Текст книги "Краткая история времени. От Большого взрыва до черных дыр"

Общее свойство всех фридмановских моделей в том, что в некоторый момент времени в прошлом (между 10 и 20 миллиардами лет назад) расстояния между соседними галактиками должны были быть равны нулю. В тот момент, который мы называем Большим взрывом, плотность Вселенной и кривизна пространства-времени должны быть бесконечными. Поскольку математика не может оперировать бесконечными числами[11]11
  Вообще говоря, в математике есть средства представления бесконечных чисел и выполнения некоторых операций над ними (например, так называемые трансфинитные числа). Правда, они не подходят для рассматриваемой задачи. – Прим. перев.


[Закрыть], общая теория относительности (на которой основаны модели Фридмана) предсказывает существование точки во Вселенной, где сама теория уже не имеет силы. Это пример того, что математики называют сингулярностью. В сущности, все наши научные теории исходят из предположения, что пространство-время однородное и почти плоское, и поэтому они теряют смысл внутри сингулярности Большого взрыва, где кривизна пространства-времени бесконечна. А значит, если до Большого взрыва и имели место какие бы то ни было события, то на их основе ничего нельзя сказать о последовавшей эволюции системы, потому что в момент Большого взрыва система перестает быть предсказуемой.

Соответственно, если бы мы знали – а мы знаем – только то, что происходило после Большого взрыва, мы не могли бы определить, что происходило до него. Насколько нам известно, события, случившиеся до Большого взрыва, не могут иметь для нас никаких последствий, а потому не могут быть частью какой бы то ни было научной модели Вселенной. Поэтому их придется исключить, приняв постулат о том, что время началось с Большого взрыва.

Идея о том, что у времени было начало, многим не нравится, потому что отсылает к идее о вмешательстве божества. (С другой стороны, Католическая церковь ухватилась за модель Большого взрыва и в 1951 году официально объявила, что она соответствует Библии). В связи с этим было предпринято несколько попыток избежать вывода о Большом взрыве. Наиболее широкую поддержку получила стационарная теория. Она была предложена в 1948 году двумя учеными, бежавшими из оккупированной нацистами Австрии, – это были Герман Бонди и Томас Голд, которые во время войны вместе с британцем Фредом Хойлом работали над созданием радара. Идея была в том, что по мере разбегания галактик в пространстве между ними из постоянно образующегося нового вещества возникают новые галактики. Таким образом, Вселенная выглядит одинаково в любой момент времени в любой точке пространства. Чтобы оправдать теорию стационарной Вселенной, потребовалось подправить общую теорию относительности: нужно было сохранить возможность непрерывного рождения вещества. Но требуемая скорость возникновения нового вещества оказалась настолько малой (около одной элементарной частицы на один кубический километр в год), что это предположение никак не противоречило экспериментальным данным. Предложенная гипотеза была хорошей научной теорией в том смысле, что мы раскрыли в первой главе: она была простой, и на ее основе можно было сделать определенные предсказания, которые проверялись наблюдениями. Одно из таких предсказаний состояло в том, что число галактик или других подобных объектов в любом заданном объеме пространства должно быть одинаковым в любой точке Вселенной и в любой момент времени. В конце 50-х и начале 60-х годов прошлого века группа астрономов под руководством Мартина Райла (который вместе с Бонди, Голдом и Хойлом во время войны также работал над созданием радара) готовила в Кембридже обзор космических радиоисточников. Ученые показали, что большинство этих радиоисточников должны находиться за пределами нашей Галактики (многие из них были отождествлены с другими галактиками), а также что число слабых источников намного превосходит число ярких. Исследователи предположили, что более слабые источники расположены дальше более ярких, и сделали вывод, что на небольших расстояниях число источников в единице объема меньше, чем на далеких расстояниях. Это могло означать, что мы находимся в центре большой области Вселенной с относительно невысокой плотностью источников. Или же в прошлом, когда радиоволны направились в нашу сторону, число источников в единице объема было больше, чем в настоящее время. Любое из этих предположений противоречило предсказаниям теории стационарной Вселенной. Более того, открытие микроволнового фонового реликтового излучения Пензиасом и Уилсоном в 1965 году тоже свидетельствовало о том, что в прошлом Вселенная была куда плотнее, чем сейчас. Поэтому от теории стационарной Вселенной пришлось отказаться.

