Текст книги "О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний"

Вернемся к задаче определения Бога как всего того, что мы не можем познать. Теория хаоса утверждает, что узнать будущее некоторых систем уравнений невозможно, так как они слишком чувствительны к малым неточностям. В прошлом боги не были сверхъестественным разумом, существующим вне системы; они были реками, ветром, огнем, лавой – то есть тем, что нельзя было предсказать или покорить. Тем, в чем существует хаос. Математика XX в. показала, что эти древние боги по-прежнему с нами. Существуют природные явления, которые никогда не будут укрощены и познаны. Теория хаоса предполагает, что наше будущее во многих случаях непознаваемо из-за его зависимости от мельчайших подробностей положения вещей в настоящем. Поскольку мы не можем получить полного знания настоящего, теория хаоса не позволяет нам познать будущее. По меньшей мере до тех пор, пока это будущее не станет настоящим.

Это не значит, что все аспекты будущего непознаваемы. Очень часто мы оказываемся в нехаотических областях, в которых малые флуктуации не оказывают большого влияния на результат. Именно поэтому математика смогла стать таким могущественным средством предсказания и планирования. В таких случаях мы знаем будущее. Но в других ситуациях получить такое знание мы не можем, хотя это неизвестное будущее в какой-то момент несомненно повлияет на нашу жизнь.

Интересно отметить, что некоторые богословы, разбирающиеся в науке и пытающиеся сформулировать научные объяснения возможности деятельности сверхъестественного разума в нашем мире, пытались представить тот пробел, который создает хаос, местом существования такого разума, влияющего на будущее.

Один из таких религиозных исследователей – это занимающийся квантовой физикой теоретик Джон Полкинхорн. Этот ученый, работающий в Кембридже, являет собой редкий пример разума, сочетающего строгость естественнонаучного образования с несколькими годами обучения на христианского священника. Мы еще встретимся с Полкинхорном на третьем «рубеже», когда будем рассматривать непознаваемость, присущую области его работы – квантовой физике. Но его также интересует тот создаваемый математикой хаоса пробел в знании, который дает его Богу возможность влиять на будущее человечества.

Полкинхорн предположил, что именно при помощи неопределенностей, заложенных в теории хаоса, сверхъестественный разум может действовать, не нарушая законов физики. Теория хаоса утверждает, что мы никогда не сможем знать начальные условия с точностью, достаточной для использования детерминистических уравнений, что позволяет существовать представлению Полкинхорна о божественном вмешательстве, которое подстраивает явления так, чтобы они оставались в соответствии с нашими частичными знаниями, но в то же время оказывает влияние на их результаты.

Полкинхорн неизменно подчеркивает, что применение таких предельно малых данных для осуществления каких-либо изменений требует абсолютно всеобъемлющего вмешательства свыше. Речь должна идти не о «Боге в деталях», а о Боге всеведущем. Поскольку теория хаоса утверждает, что даже положение одного электрона на другом конце Вселенной может оказать влияние на всю систему, то, чтобы управлять происходящим, необходимо располагать полным, всеобъемлющим знанием всей этой системы – то есть всей Вселенной. Нельзя выделить часть Вселенной и пытаться делать предсказания на основе этой части. Поэтому использование такой трещины в том, что нам неизвестно, требует знания всего целого.

Теория хаоса детерминистична, так что это не попытка использовать случайность, присущую, например, квантовой физике, в качестве средства влияния на результаты. По мнению Полкинхорна, способ решения задачи квадратуры круга детерминизма и оказания влияния на систему состоит в использовании зазора между эпистемологией и онтологией, между тем, что мы знаем, и тем, что соответствует истине. Раз мы не можем получить полное описание состояния Вселенной на данный момент, то, с нашей точки зрения, детерминированности нет. Есть множество разных сценариев, совпадающих с нашим объективным описанием того, что мы сейчас знаем об устройстве Вселенной. Полкинхорн считает, что это дает Богу возможность вмешиваться в любой точке времени, перекидывая систему из любого сценария в любой другой, причем мы остаемся в неведении относительно таких перемещений. Но, как мы уже видели, теория хаоса утверждает, что такие малые перемещения могут приводить к огромным изменениям результатов. При этом Полкинхорн старательно подчеркивает, что переходы между системами допустимы, если речь идет только об изменениях информации, а не энергии. Правила запрещают нарушать законы физики. Как говорит сам Полкинхорн: «Ни смена времен года, ни чередование дня и ночи отброшены не будут».

