Текст книги "Симпсоны и их математические секреты"

Глава 2
Хотите ли вы знать число π?

Порой в «Симпсонах» упоминаются малоизвестные математические концепции, и с некоторыми из них мы действительно встретимся в следующей главе. Однако в остальных случаях шуточные ситуации, смоделированные Рейссом, Джином и их коллегами в эпизодах сериала, касаются хорошо знакомых многим зрителям математических концепций. Классический пример – число π, неоднократно появлявшееся в мультсериале за прошедших два десятилетия.

На всякий случай напоминаю, что π – это отношение длины окружности к ее диаметру. Для того чтобы составить представление о приблизительном значении числа π, можно нарисовать окружность, а затем отрезать кусок веревки длиной, равной ее диаметру. Если проложить этот кусок веревки по краю окружности, он поместится там немногим более трех раз – точнее говоря, 3,14 раза. Это и есть приблизительное значение числа π. Соотношение между числом π, длиной окружности и диаметром можно описать с помощью следующего уравнения:

длина окружности = π × диаметр

C = πd

Поскольку диаметр окружности в два раза больше радиуса, это уравнение можно записать в таком виде:

длина окружности= 2 × π × радиус

C = 2πr

Пожалуй, это и есть первый маленький шаг, который мы совершаем в детстве при переходе от простой арифметики к более сложным концепциям. Я до сих пор помню свою первую встречу с числом π, настолько она тогда меня потрясла. Математика больше не сводилась исключительно к умножению в столбик и простым дробям; теперь в ней появилось нечто таинственное, элегантное и универсальное: каждый круг в этом мире подчиняется уравнению с участием числа π, от колеса обозрения до фрисби, от лепешки до земного экватора.

Кроме того, помимо вычисления длины окружности, число π можно использовать для расчета площади, которая ограничена этой окружностью:

площадь = π × радиус²

A = πr²

В эпизоде «Человек-пирог» (Simple Simpson, сезон 15, эпизод 19; 2004 год) есть основанная на игре слов шутка, касающаяся приведенного выше уравнения. В этом эпизоде Гомер изображает супергероя по имени Человек-пирог, который наказывает злодеев, бросая им в лицо пирог. И первый его акт возмездия в данном качестве направлен на обидчика Лизы. Свидетелем сцены становится персонаж по имени Дредерик Тейтум, знаменитый бывший боксер из Спрингфилда, который заявляет: «Все мы знаем формулу πr², но сегодня мы говорим: “Пирог – это справедливость”. Я приветствую это».

И хотя шутку включил в сценарий Эл Джин, он неохотно приписывает себе эту заслугу (или, возможно, вину): «Да это же очень старая шутка. Я услышал ее много лет назад. Человек, которого следует поблагодарить за нее, – кто-то из 1820 года».

Джин явно преувеличивает, когда упоминает 1820 год, но слова Тейтума действительно представляют собой новую интерпретацию классической шутки, передаваемой из поколения математиков в поколение. Самая известная ее версия появилась в 1951 году в американском комедийном сериале The George Burns and Gracie Allen Show («Шоу Джорджа Бернса и Грейси Аллен»). В эпизоде под названием «Как девушка-подросток проводит уик-энд» Грейси приходит на помощь юной Эмили, которая жалуется на домашнее задание:

Эмили. Хотелось бы мне, чтобы геометрия была такой же легкой, как испанский язык.

Грейси. Так, может, я тебе помогу? Скажи мне что-нибудь на языке геометрии.

Эмили. Сказать что-нибудь на языке геометрии?

Грейси. Да, давай же.

Эмили. Ну хорошо. Ммм… πr².

Грейси. И этому учат сейчас в школе? πr²?

Эмили. Да.

Грейси. Эмили, пирог круглый. Печенье круглое. Крекеры квадратные.

