Текст книги "Чувствующий интеллект. Часть II: Интеллект и логос"

а) Начнем с геометрического пространства. Ни одно геометрическое пространство, начиная с эвклидова, не является, именно в качестве геометрического, физическим пространством. Тем не менее, геометрическое пространство – не просто понятие и не синтез понятий. Если бы это было так, эти пространства всегда оставались бы лишь тем, что «было бы». Но математика имеет дело с пространствами не как с тем, что «было бы», а как с тем, что «есть», и в этом их качестве весьма скрупулезно их изучает. Это значит, что понятия, простые схватывания того факта, что пространства «были бы», превращаются в понятия о том, что «есть». Каким образом? Понятия превращаются в понятия о чем-то, что «есть», благодаря системе постулатов.

Что представляют собой эти постулаты? Другими словами, что есть то, что постулируется постулатами? Вот в чем вопрос. На мой взгляд, постулаты не постулируют «истины», то есть не требуют, чтобы их считали просто истинами. Если бы это было так, математика была бы всего лишь комбинацией истин, то есть, по существу, продолжением логики. Так и думали сплошь и рядом выдающиеся, даже гениальные математики. Но это не значит, что они не ошибались. Математика – это не система необходимых истин, просто связанных между собой сообразно «принципам» логики, а система необходимых истин относительно некоего объекта, который по-своему обладает реальностью перед лицом интеллекта. Постулируемое постулатами есть не «истина», а «реальность»: постулируемое есть реальность того, что постулируется. Если угодно говорить об истинах, то следовало бы сказать, что постулаты возвещают «реальную истину» постулируемого. Другими словами, постулаты не сводятся к чисто логическим высказываниям, но представляют собой высказывания свойств, присущих «содержанию» «реальности» постулируемого. «Постулирование» опирается на «было бы» и формально состоит в преобразовании этого «было бы» в «есть»: преобразовании, совершаемом благодаря постулированию реальности. Это преобразование, как мы увидим в ближайшем Приложении, формально представляет собой конструирование.

b) Теперь обратимся к другому примеру: к вымышленным повествованиям. Вымысел, как мы видели, показывает, каким «было бы» реальное в реальности. Но роман, например, говорит нам не о том, что «было бы» в реальности: он на свой манер, по-романному, говорит нам о том, что «есть реальность». Поэтому роману присуще множество свойств, или мет, весьма отличных от тех, которые изначально приписывались его персонажам или ситуациям. Дело в том, что повествуемое в романе – в силу того, что оно повествуется в реальности — имеет больше свойств, чем те, которые были формально заявлены в начале. Например, вполне можно обсуждать, является ли вымышленный персонаж по имени Дон Жуан женственным персонажем или нет. Вообще говоря, романист чувствует, как его персонажи берут над ним власть, влекут его, тащат за собой, и т. д., потому что они обладают определенными свойствами в силу того, что исходно были вызваны к реальности в определенных ситуациях. А это указывает на то, что хотя предметом суждений в вымысле и не выступает конкретная личность – скажем, некий горожанин Севильи, – однако этот предмет есть нечто большее, чем то, «каким он мог бы быть»: он «таков есть». Это «есть» выражает не такую реальность, какова реальность вот этого камня, но все-таки реальность. К этой реальности относятся все суждения вымышленного повествования. Эта реальность дана во впечатлении реальности вот этим самым камнем. Романист творит в этой реальности «сообразно» определенным «фиктумам». В этом вся разница между романом и математикой: то и другое суть конструирование реальности, но в математике оно осуществляется «сообразно концептам» (как мы тотчас увидим), тогда как в романе – «сообразно фиктумам и перцептам». Разумеется, роман заключает в себе множество концептов, но строится он не сообразно концептам. Роман как таковой, формально, не созидает реальности фиктумов, а конструирует свое содержание в «реальности как таковой» сообразно этим фиктумам. Роман соотносится не с вымыслом, фикцией, а с реальностью, сконструированной сообразно фиктумам.