Даже если вы находите такую идею чересчур замысловатой (как нахожу ее я), сходный принцип, возможно, лежит в основе нашего ощущения воздействия мира. Вопрос свободы воли тесно связан с вопросами философии редукционизма. Свобода воли в большинстве случаев описывает невозможность какого-либо значимого сведения к атомистической картине мира. Поэтому создание системы, в которой мы обладаем свободой воли, кажется логичным, так как на уровне взаимодействия человека со Вселенной она представляется именно свободной. Если бы устройство мира было столь очевидно детерминистическим, допускающим лишь малые вариации при неощутимых изменениях, мы не считали бы, что обладаем свободой воли.

Замечательно, что тот самый Ньютон, который внушил нам веру в детерминистическую Вселенную с часовым механизмом, также полагал, что в его уравнениях найдется место для божественного вмешательства. Он писал о своей вере в то, что время от времени, когда развитие событий кажется отклоняющимся от верного курса, Бог бывает вынужден заново запускать Вселенную. Это вовлекло его в яростный спор с немецким соперником, математиком Готфридом Лейбницем, который не понимал, почему бы Бог не мог с самого начала устроить все наиболее совершенным образом:

Сэр Исаак Ньютон и его последователи придерживаются также весьма странного мнения о роли Бога. Согласно их доктрине, Господь Всемогущий должен время от времени заводить свои часы – иначе они перестанут ходить. По-видимому, его предусмотрительности не хватило на то, чтобы сделать их движение вечным.

Ньютон и его математика дали мне ощущение того, что я могу познать будущее, не ожидая, пока оно станет настоящим. То, сколько раз я слышал цитату из Лапласа о возможности познания всего благодаря уравнениям движения, свидетельствует о широко распространенной среди ученых уверенности в теоретической возможности познания Вселенной.

Математика XX в. обнаружила, что теория не всегда может быть реализована на практике. Даже если и справедливо утверждение Лапласа о том, что полное знание современного состояния Вселенной в сочетании с математическими уравнениями может привести к полному познанию будущего, мы никогда не сможем получить такого полного знания. Шокирующее открытие теории хаоса XX в. состоит в том, что даже приближение к такому знанию нам не поможет. Расходящиеся траектории хаотического бильярда означают, что, поскольку мы не можем узнать, на какой из траекторий находимся, наше будущее так и останется непредсказуемым.

Теория хаоса утверждает, что существуют вещи, которые мы никогда не сможем познать. Та самая математика, от которой я так надеялся получить полное знание, привела к прямо противоположному результату. Но положение не вполне безнадежно. Во многих случаях уравнения нечувствительны к малым изменениям и, следовательно, позволяют предсказывать будущее. В конце концов, именно так нам удалось посадить космический аппарат на пролетающую мимо комету. И не только: как показывает работа Боба Мэя, математика даже может помочь нам узнать, чего именно мы не можем узнать.

Но одно открытие, сделанное в конце XX в., поставило под вопрос даже и основополагающее положение Лапласа о теоретической предсказуемости будущего. В начале 1990-х гг. аспирант по имени Ся Чжихун доказал, что пять планет можно расположить таким образом, что, когда они будут отпущены, гравитационное притяжение вынудит одну из планет вылететь из системы и достичь бесконечной скорости за конечное время[31]31
  Annals of Mathematics 135, 1992: 411–468.


[Закрыть]. Хотя никакого столкновения планет не происходит, уравнения неизбежно предсказывают результаты, катастрофические для обитателей такой несчастливой планеты. Того, что происходит после этого момента, уравнения предсказать не могут.

Открытие Ся оспаривает мнение Лапласа о том, что уравнения Ньютона предполагают возможность познания будущего при наличии полного знания настоящего, на самом фундаментальном уровне, потому что даже уравнения Ньютона не могут предсказать, что случится с этой несчастной планетой после того, как она достигнет бесконечной скорости. Теория достигает в этом месте сингулярности, и никакие дальнейшие предсказания не имеют смысла. Как мы увидим на следующих «рубежах», соображения теории относительности ограничивают физическое осуществление такой сингулярности, так как несчастная планета в конце концов достигнет скорости света в вакууме, на которой, как было показано, теория Ньютона является лишь приближенным представлением реальности. И тем не менее этот пример показывает, что для познания будущего одних уравнений недостаточно.