Другая попытка избежать вывода о Большом взрыве и, следовательно, о начале времен была предпринята советскими учеными – Евгением Лифшицем и Исааком Халатниковым – в 1963 году. Они предположили, что Большой взрыв – это лишь частная особенность исключительно фридмановских моделей, которые в конце концов являются всего лишь приближенным описанием реальной Вселенной. Быть может, из всех моделей, более или менее похожих на реальную Вселенную, только фридмановские имеют сингулярность Большого взрыва. В моделях Фридмана все галактики разлетаются в точности друг от друга, и потому неудивительно, что в некий момент времени в прошлом они все находились в одном месте. В реальной же Вселенной галактики не удаляются в точности по радиусу друг от друга, у них есть и небольшие поперечные скорости. Поэтому в реальности они не должны были когда-то находиться в одном месте – они могли быть расположены очень близко друг к другу. И тогда, быть может, современная расширяющаяся Вселенная возникла не из сингулярности Большого взрыва, а образовалась после фазы сжатия. При сжатии Вселенной наполняющие ее элементарные частицы могли и не столкнуться: они могли только пролететь друг мимо друга, что привело к современному расширению. Откуда тогда мы знаем, что реальная Вселенная возникла из Большого взрыва? Лифшиц и Халатников исследовали модели Вселенной, близкие к фридмановским, но при этом учли неоднородности и случайные скорости галактик в реальной Вселенной. Они показали: несмотря на то, что галактики теперь не удалялись в точности радиально друг от друга, такие модели все же могли начать свое существование со стадии Большого взрыва, хотя это было возможно только в исключительных случаях – моделях, где галактики двигались строго определенным образом. Лифшиц и Халатников заключили, что, поскольку моделей без сингулярности Большого взрыва, похожих на фридмановские, бесконечно больше, чем моделей с сингулярностью Большого взрыва, мы должны сделать вывод, что в реальности никакого Большого взрыва и не было. Позднее они поняли, что существует куда более общий класс «фридманоподобных» моделей с сингулярностями, где галактики не должны двигаться каким бы то ни было специальным образом, и в 1970 году отказались от первоначальной идеи.

Лифшиц и Халатников продемонстрировали, что если общая теория относительности верна, то Вселенная могла иметь сингулярность типа Большого взрыва, и в этом состоит ценность их работы. Правда, полученный результат не давал ответа на главный вопрос: следует ли из общей теории относительности, что во Вселенной должен был произойти Большой взрыв – начало времен? Ответить на него удалось благодаря совершенно иному подходу, предложенному британским математиком и физиком Роджером Пенроузом в 1965 году. На основании поведения световых конусов в рамках общей теории относительности, а также того постулата, что гравитационная сила – это всегда сила притяжения, он показал, что сжимающаяся (коллапсирующая) под действием собственного тяготения звезда оказывается захваченной в области, поверхность которой рано или поздно схлопывается до нулевых размеров. Поскольку поверхность области схлопывается до нуля, то это верно и в отношении объема. Все вещество звезды оказывается сжатым в области с нулевым объемом, в результате чего плотность вещества и кривизна пространства-времени оказываются бесконечно большими. Другими словами, мы получаем сингулярность внутри области пространства-времени, известную как черная дыра.

На первый взгляд, теория Пенроуза распространялась только на звезды: она не позволяла делать никаких выводов относительно прошлого Вселенной и возможности существования бесконечно плотного объема типа сингулярности Большого взрыва. Когда Пенроуз сформулировал свою теорему, я был аспирантом и отчаянно пытался найти задачу для завершения диссертации. За два года до этого мне поставили диагноз «боковой амиотрофический склероз», известный также как болезнь Лу Герига, или болезнь двигательных нейронов. Врачи отвели мне всего один-два года, и казалось, что в работе над диссертацией нет особого смысла, – мне все равно было не суждено дожить до ее защиты. Но два года прошли, а мое состояние особенно не ухудшилось. Вообще-то дела у меня шли довольно неплохо, и я обручился с очень милой девушкой – Джейн Уайлд. Но чтобы жениться, мне надо было найти работу, а чтобы получить работу, надо было защитить диссертацию.