В основе этой шутки лежит похожее звучание слова pie («пирог») и названия буквы π, что и служит поводом для каламбура. Следовательно, комики должны быть благодарны Уильяму Джонсу за введение символа π. Этот математик XVIII столетия, так же как и многие другие ученые, зарабатывал себе на жизнь уроками в лондонских кофейнях, посетители которых должны были заплатить за вход один пенни. Преподавая в этих так называемых грошовых университетах, Джонс параллельно работал над крупным научным трудом под названием A New Introduction to the Mathematics («Новое введение в математику»). Именно в этой книге он впервые использовал греческую букву π в контексте обсуждения геометрии круга. В итоге появилась почва для новых математических каламбуров. Джонс выбрал символ π, потому что это начальная буква греческого слова περιφερια (периферия), что означает «окружность».

* * *

За три года до появления шутки с числом π в эпизоде «Человек-пирог» авторы «Симпсонов» уже упоминали это число в серии «Пока, пока, зубрила» (Bye, Bye, Nerdie, сезон 12, эпизод 16; 2001 год). Но на этот раз вместо воскрешения старой шутки сценаристы создали совершенно новую, хотя и основанную на одном любопытном случае из истории числа π. Для того чтобы оценить ее по достоинству, сперва необходимо вспомнить значение числа π и то, как оно измерялось на протяжении столетий.

Я уже говорил, что π = 3,14 – всего лишь приближенное значение. Дело в том, что π – иррациональное число, то есть назвать его абсолютно точное значение невозможно, поскольку в нем бесконечное количество десятичных знаков, в которых отсутствует какая-либо закономерность. Тем не менее математики прошлого ставили перед собой задачу выйти за рамки существующей приближенной оценки 3,14 и поймать это ускользающее число, рассчитав его максимально точное значение.

Первую серьезную попытку это сделать предпринял Архимед в третьем столетии до нашей эры. Он понимал, что точность измерения π зависит от точности измерения длины окружности. Но это весьма сложная задача, так как окружность состоит из кривых малой кривизны, а не из прямых линий. Важным достижением Архимеда стало решение обойти проблему измерения кривых путем аппроксимации окружности прямыми линиями.

Возьмем окружность, диаметр которой (d) равен единице. Мы знаем, что C = πd, а значит, длина окружности (С) равна π. Затем нарисуем два квадрата, один за пределами окружности и один внутри нее.

Безусловно, настоящая окружность должна быть меньше периметра большего квадрата и больше периметра меньшего квадрата. Таким образом, измерив периметры двух квадратов, мы получим верхний и нижний пределы длины окружности.

Периметр большего квадрата измеряется легко, поскольку каждая его сторона имеет ту же длину, что и диаметр круга, который, как нам известно, равен единице. Следовательно, периметр большего квадрата составляет 4 × 1 = 4 единицы.

Периметр меньшего квадрата вычислить несколько труднее, но мы можем определить длину каждой его стороны с помощью теоремы Пифагора. Очень кстати, что диагональ квадрата и две его стороны образуют прямоугольный треугольник, гипотенуза (H) которого не только совпадает с диагональю квадрата, но и имеет ту же длину, что и диаметр окружности, то есть единицу. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов. Если мы обозначим их символом S, то H² = S² + S². Если H = 1, то две другие стороны должны иметь длину 1/√2 единиц. Следовательно, периметр меньшего квадрата равен 4 × 1/√2 = 2,83 единицы.

Учитывая, что длина окружности должна быть меньше периметра большого круга и больше периметра малого, мы можем с уверенностью заявить, что она должна попадать в промежуток от 2,83 до 4,00.

Не забывайте: ранее мы утверждали, что длина окружности диаметром 1 единица равна π, поэтому значение π должно находиться между 2,83 и 4,00.

В этом и состояло великое открытие Архимеда.