Интересно послушать, что говорил Лаплас на смертном одре. Видя, как его собственная сингулярность приближается к нему, оставляя ему лишь ограниченное время, он тоже признал: «То, что мы знаем, невелико, а то, чего мы не знаем, огромно»[32]32
  Ce que nous connaissons est peu de chose, ce que nous ignorons est immense. Широко распространенный русский перевод этой цитаты – «То, что мы знаем, – ограничено, а то, чего мы не знаем, – бесконечно» – не точен. Лаплас ничего не говорит об ограниченности и неограниченности.


[Закрыть]. ХХ век показал, что даже если мы узнаем многое, размеры того, чего мы не знаем, останутся огромными.

Оказывается, однако, что непознаваемо не только внешнее поведение планет и игральных костей. Более глубокое внутреннее исследование моей кости из казино порождает новые сомнения в существовании детерминистической Вселенной с часовым механизмом, в которую верил Лаплас. Когда ученые заглянули внутрь игральной кости, чтобы понять, из чего она состоит, они обнаружили, что знание положений и перемещений частиц, составляющих такую кость, невозможно даже теоретически. Как мы увидим на двух следующих «рубежах», даже поведение самих частиц, образующих мою красную игральную кость из Лас-Вегаса, может управляться игрой случая.

Рубеж второй: Виолончель

3

Всякий принимает пределы своего собственного поля зрения за пределы мира.

Артур Шопенгауэр

Когда я начинал учиться в средней школе, наш учитель музыки спросил, хочет ли кто-нибудь из класса научиться играть на музыкальном инструменте. Руки подняли мы трое. Учитель подвел нас к шкафу, чтобы показать, какие инструменты можно выбрать. В совершенно пустом шкафу лежали стопкой три трубы.

– Судя по всему, вы будете учиться играть на трубе.

Я не жалею о своем выборе (хотя никакого выбора и не было). Я отлично провел время, играя в городском оркестре и дурачась в группе медных духовых оркестра графства, пока мы отсчитывали такты паузы. Но все-таки я немножко завидовал струнным: казалось, что они играли все время и именно им доставались лучшие мелодии. Несколько лет назад меня спросили в интервью на радио, на каком новом музыкальном инструменте я хотел бы научиться играть, будь у меня такая возможность, и какое произведение я бы хотел сыграть на нем.

– На виолончели. Сюиты Баха.

Этот вопрос продолжал меня преследовать и после интервью: могу ли я научиться играть эти прекрасные сюиты для виолончели? Может быть, осваивать новый инструмент было уже слишком поздно, но мне нужно было это узнать. И я купил себе виолончель.

Сейчас, когда я пишу о попытках предсказать результат броска игральной кости, виолончель стоит у меня за спиной. Когда мне нужно отвлечься от анализа уравнений, которые управляют поведением красного кубика, лежащего у меня на столе, я начинаю мучить одну из джиг из первой сюиты для виолончели. Я чувствую, как Бах переворачивается в гробу, но мне это занятие нравится.

Одна из увлекательных возможностей игры на виолончели заключается в скользящем движении пальца вверх по струне для получения непрерывного глиссандо разных нот. На трубе такого не сделаешь – это инструмент отдельных нот, соответствующих разным комбинациям нажатых клапанов. Оказывается, что борьба между непрерывным глиссандо виолончели и дискретными нотами трубы тоже имеет отношение к моим попыткам предсказать поведение игральной кости.

Чтобы предсказать, как может упасть кость, нужно знать, из чего она сделана. Если плотность ацетатного пластика в одном из углов кубика выше, чем в других, то одна из сторон будет выпадать чаще других. Поэтому, чтобы попытаться применить законы Ньютона к летящей в воздухе кости, нужно знать, как она сделана. Непрерывна ли ее структура, или же, если присмотреться, она собрана из отдельных деталей?

Если я смирюсь с пределами моего зрения в соответствии с цитатой из Шопенгауэра, приведенной в начале этого «рубежа», то я увижу только сплошной красный ацетат, из которого сделана кость. Однако при помощи оптического микроскопа я могу увеличить кость в 1500 раз, до размеров большого здания. Заглянув внутрь такой огромной кости, я по-прежнему мало что узнаю о тайнах ее строения. Все по-прежнему выглядит довольно гладким и непрерывным.