В 1965 году я прочел о теореме Пенроуза, согласно которой гравитационный коллапс любого тела должен рано или поздно завершиться образованием сингулярности. Я вскоре понял, что если в этой теореме обратить направление времени – чтобы коллапс превратился в расширение, – то условия теоремы останутся в силе, если Вселенная в настоящее время на больших масштабах близка к модели Фридмана. Из теоремы Пенроуза вытекало, что коллапс любой звезды должен привести к образованию сингулярности; рассуждения об обращении хода времени приводили к тому, что любая модель расширяющейся Вселенной фридмановского типа должна была начаться с сингулярности. Чисто технические обстоятельства теоремы Пенроуза задавали состояние Вселенной: она должна была быть бесконечной в пространстве. Поэтому с помощью этой теоремы я смог доказать неизбежность сингулярности только для Вселенной, которая расширяется достаточно быстро, чтобы ее расширение в будущем не сменилось сжатием (поскольку только такие фридмановские модели имеют бесконечную протяженность в пространстве).

В последовавшие несколько лет я разработал новые математические методы для устранения этого и других технических ограничений в теоремах, настаивающих на неизбежности существования сингулярностей. Окончательный результат был опубликован в нашей совместной с Пенроузом статье в 1970 году – мы наконец доказали непременное наличие сингулярности типа сингулярности Большого взрыва только при условии, что общая теория относительности справедлива и что во Вселенной столько вещества, сколько мы наблюдаем. Наша работа встретила серьезное сопротивление, например, со стороны советских ученых – в частности, из-за их марксистской веры в научный детерминизм[12]12
  Вера автора в превалирование марксистско-ленинских идей в среде советских ученых совершенно беспочвенна. – Прим. науч. ред.


[Закрыть], – а частично и со стороны людей, считавших саму идею сингулярностей отвратительной и извращающей красоту теории Эйнштейна. Но с математическими доказательствами сложно спорить. Так, в конце концов наши выводы стали общепринятыми, и в настоящее время практически все согласны, что Вселенная началась с сингулярности Большого взрыва. Но по иронии судьбы, мое мнение изменилось. Теперь я стараюсь убедить других физиков, что на самом деле никакой сингулярности в начале Вселенной не существовало: как мы увидим далее, она может исчезнуть, если учесть квантовые эффекты.

В этой главе мы узнали, как менее чем за полвека изменились представления о космосе, формировавшиеся на протяжении тысячелетий. Открытие Хабблом расширения Вселенной и последовавшее осознание ничтожности нашей планеты, затерявшейся в бескрайних космических глубинах, стали лишь отправной точкой. По мере накопления экспериментальных и теоретических данных становилось все очевиднее, что Вселенная должна была иметь начало во времени. И вот в 1970 году мы с Пенроузом окончательно доказали это, положившись на эйнштейновскую общую теорию относительности. Из нашего доказательства следовало, что общая теория относительности – теория неполная: она не в состоянии описать, как началась Вселенная, поскольку предсказывает, что все физические теории, включая ее саму, перестают действовать в точке зарождения Вселенной. Но общая теория относительности и не претендует ни на что большее, чем роль частной теории. Поэтому реальным следствием теорем сингулярности является следующий вывод: на самом раннем этапе существования Вселенной должен был быть момент, когда она была настолько мала, что нельзя было пренебречь мелкомасштабными эффектами другой великой частной теории ХХ века – квантовой механики. В начале 70-х годов прошлого века в попытках понять устройство космоса нам пришлось отойти от изучения масштабных объектов и сосредоточить внимание на объектах сверхмалых. Ниже мы расскажем об этой теории – квантовой механике, и только после приступим к обсуждению попыток объединения двух частных теорий в одну – единую квантовую теорию гравитации.

