Текст книги "Основы школьной геометрии простыми словами. Со ссылками на доходчивые видео"

Основы школьной геометрии простыми словами
Со ссылками на доходчивые видео
Игорь Владиславович Казаринов

© Игорь Владиславович Казаринов, 2024

ISBN 978-5-4493-6140-0

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Основные причины проблем с геометрией. Как понять и исправить геометрию

Почему у многих учеников возникают проблемы с задачами по геометрии? Хочу немножко рассказать о теории – почему такое происходит, и что вы с этим можете сделать.

Обычно в школе уроки алгебры проходят почти каждый день.

Уроки геометрии – это обычно два-три раза в неделю. Что получается? Те понятия, которые изучаются на алгебре, ученики слышат каждый день. Каждый день они что-то говорят сами. Что-то говорит учитель. И эти слова хоть как-то остаются в голове.

Методы решения, которых в алгебре на самом деле не очень много, практикуют каждый день и ученики их усваивают как-то. Хотя многие ученики имеют при этом проблемы с алгеброй.

Но когда какой-то предмет рассматривается в течение 40 минут всего один или два раза в неделю (как это обстоит с геометрией), очень мало получается времени на то, чтобы ученик усвоил и понял самые основные моменты. И хотя, например, в алгебре – то, что сейчас изучается в школе – многие вещи были открыты всего четыреста лет назад. (Конечно, начала алгебры относятся к древним временам!) Но многие способы вычислений и формулы, которые сейчас практикуются, были открыты не так давно.

Теперь возьмём геометрию. «Геометрия», как в учебниках написано, это греческое слово, которое означает: «гео» – Земля, «метрос» – это мерить. То есть наука о измерении земли. Практически все данные (все теоремы и аксиомы) в учебнике геометрии были открыты и созданы, были разработаны древними греками две-три тысячи лет назад. Ничего нового с тех пор в школьной программе не появилось. Учебники геометрии практически не изменяются в течение очень многих лет. Это плюс!

Но… в чём же минус? Очень многие понятия в геометрии – они… не русские. То есть это слова такие как «катет», «гипотенуза», «тригонометрия», «медиана».

В геометрии учебники построены по принципу усложнения тем, но при решении более сложных задач часто надо очень уверенно применять знания самых простых первых правил и теорем.

Более того – обычно все сложные задачи сводятся к решению более простых, которые надо уметь заметить в сложной задаче. Поэтому без 100% уверенного понимания и умения применять данные из 7 класса не получится решить большинство задач по геометрии из старших классов и на итоговом экзамене по математике.

Помочь лучше разобраться и усвоить понятия геометрии поможет мой видео канал на Дзене, который называется «Понятное и достойное образование. Математика, физика, химия». В поиске название bestschool.

Его можно найти через любой поисковик в интернете, набрав мои имя и фамилию на русском «Игорь Казаринов». При этом вы также получите ссылки на мои сайты с различными статьями, касающимися обучения и ссылки на созданные мной группы в соцсетях – например, в Контакте. Некоторые ссылки есть в конце книги в отдельной главе.

Точка, прямая, луч. Определения, условные обозначения, хитрости

Точка

Точка в геометрии – это место в пространстве, которое не имеет никаких измерений – ни длины, ни толщины, ни ширины. Совершенно ничего, вообще никаких измерений. Само понятие точки – это условность. Потому что в природе не существует ничего, что не имеет размера, даже атом имеет какие-то размеры, хотя и очень маленькие, и мы не можем его увидеть. Вторая условность – это то, как точка изображается. Точка в геометрии изображается маленьким кружочком. Точки в геометрии принято обозначать большими латинскими буквами. Например «точка А, точка В (бэ)». Латинские буквы – это алфавит который принят в геометрии, в математике и физике, в точных науках. Как ни странно – в учебниках геометрии определение точки не дается!

Прямая

Ещё одно определение, которого нет в учебниках – это определение «прямой». Прямая рисуется тонкой линией, которая состоит из точек. Прямая – по словарю Ожегова – эта линия, подобная туго натянутой нити, которая продолжается до бесконечности в обе стороны. Можно сказать, что эта линия, которая идет до бесконечности в обе стороны и никуда на сворачивает. Эта линия состоит из точек и она тоже, как и точка, не имеет толщины. То есть это тоже условность, которая в природе не существует. Потому что никто не сможет назвать хоть что-то, что будет продолжаться в обе стороны до бесконечности и при этом никуда не будет сворачивать. То есть прямая – это условная линия, которую мы изучаем в геометрии, которая используется в геометрии, понятие, с помощью которого мы решаем какие-то задачи. Прямые обозначают двумя способами. Первый – это маленькая латинская буква, написанная рядом с линией прямой – например, «прямая a, прямая b».

