Текст книги "Математика для мам и пап: Домашка без мучений"

Говоря ребенку: «Отлично, на этот раз ты постарался как следует!», стремитесь к тому, чтобы в ваших словах звучало искреннее восхищение. Независимо от того что вы чувствуете на самом деле, демонстрируйте свой интерес к математике – и ваши дети тоже ей заинтересуются. И может быть, она вам в конце концов действительно понравится – любовь к математике может быть заразна.

Чего не следует делать

Наш список того, чего делать не надо, очень короток. Строго говоря, в нем всего два пункта, но оба они очень важны.

Этого не стоит ожидать даже после 50-кратного объяснения. Может пройти очень, очень много времени, прежде чем в мозгу у ребенка «что-то щелкнет», и математические идеи станут его второй натурой. Ребенок может сегодня знать, что семью семь равно сорок девять, но завтра, когда то же самое встретится в другом контексте, он может внезапно решить, что ответ – сорок семь. Это нормально. Не забывайте: у вас, вероятно, ушел не один год на то, чтобы достичь нынешнего уровня владения числами (каков бы он ни был).

И особенно, не говорите так, будто вы этим гордитесь. Взрослые часто признаются: «Я всегда был безнадежен в математике», чуть ли не хвастаясь. Почему? Отчасти дело в том, что многие взрослые искренне убеждены в своей неспособности к математике, поскольку живо помнят, как трудно им было в школе и как много ошибок они делали в математических тестах. В какой-то степени срабатывает защитный механизм: если сказать, что ничего не смыслишь в математике, то можно быть уверенным, что никто не задаст математических вопросов. Но утверждение о неспособности к математике может нести и другой, менее явный, но куда более коварный смысл: «…и посмотрите, сегодня я успешный взрослый человек, так что знание математики не так уж важно».

Дети с готовностью подхватывают эту мысль, и в итоге отторгают математику. Они заранее знают, что этот предмет им наверняка не понравится, что он повлечет за собой неудачи, да и вообще проку от него никакого. Правда же в том, что многие мамы и папы, объявляющие себя неспособными к математике, попросту лукавят. Эти родители зачастую без труда справляются с домашней бухгалтерией, составляют планы и расписания, легко справляются с множеством задач одновременно и играют в стратегические игры.

Часто говорят, что люди, объявляющие себя неспособными к математике, никогда не говорят ничего подобного про чтение или грамотное письмо. Отчасти это происходит потому, что люди путают широкое понятие «математики» с узкой ее областью – арифметикой. Если кто-то представляется вам как учитель родного языка, то вы же не будете сразу же нырять в кусты и говорить: «Господи, я всегда был неспособен грамотно писать». Вы понимаете, что главное в родном языке – идеи и воображение, а не скучная формальная грамматика, орфография и пунктуация. Однако это достаточно точный аналог того, как люди ведут себя по отношению к математике.

Школьный опыт, подкрепленный широко распространенными предубеждениями, подталкивает нас к тому, чтобы считать математику всего лишь сложной арифметикой. На самом же деле математика – нечто гораздо большее. Это творческая и глубоко философская дисциплина, требующая богатого воображения. К несчастью, и необходимость выполнять учебный план и работать с большим числом детей с самыми разными способностями ограничивает возможности учителя; по существу, преподаватель не в состоянии познакомить детей с творческим аспектом математической деятельности (хотя на свете немало учителей, которым, несмотря ни на что, это удается).

К счастью, есть еще одно место, где ваши дети могут больше узнать о том, что такое реальная математика – та, что может приносить удовольствие и требует богатого воображения. И это место – дом, а знакомиться с математикой они могут вместе с вами, мама и папа.

