Текст книги "Холодильник Эйнштейна. Как перепад температур объясняет Вселенную"

Глава 8
Движение, которое мы называем теплотой

Как же в таком случае слои табачного дыма в комнатах так долго остаются неподвижными?

Голландский метеоролог Христофор Бёйс-Баллот

Наблюдение Рудольфа Клаузиуса, что теплота самопроизвольно перемещается из горячей зоны в холодную, позволило сделать самое точное на тот момент описание ее поведения. И все же в своей работе Клаузиус подчеркивал, что не опирается ни на какую конкретную теорию о том, что такое теплота. Хотя из более поздних его сочинений понятно, что у него были свои представления о природе теплоты, он опасался, что если он озвучит их и они окажутся неверны, то все его достижения будут дискредитированы.

В 1857 году кое-что изменилось. Появилась альтернатива теории теплорода – так называемая кинетическая теория теплоты. О ней писало достаточное количество ученых, чтобы и Клаузиус – как главный теоретик теплоты в Европе середины XIX века – опубликовал собственную статью, в которой выразил свой взгляд на проблему.

Чтобы понять подход Клаузиуса, подумайте о разнице температур зимой и летом. Поскольку Клаузиус переехал из Берлина в Цюрих, где занял должность профессора математической физики в новом университете, Швейцарской высшей технической школе, представьте летний цюрихский день. Данные свидетельствуют, что температура днем в июле колебалась в районе 20 °C. В декабре, когда солнце светило не так ярко, температура в полдень едва достигала 0 °C. Чем различается воздух при разных температурах? В июле и декабре воздух выглядит одинаково, но ощущается совершенно по-разному Почему?

* * *

Основные постулаты теории Клаузиуса маячили на периферии научных исследований с 1738 года, когда их сформулировал швейцарский ученый-энциклопедист Даниил Бернулли. Целое столетие они оставались в тени теории теплорода. Во многих отношениях идея Бернулли опережала свое время, и даже он считал ее второстепенной – вероятно, потому что самого его больше интересовала кровь, чем теплота.

Бернулли жил в эпоху, когда ученые работали по воле монархов. В возрасте 25 лет он получил от российской императрицы Екатерины I приглашение занять должность профессора математики в Санкт-Петербургском университете. Там Бернулли, который также изучал медицину, заинтересовался тем, как кровь течет по телу. Он заметил, что если ввести кончик тонкой стеклянной трубки в артерию на руке пациента, то кровь в трубке поднимется на несколько дюймов. Измерив эту высоту, Бернулли вычислил кровяное давление пациента. (Такой метод измерения кровяного давления широко применялся до 1890-х годов.)

Но Бернулли был энциклопедистом – врачом, математиком, физиком, – и решил лучше изучить это явление с помощью серии опытов. Он смоделировал происходящее в руках пациента, прокачивая воду по узкой трубе, в которой проделал небольшое отверстие. Затем он вставил в отверстие соломинку. Как и кровь из человеческой руки, вода в соломинке поднялась на определенную высоту, показывая давление воды, текущей по трубе. Бернулли удивило, что вода в соломинке поднималась на тем меньшую высоту, чем быстрее она текла в основной трубе. Чем быстрее текла вода по трубе, тем ниже становилось давление. Заинтригованный, Бернулли стал искать объяснение в математике.

В частности, он обратил внимание на один аспект физического мира, который можно было описать математическим языком того времени, а именно, на механику движения таких твердых тел, как пушечные ядра и бильярдные шары, то есть на так называемые законы механики. Сформулированные Исааком Ньютоном в 1680-х годах, они стали хорошо освоенным научным инструментом ко времени работы Бернулли в 1730-х.

Применив эти законы к жидкостям, таким как кровь и вода, Бернулли показал, что они верно описывают его наблюдения. Он сформулировал закон, ныне называемый законом Бернулли и применимый не только к жидкостям, но и к газам. Вы видите его в действии всякий раз, когда летаете на самолете. Внимательно взгляните на крыло: его верхняя поверхность изогнута, а нижняя – плоская. Такая форма позволяет воздуху под крылом двигаться медленнее, чем над ним, а потому восходящее давление на крыло превосходит нисходящее, благодаря чему самолет испытывает “подъемную силу”.

