Текст книги "Методы и средства обеспечения безопасности полета"

1.5. Анализ исходной модели

Дополнив соотношения (1.3) дифференциальным уравнением (1.13), получим следующую систему уравнений:

где (1+A)=(1+П*) / τ, δ_k(t)=δ_p(t). Отметим, что при заданном значении δ_k(t) система (1.23), состоящая из двух дифференциальных уравнений, содержит три неизвестные функции: D(t), δ_n(t), δ_e(t), являясь, таким образом, незамкнутой. Это означает, что для ее решения, в частности, необходимо задать δ_e(t). Однако в этом случае исключается возможность проведения всестороннего анализа кредитной политики. Поэтому предлагается пойти по следующему пути.

Система (1.23) включает в себя величину δ_k(t), т. е. кредитный поток, который может быть реализован по распоряжению руководства микроавиационной системы. При максимальном использовании финансовых ресурсов микроавиационной системы поток δ_k(t) включает в себя поток возвратного кредита, а также часть прибыли и имеет, таким образом, следующий вид:

δ_k(t)=δ_k(t – τ)+γ₁Aδ_k(t – τ),

где Aδ_k(t – τ) – прибыль в виде процентов по кредиту, отданных при (t – τ), γ₁ – коэффициент, характеризующий ту часть прибыли, которая отдана в кредит в момент времени t. Изменяя коэффициент γ₁, можно получать различные значения δ_k(t). При этом γ₁ < 1, поскольку расходная часть δ_e(t) включает в себя и другие компоненты.

Рассмотрим введенные выше коэффициенты γ₂, γ₃, γ₄ и γ₅, характеризующие части дохода Aδ_k(t – τ), направленные на формирование финансовых потоков δ_зп(t), δ_н(t), δ_ос(t) и δ_пр(t) соответственно, где δ_зп(t) – поток заработной платы; δ_н(t) – поток налогов; δ_ос(t) – поток расходов на развитие основных средств; δ_пр(t) – поток средств на прочие расходы.

При этом получим

δ_k(t)=δ_k(t – τ)+γ₁Aδ_k(t – τ); δ_зп(t)=γ₂Aδ_k(t – τ);

δ_н(t)=γ₃Aδ_k(t – τ);                                              (1.24)

δ_ос(t)=γ₄Aδ_k(t – τ); δ_пр(t)=γ₅Aδ_k(t – τ).

Обозначим через γ=γ₁+γ₂+γ₃+γ₄+γ₅. Если вся прибыль направляется в оборот, то γ=1, условие γ < 1 означает, что часть средств отправлена на накопление. В этом случае расходная часть δ_e в (1.23) должна включать в себя дополнительную компоненту δ_накопл=Aδ_k(t – τ).

Соотношения (1.24) записаны для идеальной ситуации, когда поступившие деньги передаются внешним потребителям без запаздывания. В действительности микроавиационная система, как и любой другой реально функционирующий механизм, исполняет действия с запаздыванием (например, это время, необходимое для обработки документации). Обозначим его через τ₀. В общем случае τ₀ имеет различные значения при передаче различных составляющих δ_e различными службами и отделами микроавиационной системы.

Рассмотрим частный случай, когда величина τ₀ неизменна для всех подсистем. При этом соотношения (1.24) примут форму

δ_k(t)=(1+γ₁A)δ_k(t – τ₁); δ_зп(t)=γ₂Aδ_k(t – τ₁); δ_н(t)=γ₃Aδ_k(t – τ₁);

δ_ос(t)=γ₄Aδ_k(t – τ₁); δ_пр(t)=γ₅Aδ_k(t – τ₁),                         (1.25)

где τ₁=τ+τ₀. Если при этом выполняется условие γ=1, то неконтролируемых расходов нет. Тогда с учетом полученных зависимостей равенства (1.4) и (1.6) примут вид

δ_e(t)=γ*Aδ_k(t – τ,); δ_n(t)=(1+A)δ_k(t – τ,),          (1.26)

где γ*=γ₁+(1+γ₂)+γ₃+γ₄+γ₅ в общем случае не равно двум.