Возможно, оно не произвело на вас особого впечатления, ведь мы уже знаем, что π равно примерно 3,14, так что нижний предел 2,83 и верхний – 4,00 не представляют для нас никакого интереса. Однако сила открытия Архимеда состояла в том, что его результат подлежал уточнению. Вместо того чтобы размещать окружность между большим и малым квадратами, Архимед разместил ее между большим и малым шестиугольниками. Если у вас есть десять свободных минут и вы уверенно оперируете числами, то можете попробовать сами доказать, что по результатам измерения периметра этих двух шестиугольников значение числа π должно быть больше 3,00 и меньше 3,464.

У шестиугольника больше сторон, чем у квадрата, что делает его более точным приближением к окружности. Это объясняет, почему шестиугольник позволяет вычислить более узкие пределы для значения π. Тем не менее и в этом случае имеет место значительная погрешность. Поэтому Архимед продолжал расчеты, применяя этот метод снова и снова и увеличивая количество сторон многоугольника, благодаря чему получал все более точное приближение к окружности.

В конечном итоге упорство привело Архимеда к тому, что он заключил окружность между двумя многоугольниками с 96 сторонами и рассчитал периметр обеих фигур. Это было впечатляющее достижение, особенно учитывая, что Архимед не имел современной алгебраической системы обозначений, ничего не знал об арифметических действиях с десятичными дробями и ему приходилось выполнять все эти громоздкие вычисления вручную. Однако работа стоила затраченных усилий, поскольку ему удалось заключить значение числа π между числами 3,141 и 3,143.

Через восемь столетий, в V веке нашей эры, китайский математик Цзу Чунчжи развил подход Архимеда на шаг дальше (или на 12 192 шага, если точнее), использовав два многоугольника с 12 288 сторонами для доказательства того, что значение числа π лежит между числами 3,1415926 и 3,1415927.

По всей вероятности, к этому моменту вы уже поняли, что определение значения числа π – непростая задача, работа над которой будет продолжаться вечно, а все потому, что π – иррациональное число. Но есть ли смысл в вычислении значения π с более высокой точностью? Мы вернемся к этому вопросу чуть позже, а пока вы уже узнали о числе π достаточно для того, чтобы перейти к контексту математической шутки из эпизода «Пока, пока, зубрила».

Сюжет этого эпизода сфокусирован на травле умников, которая по-прежнему остается глобальной проблемой, несмотря на мудрые слова американского педагога Чарльза Сайкса, написанные в 1995 году: «Будь вежлив с ботаниками. Не исключено, что однажды ты будешь работать на одного из них». Когда Лиза задается целью найти объяснение того, почему хулиганы так любят нападать на умников, ей приходит в голову мысль, что они издают запах, который отмечает их как жертв. Лиза убеждает нескольких школьных друзей из числа ботанов поработать на спортивных тренажерах до пота, а затем собирает его и анализирует. После длительных исследований ей наконец удается выделить феромон, который источает каждый «умник, ботаник и очкарик» и который, возможно, притягивает хулиганов. Лиза называет его «пойндекстрозой»[8]8
  В русском переводе «ботаноз». Прим. перев.


[Закрыть], в честь вундеркинда Пойндекстера, персонажа мультсериала 1959 года Felix the Cat («Кот Феликс»).

Для того чтобы проверить свою гипотезу, Лиза наносит немного пойндекстрозы на пиджак грозного бывшего боксера Дредерика Тейтума, пришедшего в ее школу. Как и следовало ожидать, феромон притягивает школьного хулигана Нельсона Манца. И хотя Нельсон понимает, что нападать на бывшего боксера абсолютно бессмысленно, он не может сопротивляться воздействию пойндекстрозы и даже вытягивает у Тейтума трусы.

