Текст книги "Математика для мам и пап: Домашка без мучений"

Имея в виду, что изменить систему названий чисел не в нашей власти, как мы можем помочь ребенку? Полезно вместе поиграть с большими числами, попутно исследуя их возможности. Очень соблазнительно думать, что для ребенка логично знакомиться с числами идя от маленьких к большим: сначала числа до 10, потом – до 20, затем – до 30 и т. д. Но обратите внимание: именно с наименованием маленьких чисел в языке наблюдается такая путаница. Игры с более крупными числами помогают ребенку понять, что числовая система вовсе не хаотична и общая логика в ней все-таки присутствует. На прогулке, например, предложите ребенку заняться счетом и заодно поиграть: «Давай-ка посчитаем, начиная с шестидесяти», «Посчитаем, начиная с семидесяти пяти, а называть следующее число будем по очереди». Игра должна быть веселой. «Посчитаем десятками, начиная с сорока, договорились? Пятьдесят, шестьдесят, семьдесят, восемьдесят. Что дальше? Девяносто!» Обрадуйтесь, если ребенок скажет, что после восьмидесяти должно идти девятьдесят: согласитесь, это очень логично.

Полезно также играть с по-настоящему большими числами. Для того чтобы назвать большое число, мы группируем используемые для его записи цифры по три. Подумайте, как вы назовете следующее число: 876 452 781. Прислушайтесь, уловите закономерность: восемьсот семьдесят шесть миллионов четыреста пятьдесят две тысячи семьсот восемьдесят один. Вырисовывается почти вальсовый ритм: раз-два-три, раз-два-три, раз-два-три. Сотни, десятки и единицы – основные строительные кирпичики в названиях всех больших чисел.

Игра: гонка до 100

Цель этой игры с разрядными значениями – набрать ровно 100 очков до того, как это сделает соперник.

Вам потребуются: игральный кубик, бумага и карандаш.

Игроки по очереди бросают кубик. Вы можете взять либо столько очков, сколько выпало на кубике, либо в десять раз больше. То есть когда выпадает, например, 4, у вас или 4, или 40 очков. Последовательные результаты суммируются – первый, у кого наберется ровно 100 очков, выигрывает. За 100 переходить нельзя.

В другом варианте игры можно начать со 100 и двигаться вниз, вычитая очки.

В голове ребенка

Вот типичный вопрос, который можно задать ребенку, чтобы проверить, понимает ли он смысл разрядного значения. Попросите его записать следующие числа по порядку, начиная с большего:

Вот результат одной девочки:

Как по-вашему, почему девочка предложила именно такой ответ? Она сосредоточена на самих цифрах, с помощью которых записываются числа, а не на ценности этих цифр согласно их месту в числе. Видимо, ребенок думает: «Все эти девятки, должно быть, делают число 999 больше, чем 1001».

Может быть, вашим детям будет легче, если некоторое время, пока они привыкают к разрядным значениям, вы будете записывать числа в столбики с заголовками. Тогда числа 1001 и 999 будут выглядеть так:

Когда ребенок считает уже уверенно, он начинает открывать для себя числовые закономерности. Одна из простейших закономерностей – четные и нечетные числа, различать которые способны даже четырехлетние дети. Гуляя по улицам, вы можете показывать детям, что дома «считаются» не по обычным правилам. На одной стороне располагаются дома с номерами 2, 4, 6, 8, 10…, а на другой – 1, 3, 5, 7, 9… Дети быстро схватывают эту закономерность, так что стоит вам спросить: «А какой будет номер следующего дома?», – как ребенок начнет считать двойками.

Игра: карточки с четными и нечетными числами

Сделайте из плотной бумаги пять белых карточек размером с открытку. Черной ручкой напишите на них 0, 2, 4, 6, 8. Затем на оборотной стороне карточки с нулем красной ручкой напишите цифру 1, на обороте карточки с двойкой – цифру 3, и таким же образом напишите 5, 7, 9 на остальных трех карточках. Разложите все пять карточек на столе, затем отвернитесь и попросите ребенка перевернуть столько карточек, сколько ему захочется – одну, или больше, или все пять. Теперь на столе будут и черные, и красные карточки, и вы не будете знать, сколько там тех и других.