Преобразуем первое уравнение в (1.26). Для этого введем замену s=t – τ₁ и разложим δ_e(s+τ₁) в ряд Тейлора. Ограничившись первым членом разложения в силу малости производных более высоких порядков, получим δ_e(s+τ₁)=δ_e(s)+(s)τ₁. Тогда

Положим, что кредит выдан на срок, больший, чем одни сутки, запаздывание τ₀ по проведению финансовых операций составляет не менее одних суток в силу выбранной системы отсчета. При этом система (1.23) с учетом (1.27) примет следующий вид:

где a₁=–1 / τ, a₂=–1 / τ₁; τ ≥ 1; τ₁ > 1. Система (1.28) содержит три уравнения и три неизвестных: D(t), δ_e(t) и δ_n(t), являясь, таким образом, замкнутой. В качестве управления выступает поток кредитных средств δ_k(t). При заданных начальных условиях D(t₀), δ_e(t₀) и δ_n(t₀) система (1.28) имеет решение (τ ≠ 0; τ₁ ≠ 0), если она совместна.

Для анализа полученной модели сведем рассматриваемую систему уравнений к одному уравнению третьего порядка

где

Q(t)=B₁ – B₂ – (B₁a₂ – B₂a₁)δ_k; B₁=(1 / τ)(1+A);

B₂=(1 / τ)₁γ*A; m₁=–(a₁+a₂); m₂=a₁a₂; m₃=0.

С учетом того, что m₃=0, m₁=const, m₂=const запишем это уравнение в форме

или

Проинтегрировав (1.29), получим

где =0; =0. Окончательно имеем

где

Применим модель (1.30) для анализа финансового состояния микроавиационной системы. Для этого запишем ее в следующем виде:

где 2n=т₁=(τ₁+τ)/ττ₁; k²=m₂=1/ττ₁; τ₁=τ+τ₀;

Очевидно, что модель (1.31) пригодна для использования в качестве математической модели только в том случае, если она устойчива. Покажем, что это так. Для этого проанализируем состояние микроавиационной системы без влияния внешних воздействий (Q*(t)=0), при этом уравнение (1.31) представим в виде

Это уравнение описывает свободные изменения оборотного капитала D(t) микроавиационной системы. В общем случае при малых начальных возмущениях процесс D(t) может быть либо сходящимся (к D(t₀)), что будет означать устойчивость, либо расходящимся – в противном случае.

В соответствии с теорией систем [28, 29] уравнение (1.31) при Q*(t)=0 имеет общее решение D(t)=c₁ exp(λ₁t)+c₂ exp(λ₂t), где λ₁ и λ₂ – корни характеристического уравнения

λ²+2nλ+k²=0.

Покажем, что эти корни действительны и различны, т. е. λ_1,2=–n ± , где (n² – k²) > 0.

С учетом того, что 2n=(2τ+τ₀)/(τ(τ+τ₀)) и k²=1/(τ(τ+τ₀)), разность n² – k²={τ³₀ : [4τ(τ+τ₀)]} > 0, поскольку τ > 1, τ₀ ≥ 1. Кроме того, полученным значениям n и k соответствуют отрицательные собственные значения.

Сказанное говорит об устойчивости системы (1.31) в соответствии с теорией систем. Это означает, что при принятых условиях микроавиационная система устойчива. При этом оборотный капитал микроавиационной системы при δ_k(t)=0 останется неизменным, т. е. микроавиационная система, не выделяющая кредиты, не может быть убыточной или прибыльной. При отсутствии прибыли нет и всех тех расходов, которые включены в расходную часть δ_e(t). Отметим, что в соответствии с существующим законодательством не все налоги оплачиваются, исходя от прибыли. Это, в свою очередь, означает, что модель (1.31) не совсем верна, поскольку при δ_k(t)=0 выполняется условие δ_н(t)=0. Для более тщательного анализа необходимо принять δ_н(t)=γ₃Aδ_k(t – τ)+c₁, где c₁ – постоянная величина, определенная с учетом действующего законодательства.

