Текст книги "Математика для мам и пап: Домашка без мучений"

В чем же заключался фокус Гаусса? Напомним: дети получили задание найти сумму: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … и так до 100.

Гаусс поступил хитро. Вместо того чтобы складывать числа последовательно, он заинтересовался тем, что получится, если записать все числа подряд, а ниже выписать их еще раз, но уже в обратном порядке.

Записав это, Гаусс понял, что если сложить попарно числа, оказавшиеся одно над другим, то получится следующее:

101 + 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + … + 101.

Понятно, что это просто 101 × 100, простой пример на умножение с ответом 10 100. Нужная нам сумма составляет ровно половину данной величины, то есть 5050.

Вот вам доказательство (если, конечно, здесь нужно что-то доказывать) того, что иногда полезно немного подумать о задаче, прежде чем начинать вычисление стандартным методом. Как думаете, не стоит ли рассказать ребенку эту историю в качестве сказки на ночь?

Сложение и вычитание: Письменные методы

В предыдущей главе мы рассказали, как помочь детям складывать и вычитать. Мы утверждали также, что в любом случае им будут встречаться примеры, которые сложно решить в уме. Можно сказать, что в вопросе о том, что лучше – расчеты ручкой на бумаге или калькулятор, мир образования раскололся надвое. Некоторые убеждены, что, как ручка (или карандаш) и бумага в свое время являлись передовой технологией, так и нынешним детям следует пользоваться современной технологией – калькуляторами. Другие по-прежнему ратуют за ручку и бумагу, говоря: «А что, если в калькуляторе сядут батарейки?» или «Представьте, что калькулятора у вас под рукой нет». Имея в виду, что у большинства детей под рукой скорее окажется электронное устройство, чем бумага и карандаш, очень трудно доказывать их приоритет (кроме того, исследования, вопреки распространенным представлениям, показывают, что разумное использование калькуляторов не вредит пониманию). Правда в том, что мало кто из детей будет пользоваться письменными методами и считать ручкой на бумаге после того, как покинет школу. Польза от этих методов не сводится к тому, что их можно практически использовать во взрослой жизни; скорее они позволяют детям почувствовать числа и развить свои арифметические навыки.

1. Дети часто складывают и вычитают числа последовательно, цифра за цифрой, и не задумываются о том, насколько разумным получается ответ.

2. Иногда не к месту применяют плохо заученные правила, вроде «нельзя вычесть 9 из 7», в результате чего пример 67 – 29 имеет ответ 42.

3. Используют письменные методы и решают на бумаге, когда решить в уме было бы проще и быстрее.

Вы, должно быть, давно ждете, когда же речь зайдет о традиционном методе сложения. Многие из нас учили в школе, что складывать 146 и 879 следует так:

Мы заучивали алгоритм механически, так что в конце концов он начинал казаться чем-то, что само собой разумеется, но для ребенка такой способ действий далеко не очевиден. К примеру, при решении приведенного примера взрослые говорят: «К шести прибавить девять будет 15; пять пишем, один в уме. Далее к четырем прибавляем семь и один, будет 12; два пишем, один в уме…» и т. д. Но «к четырем прибавить семь и один – будет 12» в действительности означает «к 40 прибавить 70 и 10 равно 120», а в следующем столбце рассматривается на самом деле не «один прибавить восемь, прибавить один», а «100 прибавить 800, прибавить 100». Мы понимаем этот шифр, но дети, у которых пока нет солидной подготовки, его не понимают.

Если даже сложение в столбик способно запутать ребенка, то вычитание столбиком (метод, которому обучались в школе старшие поколения) может оказаться настоящим минным полем.

Вот один из методов вычитания, который вы, возможно, осваивали в школе. Требуется решить пример 784 – 356:

Вы начинаете с правого столбца и говорите: «Шесть из четырех не вычитается, поэтому занимаем единицу из предыдущего разряда, шесть вычесть из 14 равно восьми; возвращаем один; пять плюс один будет шесть; восемь минус шесть будет два…» и т. д. (На самом деле, в зависимости от вашего возраста и школы, в которой вы учились, в алгоритме могут быть небольшие различия и маленькая «1», которую вы возвращаете или занимаете, может писаться в разных местах – как поется в песне Тома Лерера «Новая математика», написанной в 1960 г.)

