Текст книги "Математика для мам и пап: Домашка без мучений"

Прежде чем разбираться в том, как помочь ребенку освоить методы устного счета, подобные упомянутому выше, полезно приглядеться к ранним стадиям обучения сложению и вычитанию.

Большинство из нас, взрослых, обучалось сложению и вычитанию так давно, что мы успели уже позабыть, как долго нам пришлось осваивать эти навыки. Обычный четырехлетний ребенок вполне способен сказать вам, что два банана плюс три банана будет пять бананов или два нагеля плюс три нагеля будет пять нагелей, даже если он представления не имеет, что такое нагель. Но спросите у него, сколько будет три плюс два, и ребенок посмотрит на вас с недоумением: для него это слишком абстрактно. (В классическом исследовании один четырехлетка на вопрос о том, сколько будет три плюс два, ответил: «Не знаю, я еще не хожу в школу».)

Начав учиться в школе, ребенок и правда учится складывать и вычитать абстрактные числа: 3 + 5, 7 – 4 и т. д. При этом он заучивает так называемые факты сложения[3]3
  В методике преподавания математики в российских школах этому понятию примерно соответствует «состав числа». То и другое можно представить в виде таблицы сложения, аналогичной всем известной таблице умножения. – Прим. ред.


[Закрыть], как может объявить вам ваш ребенок или его учительница. Это начало путешествия детей в страну устного счета – математического навыка, которому в сегодняшней начальной школе уделяется гораздо больше внимания, чем в прежние времена.

Идеальное средство помочь ребенку как следует усвоить состав чисел – игра. Любая настольная игра с двумя кубиками заставляет мальчика или девочку тренироваться в сложении случайных чисел от 1 до 6. Вы без труда можете приспособить любую классическую игру-бродилку для игры с двумя кубиками. Сначала можно немного «подправить» один из кубиков, наклеив на грани стикеры и обозначив три из них одной точкой, а другие три – двумя. Бросание двух кубиков – такого вот упрощенного и стандартного – создает условия для того, чтобы ребенок попрактиковался в прибавлении к числу единицы и двойки – а это ключевое умение для маленького ребенка.

Домино тоже хорошо помогает усвоить состав чисел. Дайте сыну или дочери посмотреть на костяшку столько времени, чтобы он мог понять, сколько там точек с той и другой стороны, но не успел сосчитать все точки вместе. Сможет ли он определить суммарное количество точек? Переверните костяшку, пусть ребенок проверить результат.

Одним из удивительных результатов исследования того, как дети складывают и вычитают, стало следующее открытие: оказывается, развитию навыков устного счета помогает использование бумаги и карандаша! Речь идет об использовании их не для традиционных вычислений столбиком, а для облегчения решения не требующих сложных расчетов задач. Если отмечать на бумаге то, что происходит в голове, и фиксировать промежуточные шаги, то вашему ребенку будет проще рассказать, что он делает, – и в следующий раз вспомнить приемы устного счета.

Умение складывать – естественный результат развития навыка простого счета, и рано или поздно наступает ключевой момент, когда ребенок понимает: чтобы сложить пять конфет и четыре конфеты, не обязательно считать все девять: можно начать с пяти и посчитать после этого еще четыре. В школе для этого используют числовую прямую; от цифры 5 проводят стрелку, добавляя таким образом 4 и получая 9.

По мере того как добавляемые числа становятся больше, полезно бывает разбить процесс сложения на шаги. Вместо того чтобы складывать 8 и 7, дети могут сначала прыгнуть от 8 на 2 (чтобы получить 10), а затем прыгнуть еще раз, на оставшиеся 5, чтобы получить 15.

Разделение числа на части известно сегодня в начальной школе под громким названием – «разбиение». (Большинство родителей, конечно, знакомы с этой идеей, – просто раньше для нее не придумывали специального названия!) Как вы увидите в дальнейшем, знание о разбиении понадобится при изучении всех разделов арифметики, так что стоит добавить это слово в свой словарь.

Простейшие примеры на вычитание решаются точно так же, только двигаться по числовой прямой нужно справа налево, а не слева направо. Так что пример 12 – 5 можно реализовать либо одним прыжком налево, либо в два этапа, к примеру, как показано ниже.

Как только ребенок усвоил базовые факты сложения (для чисел от 1 до 10), он оказывается готов к овладению новыми навыками устного счета. Сегодня детям рекомендуют мысленно представлять себе неразмеченную числовую прямую, на которую при расчетах они будут помещать числа.