С учетом сделанных выводов решение (1.31) запишем в виде

где ch(·) и sh(·) – гиперболические косинус и синус соответственно. Первое слагаемое D₁(t)=[D₀ch(λt)+(+nD₀)sh(λt) / λ]e^–nt в терминах теории систем описывает свободные колебания, что для микроавиационной системы означает изменение оборотного капитала. В силу устойчивости системы (1.31) эти изменения удовлетворяют следующим условиям:

С их учетом второе слагаемое D₂(t) в (1.32) примет форму

Определим, при каких ограничениях, накладываемых на параметры системы, и каких управлениях имеют место:

– прибыльность > 0, где t₁ – момент времени, начиная с которого микроавиационная система начала давать прибыль;

– убыточность < 0, где t₂ – момент времени, начиная с которого микроавиационная система стала убыточной;

– крах [K_y(t₀)+D(t₃)] ≤ 0, где t₃ – момент времени, начиная с которого капитал K_y(·) за счет оборотных средств D(t₃) стал нулевым или отрицательным.

Очевидно, что для различных значений времени микроавиационная система может быть прибыльной либо убыточной до тех пор, пока не произойдет третье событие, означающее разорение микроавиационной системы и прекращение ее существования.

Определим условия, при которых микроавиационная система является прибыльной. Для этого рассмотрим (1.32) и представим при нулевых начальных условиях в виде

Поскольку в данном выражении подынтегральная функция положительна, условие > 0 выполняется, если Q*(μ) > 0. Очевидно, при этом Q*(t) > 0 и, следовательно,

Осуществим в последнем неравенстве замену

Q(t)=(B₁ – B₂)(t) – (B₁a₂ – B₂a₁)δ_k(t),

при этом получим неравенство

Задача анализа прибыльности микроавиационной системы заключается, таким образом, в выборе такой совокупности параметров δ_k(t), τ, τ₀, P₁, γ₁, γ₂, γ₃, γ₄, γ₅, при которой выполняется условие (1.33).

Реальная возможность риска, возникающего при осуществлении пассажироперевозок микроавиационной системой обусловливает необходимость повышать процентную ставку П* (1.7) до значения П*₁, зависящего от уровня риска потерь технико-экономического потенциала, который определяется вероятностью пропуска опасной ситуации или критической ситуации Р₄, которая будет введена в главе II, и в дальнейшем будет представлен метод ее расчета. Итак, вероятность Р₄ характеризует потери техники в аварии, катастрофе.

Приведем необходимые функциональные соотношения (математическую модель) учета вероятности Р₄ при расчете процентной ставки П^* в момент его выдачи, т. е. экономический эквивалент, компенсирующий риск системы.

Представим возвратные средства D_в в виде

где 360 – условное количество дней в году.

Обозначим через p_i вероятность, с которой в микроавиационную систему может поступить сумма D_вi, составляющая k% от величины D_в.

Величина D_вi представляет собой дискретную случайную величину, принимающую возможные значения D_в1, D_в2, …, D_вn с вероятностями p₁, p₂, …, p_n, . Математическое ожидание M [D_в] вычисляется по известной формуле

Выделим частный случай, когда n=2, причем величина D_в принимает свои граничные значения: полный возврат и полный невозврат. Вероятности этих двух событий равны соответственно (1 – P*₄) и P*₄. При этом, как следует из (1.34),

M[D_в]=(1 – P*₄)D_в+P*₄ · 0,

а формула для суммы средств, возвращаемых в микроавиационную систему, примет следующий вид:

где D – исходная величина финансовых средств (кредита); P*₄ – вероятность невозврата финансовых средств; П(t – τ) – процентная ставка, назначенная с учетом его потерь; τ – срок возврата кредита (в днях). В дальнейшем будем называть D финансовыми средствами или кредитом, полученным эксплуатирующей организацией.