Других мам и пап, возможно, учили «поправлять» верхнее число:

Вы опять-таки начинаете справа и говорите: «Шесть из четырех не вычитается, занимаем десяток из восьми [поскольку на самом деле это 80] и добавляем к четырем, получаем 14. Шесть вычесть из 14 – это 8, а 5 вычесть 7 равно 2…» То есть учили «брать» 10 из 8, но на самом деле здесь ничего ниоткуда не занимается, просто 784 разбивается на 770 + 14.

Маленькие дети, которые только начинают осваивать математические записи, не видят необходимости ставить символы в строго определенном порядке. Для них 3 + 4, 4 + 3 или даже 3 4 + или + 3 4 означает ровно одно и то же: сложить 3 и 4. Аналогично они не видят разницы между вариантами 7 – 3 и 3 – 7: то и другое означает попросту вычесть 3 из 7 (ведь если мы говорим «вычесть 3 из 7», то разумно записать сначала 3, а уж потом 7). Затем появляется взрослый, который очень хочет помочь (назовем этого человека мисс Строгость), и говорит: «Невозможно вычесть большее число из меньшего, поэтому не пиши 3 – 7, пиши 7 – 3». В принципе она не права, вычесть большее число из меньшего можно – мы не сомневаемся, что такое иногда случается с вашим банковским счетом. Математики придумали отрицательные числа именно для того, чтобы можно было получить ответ для выражения вроде 3–7. Просто ребенок пока не умеет этого делать.

Через какое-то время еще один доброжелательный взрослый (назовем его мистер Безупречность) показывает ребенку, как выполнять вычитание столбиком:

«Начинай с единиц, – наставляет малыша мистер Безупречность. – Из восьми вычесть пять будет три, из шести вычесть четыре будет два, из четырех вычесть два получится два». (На самом деле мы при этом вычитаем 40 из 60 и 200 из 400, но это уже другая история.)

Еще позже ребенок сталкивается, скажем, с таким примером:

– и голоса Строгости и Безупречности начинают спорить у него в голове:

Безупречность: «Начинай с единиц».

Ребенок: «Из двух вычесть девять».

Строгость: «Невозможно вычесть большее число из меньшего».

Ребенок: «Если мне нельзя из двух вычесть девять, то можно от девяти отнять два, это будет семь».

Таким образом, следуя полученным советам, ребенок начинает писать такие вещи, как:

Маленького ребенка правила могут только запутать, вот почему в настоящее время их придерживают до тех пор, пока ребенок не научится по-настоящему понимать, что делает. Тесты показывают, что ученики, с одной стороны, ошибаются, производя вычисления «старым» методом, а с другой – находят совершенно правильные решения, если пользуются собственными приемами.

В голове ребенка

Как они умудрились получить эти неверные ответы?

Взгляните на эти примеры на вычитание, решенные детьми. Хотя выполнены они неверно, в обоих случаях есть разумные причины, по которым дети ошиблись. Сможете определить, как могли в этих ситуациях рассуждать дети?

А. Ребенок, вероятно, сказал себе: «Из трех отнять семь не получится, значит, нужно из семи отнять три, будет четыре» и т. д.

Б. Здесь разобраться сложнее. Ребенок понял, что, чтобы вычесть семь из одного в правом столбце, нужно «занять» десять, но поскольку в колонке десятков числа 201 стоит нуль, он перешел левее и занял из двух в колонке сотен. (Еще одно объяснение: ребенок решал много задач на вычитание двузначных чисел и считал – неверно, но здраво, – что «занимать» нужно всегда из крайней левой цифры.)

У детей, делающих такие ошибки, отсутствует внятное числовое чутье. Они слабо понимают, что происходит, когда они используют старый метод – вычеркивают и «занимают». Числовая прямая и метод разбиения, которые мы рассматривали в предыдущей главе, для них намного понятнее.

