Текст книги "ДУАЛИЗМ – иллюзия или реальность?"

Евклидова геометрия и геометрия Лобачевского – геометрические системы описания пространства

Точка, координата, линия, плоскость, фигура, объём, зеркальность и отражение, пространственные структуры и отношения – это предмет изучения геометрии, раздела математики. Геометрия возникла в Древней Греции и впервые была описана в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Понятие о координате точки и о системе координат легли в основу идентификации точки, определения положения и перемещения точки или тела с помощью чисел или других величин и символов. Координата точки – это совокупность чисел, определяющих положение точки на плоскости и в пространстве. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением и построением фигур и объектов на плоскости или поверхности, привели к созданию начертательной геометрии. Существует декартова прямоугольная система координат – прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве и с одинаковым масштабом по осям – и сферическая система координат, где начало координат находится в центре сферы, используемая в географии и астрономии. Коренные изменения в развитии геометрии связаны с работой Лобачевского1212
  Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) – выдающийся русский математик, один из создателей неевклидовой геометрии, автор статей по алгебре, теории вероятностей, механике, физике, астрономии и организации образования.


[Закрыть] 1829 года, который отказался от аксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию.

Пример аксиомы из евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского1313
  Геометрия Лобачевского – одна из неевклидовых геометрий, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется её отрицанием.


[Закрыть] о параллельных прямых:

1. Две параллельные никогда не пересекаются1414
  Аксиома, эквивалентная аксиоме о параллельных прямых, входила в список постулатов в «Началах» Евклида. Это пятый постулат в классическом издании «Начал» Гейберга. Поэтому в течение двух тысячелетий не прекращались попытки исключить пятый постулат из списка аксиом и вывести как теорему. Все эти попытки окончились неудачей. Несмотря на отрицательный результат, эти поиски привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной.


[Закрыть].

2. Пересекаются в бесконечно удалённой точке.

Обе теории логически абсолютно безупречные и стройные. Геометрия Лобачевского так же непротиворечива и полноценна, как непротиворечива евклидова.

То есть прямые могут обе находиться в одной и той же точке и могут быть на максимальном бесконечном расстоянии друг от друга.

В чем тогда особенность и разница отражённого сигнала от его источника?

В индивидуальной координате!

В этом разница. В остальном они похожи.

Рис. 3

Лобачевский так передал особенности строения и восприятия в своей и евклидовой геометрии: «В этом пространном виде дал я науке название Воображаемой Геометрии, где как частный случай входит Употребительная Геометрия»1515
  Лобачевский Н. И. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. М.: Гостехиздат, 1956. С. 61—62.


[Закрыть]. История развития евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского напоминает путь и взаимодействие классической механики и квантовой. В этих двух системах геометрии разница только в пятом постулате, все остальные аксиомы и постулаты – общие и называются абсолютной геометрией. Квантовая механика также не опирается исключительно на свою собственную систему понятий и принципов, она использует представления классического пространства-времени и классической механики. Об этом очень хорошо сказано в «Квантовой механике» Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица: «…Квантовая механика занимает очень своеобразное положение в ряду физических теорий – она содержит классическую механику как свой предельный случай и в то же время нуждается в этом предельном случае для самого своего обоснования»1616
  Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1963.


[Закрыть].

Сферическая геометрия, в том числе эллиптическая геометрия Римана – ещё виды неевклидовой геометрии. Геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. Как и евклидова, геометрия Римана и геометрия Лобачевского относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны, их ещё называют три «великих геометрии». Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, отрицательная – геометрии Лобачевского, положительная – сферической. Простейшие аналоги – зеркало – плоское, вогнутое и выпуклое. Отражение объекта или окружающего мира получается разным, но это один единый объект, отличаются только способы его описания и восприятия.

Сферическая геометрия – это геометрическая система и математическая дисциплина, изучающая геометрические образы (точки, линии, фигуры), находящиеся на сфере, и соотношения между ними. Все параллельные линии пересекаются (см. рис.3). Многие положения геометрии на плоскости справедливы и на сфере, но, в отличие от плоскости, две сферические прямые пересекаются в двух диаметрально противоположных точках, прямыми на сфере считаются большие окружности, при этом сферическая прямая замкнута, т. е. двигаясь по ней в одном и том же направлении, мы вернемся в исходную точку.