с) Если мы возьмем суждения математики «заодно» с суждениями художественной литературы, то легко сможем увидеть, что во всех них предметом суждения выступает «нечто реальное». Концепты, фиктумы и перцепты суть простые схватывания: они выражают то, чем «было бы» реальное, то есть формально и непосредственно вписываются в «реальность как таковую», – но не поскольку она имеет своим термином определенное содержание, а поскольку она могла бы иметь в нем свой термин. Другими словами, они выражают не то, что «есть», а то, что «было бы». Поэтому мы говорим, что простое схватывание выражает нечто ирреальное. Нет нужды подробно говорить об этом после всего, что было сказано многими страницами ранее. Так вот, суждения математики или художественной литературы относятся не к чему-то формально «ирреальному», а к чему-то пусть ирреальному, но «реализованному»: они предполагают, что реальность на самом деле имеет своим завершающим термином то или другое. Именно это «определенное» завершение я совокупно называю словом, заимствованным из математики: постулированием. Ирреальное, не переставая быть ирреальным, приобретает постулированную реальность. Когда способом реализации служит конструирование, тогда мы имеем дело с реальностью математического или с реальностью вымышленного. Утверждения математики и литературы, основанной на вымысле, относятся, таким образом, к ирреальному, реализованному в конструктивном постулировании, будь то в форме конструирования сообразно концептам (математика) или в форме конструирования сообразно перцептам и фиктумам (художественная литература). Стало быть, интеллект не ограничивается схватыванием того, что «уже пребывает» в нем, но реализует в себе – или, лучше сказать, перед собой – свои концепты, фиктумы и перцепты. В таком случае постигаемое уже не «пребывает» перед интеллектом, а есть нечто «реализованное» им и перед ним. Разумеется, реализация может осуществляться и без конструирования; именно так обстоит дело в большинстве суждений, содержание которых реализовано в реальном, однако помимо конструирования. Чего не может быть, так это конструирования без реализации. Отсюда проистекает то неизбежное следствие, что, как мы увидим, реальное, когда оно реализуется в постулировании, причем реализуется сообразно определенным концептам, фиктумам или перцептам, тем не менее, получает в результате реализации больше собственных мет, чем их формально заключено в концептах, фиктумах и перцептах. Именно от этой реальности, реализованной через конструктивное постулирование, отправляются в своих суждениях математика и художественная литература.

Итак, всякое суждение, всякое утверждение высказывается о чем-то реальном, которое, как таковое, предпосылается самому утверждению. Когда вещи реальны в самих себе, как таковых, это предпосылание формально есть первичное схватывание реальности. Когда вещи реальны, но реализованы путем конструирования, предпосылание принимает форму постулирования. Постулирование возможно только потому, что оно имеет своим внутренним и формальным основанием первичное схватывание реальности. Поэтому первичная и радикальная структура суждения состоит в том, что оно есть утверждение вещи, уже схваченной в качестве реальной (в первичном схватывании), но схваченной в ее формально полевом моменте. Поэтому суждение не есть непосредственное постижение чего-то реального; оно есть модализированное постижение того, первичного, схватывания, того постижения – прямого и непосредственного: постижение в дистанцированной обращенности. Что же подвергается суждению в таком постижении?

Прежде чем углубиться в этот вопрос, будет не лишним более точно сформулировать, что представляет собой, с точки зрения постулирования, реальность математики. Итак, суждение предполагает первичное схватывание реальности. Но речь идет, повторяю, не о предпосылании процессуального характера: не о том, что прежде суждения схватывается реальность. Речь идет о том, что эта реальность, схваченная прежде суждения, удерживается в самом суждении как таковом, в качестве его формально конститутивного момента.

Приложение

Реальность математического

Как мы могли видеть, математика состоит из суждений, относящихся к чему-то такому, что реально в силу постулирования. Тогда возникает неизбежный вопрос: что такое само постулирование математического реального? До сих пор мы говорили о том, что постулирование есть постулирование реальности; теперь мы задаемся вопросом о том, в чем заключается само это постулирование. От этого зависит, какой вид реальности присущ математическому.