В 1738 году Бернулли опубликовал книгу “Гидродинамика”, в которой описал различные следствия ньютоновой механики для жидкостей. В десятой главе, которая называется “О свойствах и движениях упругих жидкостей, в особенности воздуха”[11]11
  Здесь и далее работа цитируется в переводе В. С. Гохмана.


[Закрыть], он рассмотрел вопрос о том, что происходит с газом при изменении температуры. По его словам, это тоже можно было объяснить с помощью ньютоновой механики.

Сначала Бернулли описывает, как газы сопротивляются сжатию. Так, если вы попытаетесь сдавить воздушный шарик, вам придется приложить некоторые усилия, потому что воздух внутри него будет давать вам отпор, то есть оказывать давление. Чтобы объяснить это, Бернулли допустил, что газ состоит из “очень малых частиц, движущихся чрезвычайно быстро в различных направлениях”. Он утверждает, что, хотя эти частицы не различимы глазом, они ведут себя как крошечные бильярдные шары. Таким образом, в примере с воздушным шариком давление, которое вы ощущаете при попытке его сдавить, оказывают эти крошечные частицы, сталкивающиеся с внутренними стенками шарика. Ударяясь о стенку, каждая частица слегка толкает ее наружу. Хотя удар одной частицы воздуха неощутим, совокупный эффект от ударов всех частиц о стенку создает то, что мы воспринимаем как давление воздуха. Поскольку частицы воздуха подчиняются тем же законам ньютоновой механики, что и бильярдные шары, Бернулли смог установить точную математическую зависимость между давлением, оказываемым воздухом, и объемом, который он занимает, при неизменной температуре. Если снова вернуться к шарику, Бернулли предсказывает, что если сдавить его до половины первоначального объема, то давление воздуха внутри возрастет в два раза. Если сдавить его до трети, то давление вырастет в три раза; если до четверти – в четыре раза и так далее. Эти расчеты, конечно, подкреплялись экспериментами.

Но что, если температура изменится? Бернулли отметил, что при нагревании давление газа возрастает. Если нагреть воздушный шарик, воздух внутри него расширится и станет давить на резиновые стенки с большей силой. Если взять надутый шарик и поместить его в холодильник, он сожмется, потому что давление находящегося внутри воздуха понизится.

Бернулли рассуждал следующим образом: если при нагревании давление газа возрастает и если давление находится в прямой зависимости от скорости движения частиц воздуха, то при добавлении теплоты к газу скорость его частиц должна возрастать. Иными словами, теплый воздух кажется теплее холодного, потому что частицы теплого воздуха шныряют во все стороны с гораздо большей скоростью, чем частицы холодного.

Это очень важное открытие, которое по прошествии времени представляется поворотным моментом в истории. Когда о нашу кожу ударяются “высокоскоростные” частицы, мы называем это ощущение “теплом”. Когда о нашу кожу ударяются медленные частицы, мы называем это “холодом”. Следовательно, в температуре проявляется скорость движения частиц газа. Чем быстрее они движутся, тем выше температура. Таким образом, разница между летним и зимним воздухом объясняется скоростью движения частиц. Выражаясь словами Бернулли, в жаркий день “интенсивность движения частиц” увеличивается.

Нам, однако, сложно представить, какую реакцию “кинетическая теория газов” вызвала у современников Бернулли. Правда в том, что физики XVIII века не удостоили ее вниманием. Возможно, не имея острой нужды в научных изысканиях – скажем, для усовершенствования паровых машин, – они не видели в ней смысла. Это наглядно демонстрирует, как научная теория, какой бы хорошей она ни была, может пропасть из виду, если не имеет культурной, социальной или экономической ценности для общества. Работы Бернулли о теплоте появились на целое столетие раньше необходимого.

И все же кинетическая теория Бернулли выжила, время от времени появляясь на периферии науки на протяжении следующего века. К середине XIX столетия, когда паровая машина заставила многих обратиться к загадке природы теплоты, а теория теплорода отошла на второй план, кинетическая теория снова оказалась в фокусе. Ее вариации появились в журналах, выходивших в Манчестере и Берлине, но в 1845 году, когда директор английской школы в Бомбее отправил свою статью о кинетической теории в журнал Королевского общества, ему ответили отказом. “В статье написана полная чепуха”, – заключил рецензент.