(Нам рассказывали чудную историю о мальчике, который довел «занимание» до абсурда. Выполняя пример 543 – 287, он понял, что, чтобы вычесть семь из трех, нужно где-то что-то занять, но вместо того, чтобы занять один из соседнего столбца, он решил занять четыре из даты, написанной цифрами на самом верху страницы! Кончилось тем, что ответ получился верный – если, конечно, учитель готов был согласиться с тем, что дата загадочным образом уменьшилась на четыре.)

В начальной школе ваш ребенок действительно начинает осваивать письменные вычисления столбиком, но поначалу используемые им приемы могут показаться вам немного не такими, к каким вы привыкли. В настоящее время многие школы вводят вертикальные методы сначала в «расширенном виде», который делает метод понятнее и к которому можно вернуться, если что-то забылось. Вот как может быть организовано сложение:

Проверьте себя

7. Сложение посредством разбиения

1. Вычислите, сколько будет 147 + 242, при помощи разбиения.

2. Решите пример 368 + 772 при помощи разбиения.

Вычитание можно организовать по аналогичному принципу, а затем видоизменить числа так, чтобы сделать вычитание в каждом столбце возможным.

На этом этапе по-прежнему имеются сложности в вычитании девяти из двух и 80 из 50, так что числа в верхней строке могут быть представлены в ином виде (разбиты на части по-другому), чтобы вычитание в каждом столбце стало выполнимым.

Отсюда уже недалеко и до традиционной компактной формы записи.

Проверьте себя

8. Вычитание посредством разбиения

1) Решите пример 847 – 623 при помощи разбиения.

2) Сколько будет 721 – 184? (Вместо того чтобы делать это как 700 – 100, 20 – 80 и 1 – 4, найдите способ сделать это так, чтобы не пришлось иметь дело ни с какими отрицательными числами.)

В голове ребенка

Как они умудрились получить эти верные ответы?

Нынешние дети используют для вычитания гораздо больше разных подходов, чем старшие поколения. Хорошая новость в том, что это намного полезнее для детей. Плохая же (для родителей) заключается в том, что понять, что делают дети, теперь тоже намного труднее. Прежде чем разгадывать эту головоломку с вычитанием, попробуйте сами решить пример 56 – 38 при помощи бумаги и ручки.

А теперь взгляните на тот же пример, решенный тремя разными детьми. Все они получили верный ответ, но при этом воспользовались разными методами. Сможете ли вы понять, какими именно?

1. Ребенок говорит себе что-то вроде: «От 56 отнять 38. Вычтем 30 из 56, получится 26. Еще у меня осталось восемь, которое тоже нужно вычесть. Вычтем шесть из 26, это будет 20. Еще осталось два вычесть из 20, это будет 18». Поскольку девочка не записала один из промежуточных шагов, вам, возможно, трудно было разобраться в ее методе. Хорошо, если это просто наброски для себя, помогающие думать, но если ученица хочет, чтобы кто-то посмотрел ее работу, девочке надо подсказать, что писать следует приблизительно так:

56 – 30 = 26

26 – 6 = 20

20 – 2 = 18

2. Ребенок воспользовался своими представлениями об отрицательных числах, чтобы вычесть восемь из шести (получается минус два), а затем 30 из 50 (получается 20). К 20 прибавить –2, получится 18. (Вау!)

3. Здесь ребенок больше занимался сложением, чем вычитанием. Он определил, сколько нужно добавить к 38, чтобы получить 56: «38 плюс 2 равно 40, к 40 прибавить 16 будет 56, 2 плюс 16 равно 18».

Не удивляйтесь, если эти приемы показались вам путаными – главное, что они понятны детям, которые их придумывают. И не забывайте, что все ученики получили верный ответ!

Все приведенные здесь методы придуманы детьми, у которых уже появилось то, что математики любят называть «числовым чутьем», – ребята «чувствуют», как работает вычитание, и с удовольствием «играют» с предложенными числами, вместо того чтобы просто следовать придуманным кем-то правилам.