Глава четвертая. Принцип неопределенности

Находясь под впечатлением от успеха научных теорий, а в особенности ньютоновской теории тяготения, французский ученый Пьер-Симон де Лаплас в начале XIX века решил, что Вселенная полностью детерминирована. Ученый считал, что должен существовать набор научных законов, с помощью которых мы можем предсказать все, что случится во Вселенной, если только получим полное описание ее состояния на какой-либо момент времени. Например, зная положения и скорости Солнца и планет в некоторый момент времени, мы можем воспользоваться законами Ньютона и вычислить состояние Солнечной системы на любой другой момент времени. В этом случае детерминизм представляется очевидным, но Лаплас пошел дальше и предположил существование аналогичных законов для всех и всего, включая поведение человека.

Многие относятся к доктрине научного детерминизма крайне отрицательно, считая, что эта гипотеза ограничивает свободу Бога: Он не может уже управлять Вселенной по своему усмотрению. Но доктрина эта оставалась общепринятой в науке вплоть до начала XX века. Вопрос о необходимости отказа от этого предположения поставили результаты расчетов спектра абсолютно черного тела, выполненные британскими учеными Джоном Стреттом, лордом Рэлеем, и сэром Джеймсом Джинсом. В соответствии с ними, раскаленное тело, например звезда, должно излучать энергию в бесконечно высоком темпе. Согласно общепринятым в то время научным законам раскаленное тело должно было излучать электромагнитные волны (радиоволны, видимый свет или рентгеновские лучи) равномерно на всех частотах. Например, раскаленное тело должно излучать одно и то же количество энергии на волнах с частотами от одного до двух миллионов миллионов волн в секунду с такой же интенсивностью, как и на волнах с частотами от двух до трех миллионов миллионов волн в секунду. Поскольку число волн в секунду не ограничено, значит, и совокупная излученная энергия тоже должна быть бесконечной.

Чтобы избежать этого нелепого вывода, немецкий ученый Макс Планк в 1900 году предложил такую гипотезу: свет, рентгеновское излучение и другие виды электромагнитных волн могут излучаться не в произвольном количестве, а только дискретными порциями. И эти порции он назвал квантами (фотонами). Более того, каждый квант обладает определенной энергией, которая тем больше, чем выше частота волн. Поэтому на достаточно высоких частотах количество энергии, которое может быть излучено в виде единичного кванта, превышает энергию излучающего тела. Таким образом, энергия излучения на высоких частотах уменьшается, а потому скорость, с которой тело теряет энергию, оказывается конечной.

Квантовая гипотеза позволила замечательным образом объяснить распределение интенсивности излучения нагретых тел, но ее последствия для детерминизма были осознаны лишь в 1926 году, когда другой немецкий ученый, Вернер Гейзенберг, сформулировал свой знаменитый принцип неопределенности. Для предсказания будущих положения и скорости частицы необходимо иметь возможность измерить ее начальные положение и скорость с достаточно высокой точностью. Логично предположить, что сделать это можно, направив на частицу свет. Часть световых волн будет частицей рассеяна, и по этим волнам можно определить положение самой частицы. Но мы не сможем определить положение частицы точнее, чем расстояние между двумя гребнями световой волны. То есть для точного измерения положения частицы необходимо использовать излучение с короткой длиной волны. Но согласно квантовой гипотезе Планка мы не можем использовать произвольно малое количество света – придется задействовать как минимум один квант. Этот квант повлияет на частицу, изменив ее скорость непредсказуемым образом. К тому же чем точнее мы захотим измерить положение частицы, тем короче должна быть длина волны света и, следовательно, тем большей энергией должны обладать кванты света. Таким образом, скорость частицы изменится на бóльшую величину. Другими словами, чем точнее мы пытаемся измерить положение частицы, тем с меньшей точностью определяется ее скорость, и наоборот. Гейзенберг показал, что произведение неопределенности положения частицы и неопределенности ее скорости, помноженное на массу частицы, в принципе не может быть меньше некоторой фиксированной величины, известной теперь как постоянная Планка. Более того, этот предел никак не зависит ни от способа измерения положения и скорости частицы, ни от типа самой частицы: принцип неопределенности Гейзенберга является фундаментальным, неизбежным свойством мира.