Взволнованная своим открытием, Лиза решает представить отчет о работе «Воздушные феромоны и агрессия хулиганов» на конференции «12-я ежегодная научная штука», которую ведет любимец обитателей Спрингфилда, рассеянный профессор Джон Нерделбаум Фринк-младший. Фринк пытается представить Лизу, но атмосфера на конференции настолько накалена, а ее участники так возбуждены, что ему трудно призвать их к порядку. В конце концов Фринк в отчаянии восклицает: «Ученые, ученые! Прошу, прошу порядка! К порядку, смотреть вперед, руки сложить, слушать внимательно. Число π равно трем!»

Шум внезапно прекращается. Идея профессора Фринка сработала, поскольку он совершенно правильно предположил, что заявление о точном значении числа π так поразит присутствующих в зале, что они потеряют дар речи. Как смеет кто бы то ни было заменять тройкой число 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513… после тысячелетних попыток определить его значение с невероятной точностью!

Эта сцена перекликается с лимериком, написанным историком, профессором колледжа Колорадо Харви Картером (1904–1994):

 
Tis a favorite project of mine,
A new value of pi to assign.
I would fix it at 3
For it’s simpler, you see,
Than 3 point 1 4 1 5 9.
 
 
(Люблю я это делать –
Искать новое значение «пи».
Я бы выбрал число 3.
Как видите, оно попроще,
Чем 3 запятая 1 4 1 5 9.)
 

Однако возмутительное заявление профессора Фринка основывалось не на странном лимерике Картера. Эл Джин рассказал о том, что он предложил фразу «Число π равно трем!», поскольку незадолго до этого прочитал об инциденте, имевшем место в штате Индиана в 1897 году, когда политики попытались закрепить официальное (и совершенно неправильное) значение π на законодательном уровне.

Законопроект о числе π (официальное название – «Законопроект № 246»), принятый в нижней палате штата Индиана, был детищем Эдвина Гудвина, врача из города Солитьюд, расположенного в юго-западной части штата. Гудвин обратился к законодательному собранию штата с предложением принять закон, в основу которого было положено его решение задачи, известной как «квадратура круга» (древняя задача, не имеющая решения, что было доказано в 1882 году). Сложные и противоречивые объяснения Гудвина содержали следующую строку, касающуюся диаметра круга:

…Четвертый важный факт состоит в том, что отношение диаметра к окружности равно пяти четвертым к четырем.

Отношение длины окружности к диаметру равно числу π, а значит, Гудвин, по сути, предлагал определять значение π по следующей формуле:

Гудвин заявил, что школы штата Индиана могут использовать его открытие бесплатно, но власти штата разделят с ним прибыль от роялти, взимаемого с других школ, которые захотят принять значение числа π равным 3,2. Поначалу специальный характер законопроекта озадачил политиков, которые передали его на рассмотрение из палаты представителей в финансовый комитет, затем в комитет по болотам и в конце концов в комитет по вопросам образования, где из-за неразберихи его приняли без возражений.

Далее законопроект должен был одобрить сенат штата. К счастью, некий профессор Уолдо, возглавлявший в то время факультет математики Университета Пердью в городе Уэст-Лафейетт, отправился в тот день в здание законодательного собрания для обсуждения финансирования Академии наук штата Индиана. По случайному стечению обстоятельств один из членов финансового комитета показал законопроект профессору и предложил познакомить его с доктором Гудвином. Однако Уолдо ответил, что в этом нет необходимости, поскольку он и без того знает немало чокнутых.

Профессор Уолдо сделал все для того, чтобы сенаторы поняли абсурдность законопроекта Гудвина и высмеяли его, и таки добился своего. В Indianapolis Journal была опубликована следующая цитата сенатора Оррина Хаббелла: «С таким же успехом сенат может принять закон о том, чтобы вода текла под гору, и законодательно устанавливать математические истины». В конечном итоге принятие законопроекта отложили на неопределенный срок.

Нелепое заявление профессора Фринка о том, что π равно 3, – искусное напоминание о том, что законопроект Гудвина до сих пор лежит где-то в ящике для бумаг в подвале здания законодательного собрания штата Индиана и ждет, когда какой-либо болван вернет его к жизни.

