сдвига твердых испражнений, который находится в пределах от 2 кПа у поссума (сумчатой летяги, не путать с опоссумом!) до 10 кПа у овцы. Иными словами, твердые испражнения не могут деформироваться в процессе выхода, поэтому важнейшее значение в кинематике процесса приобрела слизь – она играет роль смазки, и от нее зависит все.

Подстановка всех зависимостей в формулу для времени дефекации привела к тому, что показатели степеней при весе сократились, то есть время стало пропорционально весу в степени 0 – это оказался истинный инвариант, не то что время деуринации, которое от веса все-таки немного зависит. Однако подстановка значений дала время в 6,5 секунды, что в два раза меньше, чем показал эксперимент. Такое несовпадение, видимо, связано с плохо изученными свойствами слизи. Ее толщину измеряли следующим образом: брали свежие экскременты, которые из-за налипшей на них слизи еще блестели, и взвешивали. Затем ждали, когда блеск исчезнет, и снова взвешивали, предполагая, что слизь испарилась и, значит, разница веса позволит вычислить толщину ее слоя. Такая методика, конечно же, не слишком точна. Еще большую ошибку могут вызвать неточные измерения вязкости этой слизи, ведь в формуле это не коэффициент, а показатель степени.

Впрочем, отсутствие количественного совпадения не препятствует верным качественным выводам. Так, было подсчитано время дефекации человека при поносе; оно оказалось очень малым – 0,5 секунды с момента приложения давления гладкими мышцами кишечника, движение же шло с ускорением, что очень похоже на правду. Интересный результат получился в обратной ситуации – при запоре. Исследователи предположили, что в рамках принятого приближения запор означает отсутствие слизи. В этом случае движение выдавливаемого материала возможно лишь в результате его сдвиговой деформации. Подстановка в расчетную формулу механических характеристик наиболее плотных испражнений дала колоссальное время для этого случая – 524 дня при минимальном давлении и 6 часов при максимальном. Поскольку был взят экстремальный случай – в реальности какая-то слизь обязательно будет, – эта ситуация качественно опять же оказалась недалека от реальности.

Таким образом, теперь благодаря эпохальной серии работ группы Дэвида Ху мы знаем практически всё о механике процессов удаления продуктов жизнедеятельности из организма. Это дает возможность и врачам, и диетологам, рассуждая о путях улучшения жизни человечества, опираться не на слухи, домыслы и личное мнение, а на строгий научный инструментарий.

Скольким детям может дать жизнь мужчина?

Движение сперматозоидов, разобранное нами ранее[[18]18
  См. с. 37. – Прим. ред


[Закрыть] ], неизбежно вызывает вопрос о конечной цели их путешествия. Ведь именно от успешности ее достижения зависит, состоится ли таинство зачатия. Увы, современная цивилизация поставила сперматозоид в такие условия, что от него мало что зависит: как бы интенсивно он ни двигал своим жгутиком, шансов достигнуть цели у него практически нет. И вообще, сегодня вопрос, вынесенный в название главки, носит скорее отвлеченно-теоретический характер. Это в стародавние времена количество сыновей у мужчины считалось показателем мужской силы, а самих сыновей считали помощниками в хозяйстве и в бою; их чем больше – тем лучше[[19]19
  Приносим извинение за неполиткорректное сексистское высказывание, но что было, то было. – Прим. авт.


[Закрыть] ]. Ныне большинство людей предпочитают ограничиваться одним ребенком. И даже любвеобильные граждане, готовые щедро делиться любовью со всеми окружающими особями противоположного пола, концентрируются на процессе, а не на результате.

И хотя наш интерес к этому вопросу носит сугубо ностальгический, даже, можно сказать, атавистический характер, ученые не могли оставить его без ответа. Одно из самых известных исследований в этой области выполнили австрийские антропологи Элизабет Оберзаухер и Карл Граммер из Венского университета[20]20
  E. Oberzaucher, K. Grammer. The Case of Moulay Ismael – Fact or Fancy? PLoS ONE, 2014, 9 (2): e85292. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0085292


[Закрыть]. Собственно, они попытались оценить правдоподобность исторических сведений о том, что у марокканского султана Мулай Абу-уль Насира Исмаила ас-Самин ибн Рашида (1645–1727) было 600 сыновей. Но результаты, полученные Оберзаухер и Граммером, выходят далеко за рамки этого конкретного случая, ведь они дают оценку мужской продуктивности в максимально благоприятных для этого условиях – при наличии неограниченного доступа к большой выборке женщин, состоящей из четырех жен и 500 наложниц.

Какими еще данными располагали исследователи? О том, что у султана было 600 сыновей, сообщил французский дипломат Доминик Буснот в 1704 году. На тот момент султану Исмаилу исполнилось 59 лет, с восшествия на престол прошло 32 года, именно эта величина была принята за продолжительность его продуктивной деятельности. Понятно, что сыновьями дело не ограничилось. Были и дочери. К ним султан относился неодобрительно и позволял их сохранять только женам. Дочерей наложниц повитухи душили сразу после появления на свет (ох, не случайно в истории султана Исмаила прозвали Кровожадным). Как бы то ни было, исходя из среднестатистических показателей, число девочек определили в 571, итого общее количество детей – 1171.