Вы объявляете, что, хотя вы не имеете представления о том, как лежат карточки (поскольку вы по-прежнему сидите отвернувшись), вы сможете сосчитать сумму цифр на них. Пусть только сын или дочка сообщит, сколько на столе красных карточек. Предположим, ребенок скажет, что видит две красные карточки. Вы притворяетесь, будто что-то старательно подсчитываете по сложной формуле, что-то складываете, что-то вычитаете, а затем объявляете результат: 22. После этого поворачиваетесь и вместе с ребенком складываете числа на карточках. Получается, само собой, 22.

Секрет этого фокуса чрезвычайно прост. Чтобы получить ответ, следует просто добавить 20 к названному ребенком числу красных карточек.

Почему этот способ работает? Предположим, все карточки лежат черными цифрами вверх. Тогда сумма чисел на них равна 20. Переворачивая любую черную карточку, вы увеличиваете сумму на единицу, поскольку красное (нечетное) число на обороте всегда на единицу больше. Не имеет значения, какие именно карточки будут перевернуты; достаточно знать, сколько их. Если, скажем, перевернуты три карточки, то сумма непременно должна равняться 23 (20 + 3).

Можно считать, что ребенок на самом деле овладел счетом, если он способен считать не только вперед, но и назад. Обратный отсчет перед пуском ракеты – замечательная штука, помогающая ребенку запечатлеть в памяти обратный порядок цифр (можно найти какую-нибудь видеозапись с таким отсчетом, реальную или из фантастического фильма: ПЯТЬ… ЧЕТЫРЕ… ТРИ… ДВА… ОДИН… ПУСК!).

Есть также небольшой фокус с обратным счетом, которым можно развлечь маленького ребенка, который уже знает, что у него должно быть десять пальчиков.

– А ты знаешь, что у меня одиннадцать пальцев?

Ребенок с любопытством изучает свои и ваши руки.

– Нет, десять!

– Я сейчас покажу тебе, что у меня их одиннадцать. Так, сначала левая рука, на ней… [указываете по очереди на пальцы левой руки] десять, девять, восемь, семь, шесть пальцев [произнося «шесть», поднимаете мизинец вверх]. Так, это шесть. Теперь добавляем пять пальцев на другой руке, шесть и пять вместе получается 11».

После этого ваш «одураченный» на короткое время ребенок будет с большим жаром и энтузиазмом объяснять и демонстрировать вам, что на самом деле пальцев у вас десять.

Игра: магия цвета

Эта игра великолепно подходит и для детей, только начинающих осваивать счет, и для ребят постарше – им придется разобраться, как все это работает.

Напишите на бумажке название цвета – оранжевый – и положите бумажку на стол надписью вниз так, чтобы никто не видел, что вы написали. Покажите ребенку рисунок, который вы видите ниже, напоминающий большую цифру 9. Представьте, что это цветовая окружность с хвостиком, идущим вниз.

1. Для начала поставьте палец на кончик хвоста, на кружок с надписью «Начните здесь».

2. Попросите ребенка выбрать любое число, которое было бы больше двух и меньше десяти.

3. Поднимаемся вверх по цветам радуги, причем количество пройденных кружочков должно быть равно названному ребенком числу: 1 – это красный, 2 – оранжевый; 3 – желтый; 4 – зеленый и т. д.

4. А теперь пройдем это же количество кружочков еще раз, но только двигаясь по часовой стрелке и по кольцу, а не вниз до конца хвостика.

В результате вы всегда окажетесь на оранжевом цвете.

Кстати говоря, это работает и для чисел больше десяти, хотя для чисел, которые больше двенадцати, вам придется обойти кольцо не один раз. Очень увлекательно выбрать какое-нибудь большое число, к примеру, 50, и отсчитывать его в обе стороны очень быстро и вслух.

Подобные игры имеют двойную ценность. Они не только закрепляют в голове ребенка идею счета, но и заставляют задуматься о более глубокой проблеме: «Почему это всегда работает?» Такие задачи доставляют море удовольствия.

Чему равно самое большое число, которое вы в состоянии придумать? 18… 94… 100… 1000. Чему на самом деле равно самое большое число? И существует ли самое большое число? Это игра, в которую обожают играть дети.