Глава 3
Последняя теорема Гомера

Время от времени Гомер Симпсон пытается демонстрировать свои изобретательские таланты. Например, в эпизоде «Мардж и тюрьма» (Pokey Mom, сезон 12, эпизод 10; 2001 год) он создает чудесный исправляющий спиноцилиндр доктора Гомера, который представляет собой побитый мусорный бак с вмятинами, «точно повторяющий контуры человеческого тела». Гомер позиционирует свое изобретение как метод лечения боли в спине, хотя никаких данных, подтверждающих его слова, нет. Хиропрактики Спрингфилда приходят в ярость из-за того, что Гомер переманивает их пациентов, и угрожают уничтожить его изобретение. Это позволит им снова монополизировать рынок лечения проблем с позвоночником и благополучно продвигать собственные фальшивые методы лечения.

Изобретательские подвиги Гомера достигают пика в эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи» (The Wizard of Evergreen Terrace, сезон 10, эпизод 2; 1998 год). Название эпизода – это отсылка к прозвищу Томаса Эдисона «Волшебник из Менло-Парка», которое ему дал один журналист после того, как тот открыл в Менло-Парке свою главную лабораторию. К моменту смерти в 1931 году Эдисон запатентовал на свое имя 1093 изобретения и стал легендой.

В эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи» рассказывается о решимости Гомера идти по стопам Эдисона. Он сооружает различные устройства, от сигнализации, срабатывающей каждые три секунды, до ружья, которое делает макияж, выстреливая прямо в лицо. Именно в этот научно-исследовательский период мы видим, как Гомер, стоя у доски, записывает несколько математических уравнений. В этом нет ничего удивительного, потому что многие непрофессиональные изобретатели увлекались математикой, а многие математики любили изобретать.

Возьмем в качестве примера сэра Исаака Ньютона, который, кстати, сыграл самого себя в эпизоде под названием «Последнее искушение Гомера» (The Last Temptation of Homer, сезон 5, эпизод 9; 1993 год). Ньютон – один из отцов современной математики – был также и изобретателем. В частности, именно ему приписывают идею дверцы для кошек – с дыркой в нижней части двери, чтобы кошка могла заходить и выходить, когда захочет. Как ни странно, в двери было еще и отверстие поменьше – для котят! Неужели Ньютон действительно был настолько эксцентричным и рассеянным? Многие ставят под сомнение правдивость этой истории, но в 1827 году Джон Мартин Фредерик Райт сказал следующее: «Не знаю, правда это или ложь, но бесспорно одно: в двери до сих пор есть два заглушенных отверстия, размер которых вполне подходит для того, чтобы через них могли пройти кошка и котенок».

Фрагменты математических каракулей Гомера на доске в эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи» включил в сценарий Дэвид Коэн, который представлял новое поколение авторов сериала с математическими наклонностями и присоединился к команде «Симпсонов» в середине 1990-х. Так же как Эл Джин и Майк Рейсс, Коэн еще в раннем возрасте демонстрировал настоящий талант к математике. Дома он постоянно читал отцовский журнал Scientific American и разгадывал математические головоломки, которые печатались в ежемесячной колонке Мартина Гарднера. Кроме того, в средней школе Дуайта Морроу в городе Энглвуд Коэн был одним из капитанов команды математиков, выигравшей в 1984 году математический конкурс штата.

Фотография Дэвида Коэна в выпускном альбоме средней школы Дуайта Морроу 1984 года. В школе часто повторяли шутку о том, что все члены математического кружка были капитанами команды, чтобы каждый из них мог написать об этом в заявлении о приеме в колледж

Фотографию предоставил Дэвид Коэн

Вместе со школьными друзьями Дэвидом Шиминовичем и Дэвидом Борденом Коэн организовал группу программистов под названием Glitchmasters («Мастера компьютерных глюков»), и они разработали собственный язык программирования FLEET, предназначенный для высокоскоростной графики и игр на компьютере Apple II Plus. Параллельно Коэн увлекался комиксами и написанием комедий. Он связывал начало своей профессиональной карьеры с комиксами, которые нарисовал во время учебы в средней школе и продал сестре за пенни.