Благодаря числовой прямой дети начинают открывать для себя, что существует много различных методов, которые можно использовать при сложении.

Рассмотрим пример: 55 + 37

Метод 1: разбиваем оба числа на десятки и единицы

Если ваш ребенок уже уверенно складывает и вычитает в уме и имеет базовое представление о разрядных значениях, то он, вполне возможно, изобретет для себя метод решения подобных примеров, основанный на разбиении обоих чисел на десятки и единицы:

• складываем 50 и 30, получаем 80;

• добавляем 5, получаем 85;

• прибавляем оставшиеся 7, получаем 92.

Можно отразить эти шаги на неразмеченной числовой прямой:

Метод 2: разбиваем меньшее число на десятки и единицы

Чуть более продвинутый подход состоит в том, чтобы разбить на десятки и единицы только одно из чисел. Это позволяет исключить из расчета один шаг:

• складываем 55 и 30, получаем 85;

• к 85 прибавить 7 получится 92.

Неразмеченная числовая прямая наглядно иллюстрирует этот метод:

Дети, судя по всему, «естественно» склоняются к использованию первого метода и очень соблазнительно позволить им работать так, как им удобнее всего. Но если вы сумеете подтолкнуть ребенка к применению второго метода, это поможет ему, когда придет время осваивать вычитание.

Проверьте себя

4. Числовая прямая

Используйте числовую прямую для решения следующего примера: 48 + 36.

Взгляните, как выглядит ваш ответ в сравнении с решением девятилетнего ребенка.

Ребенок должен не только осваивать новые методы устного счета, но и регулярно практиковаться в их использовании, чтоб они стали частью его второй натуры. Возможно, вы сейчас подумали о всевозможных рабочих тетрадях по счету, которые продаются в любом магазине, или о подборках примеров в интернете. Есть ли место для подобных вещей? Да, есть, но важнее разговаривать с детьми о различных методах счета. Не стоит усаживать ребенка за стол и заставлять решать по 20 примеров одним и тем же методом просто потому, что они идут подряд в каком-то пособии. Конечно, можно попросить ребенка обвести карандашом все примеры, которые, как ему кажется, он мог бы решить в уме, можно поделиться с ним своими любимыми задачками и таким образом показать ребенку, что к вычислениям следует подходить осмысленно, а не бездумно.

Гораздо более приятная возможность попрактиковаться в устном счете – игры и головоломки.

Игра: крикет, игральные кости и сложение

Любой родитель, которому когда-либо приходилось вести подсчет очков в крикетном матче, знает, что эта игра прекрасно подходит для тренировки простых арифметических навыков. В летние месяцы вы вполне можете сводить сына или дочь на матч местного клуба; игроки будут только рады: наверняка ребенку разрешат участвовать в управлении табло с результатами. Дети вообще обожают быть ведущими и подсчитывать очки. Команда начинает каждый иннингс (подачу) с нулем очков; всякий раз, когда игрокам удастся заработать какие-то очки, вашему ребенку придется прибавлять число от одного до шести. К концу игры ему придется иметь дело с числами в несколько сотен: «Пап, сколько будет 198 плюс 4?»

Если вы предпочитаете отдыхать дома, то существует простая игра с использованием игральных костей под названием Howzat! (от англ. How is that? – «Как это?») – неплохой симулятор крикетного матча. Используются две игральные кости (традиционно это длинные кости в виде шестиугольных призм, которые не бросают, а катают, но в принципе годятся любые). Бросок одной кости показывает вам, сколько очков получено (одно, два, три, четыре или шесть). Если выпадает «пять», возникает ситуация «Howzat» и вы бросаете вторую кость, чтобы выяснить, выбываете вы (одно, два, три или четыре) или нет (пять или шесть). Если не выбываете, то вы продолжаете бросать первую кость и набирать очки. Любой игрок, набравший 50 очков, награждается аплодисментами. Дети способны играть в эту игру часами. (Или один из авторов просто смотрит на собственное детство сквозь розовые очки?)

Игра: сложение с волшебным поворотом

Вот волшебная числовая таблица, которую ваш ребенок сможет с огромным удовольствием исследовать. Возьмите ручку и бумагу и перепишите на нее эту таблицу.