Говоря негативно, реальность математического не тождественна, например, реальности этого камня, потому что камень есть нечто реальное в самом себе, как таковом. Напротив, пространство не является реальным само по себе, как таковое, но от этого не перестает быть реальным. Дело в том, что, как мы уже подробно показали, реальность и содержание – не одно и то же. В дифференциальной актуализации реального момент формальности, свойственный реальности поля, формально отличен от момента содержания; тем не менее, эта формальность всегда остается физической реальностью. Одна и та же формальность реальности способна давать приют разным содержаниям – не только одновременно, но и последовательно. Так, если этот камень изменит цвет, изменится и содержание схватывания, но его момент реальности останется численно тем же самым. Отсюда понятно, что в этих условиях физическая реальность «как таковая» есть момент, который не обязательно связан вот с этим конкретным содержанием. В самом деле, полевая реальность, как мы видели, представляет собой некое автономизированное «само по себе». Это не пучина, в которую погружены вещи, а просто полевой момент, свойственный формальности реальности всякой реальной вещи; и мы только что видели, что, сообразно этому моменту, всякая реальная вещь есть нечто большее, чем то, что она есть в силу своего содержания. Этот момент «большего» и составляет реальность «как таковую». Поэтому реальность «как таковая» – это физический, а не просто концептуальный момент: именно потому, что она есть «большее», она может не быть привязанной к вот этому конкретному содержанию, то есть может иметь и другое содержание. В таких условиях 1) «большее» пребывает актуализированным в концептах, в простых схватываниях; 2) в таком случае эти концепты пребывают реализованными как содержание «большего». Единством этих двух моментов выступает, как мы видели, ирреальный объект, выраженный в «было бы». Так вот, когда постулируется, что объект «таков», это значит, что в постулировании совершился переход от «было бы» к «есть». Мы имеем реальность «как таковую», актуализированную в постижении, и, кроме того, имеем реализацию постигнутого – но реализованного в качестве свободной вещи. Свободная вещь – это физическая реальность, обладающая постулированным содержанием. Таковы математические объекты: реальные объекты, сконструированные в физическом моменте полевой реальности «как таковой». Той самой реальности, сообразно которой реальны такие вещи, как вот этот камень. Момент реальности в обоих случаях идентичен; что не идентично, так это его содержание и модус его реальности. Камень обладает реальностью сам по себе, как таковой, в то время как окружность обладает реальностью только через постулирование. Тем не менее, сам момент реальности идентичен. Реальность математических объектов заключена в «большем» – в том самом «большем», которое свойственно всякой реальной вещи в самой себе, как таковой. Именно потому, что она есть «большее», эта реальность открывается тому, чтобы принять свободное содержание в постулировании. Каким образом математические объекты сконструированы в своем постулировании, я вскоре скажу.

Теперь же я непременно должен напомнить о том, о чем уже говорил в первой части книги: реальность – не синоним существования. Существование и меты принадлежат только к содержанию реального; напротив, формальность реальности состоит в том, что это экзистенциальное содержание и эти меты таковы «сами по себе». Существование, которое не подобало бы существующему как «самому по себе», делало бы его не реальным, но призрачным. Повторяю: существование и меты принадлежат только к содержанию реального. Так вот, момент полевой реальности есть момент формальности автономизированного «самого по себе», когда вещи схватываются среди других вещей. Иными словами, момент реальности оказывается в таком случае областью реальности: областью в строгом и точном физическом смысле. Полевая реальность «как таковая» «физична», однако формально она не является существующей. Разумеется, если бы содержание не было существующим, схваченное не было бы реальным; но оно не было бы реальным и в том случае, если бы не обладало вот этими определенными метами. Иначе говоря, нет реальности без содержания (экзистенциального содержания и содержания мет). Дело, однако, в том, что имеется «полевая реальность», полевое «само по себе», но без вот этого определенного содержания, то есть без вот этих определенных мет и без определенного существования. Полевой момент есть «само по себе», но оно есть в такой форме, что «свое» этого «самого по себе» остается свободным. Остаются свободными как меты, так и их существование; однако «само по себе» сохраняется как формальный момент реальности. Невозможность того, чтобы в отсутствие существования отсутствовала реальность, не означает, что реальность есть существование. Эта невозможность означает только одно: поскольку «реальность» есть некая формальность, не может быть «самого по себе» помимо некоторого содержания мет и содержания существования. Эти меты и это существование суть то, что постулируется в постулатах применительно к реальности: меты и существование реализуются исключительно через постулирование в реальности «как таковой». Поэтому меты, или свойства, равно как их существование, суть постулированные меты и существование: они реальны только в силу свободного постулирования в реальности «как таковой», в «самом по себе». Добавлю для большей ясности, что, когда в математике формулируется какая-нибудь теорема существования (например, существования корня во всяком алгебраическом уравнении, или интеграла в обычном дифференциальном уравнении, или несуществования алгебраического уравнения, которое имело бы корнем число е), то существование означает здесь просто реализацию одной меты в силу реализации других мет. Поскольку простая реализация этих мет подразумевает постулированное существование, простая реализация содержания есть то, что с полным основанием называется математическим существованием. Это всегда вопрос реализации, но отнюдь не в смысле тождества реальности и физического существования, взятых в самих себе, как таковых.