* * *

Впрочем, вскоре настроения изменились. В 1857 году в Цюрихе Рудольф Клаузиус опубликовал статью “О природе движения, которое мы называем теплотой”, в которой поддержал кинетическую теорию.

Кинетическая теория шла в ногу с представлениями Клаузиуса о физике. Как теоретик и талантливый математик, он полагал, что источником прогресса в физике служат не только лабораторные исследования, но и логические рассуждения. Кинетическая теория позволяла ему представлять физический мир в мельчайших и невидимых масштабах, а также делать большое количество предсказаний о поведении любых газов.

Статья Клаузиуса написана в примечательной манере. Работа занимает всего 27 страниц, причем первые две ее трети вообще не содержат математики. Клаузиус обычным языком убеждает читателя в своей правоте, прежде чем подкрепить свои рассуждения формулами и алгеброй в последней трети работы.

Первым делом Клаузиус повторяет гипотезу Бернулли, что температура газа есть внешнее проявление скорости движения его частиц. Затем он тонко подмечает, что частицы не всегда представляют собой простые безликие сферы. Они могут группироваться и формировать сложные структуры. Так, они могут складываться в крошечные гантели, имеющие по одному атому на каждом конце. Структура такого типа также подвержена колебаниям: концы ее могут сближаться и расходиться. Такая логика подталкивает Клаузиуса провести различие между температурой газа и общим количеством содержащейся в нем тепловой энергии. В совокупности все разные типы движения дают тепловую энергию газа. Однако лишь движение частиц по прямой, которое Клаузиус называет “поступательным движением”, оказывает влияние на его температуру.

Это объясняет тот факт, что одинаковое количество теплоты повышает температуры различных веществ на разную величину. Представим, что теплота, полученная при сжигании одного килограмма угля, входит в две камеры, одна из которых содержит молекулы гелия, а другая – такое же количество молекул кислорода. Под влиянием теплоты температура гелия повысится сильнее, чем температура кислорода.

Теперь мы знаем то, что Клаузиус только предполагал: строение соответствующих молекул действительно определяет типы движения, которые они способны осуществлять. Молекулы гелия представляют собой безликие сферы. Молекулы кислорода напоминают описанные выше крошечные гантели.

Это значит, что при нагревании камеры с гелием вся энергия идет на ускорение движения частиц по прямой. При нагревании камеры с кислородом часть энергии расходуется на то, чтобы повысить скорость колебания частиц, из-за чего на ускорение прямолинейного движения энергии остается меньше. Таким образом, одинаковое количество теплоты заставляет молекулы гелия двигаться быстрее, чем молекулы кислорода, в результате чего температура гелия повышается на большую величину.

Клаузиус также распространил теорию Бернулли о корпускулярной природе газов на жидкости и твердые тела и пришел к выводу, что все вещества состоят из триллионов частиц, пребывающих в постоянном движении. В твердых телах молекулы колеблются около фиксированного положения. В жидкостях, рассуждал Клаузиус, частицы непрестанно движутся: образуют связи и столь же быстро разрывают их, чтобы поддерживать жидкую форму. В газах молекулы совершенно свободны и движутся независимо друг от друга в любом направлении.

Вооружившись этими описаниями, Клаузиус рисует убедительную картину испарения. Всем известно, что если оставить чашку с водой на несколько часов даже при не слишком жаркой погоде, то заметное количество воды из нее исчезнет. Это объясняется происходящим на поверхности жидкости. Здесь связи образуются и разрываются точно так же, как и по всей жидкости, но над поверхностью отсутствуют частицы, с которыми можно образовать связи. В результате периодически частица на поверхности отрывается от частицы внизу. Если она движется вверх, то ей не с чем образовать связь, поэтому она отделяется от жидкости. Со временем все больше частиц следуют ее примеру, и целая чашка воды исчезает в результате испарения.

Описав взаимосвязь движения частиц с температурой газа, Клаузиус смог даже рассчитать среднюю скорость, с которой движутся молекулы таких широко распространенных в земной атмосфере газов, как кислород и азот. Если температура кислорода равняется 0 °C, по оценке Клаузиуса, средняя скорость каждой молекулы составляет 461 м/с, то есть значительно больше 1500 км/ч. Эта величина не более чем на 1 % отличается от современных оценок.