Даже отправившись изучать физику в Гарвард, Коэн сохранил интерес к писательскому труду и печатался в журнале Harvard Lampoon (впоследствии став его президентом). Со временем, как и в случае с Элом Джином, страсть Коэна к комедии и писательству превзошла любовь к математике и физике. В итоге он отказался от научной карьеры, предпочтя написание сценариев к сериалу «Симпсоны». Однако время от времени Коэн возвращается к своим корням, тайком включая математику в эпизоды мультфильма. Хороший тому пример – символы и диаграммы, изображенные Гомером на доске в эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи».

Но Коэн, помимо математики, хотел включить в эпизод научные уравнения, поэтому связался со своим школьным другом Дэвидом Шиминовичем, который не бросил академическую стезю и стал астрономом Колумбийского университета.

Первое уравнение на доске – в значительной степени работа Шиминовича, и оно позволяет составить прогноз массы M(H⁰) бозона Хиггса, элементарной частицы, гипотеза о существовании которой впервые была выдвинута в 1964 году. Уравнение представляет собой забавное сочетание различных фундаментальных параметров, а именно постоянной Планка, гравитационной постоянной и скорости света. Если вы найдете их в справочниках и подставите в уравнение[9]9
  Подсказки для тех, кто окажется достаточно смелым, чтобы выполнить эти вычисления: не забудьте, что E = mc² и что необходимо перевести полученный результат в такую единицу энергии, как гигаэлектронвольт, ГэВ.


[Закрыть], то масса бозона Хиггса будет равна 775 гигаэлектронвольт (ГэВ), что гораздо больше значения 125 ГэВ, полученного в 2012 году, когда бозон Хиггса был открыт. Тем не менее значение 775 ГэВ являлось неплохой догадкой, особенно если учесть, что Гомер – непрофессиональный изобретатель и делал свои расчеты за четырнадцать лет до того, как специалистам Европейского центра ядерных исследований (CERN) удалось отследить эту неуловимую частицу.

Второе уравнение… придется на какое-то время отложить. Это самая интригующая с математической точки зрения строка, поэтому стоит немного подождать, чтобы проанализировать ее более тщательно.

Третье уравнение касается плотности Вселенной, которая определяют ее судьбу. Если Ω(t₀) будет больше 1, как сначала написал Гомер, то Вселенная в конце концов взорвется под собственным весом. Для того чтобы продемонстрировать это космическое событие на местном уровне, в подвале Гомера – вскоре после того как зрители видят это уравнение – происходит небольшой взрыв.

Затем Гомер меняет знак неравенства, превращая уравнение Ω(t₀) > 1 в Ω(t₀) < 1. С космологической точки зрения новое уравнение подразумевает, что Вселенная будет расширяться вечно, порождая нечто сродни бесконечного космического взрыва. Сюжет отображает и это явление, и как только Гомер меняет знак неравенства, в подвале происходит мощный взрыв.

Четвертая строка на доске представляет собой последовательность четырех математических рисунков, показывающих, как пончик превращается в сферу. Эта строка относится к области математики под названием «топология». Для того чтобы понять суть рисунков, необходимо знать, что согласно правилам топологии квадрат и круг идентичны. Их считают гомеоморфными, или топологическими близнецами, поскольку квадрат, нарисованный на резиновом листе, можно растянуть и превратить в круг. На самом деле топологию иногда называют «геометрией на резиновом листе».