В заключение скажем: совершаемая в постижении актуализация реальности «как таковой» оставляет свободным ее содержание. И тогда постулируемое постулатом есть тот факт, что вот это определенное содержание (например, эвклидов параллелизм или не-архимедова топология), взятое как в своих метах, так и в своем существовании, реализуется в реальности «как таковой», в «большем», в той самой физической реальности, сообразно которой реален вот этот камень. Реализованное таким образом содержание представляет собой, как было сказано, «свободную вещь». Геометрическое пространство реально той же самой реальностью, сообразно которой реален этот камень. Это не голое понятие, а свободно реализованная реальность: свободная – но реальная, реальная – но свободная. Следовательно, в таком постулировании постулируется, что реальность «как таковая» реализуется вот в таком содержании: постулируется вот эта реализация.

Математический способ такой реализации есть то, что я называю здесь конструированием. Геометрическое пространство представляет собой не систему объективных понятий: эти объективные понятия реализуются в конструировании посредством постулирования. Конструирование состоит не только в том, чтобы превращать нечто в интенциональный и ирреальный термин (тогда речь бы шла просто о содержании), но в том, чтобы проецировать это ирреальное, заключенное в понятии, в концепте, на реальность «как таковую» «сообразно концептам». Поэтому конструирование есть модус реализации: оно означает реализовывать сообразно концептам.

Здесь, в этой идее конструирования, нужно избегать смешения двух возможных смыслов: конструирования в смысле Гёделя и конструирования в смысле Брауэра.

Гёдель называет конструкцией множество, которое порождается повторяющимся применением некоторых операций, аксиоматически определенных в аксиомах Цермело-Френкеля. Сущностно важно подчеркнуть: речь идет об операциях, которые «определены» сами по себе, а не о процедуре их выполнения. Эти множества Гёдель назвал конструируемыми. Его ученик Коген (1963) опирался на неконструируемые (в этом смысле) множества. В самом деле, элементы всякого множества обладают двумя классами свойств. Одни – видовые, соответствующие операциональным постулатам и аксиомам, о которых я только что говорил. Другие свойства – скорее родовые; в соответствии с ними при образовании множеств остаются неопределенными видовые свойства, которые «будут вынуждать» родовые свойства к видовому определению. Полученные таким образом множества, обладающие чисто родовыми свойствами, по определению не сконструированы. Коген опирается (в своем сенсационном открытии ложности гипотезы множеств Кантора) на эти неконструируемые множества. Это по видимости противоречит моему утверждению, что все математическое сконструировано. Тем не менее, противоречие это – кажущееся, ибо то, что я здесь называю конструированием, есть нечто иное. Во-первых, конструируемое у Гёделя и Когена – это, по сути дела, объективный концепт, видовой или родовой. Напротив, то конструирование, о котором говорю я, есть реализация перед моим интеллектом концепта, который уже объективно сконструирован (независимо от того, конструируем он или нет). И в этом смысле сама реализация может и должна называться конструированием. Стало быть, речь идет совсем о другом, нежели конструирование в смысле Гёделя и Когена. И конструируемые, и неконструируемые множества равно сконструированы, в смысле их реализации перед моим интеллектом. Во-вторых, эта реализация означает конструирование ее содержания в физической реальности, интеллектуально свободную реализацию в физической реальности «как таковой»: это именно постулирование. И это постулированное таким образом конструирование есть конструирование содержания в физической реальности. Множества Гёделя и Когена сконструированы (в моем понимании конструирования) в физической реальности. В таком случае само конструирование формально относится не к концептам, является не «концептуальным» конструированием. Оно представляет собой реализацию в физической реальности «как таковой», но «сообразно концептам»: две совершенно разные вещи! И в этом смысле любой математический объект сконструирован по способу постулирования. Именно поэтому сконструированный таким образом объект есть в строгом смысле реальность, которая может обладать «своими», «собственными» свойствами или метами, а не только свойствами, «дедуцированными» из аксиом и постулатов. Речь идет не о дедуцированных свойствах, а о свойствах, которые формально уже заключены в объекте. Математические объекты обладают свойствами «сами по себе»; другими словами, они реальны. Дело в том, что реальный объект, путем постулирования реализованный сообразно концептам, обладает в силу своей реализованности большим числом мет или свойств, чем те, которые были определены при его постулировании. Поэтому, и только поэтому он порождает проблемы, которые не разрешимы в конечной системе аксиом и постулатов, определивших его реализацию. Сконструированное в реальности «как таковой» есть в силу своей реализованности нечто большее, чем постулируемое при его реализации. Именно до этих пределов, на мой взгляд, простирается радиус действия теоремы Гёделя. Речь идет не о внутреннем ограничении аксиоматических утверждений, постулированных в качестве утверждений, как обычно интерпретируют эту теорему. Речь идет о том, что она обнажает перед интеллектом характер реальности того, что было сконструировано сообразно указанным аксиомам и постулатам. Стало быть, дело не во внутренней недостаточности системы постулатов, а в радикальной изначальности сконструированного – именно потому, что оно реально: оно есть реальность, которая не исчерпывается тем, что относительно нее постулировалось. Такой объект не является реальной вещью в самой себе, как таковой, в том смысле, в каком реален этот камень. Но он не сводится и к тому, что только «было бы реальным»: он «есть» как «реальный» в постулировании и конструировании. Таков, на мой взгляд, смысл теоремы Гёделя. Таким образом, суждения математики – это суждения о чем-то реальном, суждения о «постулированном реальном». Это суждения не о «возможном сущем», а о «постулированной реальности».