Также прямую можно обозначить по двум каким-то точкам, которые на ней находятся. Например, на прямой есть точка K и точка N. Тогда эту прямую можно назвать прямой KN. Также эту прямую можно узнать прямой NK, потому что нет никакой разницы – в каком направлении мы двигаемся по прямой. Прямая в обе стороны бесконечна. (рис.2)

Если я поставлю на этой же прямой третью точку – точку M, то я смогу также эту прямую назвать по двум любым точкам из трёх – прямой NM, прямой MK, прямой MN, или даже любые другие комбинации любых двух точек, принадлежащих этой прямой. (рис.3) По трём точкам прямая никогда не называется – то есть я не могу сказать, что это прямая MNK!

Прямая всегда называется только по двум точкам. Нужно иметь ввиду, что иногда в задачах учеников пытаются немножко запутать и одну и ту же прямую обозначают по-разному – двумя парами разных букв. Внимательно смотрите на задачи! Смотрите на чертеж и обращайте внимание на то – о какой прямой говорится в задаче, то есть – если там говорится, что есть «прямая MK», потом говорится что-то про «прямую а», то имейте ввиду, что это может быть одна и та же прямая, названная по-разному!

Прямые на плоскости могут пересекаться и могут не пересекаться. Прямые, которые не пересекаются называются параллельными (от греческих слов «пара» – рядом, «аллелон» – оба. То есть обе идут рядом друг с другом).

Луч

Следующая условная фигура, о которой говорится в геометрии, называется луч. Луч также можно назвать полупрямой, и в некоторых учебниках он так и называется. Если мы поставим точку на прямой (назовём её, например, точка К) и уберём одну половину прямой, которая тянется с одной стороны от точки К до бесконечности, то оставшаяся вторая половина прямой с точкой К и будет называться «луч». То есть луч – это линия, которая идет от данной точки в одну сторону до бесконечности, не имеет толщины и никуда не сворачивает. Луч похож на прямую и он обозначается очень похоже – луч можно, как и прямую, обозначать одной маленькой латинской буквой. Это достаточно редкое обозначение, но оно встречается в учебнике; оно встречается и в задачах! Поэтому помните об этой возможности.

Также луч можно назвать по двум точкам, например: одна точка – это точка начала луча К и вторая точка – какая-нибудь точка дальше на луче, например точка М. Такой луч мы можем назвать «луч КМ».

Обратите внимание, что здесь есть отличие от прямой – порядок букв при названии луча очень важен: всегда первой называется буква для точки, которая находится в вершине луча. Название луча начинается обязательно с точки начала луча, а второй буквой в названии может быть любая другая буква, которая соответствует точке, находящейся дальше на луче.

Будьте также внимательными – один и тот же луч можно назвать двумя разными способами – одной маленькой буквой или двумя большими. И если первая буква может быть только одной – началом луча, то вторая может обозначать любую точку, лежащую дальше на луче. То есть если написано «луч h», «луч KM» и «луч KN», то это могут быть разные обозначения одного луча – это будет один и тот же луч.

В жизни существует кое-что очень похоже на луч в геометрии – это луч света или луч, который идет от солнца или от звезд. Луч света начинается на солнце и может продолжаться до бесконечности – пока не встретит какую-то преграду. Толщина солнечного луча тоже очень маленькая – можно сказать, что она никакая, потому что луч не состоит из каких-то частиц и не имеет массы.

Отрезок

Слово отрезок происходить от «резать». Отрезок – это часть прямой между двумя точками, когда по этим точкам отрезали бесконечные части прямой. Отрезок имеет точную длину. Обозначается отрезок двумя большими латинскими буквами, которые можно перечислять в любом порядке – например, АВ или ВА.

Два отрезка равны, когда равны их длины. Длина отрезков измеряется в единицах длины – метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. Отрезки состоят из точек и не имеют направления и толщины.

Угол

Углом в геометрии называется фигура из двух лучей, которые начинаются в одной точке. Эта точка называется «вершина угла». Существует несколько способов называть угол:

1) угол можно назвать по его вершине – одной большой латинской буквой, если из неё выходит только два луча и, значит, угол только один с таким названием. Например «угол О».

2) угол можно назвать по трём точкам – точке-вершине угла и двум точкам на его лучах. Тогда название состоит из трёх букв, и буква для вершины при этом всегда располагается в середине. Например: точка О – вершина, точки К и М лежат на лучах угла. Тогда угол можно назвать КОМ или МОК.

3) довольно редкий способ, но который тоже есть у учебниках и задачах – назвать угол по двум лучам, которые его образуют. Так как лучи можно – как и прямые – называть одной маленькой латинской буквой (например: луч t и луч h), то угол можно назвать «угол th».