Процесс любых вычислений, будь то сложение, вычитание или что-то более хитрое, заканчивается очень важным этапом. Нужно проверить, есть ли вообще смысл у полученного ответа. На выработку этого навыка требуется время, поскольку большинство детей, решив пример, считают дело сделанным и отчаянно стремятся перейти к следующему заданию.

Проверить расчет не обязательно означает еще раз совершить ту же самую процедуру. Самые, пожалуй, полезные проверки – те, когда понимаешь, что произошла ошибка, даже если представления не имеешь, в чем она состоит. К примеру, 27 + 42 не может равняться 843, потому что оба слагаемые здесь меньше 100. Мы не знаем, в чем была ошибка, но мы точно можем сказать, что она там была! Научите ребенка искать очевидные ошибки; сформируйте у него привычку всегда задавать себе вопрос: «Разумно ли выглядит этот ответ?»

Проверьте себя

9. Откуда видно, что эти ответы неверны?

1) 3865 + 2897 = 6761

2) 4705 + 3797 = 9502

3) 3798 – 2897 = 1091

Простое умножение и таблицы

От сложения до умножения – один шаг, но с этим шагом множатся и проблемы – как для детей, так и для их родителей. Для детей основная трудность состоит в усвоении все более абстрактных идей, а для родителей – в том, что именно в этот момент незнакомые им методы и новый язык начинают по-настоящему заявлять о себе.

Обучение умножению естественным образом распадается на две составляющие: заучивание наизусть базовых фактов умножения (традиционно известных как таблица умножения) и овладение инструментами, позволяющими производить умножение более крупных чисел. Эта глава посвящена таблице умножения.

Газеты регулярно печатают пугающие статьи, в которых утверждается, будто в школах детей больше не учат таблице умножения. Так вот, это неправда. Нам не приходилось видеть ни одной школы, где не хотели бы, чтобы дети знали таблицу умножения, или факты умножения, как некоторым работникам образования в Англии нынче нравится их называть.

В чем пресса и школы временами расходятся, так это в том, как лучше добиться, чтобы дети накрепко запомнили все необходимое.

1. Дети не знают, чему равно 7 × 8.

2. Не видят, что задачу надо решать умножением (потому что в ней не сказано прямо: «Чему равно 8 умножить на 4?»)

3. Не понимают, что если ты знаешь, что 4 × 9 = 36, то ты знаешь также, чему равно 9 × 4, 36: 4 и 36: 9.

4. Не знают, как воспользоваться своими знаниями и восстановить по ним забытый кусочек таблицы.

5. Каждый раз считают 4, 8, 12, 16, 20, 24, вместо того чтобы раз и навсегда запомнить: 4 × 6 = 24.

Дети впервые сталкиваются с умножением в раннем возрасте и воспринимают его как упрощенный (или более короткий) способ сложения. Вместо того чтобы складывать: семь плюс семь плюс семь плюс семь, – очень удобно сразу вспомнить, что четыре раза по семь будет 28. Эти базовые расчеты имеют такое огромное значение в любой области математики – да и в большинстве других областей – что жизненно важно накрепко их запомнить.

Приведем в табличной форме те 100 фактов умножения (от 1 × 1 до 10 × 10), которые детям необходимо хранить в памяти и уметь в любой момент извлечь оттуда.

И это все. Выучите эту таблицу, и у вы обзаведетесь великолепным фундаментом для любых арифметических действий – и для математики в целом – на всю жизнь.

Но если бы все было так просто! Заучивание детьми таблиц умножения на разные числа – источник огромной головной боли для родителей, особенно когда им кажется, что дети не способны запомнить их так же быстро и легко, как когда-то они сами.

Прежде чем погрузиться вместе с ребенком в мир умножения, стоит отойти немного в сторону и осознать, что простой пример на умножение можно описать удивительным количеством разных способов. Возьмите пример 3 × 4. Можно прочитать его как:

• трижды четыре (или четырежды три);

• три раза по четыре;

• три умножить на четыре;

• произведение трех и четырех;

• три группы по четыре.