Стало быть, эта концепция сконструированной математической реальности не является формалистским аксиоматизмом; но она также не является, даже отдаленно, тем, что представляли как строгую противоположность такому аксиоматизму: интуиционизмом, и, прежде всего, интуиционизмом Брауэра. Это – другое понимание конструирования, которого надлежит избегать в данном вопросе. С точки зрения интуиционизма, заниматься математическим конструированием – не то же самое, что давать дефиниции и выстраивать понятия. Интуиционизм отбрасывает ту мысль, что математика опирается на логику; доказательство, взывающее к логическому принципу исключенного третьего, не является для Брауэра математическим доказательством. Математика – не система определенных понятий и операций. Чтобы быть математической, операция должна быть выполненной операцией, а значит, состоять из конечного числа шагов. Разумеется, математика занимается не только конечными множествами; она также занимается, например, бесконечными десятичными дробями, образующими реальное число. Правда, математика не в состоянии фактически выполнить все операции, необходимые для получения иррационального числа, потому что количество шагов в таком случае было бы бесконечным. Но может существовать и действительно существует закон или правило выполнения операций «неопределенное число раз». Итак, предметом математики, с этой точки зрения, должны быть конечные множества как термин операций, выполняемых в отношении этих множеств. Интуиционизм – это радикальный финитизм. Именно поэтому большинство математиков отвергли идею Брауэра, несмотря на его гениальный вклад в топологию, потому что ампутация актуально бесконечного означала бы для них уничтожение огромной части математического здания. Нам говорят, что если бы Брауэр был последователен по отношению к собственным исходным положениям, он был бы вынужден признать недействительной значительную часть математического анализа. Но мы не будем заниматься этой стороной вопроса; для нашей проблемы самое главное заключается в том, что интуиционизм претендует быть противоположностью формалистского аксиоматизма, когда аксиоматическим дефинициям противополагает выполненные операции. По сути дела, это равнозначно той идее Кронекера, согласно которой Бог сотворил целое число, а все остальное сотворили люди. Целое число – это данные интуиции, а значит, конструирование в конечном счете сводится к исчислению данного. Одних дефиниций недостаточно.

Но эта концепция неприемлема, потому что ни множества, сколь бы конечными они ни были, ни выполненные операции, на которых основывается радикальный характер того, то я понимаю под математическим конструированием, не являются формально интуитивными.

Во-первых, конечное множество Брауэра не является интуитивным. Оставляя до другого места в книге проблемы, которые ставит перед нами интуиция, скажем уже сейчас, что интуиция – это «видение» чего-то такого, что дано непосредственно, прямо, унитарно. В интуиции я имею дело с качественным и количественным разнообразием данного, но никогда не имею дела с множеством. Не существует интуитивных множеств в строгом смысле слова. Потому что для того, чтобы иметь множество, я должен, так сказать, рассмотреть порознь моменты интуитивного разнообразия как «элементы» множества: только в таком случае их единство составится в множество. Математическое множество всегда представляет собой множество элементов, и только множество элементов. Но в таком случае очевидно, что ни одно множество, пусть даже конечное, не является интуитивным: ведь интуиция дает нам всегда лишь «разнообразие моментов», и никогда – «множество элементов». Чтобы иметь множество, нужен позднейший акт постижения, превращающий моменты в элементы. Стало быть, нужно конструирование. Так называемое конечное множество, якобы данное в интуиции, есть не что иное, как приложение уже сконструированного интеллектом множества к разнообразию данного. Это приложение представляет собой именно постулирование: постулируется, что данное разрешается в некоторое множество. Следовательно, математику Брауэра нельзя в строгом смысле назвать интуиционистской. Множество Брауэра не является интуитивным; оно представляет собой объективное содержание понятия множества, «прилагаемое» к интуитивному.