Здесь очень кстати приходятся слова, обозначающие большие числа: при перечислении они начинают звучать немного глупо. Миллионы, миллиарды, триллионы… «дофигаллионы»! Это еще один хороший повод для разговора о разрядных значениях, поскольку количество нулей в числе становится очень важным.

Представить себе миллион чего-нибудь чрезвычайно трудно. Большинству детей кажется, что даже тысяча – это о-очень много. Можно подтолкнуть воображение ребенка, выхватив из газетной статьи или из новостей произвольное большое число – к примеру, сумму, уплаченную клубом за футболиста. «Роналду только что продали за 80 миллионов фунтов», – может прозвучать в новостях. Услышав это, вы спрашиваете: «А ну-ка, сколько тебе пришлось бы копить карманные деньги – пусть это будет, скажем, £10 в неделю, – чтобы купить Роналду?»

Возможно, вы удивитесь, но большинство детей считает, что такую сумму можно накопить за год. «Это не так? А сколько же? Десять лет? Сто лет?» – спрашивают дети с возрастающим интересом.

На самом деле правильный ответ – 160 000 лет. Но даже это число мало что значит для большинства детей. Поэтому вам следует объяснить, что 160 000 лет назад – эпоха до начала последнего ледникового периода. Неандертальский человек все еще обитал в глухих уголках Европы. Представьте, что мог бы сказать пещерный человек: «Знаешь что, мне бы хотелось заполучить через 160 000 лет Роналду в свою команду, так что если я сегодня начну откладывать по десять мамонтовых шкур в неделю, то когда-нибудь я смогу его купить». Согласитесь, при такой постановке вопроса и правда возникают сомнения в том, что какой бы то ни было футболист в принципе может представлять собой такую ценность…

Пройдите в самую большую комнату своего жилища. А теперь вообразите, что вся ширина этой комнаты представляет собой миллиард. Какую часть ширины в таком случае занимает миллион? Поскольку миллион – число большое, естественно подумать, что точка, соответствующая этому числу, окажется на достаточном, заметном расстоянии от стены. В действительности же, если ваша комната, скажем, имеет ширину пять метров, то «миллионная» отметка будет располагаться всего лишь в пяти миллиметрах от стенки. В сравнении с миллиардом миллион – крохотная величина. «Миллионы», «миллиарды», «триллионы» наполняют наши газеты. Все названия звучат солидно, на самом же деле очень полезно сформировать у ребенка представление о том, что между большим, очень большим и огромными числами – дистанция огромного размера.

…и так далее.

В конце концов мы добираемся до «бесконечности» и успокаиваемся до тех пор, пока кто-нибудь не скажет: «Бесконечность плюс один». Но что такое бесконечность плюс один? (Если захотите узнать об этом, см. «Бесконечность и дальше» в главе «Большие идеи для маленьких человечков».)

Мы уже видели, как наша система счета работает с группировкой чисел по десяткам, когда каждый разряд в числе в десять раз больше, чем его сосед справа (сто в десять раз больше десяти, тысяча в десять раз больше ста и т. д.). Эта же модель работает и в обратном направлении. Читая слева направо, увидим, что каждый следующий столбец в десять раз меньше предыдущего (сто в десять раз меньше тысячи, единица в десять раз меньше десятка). Но зачем останавливаться на этом?

Мы можем поделить единицы на кусочки, которые будут в десять раз меньше: десятые доли. А эти десятые доли поделить на кусочки, которые вновь будут в десять раз меньше: сотые доли. Мы называем все эти доли десятичной дробной частью, или десятичными знаками. В английском языке они обозначаются словом decimals – с ним связано слово «децимация», произошедшее от латинского decimatio. (В Древнем Риме существовало жестокое наказание с таким названием: если когорта в войске совершала какой-то проступок, то в ней казнили каждого десятого солдата просто по счету).

Когда математики придумали принцип образования десятичных дробей, встал вопрос: как записывать эти новые числа? Можно было бы, конечно, писать просто но кому-то в голову пришла блестящая идея просто обозначить специальным значком место, где заканчиваются целые числа и начинается дробная часть: 93,58. В настоящее время в качестве такого значка в разных странах используются точка и запятая.