Сам того не ожидая, Клаузиус также объяснил, почему атмосфера способна удерживать большое количество кислорода и азота. Законы Ньютона позволяют нам вычислить так называемую скорость освобождения, или вторую космическую скорость, которая составляет около и км/с. Все, что движется быстрее, преодолевает земное притяжение и улетает в космос. Поскольку средняя скорость молекулы кислорода во много раз ниже скорости освобождения и составляет всего о,5 км/с в сравнении с и км/с, кислород остается в атмосфере. Скорость освобождения на меньших небесных телах ближе к средней скорости молекул газа или меньше нее, и потому молекулы улетают в космос, лишая тело атмосферы. Подобные расчеты помогают современным астрономам искать планеты, которые могут быть обитаемы.

Опубликованная в 1857 году статья Клаузиуса – прекрасный пример того, как великая наука помогает нам заглянуть в самое сердце мира, в котором мы живем. Она объясняет, откуда берется прохладный ветерок и почему в нашей атмосфере есть кислород, которым мы дышим. По иронии судьбы кинетическая теория едва не была опровергнута с использованием подобной логики. В 1858 году, всего через год после выхода статьи Клаузиуса, голландский метеоролог Христофор Бёйс-Баллот написал работу, в которой отметил, что обычное наблюдение за газами в реальном мире противоречит утверждению Клаузиуса о том, что молекулы в их составе летают в разные стороны на высоких скоростях. По мысли Бёйс-Баллота, если газы ведут себя так, как говорит Клаузиус, то они должны быстро смешиваться друг с другом. Таким образом, если открыть в одном углу комнаты сосуд с сильнопахнущим газом, например хлорином, то его молекулы должны достичь другого конца комнаты примерно за сотую долю секунды. Можно ожидать, что человек на другом конце комнаты сразу почувствует запах хлорина, но в реальности запах начинает ощущаться там лишь через несколько минут. Бёйс-Баллот резюмировал свое возражение к теории Клаузиуса ярким наблюдением: “Как же в таком случае слои табачного дыма в комнатах так долго остаются неподвижными?” Можно представить, как он, раскуривая очередную сигару, восклицает: “Ага, попался!”

Клаузиус был достаточно хорошим ученым, чтобы всерьез воспринимать обоснованную критику. В ответ на проблему с табачным дымом он опубликовал вторую статью о кинетической теории, в которой сделал в своих рассуждениях неожиданный поворот. Он отметил, что размер молекул, хотя и мал, все же имеет значение. Молекулы газа, по сути, представляют собой крошечные сферы или группы сфер, которые постоянно сталкиваются друг с другом, как машинки на автодроме. Хотя отдельная молекула движется быстро, она едва успевает преодолеть какое-либо расстояние, прежде чем столкнуться с другой и отклониться от своего курса. После этого она сталкивается с новой молекулой, снова отклоняется и так далее. Таким образом, траектория молекул не прямая: они движутся зигзагами и перемещаются назад, вперед и вбок. Хотя их скорость между столкновениями высока, чтобы преодолеть значительное расстояние, им требуется много времени.

Представления Клаузиуса о поведении газов сегодня излагаются на школьных уроках физики. Однако, поскольку мы знаем о них с детства, нам сложно понять современников ученого, которые считали его статьи неудовлетворительными. Проблема в том, что многие утверждения из его работ невозможно было проверить. Клаузиус утверждал, что газы состоят из молекул, пребывающих в постоянном движении, но при этом не предлагал никакого способа оценить их размер. Он рассчитывал среднюю скорость молекул, но проверить его выкладки также было невозможно. В отсутствие новых и верифицируемых данных кинетическая теория оставалась недоказанной гипотезой.

К счастью, статьи Клаузиуса были переведены на английский. В феврале 1859 года англоязычная версия второй его работы по кинетической теории легла на стол преподавателя физики из Маришаль-колледжа, расположенного в Абердине на северо-востоке Шотландии. Это счастливое совпадение доказывает, что порой читатель играет в истории не менее важную роль, чем автор.

Глава 9
Столкновения

Истинная логика нашего мира – правильный подсчет вероятностей.

Джеймс Клерк Максвелл

В феврале средняя температура воды в Северном море в районе Абердина на северо-восточном побережье Шотландии составляет 6 °C. Температура воды у британских берегов в это время года вообще не слишком высока, но Северное море, куда практически не доходят теплые воды Гольфстрима, остается особенно холодным. Абердин находится на 57-м градусе северной широты, а это значит, что даже в полдень зимой солнце едва поднимается на десять градусов над горизонтом и остается на небе всего на восемь часов. Температура воздуха над водой колеблется в районе нуля.