Арифметика – и как она изменилась

Числа и позиционная система

Ребенок впервые сталкивается с математикой, когда учится называть числа и считать предметы; многие дети овладевают этими навыками к моменту поступления в школу. Поэтому, если у ваших детей первый этап уже позади, вы, возможно, решите пропустить данную главу. Однако все же нам хотелось бы на мгновение задержать вас и напомнить о том, какая это хитрая и сложная штука, наша система счисления. Древний римлянин или грек, телепортированный в первый класс современной школы, застыл бы в благоговейном изумлении перед системой записи чисел – ведь «1» в ней может означать и одну вещь, и десять, и даже тысячу. Что же касается запятой в десятичной дроби и странных слов, таких как «сорок» или «девяносто», обозначающих почему-то «четыре десятка» и «девять десятков» соответственно, то они просто поставили бы беднягу в тупик. Числа совсем не так просты, как нам, привыкшим к ним взрослым, кажется. Не стоит удивляться, что многие дети, научившись считать, долгие годы не могут разобраться в «позиционной системе».

В этой главе мы расскажем немного о том, как человечество обзавелось нынешней системой счисления и как ее сегодня преподают в школах. Мы также познакомим вас с кое-какими играми и другими приемами, которые помогут вам закрепить знания ваших детей об этой системе и могут оказаться такими же интересными и полезными для десятилетних детей, как и для дошколят.

1. Дети думают, что 6000 – это на один больше, чем 5099.

2. Записывают «сто тридцать шесть» как 10 036.

3. Не сознают, что в числе 243 содержится 24 группы по 10, а не просто четыре десятка.

4. Думают, что 3,453 меньше 3,35, потому что в первом числе присутствуют тысячные.

5. Думают, что 0,75 меньше 0,203, потому что 75 меньше 203.

Наша система счисления работает следующим образом: объекты в ней группируются в десятки, десятки десятков слагаются в сотни, десятки сотен образуют тысячи и т. д. Выбор именно десятки в качестве основы для счета объясняется, конечно, тем, что у каждого из нас на руках по десять пальцев – и на ногах тоже, для ровного счета.

Эта система десяток («десятичная») настолько нам знакома, что кажется почти естественной – ну, просто числа так устроены. На самом же деле этой системе в том виде, в каком мы ее знаем, – то есть с сотнями, десятками, единицами и всем остальным, – а также ее каждодневному применению для расчета денег и различных измерений, всего несколько сотен лет. Мы знаем, что детям требуется не один год, чтобы научиться «расшифровывать» написанные значки и бегло читать; точно так же и на освоение придуманной нами системы называния, чтения и записи чисел нужно время.

Идея группировать числа по десяткам получила признание много веков назад, о чем явно свидетельствует изобретение абака. Первые абаки делались из глины и имели желобки, в каждом из которых помещалось девять небольших камешков. Как только счет доходил до десяти, вместо десяти камешков клали один – причем уже в следующий желобок. Когда и этот желобок заполнялся девятью камешками, с появлением десятого все десять опять заменялись на один, который вновь оказывался в следующем желобке. Записывать не было нужды – камешки в желобках помогали следить за счетом. Для обозначения более крупных групп использовались особые символы, к примеру, X для десятки и C для сотни в римской системе.

Ранние системы счисления не имели знака для обозначения нуля. В конце концов, если в желобке абака нет ни одного камешка, то как обозначить пустоту? У римлян 305 записывалось просто как CCCV, а тот факт, что в числе нет десяток, с очевидностью вытекал из отсутствия в записи знаков X.

Римские числа

Римская система записи чисел основывалась исключительно на использовании семи букв. Обратите внимание, что ими обозначались не только 1, 10, 100 и 1000 (числа, которые мы используем в качестве позиций в нашей десятичной системе), но и 5, 50 и 500. Для чисел от 4000 и выше над числом проводили горизонтальную линию, означавшую «тысячи», так что, к примеру, X обозначает 10 000. В римском числе I, Х и C не всегда означают 1, 10 и 100. Если поместить их слева от (соответственно) X, C и M, они означают отнять 1, отнять 10 и отнять 100. Поэтому IX, к примеру, означает 10 – 1 = 9, а CD означает 500 – 100 = 400. Чаще всего сегодня римские числа используются при традиционной записи дат (поэтому когда на телеэкране после программы пробегают титры, нам, чтобы понять их, приходится кое-что быстро расшифровывать).