Постепенно ваш ребенок начнет понимать, что все это в сущности одно и то же и что все эти фразы означают умножение, но поначалу ему это далеко не очевидно. Вы можете помочь сыну или дочери, если, вместо того чтобы повторяться, будете как бы между прочим использовать разный язык в разговорах об умножении. К примеру: «Так сколько будет трижды четыре? Что получится, если взять три раза по четыре?»

(Для полноты картины упомянем о том, что при переходе в мир алгебры, где числа принято обозначать буквами, вы встретите еще пару способов, при помощи которых можно представить умножение. Поскольку буква «х» внешне похожа на знак умножения, вместо этого знака умножение нередко будут обозначать точкой или, еще чаще, вообще никак не обозначать! К примеру, «4(b – 3)» означает 4 умножить на (b – 3). Но ваш ребенок, вероятно, не встретит подобных обозначений до средней школы, поэтому, если математика у него в школе изучается не углубленно, не стоит вносить лишнюю путаницу и раньше времени знакомить его с этой идеей.)

Большинство взрослых учило таблицу умножения посредством зубрежки, читая ее подряд, как стихи. «Единожды четыре – четыре, дважды четыре – восемь, трижды четыре – двенадцать…» и т. д. Как правило, таблица умножения на отдельные числа заучивали последовательно – сначала таблицу умножения на два, затем на три… и так далее вплоть до 10. Существовало два способа заучивания таблицы – то число, на которое идет умножение, можно было называть либо первым, либо вторым. Так что вместо варианта «единожды четыре это четыре, дважды четыре – восемь…» вы, возможно, учили так: «четырежды один – четыре, четырежды два – восемь, четырежды три – двенадцать…»

Вне зависимости от порядка называния чисел, зубрежка, конечно, работает. Не исключено даже, что распевное «четырежды восемь – тридцать два» звучит у вас в ушах всякий раз, когда вы решаете примеры; кроме того, дети вообще хорошо заучивают на слух. Еще одно преимущество зубрежки вслух состоит в том, что это повторяющийся процесс, и можно не сомневаться, что если повторять что-то достаточно часто, то рано или поздно это запомнится, причем как следует. Поэтому если вашему ребенку нравится читать таблицу умножения нараспев, не мешайте ему, лучше похвалите.

Однако не всем детям нравится декламировать вслух и учить наизусть. К тому же распевная декламация таит в себе еще одну опасность. Поскольку строки в таблицах не рифмуются, можно спокойно декламировать их в правильном ритме – но с совершенно неверными ответами. «Четырежды восемь – тридцать шесть» слетает с языка не менее гладко, чем «четырежды восемь – тридцать два». Невозможно мгновенно определить, который из ответов верен, – можно только полагаться на собственную память. Ни в каком другом случае проблема дырявой памяти не проявляется так ярко, как с примером 7 × 8.

Если вы хотите понять, действительно ли человек знает таблицу умножения, семью восемь – то, что вам нужно. Именно на этом примере проще всего поймать кого-то на ошибке. Именно этот пример большинству людей труднее всего запомнить. 7 × 8 = 56. Или, может быть, 54? Или 58?

Короткий совет

Чтобы запомнить, чему равно семь умножить на восемь, просто запомните последовательность цифр: 5, 6, 7, 8 (56 = 7 × 8).

Заучивание таблиц умножения по порядку – сначала на два, затем на три, затем на четыре и т. д. – не самый эффективный способ выучить все, что нужно. Наиболее естественная для детей схема заучивания таблицы состоит в том, чтобы начать с самого простого и постепенно двигаться к самому сложному. Разумна такая последовательность:

• Умножение на десять (10, 20, 30…), которое дети усваивают естественно в процессе обучения счету.

• Умножение на пять (все-таки у всех нас по пять пальцев на руках и ногах).

• Умножение на два. Пары, четные числа и удвоение знакомы даже маленьким детям.

• Умножение на четыре (ведь это всего лишь удвоение умножения на два) и восемь (удвоение умножения на четыре).

• Умножение на девять (существуют достаточно удобные приемы, см. ниже).

• Умножение на три и шесть.

• Умножение на семь.

Советы относительно того, как помочь детям усвоить эти таблицы, можно найти в этой же главе ниже.