Десятичные знаки в дробной части тоже могут продолжаться сколь угодно долго:

Так что числа могут не только увеличиваться, но и уменьшаться до бесконечности.

В голове ребенка

Давайте сравним 11 111 и 9999. Ребенок уже знает, что, хотя число 11 111 кажется на первый взгляд меньше, чем 9 999 (поскольку в нем одни единицы), на самом деле оно больше. Ведь это число пятизначное, а 9999 – лишь четырехзначное; а чем больше знаков в числе, тем оно больше, какие бы цифры в нем ни стояли. Если человеку предлагают в качестве зарплаты четырехзначную сумму или же трехзначную сумму, он, даже если не знает точных цифр, понимает, что в первом случае ему будут платить больше, чем во втором.

Далее ребенок узнает, что десятичные дроби уменьшаются с увеличением числа знаков после запятой: 0,03 меньше, чем 0,3, а 0,003 еще меньше. Чрезмерное обобщение возникает в том случае, когда ребенок считает: если с увеличением количества знаков в целом числе оно становится больше, то дробное число обязательно тем меньше, чем больше в нем знаков после запятой. Ему кажется, что 0,125 меньше 0,8 потому, что в числе 0,125 есть тысячные доли, тогда как в числе 0,8 – только десятые. (Обратите внимание, как язык здесь помогает создать путаницу: число, в котором присутствует тысячный разряд, на самом деле больше, чем число, в котором есть только десятки, а слова «тысячных» и «десятых» звучат очень похоже на слова «тысяч» и «десятков».)

Вы сможете помочь своему ребенку, поговорив с ним о значениях разрядов в каждом из приведенных чисел: в числе 0,8 содержится восемь десятых долей, тогда как в числе 0,125 десятая доля только одна – а на остальные цифры можно не смотреть.

Сложение и вычитание: методы устного счета

Сложение и вычитание – два краеугольных камня в фундаменте математики, и именно на этой стадии изучения математики мамы и папы скорее всего столкнутся с незнакомыми методами и терминами, такими как «числовая прямая» и «факты сложения».

Самое, возможно, серьезное изменение в преподавании сложения и вычитания заключается в том, что сегодня детей в первую очередь – прежде чем переходить к сложению и вычитанию столбиком – учат устному выполнению этих действий. В данной главе объясняется, почему акценты сместились таким образом.

Из двух названных тем наибольшие трудности для детей представляет вычитание. Большинство родителей воспринимают вычитание просто как противоположность сложению, но на самом деле все несколько сложнее, потому что у вычитания есть множество разных смыслов. Слово «вычесть» может означать и «отнять», и «найти разницу», и даже «сложить». К примеру, если у вас есть 201 каштан, а потом вы 196 из них убрали, сколько у вас осталось? Ребенок, вероятно, уверен, что для ответа нужно решить сложный пример на вычитание, а взрослый, скорее всего, видит здесь необходимость сложения (сколько нужно прибавить к 196, чтобы получить 201… а, это просто, пять!). Именно потому, что сложение и вычитание часто представляют собой одно и то же, мы и объединили их в этой и следующей главах. Сначала мы посмотрим, почему методы и приемы устного счета приобрели такое значение и чем они отличаются от обычных арифметических действий, производимых в уме, а также поговорим о том, как вы можете поддержать ребенка при освоении этих методов. В следующей главе мы рассмотрим такие случаи сложения и вычитания, когда эти действия невозможно легко выполнить устно, а также те методы письменного сложения и вычитания, которым детей в настоящее время обычно учат в школе.

1. Чтобы выполнить сложение или вычитание, ребенок считает вперед или назад единицами, тогда как существуют более простые методы. К примеру, если надо к 17 прибавить 9, он начинает считать: 18, 19, 20,… хотя намного быстрее было бы прибавить десять и затем вычесть один.

2. Ребенок сразу же хватается за ручку и бумагу и начинает считать в столбик, хотя стоит задуматься и можно без труда найти более простой устный способ (245 + 299 или 4003 – 2996).