Проверьте себя

1. Римские цифры в городах

На каком из лондонских памятников вы найдете римское число MDCLXVI (в нем есть все возможные буквы, в порядке убывания чисел) и к какому событию оно отсылает?

Ситуация начала меняться с введением нашей современной (арабской) системы счисления. Один и тот же символ – к примеру, 3 – использовался для обозначения трех единиц, или трех десятков, или трех сотен, или трех миллионов и т. д. Теперь важны были не только сами символы, но и место, которое они занимали в числе. Если в сотенном желобке абака лежали три камешка, в единичном – пять, а бороздка, отвечающая за десятки, оставалась пустой, то писцы начали записывать 3 5. Но как быть с промежутком между 3 и 5? Как дать понять, что он оставлен намеренно, а не возник в результате неаккуратности писца? Или, к примеру, что пропущены только десятки, а не десятки и сотни одновременно и что 3 означает 300, а не 3000? Эту проблему удалось решить изобретением нуля (0), который стал использоваться для обозначения пустого места. Появление нуля между 3 и 5 – 305 – удерживало 3 и 5 на их законных местах единиц и сотен. Значение 3 в данном случае становится однозначно: три сотни, 300. Отсюда и одно из названий нашей системы счисления – позиционная система.

Запись чисел с использованием их разрядных значений приобрела особую роль с изобретением печатного станка. Когда бумага стала дешевой, люди смогли отложить в сторону свои «старые» счетные методы – абаки – и перейти к новой, более универсальной технологии – бумаге и перу. Некоторые историки считают, что в то время об «отупляющем» влиянии письменного счета (по сравнению со счетом на абаке) спорили не меньше, чем сегодня говорят об отупляющем влиянии калькуляторов, пришедших на смену вычислениям на бумаге. Возможно, вопрос «Что ты будешь делать, если у тебя сломается перо?» тогда служил эквивалентом сегодняшнего «Что ты будешь делать, если у тебя в калькуляторе сядет батарейка?». Мало того, и сегодня в мире найдутся такие места, где самым популярным счетным инструментом до сих пор служит абак. В Японии тоже используется своеобразная форма абака – соробан, – и опытные пользователи считают на нем быстрее и точнее, чем с помощью ручки и бумаги.

Чтобы узнать побольше о позиционной системе, которую мы принимаем как нечто само собой разумеющееся, давайте посмотрим, как могло бы обернуться дело, если бы у человека было не десять, а восемь пальцев на руках.

Система счисления, которой мы пользуемся, основана на подсчете пальцев на руках. После того как все пальцы оказываются посчитаны, нам нужно начать заново, поэтому для того, чтобы зафиксировать наличие у нас двенадцати предметов, мы говорим, что у нас есть один полный набор пальцев плюс еще два – и записываем это как 12. Это серьезный шаг для мальчика или девочки – соотнести единицу в числе 12 с «одним набором из десяти штук». Чтобы помочь вам встать на место ребенка и оценить сложность стоящей перед ним задачи, вам полезно поработать с незнакомой системой счисления. Представим, какой могла бы быть математика, окажись у нас на руках не десять пальцев, а всего восемь (как обычно рисуют у мультяшных героев, таких как Барт Симпсон или Микки-Маус). Тогда счет выглядел бы так: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12…

Этот вариант счета известен как система счисления с основанием восемь, или восьмеричная система. Обратите внимание: на самом деле в ней никогда не используется цифра 8. В этой системе 10 означает не десять, а восемь – одну группу из восьми единиц. Так что в мире восьмипалых 12 – это группа из восьми единиц плюс две единицы, что означает десять в нашей обычной системе отсчета.

Проверьте себя

2. Ищем эквиваленты

Можете ли вы определить, какому числу в нашей десятичной системе эквивалентно 124 в системе с основанием 8?