Отметим, что P*₄=P₄ · P'₄, где P'₄ – вероятность того, что D(t) пропали во время реализации проекта, чему соответствует событие D_в(t) ≤ 0. Здесь имеет место вероятность P₄, подлежащая вычислению.

В условии отсутствия риска кредит возвращается микроавиационной системе с процентами, ставка которых равна П₀(t – τ). При этом общая сумма возвращаемых средств D_в0 выражается следующей зависимостью:

Компенсация потерь, связанных с опасностью невозврата заемщиком кредита в данной сделке, имеет место при наличии условия M[D_в]=D_в0. Воспользовавшись для данного равенства формулами (1.35) и (1.36), получим

Введем обозначения

Тогда равенство (1.37) примет вид

Из последнего соотношения легко определить искомую величину – ставку процента, который должна взымать микроавиационная система с целью возмещения своих убытков:

Данная величина всегда положительна, поскольку вероятность P*₄ меньше единицы.

Если рассматривать выплачиваемый процент за кредит в качестве цены кредита, то зависимость (1.38) и являет собой формулу кредитного ценообразования микроавиационной системы в условиях наличия риска невозврата кредита. Представим формулу (1.38) в виде

откуда следует, что процентная ставка кредита, которая по сути и фиксирует его цену, в условиях риска невозврата кредита увеличивается с ростом P*₄ со следующим коэффициентом пропорциональности

который назовем коэффициентом увеличения цены Ц. График зависимости этого коэффициента от вероятности (риска) невозврата кредита P*₄ приведен на рис. 1.21. Из графика видно, что процент за «рисковый» кредит значительно увеличивается при росте вероятности невозвращения кредита.

Рис. 1.21

Поскольку

то величина приращения кредитного процента будет иметь вид

Таким образом, наличие риска невозврата кредита приводит к необходимости повышения относительного кредитного процента на величину, нелинейно увеличивающуюся при росте вероятности невозврата. При стремлении данной вероятности к единице наблюдается резкое увеличение кредитного процента (см. рис. 1.21).

Если же величина выбирается не из условия (1.37), а большей, то прибыль микроавиационной системы увеличивается. Однако при этом микроавиационная система рискует потерять клиента, который формирует колличественно пассажиропоток. Приращение кредитного процента является «премией микроавиационной системы за риск непогашения».

Таким образом, задача определения процентной компенсации возможных потерь микроавиационной системы свелась к отысканию вероятности невозврата кредита P*₄=P₄ · P'₄.

1.6. Выплаты в условиях риска невозврата средств

При возврате кредита заемщик выплачивает микроавиационной системе сумму D_в, определяемую соотношением

В эту сумму включены как размер самого кредита, так и начисленные по нему проценты. Подставив в (1.40) выражение (1.38) для относительной процентной ставки, исчисленной с учетом риска невозврата, получим формулу

При этом общая сумма, которая должена возвратиться в условиях безрискового кредита, равна

С учетом последней зависимости формула (1.41) примет следующий вид:

Таким образом, возвращаемая сумма в условиях риска увеличивается по сравнению с условием отсутствия риска в k раз, где

Функция k=k(P*₄) (рис. 1.22) терпит разрыв второго рода при P*₄=1. При этом сумма выплаты микроавиационной системы стремится к бесконечности, поскольку вероятность невозврата приближается к единице (превращая частичный невозврат в полный).

На рис. 1.22 приведены различные зоны риска l₁, l₂, l₃ (отметим, что такое разбиение условно). Их рассмотрение позволяет предложить следующие рекомендации. До значения P*₄=0,3 микроавиационная система компенсирует риск, повышая общую величину возвращаемой заемщиком суммы не более, чем на 40 % по сравнению с безрисковым кредитом. В дальнейшем будем считать такой риск «мягким», в том смысле, что угроза потери кредита не слишком велика, а увеличение цены кредита находится в допустимых пределах.