3. Уверен, что вычесть – значит непременно «отнять», и не осознает, что это может означать также «найти разницу»; к примеру, на сколько я выше своего брата?

4. Дети думают, что нельзя вычесть большее число из меньшего, поэтому решить пример 7 – 11 невозможно (слава богу, в банке так не считают).

Головоломка: хитроумный прием Гаусса

Давным-давно, по крайней мере так рассказывают, жил на свете восьмилетний мальчик по имени Карл Фридрих Гаусс. У него был плохой учитель, который хотел, чтобы дети работали, пока сам он сидит и занимается чем-то посторонним. Поэтому учитель задал детям длиннющий пример:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … и так до 100.

«Это должно занять их почти до конца урока», – подумал учитель, уверенный, что детям придется много считать на бумаге. Но уже через минуту Гаусс поднял руку: «Сэр, я получил ответ». Мальчик нашел весьма хитроумное решение: мы расскажем о нем в конце главы. (Если вы хотите сами поразмыслить о том, как Гауссу удалось выполнить задание так быстро, вот намек: что, если написать в ряд числа от 1 до 100, а под ними те же числа, но в обратном порядке, от 100 до 1?)

Гаусс вырос и стал знаменитым математиком, и мы не утверждаем, что многие дети в столь раннем возрасте способны проявить такие же математические способности, как Гаусс. Однако мы хотели бы, чтобы ребенок всегда задавал себе вопрос: «А не существует ли быстрого и эффективного способа вычислить это?» – а не просто считал бы «традиционным» способом. Многие примеры на сложение и вычитание, даже с большими громоздкими числами, можно решить быстрее и часто точнее с использованием приемов устного счета.

Одного восьмилетнего мальчика спросили: «Если малыш родился в 1998 году, то сколько лет ему исполнилось в 2001 году?» Он без колебаний ответил: «Три».

Этому же мальчику чуть позже дали пример: 2001 – 1998. Внезапно здравый смысл отказал ребенку и включился автопилот. Вот его расчет:

Он нашел разницу между цифрами в каждом столбце и записал ее. Проблема с вертикальными вычислениями состоит в том, что они заставляют сосредоточиться на цифрах в числе, а не на самих числах. Это означает, что ребенок, выполняя такие операции, проделывает все механически и не задумывается о разумности ответа.

Устный счет сегодня не похож и не должен быть похож на устный счет 1950-х и 1960-х гг. Тогда дети испытывали сильное давление – нужно было как можно быстрее отвечать на вопросы учителя, задаваемые всему классу, – и часто испытывали чувство стыда, если им не удавалось поспевать за всеми. (Один из нас, Майк, ходил в школу, где за промедление ученики получали удар линейкой по рукам. Логика такого отношения непонятна ему до сих пор.)

Устный счет нужен для того, чтобы человек мог посмотреть на предложенные числа и увидеть самый подходящий метод вычисления. Вам следует объяснить ребенку, что, прежде чем что-то считать на бумаге, нужно спросить себя: «А нельзя ли проделать это в уме?»

Рассмотрим такой пример: 2734 + 3562.

Числа здесь не выглядят особенно «дружелюбными», и самое разумное – взять лист бумаги и карандаш и посчитать столбиком.

Но как насчет этого: 3998 + 4997?

На первый взгляд очень похоже на первый пример. Однако секундное раздумье перед тем, как начать складывать в столбик, – и можно заметить, что оба числа приближаются к целому количеству тысяч, то есть к числам, кратным 1000: 3998 близко к 4000, а 4997 – к 5000. Сложить 4000 и 5000 несложно, это будет 9000. Теперь все, что нужно сделать, – это чуть-чуть подправить результат; он на 5 больше, чем нужно (2 от 3998 и 3 от 4997). Так что ответ 8995. Несмотря на то что описание кажется длинным и занимает несколько строк, все это проделывается очень быстро. Быстрее, чем взять бумагу и карандаш. И вероятность ошибки меньше.

Проверьте себя

3. В уме или на бумаге?

Какой из этих примеров можно без труда решить в уме? Для каких потребуется бумага и ручка?

а. 152 +148

б. 300 – 148

в. 843 – 677

г. 843 – 698

д. 4997 + 5003

е. 6002 – 3999