Выберите в этой таблице любое число и обведите его кружком. Затем вычеркните все другие числа, расположенные в той же строке и том же столбце, что и выбранное вами число. (К примеру, вы могли бы выбрать 2 и вычеркнуть остальные числа, как показано ниже, – но выберите число на свой вкус!)

Теперь обведите кружком любое число из оставшихся – и опять вычеркните все числа в его строке и столбце. Проделайте ту же операцию в третий раз – и наконец обведите кружком единственное оставшееся число таблицы. Теперь у вас есть четыре числа, которые вы сами выбрали. Сложите их. Чему равна сумма? 19?

1. Нарисуйте таблицу, состоящую из четырех строк и четырех столбцов.

2. Напишите карандашом восемь чисел, которые в сумме дают волшебное число – в данном случае 19, вдоль верхней границы таблицы и сверху вниз по левому краю. Очень хорошо, если все числа будут разными, но это не обязательно. К примеру, вы можете выбрать следующие восемь чисел (проверьте, дают ли они в сумме 19):

3. Теперь заполните клетки таблицы числами, полученными при сложении числа, написанного над столбцом, и числа, указанного слева от строки. К примеру, в левой верхней клетке таблицы должно стоять 3 + 4, поэтому впишите туда 7 (у вас получилась так называемая таблица сложения). Как будет выглядеть частично заполненная таблица, см. далее.

4. Сотрите числа, написанные карандашом вокруг таблицы. Волшебный квадрат готов к использованию.

Теперь всякий раз, когда вы выберете ровно по одному числу из каждого столбца и каждой строки, сумма выбранных чисел составит 19.

Чтобы составить волшебный квадрат с иной суммой (к примеру, она будет равняться 43), просто позаботьтесь о том, чтобы числа вдоль границ таблицы на Шаге 2 из перечисленных выше в сумме давали 43. Из волшебных числовых таблиц получаются замечательные открытки ко дню рождения. Просто нарисуйте на открытке соответствующую таблицу – и позаботьтесь о том, чтобы в сумме числа составляли возраст того, кому эта открытка предназначается.

Метод вычитания при помощи числовых прямых работает в точности так же, как и в случае сложения, но двигаться по прямой при этом приходится влево, а не вправо. Однако некоторые подходы к вычитанию оказываются проще других.

Скажем, взгляните на такой пример: 55 – 37 =?

Разбиение обоих чисел на десятки и единицы и попытка вычислять в уме может запутать ребенка, если только он не умеет свободно обращаться с отрицательными числами. Если не проявить достаточной осторожности, можно получить примерно следующее:

1. Вычитаем 30 из 50, получаем 20.

2. Вычитаем 7 из 5 (получаем –2). Могу я это сделать? Может быть, нужно вычесть пять из семи? Получится два.

3. Что же делать дальше? Прибавить два к 20, вычесть два из 20, или что? Помогите!!!

Все будет намного проще, если вы начнете с целого первого числа (в данном случае 55) и вычтете из него сначала десятки, а потом единицы.

1. Вычитаем 30 из 55, получаем 25.

2. От 25 отнимаем семь. Ответ – 18.

Логику, лежащую в основе этого метода, опять же можно прекрасно проиллюстрировать при помощи неразмеченной числовой прямой.

Проверьте себя

5. Еще раз числовая прямая

Выполните этот пример на вычитание, а затем сравните свой ответ с ответом девятилетнего ребенка: 73 – 28 =

Приемы устного счета эффективны в том случае, когда дети в состоянии складывать в уме небольшие и крупные числа или вычитать небольшие числа из более крупных. Здесь полезны два метода, которые одинаково хорошо работают и со сложением, и с вычитанием.

Первый метод называется мостиком, или переходом, через десяток. Если вы хотите прибавить, скажем, шесть к 137, полезно подумать о разбиении шестерки: сначала добавляем три к 137, затем «отскакиваем» от 140 и добавляем оставшиеся три. Вот как ребенок показал, как это делается, на пустой числовой прямой:

Аналогично для вычитания.

142 – 8 =

142 – 2 = 140 и 140 – 6 = 134.

Второй метод называется компенсацией: вы прибавляете или вычитаете больше или меньше, чем нужно, а затем «компенсируете» это в ответе. К примеру, при прибавлении 9 метод компенсации заключается в том, чтобы прибавить 10 и отнять 1:

Опять же, это работает и в случае вычитания.