В феврале 1857 года, в то самое время, когда Рудольф Клаузиус искал физическое объяснение тому, почему тела кажутся теплыми или холодными, двадцатипятилетний Джеймс Клерк Максвелл, недавно назначенный на должность профессора натурфилософии в Маришаль-колледж в Абердине, гулял у подножия черных утесов, стоящих вдоль побережья к югу от города. Остановившись, он снял часть одежды и погрузился в холодные воды, чтобы осуществить “второе купание в сезоне”. Взбодренный, он перешел к “гимнастическим упражнениям”.

Джеймс Клерк Максвелл был на 15 лет моложе всех остальных преподавателей престижного Маришаль-колледжа, который к 1850-м годам занял роскошное гранитное здание, по сей день остающееся доминантой Абердина. Чтобы стать профессором, Максвелл должен был получить одобрение лорда-адвоката и министра внутренних дел Великобритании. Проблем не возникло, поскольку талант Максвелла к физике и математике был давно очевиден. Максвелл родился в 1831 году в семье достаточно состоятельных землевладельцев, среди предков которых были деятели шотландского Просвещения XVIII века. Он написал свою первую научную работу, трактат об овалах и эллипсах Декарта, когда ему было всего четырнадцать лет. Ее приняло Эдинбургское королевское общество, однако в силу возраста Максвелл не получил возможности посетить заседание, на котором ее обсуждали ведущие ученые Шотландии. Впрочем, он счел бы такое мероприятие обременительным, ведь он рос одиноким и стеснительным ребенком, поскольку его мать умерла от рака брюшины, когда ему было восемь, и первыми его учителями стали частные преподаватели, которые занимались с ним в отцовском имении Гленлэр на юго-западе Шотландии. Друживший с ним в детстве Льюис Кэмпбелл вспоминал, что Максвелл был близорук и, несмотря на искренность и дружелюбие, обладал не слишком развитыми коммуникативными навыками. “В обычной беседе он давал непрямые и малопонятные ответы, часто неохотно, – вспоминал Кэмпбелл. – <…> За столом он нередко казался отсутствующим и был поглощен наблюдением за преломлением света в чашах для ополаскивания рук”.

И все же, когда он пришел преподавать в Абердин, получив образование в университетах Эдинбурга и Кембриджа, все знакомые с ним математики и физики уже разглядели за внешней неловкостью уникальный ум, в котором способность к абстрактной математике сочеталась с любовью к проведению домашних экспериментов. Максвелл в равной степени непринужденно писал о топологической геометрии и изготавливал цветные диски, которые затем вращал, чтобы продемонстрировать, что, сливаясь друг с другом, красный, синий и зеленый цвета в сочетании дают белый.

Вопрос о том, что такое теплота и почему она перемещается из горячей зоны в холодную, не интересовал Максвелла до приезда в Абердин. Он привлек его внимание из практических педагогических соображений. Теплота изучалась в рамках курса натурфилософии в Маришаль-колледже, и, стремясь преподавать предмет как можно лучше, Максвелл разработал серию экспериментов, которые можно было провести вместе со студентами. В ходе одного из них определялось количество теплоты, необходимое для плавления или кипения различных веществ. Эксперимент оказался успешным.

Вскоре после того, как Максвелл занял должность в Абердине, он начал ухаживать за дочерью своего начальника. Ректор Маришаль-колледжа, священник шотландской церкви Дэниел Дьюар, был такого высокого мнения о молодом преподавателе, что несколько раз приглашал его в гости, а затем предложил ему присоединиться к своей семье на отдыхе на юго-западе Шотландии. Во время этих визитов Максвелл сблизился с дочерью Дьюара Кэтрин Мэри, которая в свои 32 года была на шесть лет его старше. Их отношения укрепились на почве религиозности: в сохранившихся письмах Джеймса к Кэтрин, написанных в период ухаживаний, ведутся долгие дискуссии о Библии и цитируется Писание. К февралю 1858 года их взаимные чувства стали достаточно сильны, и молодые люди обручились. Сообщая новость в письме к тетке, Максвелл отмечает: “Могу сказать, что мы совершенно необходимы друг другу и понимаем друг друга лучше, чем большинство знакомых мне пар”.