Идею системы счисления с каким-то конкретным основанием можно связать с любым числом пальцем. Представьте себе, к примеру, инопланетянина всего с двумя пальцами. Он никогда не стал бы использовать число 2. Вместо этого счет у него начинался бы так: 1, 10, 11… а дальше? В двухпальцевой математике нет цифры 2, так что после 11 идет 100. Затем 101, 110, 111, 1000 (соответственно, 1000 означает число 8: одна восьмерка, нет четверок, нет двоек, нет единиц). Счет на двух пальцах известен как система счисления с основанием два или, как ее чаще называют, двоичная система счисления.

Многие британские родители – и наверняка бабушки и дедушки – изучали в школе числа в разных системах счисления. Тому была серьезная причина, поскольку в обычной жизни им каждый день приходилось сталкиваться со счетом в системах, отличных от десятичной. К примеру, в шиллинге было 12 пенсов, в футе – 12 дюймов, в фунте – 16 унций, в галлоне – 8 пинт.

Теперь, когда большая часть мира пользуется метрической системой, необходимость изучения других систем счисления стала куда менее очевидной, но представление о том, как они работают, помогает лучше понять десятичную систему, которой мы пользуемся и склонны воспринимать как нечто само собой разумеющееся. А тому, кто хотел бы разобраться в основах работы компьютеров, без понимания двоичной системы не обойтись (позже мы поговорим об этом более подробно).

Игра: «Двадцать»

В эту игру, чрезвычайно популярную на детских площадках по всей Британии, могут играть дети уже в пять лет, но на самом деле она способна развлечь не только малышей, но и подростков и даже взрослых. Существует множество вариантов, а базовый называется «Двадцать». Два игрока по очереди считают до 20, называя в свою очередь одно, два или три числа (каждый из них сам решает, сколько чисел называть за этот ход). Игрок, которому приходится завершать счет и назвать последнее число – 20 – проигрывает. Поэтому игра может идти примерно так:

Али: Один, два.

Джейк: Три.

Али: Четыре, пять, шесть.

Джейк: Семь, восемь.

Али: Девять, десять, одиннадцать.

Джейк: Двенадцать, тринадцать, четырнадцать.

Али: Пятнадцать, шестнадцать…

Джейк (улыбается, ведь напряжение растет): семнадцать, восемнадцать, девятнадцать!

Али: Пропади ты пропадом… двадцать!

Не секрет, что дети часто играют в эту игру по много раз подряд, пытаясь выработать победную стратегию. До них быстро доходит, что главное – это добраться до девятнадцати, поскольку тогда у противника не будет выбора, и ему придется сказать «двадцать». Но как гарантировать себе возможность добраться до девятнадцати? Решение в том, чтобы добраться до 15. После 15, что бы ни сказал противник (16 или 16, 17 или 16, 17, 18), вы сможете за следующий ход добраться до 19 и на этом остановиться.

На самом деле в этой игре, оказывается, существует закономерность: чтобы выиграть, нужно останавливаться на «ступеньках» – числах 3, 7, 11, 15 и 19:

Чтобы гарантированно выиграть, нужно досчитать до трех. Это просто, если вы начинаете: вы просто говорите: «Один, два, три». Если вы считаете вторым, остается только надеяться, что ваш противник не знает, как выиграть, и не досчитает до трех на первом ходу. Тогда в следующие ходы вы сможете останавливаться на 7, 11, 15 и 19.

Может показаться, что это игра для тренировки счета, но на самом деле все гораздо глубже; главное в ней – обнаружить закономерность.

Можно очень быстро усложнить игру, просто слегка изменив правила. К примеру, что если сделать целевым числом 25? Или разрешить игрокам называть не по три, а по четыре числа подряд? Или играть втроем?

Прежде чем более внимательно рассмотреть нашу систему счета больших чисел, давайте попытаемся понять, в чем сложность того, что приходится осваивать маленьким детям в процессе обучения счету.