Во-вторых, само конструирование множества отнюдь не является в корне системой выполненных операций. Я говорю: «в корне», потому что выполнение операций не есть то, что я изначально назвал конструированием. Конечное множество есть содержание объективных понятий; поэтому операции, производимые над этим содержанием, могут быть сколь угодно выполненными, но выполненными всегда над объективными содержаниями понятий. Будь они конечными или нет, те множества, которыми занимается математика Брауэра, и производимые над ними операции суть концептуальные множества и концептуальные операции. И поэтому, на мой взгляд, они недостаточны для того, чтобы служить основанием математики: ведь математика имеет дело не с «объективными понятиями», а с «вещами, которые таковы». Я понимаю под конструированием нечто иное. Это, несомненно, не конструирование объективных понятий посредством чистой дефиниции, но и не ряд выполненных операций в смысле Брауэра, потому что эти брауэровские операции, повторяю, суть операции, производимые над объективными понятиями. Ив этом пункте математика Брауэра не отличается от математики Гёделя и Когена. Я же имею в виду, что конструировать означает не выполнять объективные операции, а проецировать это объективное содержание на физическую реальность «как таковую», находящуюся перед моим интеллектом. А эта реальность дана не в интуиции, а в первичном схватывании реальности: дана во впечатлении. Поскольку эта реальность не имеет детерминированного содержания, я могу свободно проецировать на нее содержание того, что было объективно сконструировано посредством операций. Математическое конструирование есть именно такое проецирование, а не операция. Пусть математический объект конечен, пусть операция, объективно производящая его содержание, будет выполненной, он, тем не менее, обладает радикальной собственной реальностью, физической реальностью, почувствованной во впечатлении, в первичном схватывании. Это и есть конструирование. Конечное множество Брауэра не только не является интуитивным, но к тому же представляет собой результат двойного постулирования: постулата о том, что к интуитивно данному приложимо множество элементов, и постулата о том, что реальности «как таковой» сообщается содержание (операционально сконструированного) объективного понятия множества. Математический объект не есть предмет интуиции: он схватывается в первичном схватывании, а это, как мы увидим, две совершено разные вещи. Свободное творение, проецируемое на это двойное постулирование, внутренне и формально является чувствующим. Только чувствующий интеллект способен, например, не чувствуя содержания некоторого непрерывного множества, то есть множества иррациональных чисел, тем не менее, свободно реализовать это содержание (конципированное посредством чистых дефиниций или выполненных операций) по способу чувствования. Пусть математический объект конечен, и пусть производящая его операция будет выполненной, он, повторяю, обладает собственной реальностью, физической реальностью, почувствованной во впечатлении, в первичном схватывании. Это и есть его конструирование.

В конечном счете, быть сконструированным означает: 1) не быть определенным, в смысле Гёделя и Когена; 2) не быть выполненным, в смысле Брауэра. Противостояние между формалистским аксиоматизмом и интуиционизмом есть внутренняя проблема математики и, как таковая, не принадлежит к компетенции философии. Проблема философии – в том, чтобы концептуализировать реальность математического. И с этой точки зрения формалистский аксиоматизм и интуиционизм не противостоят друг другу, потому что и то, и другое заключается в определении объективных содержаний понятий. Так вот, конструировать означает нечто иное: это значит творить, свободно проецировать на физическую реальность «как таковую» содержание «сообразно концептам». Постулировать означает постулировать реальность. Без такого первичного и радикального конструирования и постулирования были бы невозможны ни аксиомы Цермело-Френкеля и множества Когена, ни интуиционизм Брауэра.

Следовательно, математическое конструирование всегда представляет собой акт чувствующего интеллекта. И, следовательно, математический объект обладает постулированной реальностью. Это не объективное понятие реальности, а реальность в понятии. Повторяю: это сама реальность всякой реальной вещи, схваченная по способу чувствования, но обладающая содержанием, свободно сконструированным в этой реальности «сообразно концептам». Еще раз: постулированное – это не логические истины и не выполненные операции, а содержание реального (уже определенного или выполненного), принимаемое им в конструировании и через постулируемое конструирование. Математический объект не сконструирован постулатами. То, что определяется постулатами, есть «конструирование» перед лицом интеллекта: конструирование того, реализация чего постулируется и через это постулирование обретает реальность.