Топологов не интересуют углы и расстояния: очевидно, что в процессе растягивания резинового листа они меняются. Но их волнуют более фундаментальные свойства. Например, фундаментальное свойство буквы А – что она, по сути, представляет собой петлю с двумя ножками. Буква R – тоже петля с двумя ножками. Следовательно, буквы A и R гомеоморфны, так как букву A, нарисованную на резиновом листе, можно преобразовать в букву R посредством соответствующего растягивания

Однако никакое растягивание не поможет превратить букву A в букву H ввиду того, что эти буквы принципиально отличаются друг от друга: A состоит из одной петли и двух ножек, а H вообще не имеет петель. Единственный способ превратить букву A в H – разрезать резиновый лист у верхушки A, что разомкнет петлю. Однако в топологии разрезание запрещено.

Принципы геометрии на резиновом листе можно расширить на три измерения, что объясняет остроту, будто тополог – это тот, кто не видит разницы между пончиком и кофейной чашкой. Другими словами, у кофейной чашки одно отверстие, образованное ручкой, и у пончика одно отверстие, прямо посередине. Следовательно, кофейную чашку, сделанную из эластичной глины, можно растянуть и скрутить в форме пончика. Это и делает их гомеоморфными.

Напротив, пончик невозможно превратить в сферу, поскольку в ней нет отверстий, и никакое растягивание, сжатие и скручивание не помогут удалить дыру, которая является неотъемлемой частью пончика. В действительности тот факт, что пончик отличается от сферы в топологическом смысле, – доказанная математическая теорема. Тем не менее каракули Гомера на доске говорят о том, что ему будто бы удалось совершить невозможное, так как рисунки отображают успешную трансформацию пончика в сферу. Но как?

Хотя в топологии разрезание запрещено, Гомер решил, что откусывание вполне приемлемо. В конце концов, исходный объект – пончик, так кто же удержится от соблазна немного от него откусить? Если откусить от пончика несколько кусочков, он будет похож на банан, который можно превратить в сферу посредством стандартного растягивания, сжатия и скручивания. По всей вероятности, профессиональные топологи пришли бы в ужас от того, что их любимая теорема превратилась в пепел, но согласно личным правилам топологии Гомера, пончик и сфера идентичны. Возможно, корректнее было бы назвать их не гомеоморфными, а гомероморфными.

* * *

Вторая строка на доске Гомера, пожалуй, самая интересная, поскольку она содержит такое равенство:

3987¹² + 4365¹² = 4472¹²

На первый взгляд уравнение выглядит безобидным, если только вы не знаете кое-что из истории математики, – иначе вы с отвращением разобьете в щепки свою логарифмическую линейку. Похоже, Гомеру удалось совершить невозможное – найти решение знаменитой загадки последней теоремы Ферма!

Пьер Ферма предложил эту теорему в 1637 году. Несмотря на то что Ферма был любителем, решавшим задачи исключительно в свободное время, он является одним из величайших математиков в истории. Ферма работал в уединении в своем доме на юге Франции, и его единственным математическим компаньоном была книга под названием Arithmetica[10]10
  Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах. ЛКИ, 2007.


[Закрыть], написанная Диофантом Александрийским в третьем веке нашей эры. Читая этот древнегреческий текст, Ферма обратил внимание на раздел со следующим уравнением:

x² + y² = z²

Хотя это уравнение имеет непосредственное отношение к теореме Пифагора, Диофанта не интересовали треугольники и длины их сторон. Вместо этого он поставил перед читателями задачу решить его в целых числах. Ферма уже был знаком с методами поиска таких решений, кроме того, он знал, что у этого уравнения их бесконечное множество. К числу этих решений, которые называют «пифагоровыми тройками», относятся следующие:

3² + 4² = 5²

5² + 12² = 13²

133² + 156² = 205²

Поскольку загадка Диофанта показалась Ферма скучной, он решил проанализировать ее другой вариант и найти целые решения такого уравнения:

x³ + y³ = z³

Несмотря на все усилия, Ферма удалось найти только тривиальные решения с участием нуля, такие как 0³ + 7³ = 7³. При попытке отыскать более содержательные решения самым лучшим, что он смог предложить, было уравнение, отличающееся от искомого всего на единицу: 6³ + 8³ = 9³ − 1.