Микроскопы, использующие различные части электромагнитного спектра, появившиеся в XX в., позволили ученым получать изображения с увеличением, в 1000 раз большим. Теперь моя игральная кость простирается от одного конца Лондона до другого. И на этом уровне увеличения она выглядит более зернистой. На смену ощущению непрерывной структуры приходит нечто более дискретное. Современные электронные микроскопы позволяют увеличить изображение еще в 10 раз, и тогда я смогу различать атомы углерода и водорода, которые, как мне известно, составляют часть ингредиентов ацетатного пластика, из которого изготовлена моя кость.

Интересно, что ученые сформулировали атомарное представление о строении материи задолго до того, как у меня появилась возможность увидеть эти атомы под электронным микроскопом в лаборатории, расположенной через дорогу от моей кафедры математики. И именно сочетание математической и теоретической точек зрения с физическим видением мира дает лучшие средства познания того, из чего сделана эта кость.

Однако атомы, в том числе водорода, кислорода и углерода, оказались не столь атомарными[33]33
  Слово «атом» происходит от греческого ἄτομος, т. е. «неразрезаемый, неделимый».


[Закрыть], как предполагает их название. Я знаю, что за атомной структурой, видимой под электронным микроскопом, существует более глубокая внутренняя структура. Атомы уступают место электронам, протонам и нейтронам. Место протонов и нейтронов, в свою очередь, занимают кварки. В 2013 г. при помощи квантовых микроскопов даже удалось получить изображения электронных орбиталей возле ядра атома водорода. Но существует ли теоретический предел той глубины, которой я могу достигнуть в исследовании внутреннего строения своей кости?

Например, что случится, если я буду все время разрезать и разрезать кость пополам? До чего я могу дойти? С математической точки зрения я не вижу никаких проблем: если у меня есть число, его можно делить на два сколько угодно раз:

1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 …

Математика не определяет точки, в которой мне пришлось бы остановиться. Однако если я возьму реальную игральную кость, которая лежит у меня на столе, и разрежу ее пополам, а потом еще раз пополам, как далеко я смогу зайти?

Противоречия между непрерывной и дискретной природой материи, между математическими возможностями и ограничениями, налагаемыми физической реальностью, бушуют уже многие тысячелетия. Под какую музыку танцует Вселенная – под звуки трубы или под глиссандо виолончели?

Откуда я знаю про электроны и кварки, которые считаются последним уровнем строения моей игральной кости? Я их никогда не видел. Если спрошу себя, как я, собственно, узнал о них, я отвечу, что столько раз о них слышал и читал, что уже и не помню, как и откуда. И вообще, говорили ли мне когда-нибудь, откуда мы о них знаем? Например, я знаю еще, что самая высокая гора – это Эверест. Я знаю об этом только потому, что достаточно много раз об этом слышал. Так что, прежде чем выяснять, существует ли что-то кроме этого уровня, следовало бы понять, как мы пришли к этим составным элементам.

Читая историю, с удивлением обнаруживаешь: убедительные доказательства того, что такие объекты, как моя кость, не просто имеют непрерывную структуру, а состоят из дискретных элементов, называемых атомами, были получены всего чуть более столетия назад. Но хотя это открытие было сделано сравнительно недавно, интуитивное ощущение такого положения вещей возникло тысячи лет назад. Индусы считали, что материя состоит из основных атомов, соответствующих вкусу, запаху, цвету и осязанию. Они разделяли атомы на бесконечно малые, не занимающие никакого места, и другие, «крупные» и занимающие конечное пространство, – и, как мы увидим дальше, рассматривая современную модель строения вещества, эта теория была чрезвычайно прозорливой.

На Западе атомистическую философию природы первыми предложили древние греки, придерживавшиеся редукционистской точки зрения, согласно которой физическая реальность может быть сведена к фундаментальным блокам, из которых состоит вся материя. Такие атомы невозможно разделить на меньшие составляющие, и их свойства не должны зависеть от какого-либо еще более сложного внутреннего строения. Одним из источников такой веры во Вселенную, составленную из отдельных блоков, было убеждение пифагорейской школы в том, что число является ключом к объяснению тайн Вселенной.