Во-первых, разумеется, им приходится заучивать новые названия: один (раз), два, три и т. д. И, хотя взрослым это кажется очевидным, детям необходимо узнать и запомнить, что эти слова следует произносить в определенном и всегда одинаковом порядке (а вот, например, игрушечных мишек, красиво рассаженных на диване, можно называть в любом порядке, да и расположить их можно по-разному). Многие известные детские считалки – «Раз, два, три, кому хочешь, дари!»; «Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять…» – придуманы именно для того, чтобы помочь ребенку освоить счет.

При знакомстве с числами дети видят в них скорее «описания», «ярлычки», не имеющие отношения к «количеству». Фраза «Саше четыре годика» для ребенка не слишком отличается от фраз «Саша – мальчик» или «Саша маленький». Номера домов, кнопки на мобильнике, телевизионные каналы – дети со всех сторон окружены числами-ярлыками и не воспринимают их как что-то связанное с количеством. Разумеется, мы как родители помогаем им увидеть эту связь, но работы здесь еще много. Так, если, занимаясь с четырехлетним ребенком, вы выложите на стол шесть конфет, пересчитаете их и попросите малыша дать вам три штучки, то он уверенно протянет вам одну конфету – ту, на которую указал ваш палец на слове «три», вместо того чтобы дать сразу три. Это очень серьезное достижение – произнося «один, два, три, четыре, пять, шесть» и показывая пальцем на последнюю в ряду конфету на слове «шесть», осознавать, что теперь «шесть» может быть ярлычком для всех конфет вместе, а не только для той одной, на которую палец указал последней. И это при условии, что ребенок уже преодолел одно серьезное препятствие и научился координировать три вещи: указывать на конфету ровно в тот момент, когда произносится очередное счетное слово; следить за тем, чтобы не пропускать ни конфет, ни слов, а также за тем, чтобы не сосчитать ни одну из конфет дважды. Учиться счету лучше на реальных объектах, а не на картинках, потому что посчитанные предметы можно отодвигать в сторону (чтобы не сосчитать их повторно) и делать это одновременно с произнесением соответствующего счетного слова.

А теперь представьте, что вам шесть или семь лет и вы только начинаете чувствовать себя уверенно в этой игре, которую взрослые называют счетом; вы уже умеете загибать пальчики по очереди и считать их все, сколько есть. И тут вдруг появляется кто-то, кто начинает называть все ваши десять пальчиков «один»! Согласитесь, римским детям, у которых для этого был специальный символ – X, жилось намного легче.

Та же сложность обнаруживается, когда дети начинают осваивать счет денег, для начала – монет. Почему пятипенсовик, который уступает по размеру монете в один пенни, должен обладать такой же ценностью, как пять монет по одному пенни? Маленький ребенок всегда предпочтет пять отдельных монет.

Здесь могут помочь различные игры и занятия, в ходе которых нужно собирать, группировать, обменивать и называть предметы. Придумайте какую-нибудь простую игру: пусть ребенок собирает пенни, и всякий раз, когда у него наберется пять монет, обменивает их на одну пятипенсовую. Или можно собирать цветные счетные палочки или фишки – когда наберется десять красных палочек, обменивайте их на одну синюю. Десять синих палочек, если столько наберется, можно будет обменять на одну желтую. При этом имеет смысл разговаривать с ребенком о палочках: «Смотри, у меня две синие палочки и три красные. Если я обменяю их все на красные палочки, сколько палочек у меня будет?»

Короткий совет

На прогулках ищите возможность поговорить с ребенком о группах предметов как о едином целом. Можно обсудить, к примеру, покупку наборов в супермаркете. «Если мы купим две упаковки воды по шесть бутылок в каждой, сколько всего бутылок это будет? А в упаковке апельсинового сока четыре коробочки. Нам на неделю таких коробочек нужно двенадцать штук. Сколько упаковок мы купим?»