К сожалению, доподлинно не известно, какими соображениями в выборе партнерши руководствовался султан при посещении гарема. Поэтому в первом варианте компьютерного моделирования использовали модель "случайных блужданий". При этом вводили естественные ограничения: женщины по физиологическим, а в мусульманских странах и по религиозным причинам выпадают из процесса на пять дней в месяц, еще более продолжительные антракты связаны с беременностью и грудным кормлением, на это заложили полтора года. Исследователи учли также эффект синхронизации месячных циклов у совместно проживающих женщин, что соответствует условиям гарема. Достоверность данного эффекта признают не все ученые, это противоречие исследователи изящно обошли, предположив, что цикл синхронизируется у половины обитательниц гарема. На количество детей отрицательно влияют выкидыши и младенческая смертность, их вклад определили в 15–20 % от общего числа беременностей.

Наибольшие сложности при моделировании представляет учет одного, хорошо всем известного обстоятельства – не каждое совокупление приводит к зачатию. Также хорошо известно, что вероятность зачатия сильно зависит от дня цикла, достигая максимума во время овуляции. Но вот как точно зависит – тут мнения расходятся. Австрийские исследователи использовали две популярные на Западе модели фертильности (Уилкокса – Вайнберг и Барретта – Маршалла), которые дают вероятность оплодотворения при овуляции в 30 и 44 % соответственно. Вряд ли в XVII веке в Марокко были тесты на овуляцию, хотя кто их, древних, знает, но исследователи учли в своей модели еще один общеизвестный эффект – женщины становятся более сексуально привлекательными именно в эти дни. Вообще-то, биологи пока не могут понять, по каким маркерам возможно установление факта готовности женщины к оплодотворению и есть ли такие маркеры. Однако, похоже, султан Исмаил, руководствуясь богатым жизненным опытом и неуемным желанием увеличить число потомков, умел выхватывать своим зорким взглядом овулирующих женщин из шеренги наложниц. Вероятность этого исследователи оценили в 60 %.

Рассмотрели они и еще одну модель – индуцированной овуляции. Ее предложил немецкий врач Вольфганг Йохле, который проанализировал статистику беременностей жен военнослужащих во время Первой и Второй мировых войн. Военнослужащие в ходе передислокации частей попадали домой буквально на один-два дня, но при этом достигали желаемого результата. Йохле объяснил это тем, что физическая близость с долгожданным супругом индуцировала овуляцию у женщин со всеми вытекающими последствиями. Ситуация чрезвычайно схожа с гаремной, где наложницам долгие месяцы приходится ждать, пока султан разделит с ними ложе. Справедливости ради отметим, что эту модель проверяют много лет и до сих пор, даже используя новейшие методы, не могут ее ни подтвердить, ни опровергнуть.

Проблемы в зачатии связаны не только с женщинами, но и с самим султаном, который на протяжении этого сверхдлинного марафона становился все старше, а продуктивность его спермы – все ниже, исследователи оценили это падение в 1,52 % в год. Учли они и такой ненаучный фактор, как любовь, когда султан довольно продолжительное время уделял внимание только одной наложнице. А также приняли во внимание возможное формирование группы фавориток (из 11 женщин), которые пользовались наибольшим расположением султана.

Все эти данные были заложены в компьютер, и вот что получилось после многочисленных итераций. Султан Исмаил таки мог произвести 1171 ребенка, для этого ему надо было осуществлять в среднем один половой акт в день на протяжении 32 лет. Если совсем точно, то по моделям Уилкокса – Вайнберг, Барретта – Маршалла и Йохле султану надо было заниматься любовью 1,43, 1,62 и 0,83 раза в день соответственно. Интересно, что влюбленность в реалиях гарема плохо влияет на продуктивность – последняя существенно падает. Вот к чему приводит сосредоточение внимания на одном объекте страсти и пренебрежение обязанностями по отношению к народу. Фаворитки, наоборот, способствуют росту продуктивности.

Тут возникает естественный вопрос: а нужен ли столь большой гарем для достижения поставленной цели в 600 сыновей? Нет, не нужен, отвечают австрийские исследователи, в зависимости от использованной модели вполне хватило бы 65–110 женщин, увеличение числа женщин сверх этого количества не приводит к росту числа потомков.

Что нам совершенно непонятно, так это сетования австрийских исследований на непроизводительные расходы, которые повлекло содержание избыточного гарема. Нельзя же все мерить деньгами! Кроме того, надо и о женщинах думать, об их здоровье. Ведь при секвестированном бюджете, который нам предлагают австрийские исследователи, каждой женщине пришлось бы рожать в среднем более десяти детей. Это все-таки большая нагрузка на организм.

Несмотря на отмеченный недостаток, работа Элизабет Оберзаухер и Карла Граммера заслужила высокую оценку специалистов, и им была присуждена Игнобелевская премия по математике за 2015 год.