Измерение величины углов

Углы могут быть разными по величине. Одной из величин для измерения углов является древняя величина «угловой градус». Слово «градус» по-гречески означает «шаг, ступенька». За 1 угловой градус в древности была принята величина угла, под которым мы видим Солнце и Луну. Поэтому в полном повороте вокруг себя не 100 и не 10 градусов (как было бы для десятичной системы, которую мы используем в расчётах), а 360 градусов. Поэтому в самом часто встречаемом в жизни угле – прямом угле (который можно увидеть в квадратах и прямоугольниках) – 90 градусов, а не 10 и не 100. Люди во всём мире привыкли использовать эту древнюю величину и часто не задумываются о её странностях. Можно вспомнить ещё одну древнюю величину – время, которое делится на часы, а час на 60 минут и 1 минута – на 60 секунд. Кстати, угол (как и час) делится тоже на минуты, которые называются «угловые минуты» – 1 градус делится на 60 минут, а 1 угловая минута – на 60 угловых секунд. Слово «минута» по-латински означает «меньшая», а «секунда» означает «вторая (меньшая)».

В градусах измеряют не только углы, есть градусы температуры, а также есть градусы крепости спиртных напитков – обе эти величины ничем не связаны с угловым градусом, кроме названия и идеи, что эти величины тоже могут быть больше или меньше.

Для измерения углов используют простой прибор – транспортир.

Его название имеет один корень со словом «транспорт» – транспорт перевозит (перемещает) нас или грузы из одного места в другое. Так же и транспортир помогает переносить угол из одного места, где его измерили – в другое, где его рисуют (строят) в точности такой же величины. Чтобы делать это успешно – нужно научиться пользоваться транспортиром правильно и аккуратно.

Прямые углы

Прямым углом называется угол, который образуют вертикальная и горизонтальная линии. Его величина равна 90 градусам. Прямой угол обозначается на рисунках особым образом – вместо дуги рядом с вершиной рисуют квадратик.

Прямые, которые пересекаются под прямым углом называются «перпендикулярными» и это кратко записывают с помощью специального значка, похожего на перевёрнутую букву Т:

Отрезок или линия, пересекающая другую под прямым углом, называется перпендикуляр.

Расстояние между точкой и прямой, а также между двумя параллельными прямыми измеряется по перпендикуляру, проведённому между ними, так как он будет самой короткой линией между ними. Например, расстояние от точки А до прямой a равно длине отрезка АН на рисунке:

(Слово перпендикуляр происходит от греческого «пер» – такой как, и «пенд» – висеть. Означает «такой, как отвес (древний очень простой прибор из верёвочки с грузиком, который всегда образует с поверхностью воды прямой угол и потому часто используется в строительстве для проверки вертикальности стен)»).

При решении задач и доказательствах параллельности двух прямых часто используется теорема о том, что если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны. Надо потренироваться замечать это свойство в разных задачах. Например, для прямоугольника ABCD на рисунке отрезки AB и CD будут параллельны, так они оба перпендикулярны отрезку BC (и также они перпендикулярны отрезку AD)

Углы острые, тупые, развёрнутые.

Острым углом называется угол, который больше 0, но меньше прямого угла, то есть менее 90 градусов.

Тупым углом называется угол, который по величине больше прямого, но меньше развёрнутого. То есть от 90 до 180 градусов.

Развёрнутый угол – когда лучи, его образующие выходят из вершины в точно противоположных направлениях. Он похож на раскрытую (развёрнутую) книгу. Его величина равна 180 градусов, и он состоит из двух прямых углов.

Углы смежные, вертикальные

Смежными углами называются два угла, у которых одна вершина, один луч – общий, а вторые лучи расходятся из вершины в строго противоположных направлениях и образуют развёрнутый угол – 180 градусов. То есть, сумма величин двух смежных углов равна 180 градусам.

Слово «смежный» происходит от старого слова «межа» – названия линии, разделяющей соседние («смежные» – лежащие рядом с одной межой) участки или полосы земли. Эту линию обычно делали в виде небольшой канавки. (См. фото)

Смежными также называют, например, помещения, которые разделены одной стеной – «смежные комнаты». Если между комнатами, например есть две стены, то это уже несмежные комнаты.

Углы вертикальные – образуются при пересечении двух прямых. «Вертикальный» означает «идущий точно вверх». Вертикальные углы расположены точно друг над другом от точки пересечения прямых. Две пересекающиеся прямые образуют две пары вертикальных углов. Хорошо видно, что углы в каждой паре в точности равны друг другу.

Углы односторонние, накрест лежащие, соответственные.

Если нарисовать две параллельные прямые и ещё одну прямую, которая их пересекает («секущую»), то легко можно заметить, что некоторые углы, образованные в точках пересечения будут одинаковыми. В геометрии всем таким углам были даны специальные названия, которые встречаются в задачах и в разных доказательствах, связанных с параллельностью прямых или других параллельных линий на рисунке.