У принципа неопределенности есть очень важные последствия для нашего восприятия действительности. Даже спустя семьдесят лет эти последствия до конца не осознаны большинством философов, и по их поводу все еще ведутся дискуссии. Принцип неопределенности объявил мечту Лапласа о полностью детерминированной научной теории и модели Вселенной утопией. Мы, безусловно, не можем в точности предсказать будущие события, если мы не в состоянии даже достаточно точно описать современное состояние Вселенной! Но все же можно представить себе существование набора законов, полностью определяющих развитие событий для некоего сверхъестественного существа, которое способно наблюдать современное состояние Вселенной, не воздействуя на нее. Однако такого рода модели Вселенной не представляют особого интереса для нас, простых смертных. Похоже, что лучше придерживаться принципа экономии, известного как бритва Оккама, и исключить из теории ненаблюдаемые элементы. Руководствуясь им и опираясь на принцип неопределенности, в 1920-х годах Вернер Гейзенберг, Эрвин Шрёдингер и Поль Дирак переформулировали ньютоновскую механику, создав новую теорию под названием «квантовая механика». В этой теории в отношении частиц неприменимы понятия четко определенного положения и скорости как отдельных величин. Вместо этого мы имеем дело с квантовым состоянием, которое представляет собой комбинацию положения и скорости.

В общем, квантовая механика не предсказывает единственного, определенного результата наблюдения. Вместо этого она делает прогноз в отношении целого набора возможных исходов и позволяет определить, насколько вероятен каждый из них. То есть в случае выполнения одного и того же измерения для большого количества похожих систем, стартующих с одинакового состояния, окажется, что результат будет в некоторых случаях иметь вид А, в других случаях – вид B, и т. д. Можно предсказать приблизительное число раз, когда исход эксперимента будет иметь вид А или B, но не конкретный результат конкретного эксперимента. Таким образом, квантовая механика неизбежно привносит в науку элемент непредсказуемости и случайности. Эйнштейн решительно возражал против такого подхода, несмотря на ту роль, которую сыграл в его появлении, – ведь ему была присуждена Нобелевская премия за вклад в квантовую теорию. Тем не менее он так и не смог примириться с тем, что Вселенная отдана на волю случая, и выразил свой протест крылатой фразой: «Бог не играет в кости». Но большинство ученых охотно приняли квантовую механику именно потому, что ее предсказания прекрасно согласуются с результатами экспериментов. И действительно, квантовая теория оказалась исключительно успешной и лежит в основе практически всех областей современных науки и техники. Она определяет поведение транзисторов и интегральных микросхем – важнейших деталей телевизоров и компьютеров – и является фундаментом современных химии и биологии. Единственные области физики, где квантовомеханический подход пока еще не реализован в должной мере, – это теория тяготения и теория крупномасштабной структуры Вселенной.