Фраза “совершенно необходимы друг другу” звучит несколько странно, и неудивительно, что супруги были вместе скорее из чувства долга, чем из привязанности. Выдвигались предположения, что первой любовью Максвелла была его кузина Лиззи Кэй, но их союзу помешал страх кровосмешения. К несчастью, немногие из родных и близких Максвелла приняли Кэтрин. Его кузина Джемайма Блэкберн написала о ней: “Эта дама не была ни красива, ни крепка здоровьем, ни покладиста, но была сильно в него влюблена. Поговаривали, что к союзу их подтолкнула ее сестра, которая рассказала ему, как сильно она его любит, и он проявил свое мягкосердечие, женившись на ней из благодарности. Потом ее рассудок пошатнулся, однако он всегда был к ней очень добр и мирился со всем. Она была ревнива и заставила его отдалиться от друзей”. Позже, когда супруги жили в Кембридже, в городе ходили слухи, что Кэтрин не нравится, когда муж бывает в обществе. Якобы случалось, что Кэтрин говорила: “Джеймс, пора домой, а то тебе становится слишком весело”.

Но достоверных свидетельств о браке Максвелла немного. В 1929 году пожар в родовом гнезде Максвеллов в Гленлэре на юго-западе Шотландии уничтожил большую часть семейных бумаг, среди которых могли быть и письма, показывающие их брак в ином свете. В 1858 году, вскоре после того, как Джеймс сделал предложение Кэтрин, он написал стихотворение о своей любви к ней. В нем было такое четверостишие:

 
Пойдешь ли ты со мной
Бродить по вешним водам,
Чтоб утешением мне стать
В мире огромном?
 

Они многие годы поддерживали друг друга, выхаживали друг друга после болезней, которые едва не стоили им жизни, и время от времени вместе занимались наукой. В итоге получилось так, что Кэтрин внесла важнейший вклад в науку о теплоте.

* * *

В феврале 1859 года Максвелл познакомился со статьями Клаузиуса по кинетической теории теплоты. Сначала он решил, что Клаузиус ошибается. Ему показалось, что он сумеет опровергнуть его выводы посредством скрупулезного математического анализа.

Для этого Максвелл обратился к законам случая, или – формальнее – к теории вероятности и статистике.

Это был радикальный шаг для середины XIX века. В то время физики считали, что их задача состоит в том, чтобы открывать законы природы, позволяющие делать предсказания с абсолютной уверенностью. Они должны были понимать, что наверняка произойдет, а не что может произойти. Прекрасный пример таких законов – ньютоновы законы движения и теория гравитации, которые в совокупности позволяли с высокой точностью рассчитывать орбиты планет, траектории полета пушечных ядер и объяснять другие простые формы движения. И все же Максвелл предполагал, что для проверки кинетической теории теплоты необходимо связать законы Ньютона с математикой случайностей, которая, как считалось, пребывала за рамками фундаментальной физики.

В этом Максвелл вдохновлялся работой астрономов. Они не считали, что поведение небесных тел определяется законами вероятности, но признавали, что неспособность людей делать точные наблюдения осложняет им жизнь. Если астроном измерял положение планеты по мере ее движения, то итоговые данные не соответствовали истинному пути планеты. Как бы ни старались ученые, каждое измерение имело небольшую погрешность. Было сложно установить истинную траекторию планеты на основе несовершенных измерений. К началу XIX века астрономы решили эту проблему, адаптировав методы, разработанные для оценки шансов при игре в кости. Когда Максвеллу было 18 лет, он прочитал посвященную этому статью астронома Джона Гершеля, сына первооткрывателя Урана. Максвелл счел описанные методы весьма полезными. “Истинная логика нашего мира – правильный подсчет вероятностей, – писал он другу. – Это область математики, которая полезна в играх, бросании костей и заключении пари, а потому считается в высшей степени безнравственной, но она и есть единственная «математика практичных людей»”.