В том случае, когда P*₄ находится в пределах [0,3; 0,6], значительно возрастает не столько сам риск, сколько сумма возврата. Так, уже при P*₄=0,5 общая величина возвращаемой пассажирами суммы будет в два раза больше по сравнению с безрисковым кредитом.

Если же P*₄ > 0,6, то кредитный процент и сумма, подлежащая выплате, достигают нереальных размеров. Поэтому риск невозврата кредита, превышающий значение 0,6, будем считать недопустимым и называть «критическим». Таким образом, величину 0,6 будем в дальнейшем использовать в качестве критической, а все расчеты производить из условия P*₄ ≤ 0,6.

Рис. 1.22

Отметим, что полученные модели ценообразования в условиях риска включают в себя неявным образом наличие инфляции, что особенно актуально для современных условий функционирования микроавиационной системы. Этот факт нашел отражение в исходном условии компенсации потерь (1.37), так как ставка безрискового кредитного процента исчислялась с учетом инфляции. Следовательно, ставка кредитного процента , вычисленная с учетом риска, включила в себя инфляцию через , с которой она непосредственно связана (см. (1.38)). Более того, в высокоинфляционной ситуации ставка фактически близка к относительному проценту инфляции и непосредственно влияет на ставку рискового кредитного процента. Для пояснения сказанного рассмотрим следующий иллюстративный пример.

Пусть безрисковая кредитная процентная ставка составляет 200 процентов в год и складывается из инфляционной составляющей, равной 190 процентам, и безинфляционной, равной 10 процентам. При этом мы исходим из простейшей модели суммирования ставок. Тогда относительная процентная ставка равна 0,2. Допустим, что расчетное значение вероятности P*₄ находится на уровне 0,2. Тогда, согласно формуле (1.39), величина относительного кредитного процента равна 2,0+0,8·(1+0,2)/(1 – 0,2)=2,75. Таким образом, в данном случае микроавиационная система вправе назначать процентную ставку П=275 %. Рассмотрение этого примера при отсутствии инфляции (инфляционная составляющая кредитного процента равна нулю) дало бы следующие значения величин: =0,1; =0,375; П=37,5 %.

Влияние инфляции на величину возвращаемого кредита в условиях риска невозврата проявляется через безрисковый возврат, который, как видно из формулы (1.42), непосредственно зависит от безрисковой ставки , содержащей инфляционную составляющую. В зависимости от соотношения процента инфляции и процента риска тот или иной фактор способен оказывать решающее воздействие на цену кредита.

1.7. Технико-экономические потери на этапе создания новых объектов

В процессе разработки показателей технико-экономического риска для самолета необходимо учитывать все четыре этапа его жизненного цикла. На первом этапе учитывается роль науки; на втором этапе – роль конструкторско-проектных работ; на третьем – роль технологических процессов производства самолета; на четвертом – проблема эксплуатации и, прежде всего, обеспечения безопасности и оптимальности полета. При этом величина технического риска есть интегральная характеристика, обусловленная потерями, для компенсации которых на самолетах устанавливают системы оптимизации режимов пилотирования (СОРП), системы предупреждения критических режимов (СПКР).

На этапе научно-исследовательских работ, cвязанных с созданием самолета, мы работаем, как правило, с математическими моделями. При этом мы имеем дело с двумя видами моделей проектируемого самолета: М₁ и М₂ (рис. 1.23). Модель М₁ описывает функционирование реального объекта, М₂ – модель, принятая при расчетах.

Для рассматриваемой ситуации

x(t)=Ψ(z, A, W, V, t), y(t)=Ψ₁(z, A, δ, t),

где x(t); y(t) – выходные процессы для реального объекта и для математической модели соответственно; z(t) – входной заданный (известный) процесс, используемый для анализа; Ψ, Ψ₁ – операторы, описывающие модели М₁ и М₂ соответственно; δ(t) – погрешность модели или метода, разработанного в теории; А – вектор заданных параметров, в том числе случайных возмущающих факторов; W, V – соответственно внешние и внутренние возмущающие факторы.