267 – 48 проще представить себе как 267 – 50; это равно 217. Но ведь при этом мы отнимаем на 2 больше, чем нужно (нам надо вычесть не 50, а 48), так что ответ следует подправить, вернув 2 на место: получится 219.

Научившись демонстрировать ход своих рассуждений при помощи неразмеченной числовой прямой, ребенок может приступить к изобретению других методов, работающих с конкретными типами чисел: 55 + 39 =

Здесь можно было бы добавить сначала 30, а затем 9, но, будучи уверенными в своих силах, мальчик или девочка могут попробовать и иной способ: сначала прибавить 40, а затем вычесть 1.

Ваш ребенок в школе будет учиться не только тому, как выполнять сложение или вычитание; он должен также усвоить, когда следует применять каждую из этих операций. Как правило, дети без труда понимают, в каком случае нужно что-то складывать, но вычитание в этом плане воспринимается хуже.

Многие люди читают примеры вроде 37 – 19 как «от тридцати семи отнять девятнадцать»: их первые впечатления о работе с вычитанием связаны с тем, что что-то убирают или отнимают. Отсчитываем 37 счетных палочек, а теперь 19 убираем, сколько остается? Но ведь при помощи вычитания можно решать множество самых разных задач, в том числе тех, где ничего не «отнимается».

У меня 37 наклеек, а у моего друга 19. На сколько наклеек у меня больше?

Эту задачу можно решить вычитанием: 37 – 19, но ничего здесь ни у кого не отнимается – в конце концов я останусь при своих 37 наклейках, а у моего приятеля их по-прежнему будет 19.

Аналогично, предположим, что новая игра для игровой приставки, о которой я мечтаю, стоит £37. Пока в моей копилке набралось £19. Сколько еще мне нужно накопить?

Дети склонны решать такие задачи при помощи счета вверх от 19 до 37, что можно записать как 19 +? = 37, но вы можете перевернуть пример и спросить: «Чему равно 37 – 19?»

В этом случае неразмеченная числовая прямая также представляет собой мощный образ и помогает ребенку освоить методы вычитания в уме, а также исследовать различные его смыслы. Мы предлагаем вам подумать чуть-чуть над следующими тремя примерами: прежде чем читать дальше, попробуйте найти ответы и осмыслить, как вы это сделали:

130 – 17; 130 – 118; 130 – 49.

Первый пример большинство людей решает путем «отъема»: они удаляют 17 из 130, как правило сначала отнимая 10 и получая 120, а затем отнимая 7 и получая 113. Но «отнимать» 118 из 130 – довольно громоздкая процедура. Проделать это можно, но вы, скорее всего, сказали себе: «Так, 12 и 118 будет 130». Иными словами, вы, вместо того чтобы «отнимать», добавляли к 118 и по существу искали разницу между двумя числами. 130 – 49 иногда подталкивает к другой «компенсационной» стратегии: 49 близко к 50, поэтому вычтем 50 из 130, получим 80 и добавим единицу обратно (в порядке компенсации за ту лишнюю единицу, которую мы вычли, когда вычитали 50 вместо 49). Все эти методы можно наглядно представить на неразмеченной числовой прямой.

Многие учителя сегодня рекомендуют детям сопровождать счет такими вот короткими то ли рисунками, то ли записями, потому, что, по данным психологов, дети постепенно начинают работать с каким-то воображаемым вариантом числовой прямой и в дальнейшем могут складывать и вычитать уже без всяких записей.

Короткий совет

Работая с детьми, старайтесь использовать самые разные слова при чтении задач на вычитание. Так, когда есть пример 10 – 7, вы можете сказать: «От десяти отнять семь», «Десять минус семь», «Из десяти вычесть семь», «Какова разность между десятью и семью», «На сколько десять больше семи?», «Насколько семь меньше десяти?»

Проверьте себя

6. Цены на обувь

Использовать вычитание приходится постоянно. Вот, скажем, задача из реальной жизни. Не исключено, что, решая ее, вы примените разные методы, в том числе вычитание и сложение.

Рэчел покупает пару сандалий за £13,75 и пару кроссовок за £32,40.

1. Сколько сдачи она получит с £50?

2. На сколько кроссовки дороже сандалий?