Хотя свет состоит из волн, квантовая гипотеза Планка предсказывает, что в некоторых отношениях он все же ведет себя так, как если бы состоял из частиц: свет может излучаться и поглощаться только дискретными порциями, или квантами. Точно так же из принципа неопределенности Гейзенберга следует, что частицы в некоторых отношениях ведут себя так же, как волны. Как мы уже видели, у них нет четкого положения, они «размазаны» в пространстве в соответствии с неким распределением вероятности. В основе квантовой механики лежит математический аппарат совершенно нового типа: он не описывает реальный мир как состоящий из объектов, которые можно однозначно отнести к частицам или волнам. В этих терминах описываются только наблюдения мира. Таким образом, в квантовой механике мы имеем дело с корпускулярно-волновым дуализмом: для некоторых задач бывает удобно рассматривать частицы как волны, для других – рассматривать волны как частицы. Одно из важных следствий такого подхода состоит в возможности наблюдения так называемой интерференции двух множеств волн или частиц. То есть гребни одного множества волн могут накладываться на впадины другого. В таком случае два множества волн ослабляют друг друга, а не суммируются, образуя более сильную волну, как можно было ожидать (рис. 4.1). Хорошо всем знакомым примером интерференции света могут служить мыльные пузыри. Явление это возникает при отражении света от двух стенок тонкой мыльной пленки, образующей пузырь. Белый свет состоит из волн разной длины, то есть волн разного цвета. Для волн некоторой длины гребни волн, отраженных от одной из стенок мыльной пленки, накладываются на впадины волн, отраженных от другой стенки пленки. Соответствующие этим длинам волн цвета отсутствуют в отраженном свете, который из-за этого воспринимается не как белый, а как окрашенный.

Рис. 4.1

Интерферировать могут и частицы – из-за обусловленного квантовой механикой волнового дуализма. Одним из наиболее известных примеров является так называемый двухщелевой эксперимент (рис. 4.2). Представьте себе перегородку – тонкую стенку – с двумя узкими параллельными щелями. С одной стороны от перегородки разместим источник света определенного цвета (то есть с определенной длиной волны). Большая часть света попадет в перегородку, но небольшое его количество пройдет через щели. Теперь представьте, что вы установили с другой стороны от перегородки экран. На любую точку этого экрана приходит свет из обеих щелей. Но в общем случае пути, которые свет проходит от источника до экрана через щели, отличаются друг от друга. Это означает, что волны, приходящие от двух щелей, окажутся не в фазе, когда они достигнут экрана. В некоторых местах впадины одной волны наложатся на гребни другой, и волны взаимно погасят друг друга, а в других местах гребни двух волн наложатся друг на друга. То же произойдет со впадинами, в результате чего волны усилят друг друга. Таким образом возникает характерный узор чередующихся светлых и темных полос.

Рис. 4.2

Удивительно, что точно такая же картина из полос наблюдается, если заменить источник света источником потока частиц, например электронов, движущихся с определенной скоростью. (Это означает, что соответствующие им волны имеют определенную длину.) Это особенно неожиданно, если учесть, что если в перегородке только одна щель, никаких полос не наблюдается – электроны равномерно распределяются по экрану. Логично предположить, что если сделать в перегородке вторую щель, то результатом будет простое увеличение числа электронов, попадающих в каждую точку на экране. Но из-за интерференции число электронов в некоторых местах, наоборот, уменьшается. Если отправлять электроны через щели по одному, то естественно было бы ожидать, что каждый электрон пройдет через одну из щелей и что распределение электронов за перегородкой будет таким же, как если бы мы имели дело с прохождением электрона через единственную щель – то есть равномерное распределение на экране. Но в реальности интерференционная картина наблюдается, даже если электроны выпускать по одному. Таким образом, каждый электрон должен проходить одновременно через обе щели!

Явление интерференции между частицами играет ключевую роль в нашем понимании строения атомов – основных структурных элементов, лежащих в основе химии и биологии, и тех самых «кирпичиков», из которых состоим мы и всё вокруг нас. В начале ХХ века считалось, что атомы похожи на Солнечную систему, – в них электроны (отрицательно заряженные частицы) обращаются вокруг положительно заряженного ядра в центре. Полагали, что взаимное притяжение положительных и отрицательных электрических зарядов удерживает электроны на их орбитах, подобно тому как гравитационное притяжение между Солнцем и планетами удерживает планеты. Проблема состояла в том, что согласно доквантовым законам механики и законам электрического взаимодействия электроны должны были потерять свою энергию и, двигаясь по спирали, упасть на ядро. Это означало, что атомы, да и все вещество, должны были быстро сколлапсировать до сверхплотного состояния. В 1913 году датский ученый Нильс Бор предложил частичное решение этой проблемы. Он предположил, что орбиты электронов не могут находиться на произвольном расстоянии от центрального ядра, а только на вполне определенном. Если же допустить, что на каждом из этих расстояний могут находиться орбиты не более двух электронов, то это решает проблему «схлопывания» атома: заполнив орбиты с наименьшими энергиями и расстояниями от ядра, электроны просто не могут подойти к ядру ближе.