Второе серьезное препятствие – язык, который мы используем для счета. Англоязычных детей, например, могут сбить с толку слова eleven и twelve (11 и 12): почему не one-teen и two-teen, тогда как есть, скажем, sixteen и seventeen (16 и 17)? Во французском языке после достаточно логичного счета десятками до 60 (soixante) счет внезапно меняет курс и описывает 70 как «шестьдесят десять», 80 как «четыре двадцатки», а 90 – как «четыре двадцатки десять».

Откровенно говоря, это настоящая путаница![2]2
  В русском же языке совершенно непонятно, откуда берется «сорок» наряду с «двадцать» и «шестьдесят». Мы говорим «пять-десят четыре» и «восемь-десят восемь», – так по какой же причине вместо «два-дцать три» мы не используем «два-десят три», а вместо «девя-но-сто шесть» – «девять-десят шесть»? – Прим. пер.


[Закрыть] Китайцы в данном смысле более последовательны и логичны. 13 у них обозначается как один-десять три, а 46 – четыре-десять шесть. Что проще: «один-десять три плюс один-десять шесть будет два-десять девять» или «тринадцать плюс шестнадцать равно двадцать девять»? Некоторые даже считают, что изучение китайского счета дает детям лучшее понимание основ числовой системы, и именно благодаря этому преимуществу представители государств Дальнего Востока постоянно побеждают на математических олимпиадах учащихся из стран Запада.

С написанием чисел тоже проблемы. Мы говорим «шестьдесят семь» и пишем 67 – достаточно логично, порядок цифр соответствует порядку произносимых слов. Но говоря «семнадцать», мы пишем 17 – порядок цифр здесь обратный по отношению к слышимому (это же число французы логично называют «десять-семь»). Дети, которые пытаются написать 61 вместо 16, не просто ошибаются – они разумно пытаются связать то, что они слышат и произносят, с тем, что приходится писать. А слово «сорок» вообще ничего не говорит о том, что нужно записывать.

Ловушки поджидают детей и в названиях сотен. В английском 473 звучит как «четыре сотни и семьдесят три» (four hundred and seventy three), и отдельное слово «сотни» иногда приводит к том, что дети пишут не 473, как нужно, а 40073.

Игра: «Хороший или плохой»

Это великолепная игра на составление и чтение трех– и четырехзначных чисел. Вам потребуются: колода игральных карт (картинки уберите заранее), бумага и карандаш. В роли единиц могут выступать тузы.

Каждый играющий рисует на листе бумаги три прямоугольника в ряд; прямоугольники должны быть такого размера, чтобы на них удобно было выкладывать карты.

Договоритесь, какое число вы собираетесь составлять: наибольшее или наименьшее. Смешайте числовые карты и положите их стопкой лицом вниз. Играющие по очереди берут из стопки по одной карте и кладут ее в один из своих прямоугольников. После того как каждый положит себе три карты, он должен будет прочесть получившееся трехзначное число: 2, 5, 9 будет 259. Победителем будет тот, у кого число получится самым большим (или самым маленьким, в зависимости от того как вы договорились).

Это «хороший» вариант игры. «Плохой» вариант – это когда играющий сам выбирает, куда положить свою карту – на свое поле или на поле кого-то из противников. Если играет вся семья, а выигрывает, скажем, тот, кто первым наберет пять выигрышей, игра приобретает особый смысл: в ход идет сложная стратегия, и каждому приходится решать, как и кому вы могли бы помешать выиграть очередной раунд. В эту игру можно играть и с четырехзначными числами.

Тактика здесь достаточно интересна. Если вы предпочитаете «хороший» вариант игры и составляете наибольшее число, то как вы поступите, взяв из колоды, к примеру, 1? Поскольку 1 – число маленькое, здесь все понятно: кладем ее справа. Но что если вам досталась какая-то средняя карта, к примеру, пятерка? Как вы поступите – подстрахуетесь и поставите ее первой цифрой будущего числа или рискнете и понадеетесь получить в следующий раз карту побольше? Немного напоминает детскую версию телевизионной игры «Сто к одному».