Накрест лежащие углы и соответственные углы, которые образуются при пересечении параллельных прямых секущей должны быть равны.

А односторонние углы, которые лежат с одной стороны от секущей должны в сумме давать 180 градусов.

Посмотрите внимательно на названия углов и потренируйтесь их называть сами, пока не будете называть эти углы уверено.

Треугольники.

Треугольник – самая простая фигура из прямых линий. Он состоит из трёх отрезков, которые образуют стороны треугольника, трёх вершин и трёх углов. Любую фигуру, состоящую из отрезков с большим количеством углов, можно разделить на несколько треугольников. Зная свойства треугольника, можно узнать свойства любой такой фигуры. Именно поэтому различные свойства треугольников изучаются так подробно и их надо знать очень уверенно.

По виду делятся на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то в треугольнике может быть только один прямой или тупой угол. Тогда остальные два угла обязательно острые. В остроугольном треугольнике все три угла острые.

Особенным треугольником является равнобедренный. В равнобедренном треугольнике две стороны одинаковы и его обычно рисуют так, что одинаковые стороны расположены по бокам – как расставленные ноги. Их называют «боковыми» – и так называют только стороны в равнобедренном треугольнике. Третью сторону в равнобедренном треугольнике называют «основание», хотя в других видах треугольников основанием могут назвать любую сторону, которая обычно нарисована внизу, или к которой провели высоту.

У равнобедренного треугольника есть ещё парочка интересных свойств, которые надо запомнить и уметь применять в задачах. Первое – углы при основании равнобедренного треугольника равны. Про второе свойство будет написано чуть позже.

Особой разновидностью равнобедренного треугольника является равносторонний треугольник, у которого все три стороны одинаковые. У него все углы одинаковы и равны 60 градусам.

Теоремы о признаках равенства треугольников

Для решения многих задач по геометрии нужно хорошо знать и уметь применять признаки равенства треугольников:

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона и наоборот. То есть – чем больше угол, тем длиннее сторона, которая лежит напротив него.

Верно также «неравенство треугольника» – правило, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. То есть не может быть треугольника со сторонами 2, 4 и 8. Отрезки 2 см и 4 см не соединятся, если будут находиться на концах отрезка длиной 8 см. Это правило можно использовать для быстрой проверки правильности решения задачи – если у вас получилось, что одна из сторон длиннее суммы двух других, то это ошибка.

Медиана треугольника. Определение, построение, обозначение, свойства

Медиана – это линия, проведённая из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Медиана по-гречески означает «средняя». Обозначается середина стороны точкой, а отрезки помечаются одинаковыми штрихами, что означает, что их длина одинакова. Так можно отличать медиану от других линий.

Медианы пересекаются в одной точке внутри треугольника. Значит, если мы знаем, точку пересечения двух медиан, то третью можно провести через эту точку. Интересным свойством этой точки является то, что она делит каждую из медиан в отношении 2 к 1.

Также медиана делит треугольник на два одинаковых по площади.

Полезно самостоятельно построить медианы в разных треугольниках – остроугольном, прямоугольном и тупоугольном. Измерить их длины до и после точки пересечения и проверить их соотношения.

Биссектриса. Определение, условное обозначение, свойства, применение

Биссектриса – линия, которая делит угол пополам. Происходит то греческих слов «бис» – дважды и «сек» – рассекать. «Рассекающая надвое». Условное обозначение для биссектрисы – одинаковые дуги на половинках угла.

1) биссектриса равноудалена от сторон угла, то есть каждая её точка находится на одинаковом расстоянии от сторон угла,

2) точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех трёх сторон треугольника и, значит, она будет центром вписанной окружности,

3) точка пересечения биссектрисы с противоположной стороной делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам:

Высота. Определение, условное обозначение, использование,

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый от вершины к противоположной стороне треугольника или к прямой, продолжающей сторону (если треугольник тупоугольный).

Высота обозначается как прямой угол – маленьким квадратиком в месте пересечения с противоположной стороной.

 
– В остроугольном треугольнике высоты пересекаются внутри треугольника; в тупоугольном – вне треугольника; в прямоугольном – в вершине прямого угла.
– В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами.
– В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
– В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
– В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
– В равностороннем треугольнике все высоты являются медианами и биссектрисами.
 

Постройте для себя рисунки, которые покажут наглядно каждое из свойств высот, написанных выше.

– высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, будет также и биссектрисой и медианой. То есть это «три в одном», на самом деле даже «четыре в одном» так как они будут ещё и срединным перпендикуляром. (Подробнее об этих линиях позже).