Игра: квадрат разностей

Нарисуйте на листе бумаги очень большой квадрат. Попросите ребенка выбрать какие-нибудь интересные числа и поставить их в четырех углах квадрата. Отметьте середину каждой стороны квадрата; вместе с ребенком определите разницу между числами в соседних углах и запишите полученное число возле отметки в середине соответствующей стороны. (В нашем случае разница между числами в верхних углах составляет 8, а числа левой стороны различаются на 11. Остальное можете заполнить сами…)

Теперь соедините отрезками отмеченные середины сторон, чтобы получить квадрат меньшего размера, расположенный под углом к первому. Отметьте у него середины сторон и, используя числа в углах этого квадрата, подпишите рядом соответствующие разности (разность между 8 и 11 равна 3.) Соедините эти точки, чтобы образовать новый квадрат, еще меньшего размера, отметьте середины сторон и продолжайте в том же духе.

Постепенно все числа в серединах сторон окажутся одинаковыми, так что у последнего квадрата, который вы сможете нарисовать, в серединах всех сторон будут нули. (В этом деле замечательно то, что даже если вы ошибетесь где-то по пути и неправильно найдете разность, со временем все тем не менее закончится четырьмя нулями.)

Игру можно превратить в соревнование. Кто сможет выбрать четыре числа меньше 20, которые позволят построить наибольшее число квадратов? Что происходит с более крупными числами? С отрицательными числами? С дробями? А если начать не с квадрата, а с треугольника или шестиугольника? Вообще, эта игра – прекрасный способ «заставить» ребенка решить множество примеров на вычитание без всяких скучных заданий.

Еще одна ловушка, поджидающая ребенка при знакомстве с вычитанием, – отрицательные числа. Отчасти сложность здесь связана с тем, что такие числа намного труднее представить себе, чем положительные (натуральные) числа.

Не исключено, что формально ваш ребенок познакомится с отрицательными числами только в 5-м или 6-м классе, но практически он столкнется с ними наверняка раньше. Во многих зданиях есть подземные этажи, так что лифт вполне может ездить на этаж номер –1, –2 и т. д. А в холодные зимние дни ребенок может обратить внимание на то, что термометр показывает температуру на улице, скажем, – 5 °C. В обоих случаях речь идет о числах, которые располагаются «ниже» 0, так что вы можете помочь ребенку осмыслить эти числа, если повернете числовую прямую вертикально, так чтобы отрицательные числа действительно оказались ниже нуля. В отличие от обычной горизонтальной числовой прямой назвать ее можно числовой лесенкой. Нуль на ней располагается посередине, и к положительным числам приходится идти вверх, а к отрицательным – вниз. После этого отрицательные числа можно называть «подземными». (Вероятно, к тому моменту ваши дети не успеют еще столкнуться с превышением кредитного лимита, но это, конечно, тоже «подземные» числа.)

Поскольку когда-нибудь долги в жизни ваших детей станут привычными, вы можете даже дать им представление об арифметических действиях с отрицательными числами. Знак «+» – движение вверх, знак «–» – вниз. Поэтому 3 – 5 означает, что нужно начать на уровне 3 и пройти вниз пять шагов, после чего оказываешься на подземном уровне 2.

Вероятно, нет ничего удивительного в том, что детям (и взрослым) пример 9 – 5 кажется намного проще, чем 5 – 9. Те и другие представляют себе числовую прямую и движение – либо влево, если прямая горизонтальна, либо вниз, если она вертикальна. Начав с девятого этажа и пройдя пять этажей вниз, попадаешь на четвертый. Если нужно начать с пятого этажа и спуститься на 9 этажей, то эту операцию можно разбить на два этапа: сначала пройти пять этажей до нулевого, а затем еще четыре – и окажетесь на этаже номер –4. (На самом деле это правило действует всегда: если поменять местами уменьшаемое и вычитаемое, ответ получится тот же, но с противоположным знаком. Так что 48 – 23 дает 25, а 23 – 48 дает –25.)

Еще одна путаница, связанная с отрицательными числами, – беспорядочное использование слова «минус». Минус может использоваться для обозначения действия (как в предложении «Восемь минус три равно пяти») или состояния («Температура была минус шесть градусов»). Лучший способ устранить эту путаницу – никогда не использовать слово «минус» в разных смыслах. Можно, к примеру, всегда обозначать действие словом «вычесть»[4]4
  Авторы, строго говоря, предлагают сделать наоборот: никогда не использовать слово «минус» для обозначения состояния. Однако в русском языке вариант «отрицательное два» вместо «минус 2» кажется чужеродным, зато вариант замены «минуса как действия» словом «вычесть» используется довольно часто. – Прим. пер.


[Закрыть].