Вера в могущество целых чисел проистекает из довольно замечательного открытия, приписываемого самому Пифагору: оно состояло в том, что число лежит в основе музыкальной гармонии, которую использует как виолончель, так и труба. Говорят, что его прозрение случилось, когда он проходил мимо кузницы и услышал в стуке молота сочетание гармоничных нот (мы не знаем, можно ли верить этой и другим подобным историям о Пифагоре и даже существовал ли вообще такой человек, или же он был выдуман последующими поколениями для пропаганды новых идей).

Как бы то ни было, согласно этой истории, он вернулся к себе домой и стал экспериментировать с нотами, получаемыми на струнном инструменте. Взяв вибрирующую струну виолончели, я могу получить непрерывную последовательность нот, постепенно перемещая палец в сторону подставки. Так я получаю звук, называемый глиссандо (хотя на следующем «рубеже» вопрос о том, образуется ли при этом действительно непрерывная последовательность нот, будет поставлен под сомнение). Если я остановлюсь в том положении, в котором получаются ноты, звучащие в гармонии с вибрирующей открытой струной, окажется, что отношение длин этих струн точно равно целому числу.

Например, прижав пальцем середину вибрирующей струны, я получу ноту, звучащую почти так же, как нота, с которой я начал. Интервал между ними называется октавой, и для человеческого уха эта нота звучит настолько похоже на ноту открытой струны, что в музыкальной нотации мы обозначаем их одним и тем же названием. Если я помещу свой палец в одной трети расстояния от головки грифа, я получу ноту, особенно гармонично звучащую в сочетании с нотой открытой струны. Такой интервал называется чистой квинтой, и наш мозг реагирует на подсознательное узнавание целочисленного отношения длин волн этих двух нот.

Обнаружив, что в основе гармонии лежат целые числа, пифагорейцы начали строить модель Вселенной, в которой такие целые числа были фундаментальными кирпичиками всего, что они видели и слышали вокруг себя. В греческой космологии царила идея небесной математической гармонии. Считалось, что между орбитами планет существуют идеальные математические соотношения, что и породило идею музыки сфер.

Для понимания структуры игральной кости важнее то обстоятельство, что ключом к объяснению состава материи пифагорейцы считали дискретные числа, а не непрерывное глиссандо. Они предложили идею атомов, которые подобно числам можно складывать для образования новой материи. Греческий философ и математик Платон, развивая пифагорейскую философию, представил такие атомы дискретными геометрическими элементами.

Платон полагал, что атомы представляют собой геометрические фигуры, треугольники и квадраты. Из этих элементарных блоков были составлены формы, которые считались основными ингредиентами греческой химии, – элементы, или «стихии» огня, земли, воздуха и воды. Каждая стихия, по мнению Платона, имела собственную трехмерную геометрическую форму.

Огонь имел форму треугольной пирамиды, или тетраэдра, образованного из четырех равносторонних треугольников. Форма земли была кубической, подобно моей игральной кости из Лас-Вегаса. Воздух был образован из формы, называемой октаэдром, которая состоит из восьми равносторонних треугольников. Она выглядит как две пирамиды, склеенные своими квадратными основаниями. Наконец, вода соответствовала икосаэдру, составленному из двадцати равносторонних треугольников. Платон считал, что химия стихий возникает из геометрического взаимодействия таких основных форм.

Атомистическое видение материи не было повсеместно признано в Древнем мире. В конце концов, никаких доказательств существования таких невидимых элементов не было. Их нельзя было увидеть. Аристотель, например, не верил в идею фундаментальных атомов. Он полагал, что стихии по природе своей непрерывны, так что мою игральную кость теоретически можно делить на все меньшие и меньшие части. Он считал огонь, землю, воздух и воду элементарными в том смысле, что их нельзя разделить на «тела иной формы». Сколько бы мы их ни делили, мы всегда получаем воду или воздух. Вода в стакане представляется человеческому глазу непрерывной структурой, которую теоретически можно делить до бесконечности. Кусок резины можно плавно растянуть так, что он будет казаться непрерывным. Так было подготовлено поле битвы между непрерывной и дискретной моделями материи. Между глиссандо и дискретными нотами музыкальной гаммы. Между виолончелью и трубой.

Интересно отметить, что именно пифагорейцам приписывается открытие, которое поставило атомистическое видение материи под угрозу и на долгие годы изменило ситуацию в пользу веры в возможность бесконечного деления материи.