Если поверхность сферы – экрана для проекции окружающего мира находится близко от наблюдателя, находящегося внутри её, то она воспринимается сферической, а если внутреннюю поверхность удалить достаточно далеко так, что можно увидеть только часть, фрагмент или сегмент поверхности сферы, то он будет восприниматься как плоскость. Если объект близко, то отразить его целиком можно только сферу, спроецировать на сферический экран, а если далеко – то это можно описать как обычную проекцию на плоскость. В чём нюанс оптики и проекции. Дальний план можно отразить в прямой линейной перспективе, а ближний – в сферической или обратной, при этом неизбежные ошибки и искажения в передаче высоты, ширины и глубины пространства, сжатия и трансформации не будут значимы. Если наблюдатель находится с внешней стороны сферы, то при удалении от неё она будет уменьшаться до размера точки, а при приближении к выпуклой сферической поверхности воспринимаемый фрагмент сферы будет близок к плоскости, и его можно описать методами евклидовой геометрии.

Вспомним «начерталку» – начертательную геометрию. Начертательная геометрия является теорией изображений, основой геометрического моделирования, способом отображения n-мерного пространства в другой мерности на различные поверхности: плоскость, цилиндр, сферу или другие поверхности. Самая экзотическая проекция была на сферический экран. Это когда подходишь к объекту очень близко и весь его не видишь; чтобы построить более или менее чётко и правильно, без существенного искажения проекцию на плоскость, построение идёт через сферу, как отражение. Сферическая перспектива создаёт изображение трёхмерного пространства на сферической поверхности, а не на плоской, она выражает геометрию пространства, сохраняя его целостность, без разрывов в нём, сворачивая и разворачивая пространство из одной точки. В построении линейной перспективы может быть использована одна, две, три точки схода, в сферической – одна, при этом глаза наблюдателя всегда находятся в центре отражения на сфере, это центр проекции.

Зная координаты точки и точек, можно представить и построить любой трёхмерный объект по этим точкам на плоскость или поверхность: послойно, сечениями и/или видами со всех сторон отразить его внешний вид с любой точки зрения наблюдателя. Особый интерес представляет изображение объекта и окружающего мира в перспективе, максимально наглядное и дающее о них цельное представление. Пространственные формы можно изображать не только на плоской, но и на какой-либо другой поверхности, например цилиндрической или сферической, что изучается в специальных отделах начертательной геометрии. Но при этом объект един, а проекций его может быть бесчисленное множество. И эти проекции не есть проявление дуальности, это просто способ описания и проявления объекта в нашем сознании, на материальных и цифровых носителях.

Просто перечислю виды проекций и способов построения перспективы, наиболее часто используемых: прямая линейная перспектива (с одним фокусом, двумя или тремя точками схода), перспектива на наклонной плоскости, обратная линейная перспектива (inverted perspective), панорамная перспектива (на цилиндрический экран), сферическая перспектива, перцептивная перспектива (чувственная, умозрительная, интуитивная и субъективная) и др. Все проекции подчиняются определённым закономерностям, имеющим чисто математическое значение и алгоритмы построения. Некоторые наиболее полно отвечают свойствам зрения человека и особенностям восприятия, каждая имеет свои сильные стороны визуализации объекта и искажения. Все виды геометрической перспективы имеют строгое математическое описание и математически равноценны.

Перспектива – система изображения предметов трёхмерного пространства на плоскости или иной поверхности в соответствии со зрительным восприятием человека, законами оптики и геометрии, с учётом их пространственной структуры и кажущимся изменением объектов по мере их удаления от наблюдателя в пространстве. Уменьшение размеров тел при их удалении от наблюдателя является обманом зрения, традиционным для нашего обыденного восприятия. Можно сказать, что перспектива создаёт иллюзию трёхмерности, удалённости и расстояния, ощущение пространства, в том числе и бесконечности пространства. Изображение себя в зеркале, например, мы всегда видим в перспективе, и отражённое изображение кажется тем меньше, чем больше расстояние до зеркала. Но таково восприятие объекта в пространстве, на самом деле размер изображения в зеркале полностью соответствует и равен оригиналу и расположен от поверхности зеркала на том же расстоянии. Часто объект, его формы и пропорции, изображённые в перспективе, кажутся совершенно нереальными. Надо понимать, что создаваемое и воспринимаемое изображение не что иное, как обман зрения – оптическая иллюзия. Перспектива – это способ построения объектов, форм и пространства такими, какими они воспринимаются из одной точки. Для построения изображения выбирается точка зрения наблюдателя – центр проекции. В линейной перспективе одинаковые по размерам предметы по мере удаления их от наблюдателя становятся меньше, а в обратной больше. Следовательно, единица длины заданного в реальности линейного масштаба является на перспективном изображении переменной величиной.

Рис. 4

Одним из приближённых способов построения панорамной перспективы является замена плоскостными построениями на участках кривой цилиндрической поверхности. С этой целью около поверхности цилиндра строится правильная прямая призма, и панорама строится на отдельных гранях призмы по частям по общим правилам перспективы. В результате получится столько отдельных вертикальных картинных плоскостей, сколько граней у призмы. При этом на рёбрах призмы появятся погрешности, нестыковки смежных изображений, а развёртка призмы по длине не совпадает с развёрткой полного цилиндра панорамы. Эти неувязки будут тем меньше, чем большим будет число граней призмы, ломанные линии на панораме можно сгладить, заменить плавной кривой. Каждая грань имеет общий горизонт, свою центральную точку и свои точки схода для отражаемых прямых.