Эта модель неплохо объясняла строение простейшего атома – атома водорода, в котором вокруг ядра обращается один-единственный электрон. Но было непонятно, как эту модель распространить на более сложные атомы. К тому же идея об ограниченном наборе допустимых орбит казалась очень уж вольной. Новая теория квантовой механики справилась с этой трудностью. Эта теория показала, что обращающийся вокруг ядра электрон можно рассматривать как волну, длина которой зависит от его скорости. Длины некоторых орбит равны целому (а не дробному) числу длин волн электрона. У этих орбит после каждого оборота гребни оказываются на том же месте, и такие волны усиливаются. Эти орбиты соответствуют разрешенным орбитам Бора. А вот у орбит, длина которых не равна целому числу длин волн, каждый гребень на каком-то обороте электрона окажется погашенным впадиной. Такие орбиты не являются допустимыми.

Американский физик Ричард Фейнман предложил наглядный способ представить корпускулярно-волновой дуализм – путем так называемого суммирования по траекториям. Этот подход предполагает, что у частицы не одна-единственная траектория в пространстве-времени, как в случае классической, неквантовой теории. Вместо этого считается, что частица движется из точки А в точку В всеми возможными путями. Каждому пути из А в В Фейнман поставил в соответствие пару чисел – амплитуду, то есть размах волны, и фазу – положение волны в цикле (гребень или впадина). Вероятность для частицы попасть из А в В рассчитывается суммированием волн, соответствующих всем траекториям, ведущим из А в В. В общем случае фазы – то есть положения гребней и впадин волн – близких, соседних траекторий сильно различаются. Это значит, что связанные с этими траекториями волны гасят друг друга. Но у некоторых наборов соседних траекторий различия фаз оказываются малыми, и соответствующие этим траекториям волны не гасят друг друга. Такие траектории соответствуют боровским допустимым орбитам.

На основе этих представлений, облеченных в конкретную математическую форму, оказалось довольно нетрудно рассчитать допустимые орбиты для более сложных атомов и даже молекул, состоящих из нескольких атомов, связанных электронами, которые обращаются сразу вокруг нескольких ядер. Поскольку строение молекул и их реакции лежат в основе всей химии и биологии, квантовая механика в принципе позволяет предсказать все происходящее вокруг нас в пределах, установленных принципом неопределенности. (Но на практике расчеты для систем с несколькими электронами оказываются настолько сложными, что не могут быть выполнены [аналитически].)

Общая теория относительности Эйнштейна определяет поведение Вселенной на больших масштабах. Это то, что можно назвать классической теорией, – она не учитывает квантовомеханический принцип неопределенности и поэтому не может быть согласована с другими теориями. Причина же согласия общей теории относительности с наблюдениями состоит в том, что все гравитационные поля, с которыми нам обычно приходится иметь дело, очень слабые. Однако согласно рассмотренным выше теоремам о сингулярностях как минимум в двух ситуациях – в черных дырах и во время Большого взрыва – гравитационное поле должно быть очень сильным. А в условиях таких сильных полей квантовые эффекты должны становиться существенными. Таким образом, в некотором смысле, предсказав существование точек с бесконечной плотностью, классическая общая теория относительности наметила собственный конец, совсем как классическая (то есть неквантовая) механика наметила свой конец через предсказанный ею вывод о неизбежности коллапса атомов до состояния с бесконечной плотностью. У нас пока еще нет полной и непротиворечивой теории, которая бы объединяла общую теорию относительности и квантовую механику, но мы уже знаем некоторые из свойств, которыми такая теория должна обладать. Мы рассмотрим следствия этих свойств для черных дыр и Большого взрыва в последующих главах. А пока вернемся к недавним попыткам объединить наши знания о других силах природы в единую квантовую теорию.