Более того, при дальнейшем увеличении степени, в которую возводятся x, y и z, попытки найти целые решения каждый раз заканчивались ничем. Ферма пришел к выводу, что целочисленных решений для любого из следующих уравнений нет:

x³ + y³ = z³

x⁴ + y⁴ = z⁴

x⁵ + y⁵ = z⁵

x⁶ + y⁶ = z⁶

xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n > 2

Однако в конце концов Ферма совершил прорыв. Он не нашел множества чисел, которые стали бы решением одного из этих уравнений, но зато сформулировал доказательство того, что такого решения не существует, и в связи с этим набросал на полях «Арифметики» пару интригующих предложений на латыни. Начав с утверждения о том, что целочисленных решений любого из бесконечного множества упомянутых выше уравнений нет, затем он уверенно прибавил: «Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet» («Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него»).

Пьер Ферма нашел доказательство, но не удосужился его записать. Пожалуй, это самая удручающая запись за всю историю математики, особенно учитывая тот факт, что Ферма унес свой секрет в могилу.

Впоследствии сын Ферма Клемент-Самуэль обнаружил отцовский экземпляр «Арифметики» и обратил внимание на эту интригующую заметку на полях. Кроме того, он нашел в книге еще много ценных записей, ведь Ферма имел привычку, заявив об очередном доказательстве, редко записывать его. Клемент-Самуэль решил опубликовать новую редакцию «Арифметики» со всеми заметками своего отца, сделанными на полях первого издания, и она вышла в 1670 году. Это оживило математическое сообщество, пробудив у его представителей острое желание найти отсутствующие доказательства, связанные с каждым заявлением Ферма. И, надо сказать, постепенно они подтвердили правоту Ферма во всех случаях, кроме одного. Никто не смог доказать, что уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ (n > 2) не имеет решений. В итоге его назвали «последняя теорема Ферма», поскольку оно было единственным, остающимся недоказанным.

Шли десятилетия, а теорема Ферма так и оставалась загадкой, над решением которой бились многие математики, считая это делом чести. Например, немецкий промышленник Пауль Вольфскель, умерший в 1908 году, завещал 100 000 марок (в наше время эта сумма эквивалентна 1 миллиону долларов) в качестве вознаграждения тому, кто все же расколет этот крепкий орешек. По некоторым свидетельствам, Вольфскель не выносил свою жену и других членов семьи, поэтому его завещание должно было унизить их и воздать должное математике – предмету, который он обожал. Другие утверждают, что премия стала способом выражения благодарности Ферма за то, что в период, когда Вольфскель был на грани самоубийства, увлеченность этой теоремой наполнила его жизнь смыслом.

Какими бы ни были мотивы, премия Вольфскеля привлекла к теореме всеобщее внимание, и со временем она даже стала частью массовой культуры. В рассказе The Devil and Simon Flagg («Саймон Флэгг и дьявол»), написанном Артуром Порджесом в 1954 году, титульный герой заключает с дьяволом фаустовский договор. Единственная надежда Саймона Флэгга на спасение души – задать дьяволу вопрос, на который тот не сможет ответить, поэтому он предлагает доказать последнюю теорему Ферма. Признав свое поражение, дьявол говорит: «Вы знаете, даже лучшие математики других планет – а они намного опередили вас – не добились решения. Эх, один малый на Сатурне, чем-то напоминающий гриб на ходулях, решает в уме дифференциальные уравнения в частных производных. Но тут и он спасовал»[11]11
  Перевод Даниила Горфинкеля в сборнике «Сатанинская сила». М.: Крим-Пресс, 1992. Прим. перев.


[Закрыть].