Остановимся только на одном виде перспективы – проекция на сферический экран. Сферические искажения можно наблюдать на сферических зеркальных поверхностях (см. рис. 4). В этой перспективе глаза зрителя всегда находятся в центре отражения на шаре. Это позиция главной точки, которая реально не привязана ни к уровню горизонта, ни к главной вертикали. При изображении предметов в сферической перспективе все линии глубины будут иметь точку схода в одной главной точке и будут оставаться строго прямыми. Все точки схода сливаются в одну. Также строго прямыми останутся главная вертикаль и линия горизонта. Все остальные линии по мере удаления от главной точки будут всё более и более изгибаться, трансформируясь наконец в окружность. Каждая линия, не проходящая через центр, будучи продлённой, является окружностью, отражённой на плоскости в проекции эллипса или его части.

Идеальным оптическим прибором является глазное яблоко – сферическое зеркало.

В настоящее время подобные проекции широко используются в создании сферического дисплея, способного демонстрировать трёхмерные объекты, видимые под любым углом, и в построении сферического экрана, обеспечивающего проекцию 360°.

Есть ли дуальность в балансе?

Несколько слов о балансе и разбалансировке. Дуальность – это разбалансировка, а не баланс. Двойное отражение единого объекта (баланс) или двойная запись любого действия объекта (метод двойной записи) не есть дуализм. Объект один и един, и действие – связь, приведшая к его возникновению или его изменению – рассматривается целиком, как одно и единое, но с двух сторон. Сторонники дуализма часто оперируют словом «разбалансировка» («дисбаланс») и пытаются найти её в себе или в другом (скажем, во время сеанса психотерапии), выявить или создать и… исправить, побороть, улучшить. Они рассуждают так: «Если две противоположности в равных частях – это баланс системы. Если не в равных – это дисбаланс, надо исправлять».

Определение баланса в его классической форме и балансовый метод являются аксиомой, постулатом, применяемым к описанию всех объектов реальности и их групп. Любой баланс состоит из численно равных Актива и Пассива. Если Актив не равен Пассиву, то перед нами вовсе не баланс. С фундаментальной точки зрения разбалансировки нет в принципе и быть не может. Если у наблюдателя возникает дисбаланс – это просто ошибка, или сознательное искажение, или невежество.

Баланс – это равенство двух способов отражения и описания ОДНОГО объекта, условно названных Актив и Пассив. То есть к понятию «баланс» слово «если» неприменимо, не относится никогда. Если одна часть баланса не равна другой – это всегда ошибка в вычислениях или в отражении. Поэтому дисбаланса не может быть по определению, так как баланс ЕСТЬ ВСЕГДА относительно любого объекта или любой системы, независимо от их простоты или сложности.

Определение баланса можно сформулировать через понимание зеркала и зеркальности, через терминологию отражения. Баланс всегда рассматривает один источник или объект реальности, независимо от его сложности или совокупности объектов учёта.

Баланс – это отражение единого источника с двух сторон: с одной стороны – в виде способа его формирования (Пассив), а с другой стороны – в виде способа его проявления и расположения (Актив), которые равны.

Для финансового (бухгалтерского) баланса можно сформулировать определение так: баланс – это численное равенство Актива и Пассива организации, где Пассив показывает (отражает) источники формирования финансирования организации (откуда и от кого и на каких условиях получены или возникли источники), а Актив показывает (отражает), куда эти источники направляются.

Объект равен своему значению, отражённому в Пассиве через формирование источника, а в Активе через проявление источника.

В Мире всё в балансе: вопрос и ответ, задача и решение, желание и потребности существуют одновременно.

Действия, связанные с изменением или перемещением источника, описываются методом двойной записи. Можно сказать, что действие – это вектор, а метод двойной записи, следовательно, фиксирует начало и конец этого вектора, содержит описание операции или действия (величины и направления движения), которое он символизирует. Вектор (лат. vector – несущий) – это математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Вектор однозначно задаётся набором своих координат. Начало и конец вектора точно соотносятся с понятиями Дебет и Кредит, используемыми в методе двойной записи. Вектор имеет начало и конец (координаты), задающие его направление и величину, поддающуюся измерению.

Таким образом, балансовый метод двойной записи – это описание вектора, связанного с движением источника: определение величины и направления движения источника с фиксацией его координат – начала и конца вектора, названных Дебет и Кредит.

В бухгалтерском (финансовом) учёте такая запись называется транзакцией.