Чтобы лучше всего объяснить подсчет вероятностей, нужно вернуться к истокам идеи, лежащим в сфере азартных игр. Представьте простую игру, в которой вы выигрываете пари, если верно угадываете, какой стороной упадет монетка. Допустим, монетка без подвоха – орел и решка выпадают с равной вероятностью, – а значит, у вас равные шансы угадать, какой стороной она упадет, либо ошибиться в своей догадке. Что, если подбросить монетку сто раз? Вам сложно будет угадать результат каждого броска, но интуитивно вы поймете, что шанс выбросить сто решек или сто орлов крайне мал. Шанс выбросить пятьдесят решек и пятьдесят орлов, напротив, значительно выше. Если точно, шансы таковы:

Шанс выбросить ровно 50 решек и 50 орлов: примерно 1 к 12.

Шанс выбросить о решек и 100 орлов: примерно 1 к 1 миллиону триллионов триллионов.

Мало кто из нас готов поставить на такое. Неудивительно, что идеальное соотношение 50/50 – самый вероятный результат, а шансы выбросить неравное соотношение орлов и решек резко сокращаются по мере увеличения неравенства.

Если построить график вероятности выпадения всех возможных комбинаций при ста подбрасываниях монетки, получится плавная математическая кривая, по форме напоминающая сечение старого церковного колокола. (Такие графики часто называют колоколообразными кривыми.) Верхушка колокола находится посередине горизонтальной оси графика. Это показывает, что равное соотношение 50 орлов и 50 решек наиболее вероятно. При движении влево и вправо от этой точки кривая уходит вниз. Это говорит, что чем более неравным оказывается соотношение орлов и решек, тем меньше становится его вероятность. Левый конец графика соответствует ситуации, в которой выпали одни орлы. Правый – ситуации, когда выпали одни решки. В этих крайних точках кривая очень близка к нулю.

Пик кривой – это среднее количество решек (50), выбрасываемое в нескольких сериях по сто бросков. Ключевая характеристика таких кривых – одинаковая вероятность отклонения в большую и меньшую сторону от среднего значения. Таким образом, вероятность выбросить 55 решек равна вероятности выбросить 45 решек. Колоколообразные кривые также предполагают, что каждая единица данных должна быть независима от всех остальных. Ни одно отдельное подбрасывание монетки и ни одна серия подбрасываний не влияют ни на одно другое.

Колоколообразные кривые встречаются при представлении многих научных данных, которые часто соответствуют указанным критериям. Примером может служить распределение роста взрослых людей одного пола – их рост представляется на графике в форме колоколообразной кривой. Другой пример – показатели их кровяного давления. Вы также можете попросить меткого стрелка сто раз выстрелить в яблочко мишени. Затем посчитайте количество пулевых отверстий, скажем, в радиусе одного дюйма от яблочка, количество отверстий в радиусе от одного до двух дюймов, от двух до трех дюймов и так далее. Постройте кривую на основе этих данных, и она окажется колоколообразной. (Чем выше меткость стрелка, тем у́же колокол кривой.) В обратную сторону это тоже работает. Если распределение пулевых отверстий формирует характерную колоколообразную кривую, то положение яблочка можно вычислить, посмотрев на ее пик. Подобным образом астрономы выясняют, где на самом деле находится звезда, ориентируясь на серию неточных результатов определения ее положения.

В конце 1850-х годов, сидя в гранитном кабинете с высоким потолком в Маришаль-колледже, Максвелл применил принцип, лежащий в основе колоколообразной кривой, к идеям Клаузиуса. В результате появилась область науки, называемая статистической механикой. Сначала Максвелл повторил утверждение Клаузиуса, что температура газа пропорциональна средней скорости его частиц, но затем пошел в новом направлении. Он отметил, что одни частицы движутся быстрее, а другие медленнее среднего, и все они оказывают влияние на поведение газа.

Но как их сосчитать? Поскольку в кубическом сантиметре газа содержится около 10 миллионов триллионов частиц, оценивать влияние каждой частицы нецелесообразно, поэтому Максвелл ввел законы вероятности. Вместо того чтобы рассчитывать скорость каждой частицы, он определял в заданном объеме газа процент частиц, которые могут двигаться в любом заданном диапазоне скоростей. Он предположил, что при каждой температуре есть скорость, с которой частицы газа движутся с наибольшей вероятностью. Однако есть также частицы, движущиеся быстрее и медленнее. Шанс найти частицу, которая движется с конкретной скоростью, тем ниже, чем сильнее эта скорость отличается от наиболее вероятной. Шансы снижаются аналогично тому, как снижается вероятность получить более далекое от равного число орлов и решек при подбрасывании монетки.