Рис. 1.23

О свойствах вектора x(t) на начальном этапе научно-исследовательских работ, как правило, мы имеем мало информации, но можем предположить, что в общем случае х_i(t) ≠ y_i(t) . При этом x(t) есть фактическое значение параметров состояния объекта х_ф в силу того, что в модели М₁ учтены все внутренние и внешние возмущающие факторы и особенности систем, его насыщающих. При этом процессе y(t) получен на выходе модели М₂, которую нам дала теория (наука). Именно этой моделью мы владеем и пользуемся при проведении научно-исследовательских работ, а на выходе ее имеем y(t) – расчетный или оценочный процесс. В этой модели учтена только часть внешних и внутренних возмущений (факторов), следовательно, модель М₂ приближенно описывает изменение параметров ее состояния во времени. Имея в виду сказанное, получим показатель научно-исследовательского риска.

Пусть параметр х проектируемого объекта ограничен сверху величиной х^в_доп (рис. 1.24). При этом справедливо x ≤ x^в_доп, а G₁ есть область допустимых значений х. В качестве такого параметра могут выступать, например, километровый расход топлива q, перегрузка, угол атаки. Ограничение на х может быть и снизу, т. е. ограничение для минимального значения, например дальности полета L, прибыли инвестиционного проекта. При этом должно выполняться условие x ≥ x^н_доп, и область допустимых значений х есть G₂ (рис. 1.25).

Рис. 1.24

Рис. 1.25

При проведении научно-исследовательских работ параметры динамической системы выбираем таким образом, чтобы выполнялось условие x ≤ x^в_доп или x ≥ x^н_доп. Такой подход возможен, если х известно и детерминировано. Однако это не так в силу того, что объект (самолет) подвержен возмущающим факторам как внутреннего, так и внешнего происхождения. В этих условиях параметр состояния х представляет собой случайный процесс. При этом у имеет вид y(t)=x(t)+δ₁x и также является случайным процессом, где δ₁x – погрешность оценки. За счет δ₁x мы обязаны ввести запас Δ^в=x^в_доп – (x^o_доп)^в или Δ^н=(x^o_доп)^н – x^н_доп (рис. 1.26).

Рис. 1.26

В силу случайности δ₁х, у, х возможен ряд событий, представляющих собой потери инвестора (случай ограничения сверху, например, по расходу топлива):

A₁=(x ≥ x^в_доп; y ≤ (x^o_доп)^в), A₂=(x ≤ x^в_доп; y ≥ (x^o_доп)^в),

A₃=(x ≥ x^в_доп; у ≥ (x^o_доп)^в).

Вероятности этих событий

P₁=P(A₁)=P(x ≥ x^в_доп; y ≤ (x^o_доп)^в),

P₂=P(A₂)=P(x ≤ x^в_доп; у ≥ (x^o_доп)^в),

P₃=P(A₃)=P(x ≥ x^в_доп; y ≥ (x^o_доп)^в).

Вероятность Р₁ представляет собой численную величину того, что расчетный параметр фактически выполненного объекта будет превышать его допустимое значение, что неприемлемо либо по экономическим признакам, либо из условий безопасности эксплуатации объекта.

Вероятность Р₂ представляет собой число, характеризующее следующее событие: объект забракован из-за невозможности удовлетворить ограничениям на параметр х, хотя эти ограничения для реального объекта выполняются.

Вероятность Р₃ представляет собой событие, связанное с невозможностью удовлетворения ограничений, накладываемых на параметр х, т. е. разрабатываемый проект не может быть реализован, а средства, затраченные на проведение научно-исследовательских работ, есть убытки, которые представляют риск инвестора.

Вероятность Р₁ назовем вероятностью принятия убыточного проекта, вероятность Р₂ – отклонением прибыльного проекта, вероятность Р₃ – отклонением убыточного проекта. В совокупности Р₁, Р₂ и Р₃ являются показателями научно-исследовательского риска, т. е. Р_нр=(Р₁, Р₂, Р₃).