Баланс – всегда статика, это информационное отражение объекта на конкретный момент времени. Динамика – это вектор движения объекта. Для статики и динамики используется двоичное описание состояния объекта и его движения. Но это не является дуальностью, так как движение рассматривается как один (единый) процесс. Фиксируются две стороны действия или сигнала – начало и конец вектора, условно названные для составления записи Дебет и Кредит. И для каждой стороны направление вектора является зеркальным относительно другой стороны, просто Дебет и Кредит меняются местами, но вектор один и тот же. Таким образом, баланс всегда отражает позицию наблюдателя. Можно сказать по аналогии, используя терминологию квантовой механики, что баланс – это редукция или коллапс волновой функции. Под волновой функцией в данном случае понимается движение или изменение наблюдаемого (описываемого) объекта. Если наблюдателей два – один на одном конце вектора перемещения объекта наблюдения, а другой – на другом конце, баланс можно будет составить для каждого из них по этому движению (связи), которое едино для объекта наблюдения и его наблюдателей. Оба этих баланса по данной операции или процессу будут зеркальны и равны в стоимостном (информационном) отражении для каждого наблюдателя, просто Актив и Пассив для каждой стороны будет представлен зеркально. То, что для одного наблюдателя Актив, для другого участника движения – Пассив. Эти стороны можно назвать по-разному, но если один наблюдатель должен другому, то по балансу каждого наблюдателя это обязательство отражено зеркально и равно. Это не дуальность и не противоположность. Это равенство, это одно и то же обязательство. Традиционно для обозначения Актива и Пассива баланса используются термины «источник» и «обязательства». Причём их можно применить зеркально, и любую сторону баланса назвать источником или обязательством и наоборот, это зависит от наблюдателя. Например, в бухгалтерском (финансовом) учёте принято говорить, что пассивы – это источники образования (возникновения или изменения) имущества, которые показывают, откуда, от кого и на каких условиях получено имущество. Эти источники можно разделить, например, на собственные, безвозмездно полученные или заёмные. Но такая градация – это творческое дело наблюдателя, который для описания состояния источника (объекта реальности) создаёт собственную систему (единицы измерения и язык) описания.

В терминологии и трактовке баланса можно встретить две такие разные формулировки. Но источник один, всегда один по определению и отражён по двум сторонам. Поэтому вышенаписанное логичнее сформулировать через понятия «отражение» и «зеркало». С одной стороны, объект или источник отражён с позиции его формирования (Пассив), а с другой – его нахождения и проявления (Актив).

Пример. Рассмотрим объект стоимостью единица – 1 у. е. Купили или получили его в дар – не принципиально. Если баланс составлен грамотно и Актив равен 1 и Пассив равен 1 – означает ли это дуальность? Нет. Так как нет противопоставления и вычитания. Сколько стоит объект, относительно которого составлен баланс?

Актив плюс Пассив? Сложим Актив и Пассив: 1 +1 = 2. Нет. Ответ неверный. А теперь вычтем Актив из Пассива или наоборот, не принципиально. Сколько стоит объект: 1 – 1 = 0? Его стоимость якобы ноль. Но это же не так. Правильный ответ: объект стоит 1. Две стороны баланса с двух сторон отражают один объект учёта, но стоит он всё равно единицу, с какой стороны ни глянь – всегда будет равенство 1 = 1. А «равно» – это просто условная граница между частями баланса, её можно назвать зеркалом. Актив не борется с Пассивом, не уничтожает его и не отрицает. Он просто ему равен и отражает один, единый объект. В балансе нет дуальности. Если баланс 0, то объекта просто нет в стоимостном выражении.

Продолжим рассматривать наш пример. Конкретизируем, опишем сделку, в результате которой появился этот объект. Куплен товар, за него должны деньги. Товар на складе – это один объект. Это отражено как актив. А деньги за его оплату – долг поставщику – это источник формирования этого Актива, это Пассив. Разумеется, они равны. Товар стоит 1 у. е., и долг тоже 1 у. е. Здесь нет дуализма и отрицания. Глупо же не признавать свои долги за полученный актив? И сделка одна, операция одна. А описана она методом двойной записи. Вы можете мне возразить: не обязательно же возникает долг. Например, эту вещь подарили, а не продали. Долга нет, и вроде бы возникает дисбаланс. Нет дисбаланса. По пассиву будет доход. Или увлечение собственного капитала. Это просто терминология и словесное описание. Но Пассив никуда не делся и не исчез и не дуален. Этот доход можно отразить как дарение от близкого родственника или нет. Либо это благотворительный взнос, либо наследство. От квалификации дохода, например, могут возникнуть налоги. Для нас это будет просто детализация Пассива, информация для изучения, анализа и размышления для следующих действий. Не важно, что явилось источником Актива и как его обозначить и назвать, – важно, что Пассив всегда есть, если есть Актив, и равен ему.