Текст книги "Методы и средства обеспечения безопасности полета"

2.2. Вероятностные показатели риска и безопасности

Риск – это ситуативная характеристика деятельности человека по управлению технической системой, отображающая неопределенность этой деятельности и возможные потери при реализации целевых задач. Под потерями будем понимать:

– потери техники (полная или частичная поломки), связанные с выходом ее параметров движения (состояния) за пределы допустимых значений и обусловливающие финансовые затраты;

– финансовые потери, связанные с неполным использованием технических возможностей системы, например, для ЛА так называемые полеты при режимах, неоптимальных по расходу топлива;

– потери, связанные с человеческими жертвами.

В дальнейшем под успехом эксплуатации ЛА будем понимать безаварийные (благополучные) полеты, при которых наилучшим образом используются технические возможности ЛА. Для построения показателей эксплуатационного риска рассмотрим схему возникновения летного происшествия.

За счет управлений или возмущений, т. е. воздействий, связанных соответственно с выполнением маневра или появлением непредвиденного аварийного фактора (отказа системы управления, ошибки пилотирования, неблагоприятных внешних условий и т. д.), в момент времени t хотя бы одна компонента x_i(t) вектора X параметров состояния динамической системы, подлежащая ограничению по максимуму, достигает границы области допустимых значений, а затем выходит за ее пределы. Такое событие обозначим через A={x_i(t) ≥ x_i^в_доп}. После наступления события А на выходе системы контроля имеет место появление одного из двух сигналов-событий

B={ ≤ (x^в_i)^пр_доп} или C={ > (x^в_i)^пр_доп},

где  – оценка параметра x_i, осуществляемая с помощью информационно-измерительной системы. В первом случае за счет погрешностей функционирования системы контроля летчик получил неверную информацию относительно состояния контролируемого и ограничиваемого параметра x_i. Во втором случае система контроля правильно определила состояние динамической системы по контролируемому и ограничиваемому параметру.

Используя эту информацию, летчик формирует управление, в результате чего в момент времени t₁ > t наступает одно из двух событий: Д={x_i(t₁) ≤ x_i^в_доп} или Д={x_i(t₁) ≥ x_i^в_доп}. Событие Д возможно, если при наступлении событий А и С летчик принял правильную стратегию управления и своевременно ее реализовал. Событие Д₁ возможно, если:

– события А и В наступают одновременно;

– события А и С имеют место, но летчик принял неправильное решение по управлению, или время τ реакции летчика больше допустимого времени θ_0i пребывания ограничиваемого параметра x_i в недопустимой области состояния, когда наступает событие E={τ Ω_Θ0}, где Ω_Θ0 – вектор допустимых значений θ_0i, , подлежащих определению при проектировании системы контроля.

В дальнейшем будем рассматривать следующие вероятности: P(A) – вероятность появления события А; P(B | A), P(C ∩ E | A) – условные вероятности того, что летчик пропустил особую ситуацию, когда система контроля не сработала, и когда она сработала соответственно; P(Д₁ | A ∩ B), P(Д₁ | A ∩ C ∩ E) – условные вероятности того, что летчик вовремя не отреагировал на превышение параметрами движения допустимых значений или принял неправильную стратегию управления. Для большинства режимов полета P(A) представляет собой вероятность усложнения условий пилотирования; P(A)P(B | A) – вероятность опасной ситуации; P(Д₁ | A ∩ B) – вероятность аварийной или критической ситуации.

Отметим, что определенная по статистическим материалам летной эксплуатации частота появления события А является нормативной как в отечественном самолетостроении, так и за рубежом. Согласно западноевропейским нормам летной годности FAR-25, в полете выделяют четыре типа особых ситуаций, связанных с появлением события А (т. е. четыре типа летных происшествий): катастрофическая ситуация, аварийная ситуация, опасная ситуация и усложнение условий полета. Максимально допустимая частота этих событий не должна превышать соответственно 10^–9, 10^–7, 10^–5 и 10^–3 на 1 час полета [11].

Так как пилот управляет ЛА по сигналам, поступающим от систем контроля, то риск управления будем оценивать с учетом возможностей этих систем и пилота. При этом на основе анализа возможных сигналов-событий, формируемых на выходе системы контроля, необходимо выделить те, которые ведут в полете к особой ситуации или снижению эффективности применения ЛА.

Для анализа полетных ситуаций введем следующие гипотезы, в случае ограничения по минимуму и по максимуму одновременно.

Гипотеза В₁. Каждая из координат x_i вектора Х находится в области допустимых значений, т. е. X Х_доп.

Гипотеза В₂. Хотя бы одна из координат x_i находится вне области допустимых значений, т. е. существует хотя бы одно значение i, для которого х_i > х_i^в_доп или х_i < х_i^н_доп, и X Х_доп.

При этих двух гипотезах на выходе системы контроля может появиться один из двух сигналов-событий:

A₁={ Х^пр_доп}; A₂={ X^пр_доп}.

где =X_изм – измеренное значение Х на выходе системы контроля.

Ситуация, когда справедлива гипотеза B₁ и выполняется событие A₁, соответствует такому функционированию всех систем, в том числе и системы контроля, при котором полетное задание выполняется. Вероятность пересечения этих событий обозначим через P₁=P(B₁ ∩ A₁).

В случае, когда реализуются гипотеза B₁ и событие A₂, к оператору поступает ложная информация о величине параметров движения. Вероятность такого события P₂=P(B₁ ∩ A₂).

Рассмотрим гипотезу B₂ и событие A₂. Эта ситуация соответствует такому функционированию системы контроля, когда основная цель полетного задания не выполняется, т. е. вектор Х находится вне области допустимых значений. Такая ситуация обусловлена ошибками пилота при ручном управлении или отказами и погрешностями функционирования систем управления при автоматическом управлении. Вероятность этого события обозначим P₃=P(B₂ ∩ A₂).

Событие B₂ ∩ A₁ означает, что текущее значение Х достигло границы множества X_доп, а на выходе системы контроля отсутствует сигнал наступления критического режима. Обозначим вероятность этого события P₄=P(B₂ ∩ A₁).

На рис. 2.8 представлена диаграмма событий B_i, A_j (i=1,2; j=1,2), здесь Х_n=Х^пр_доп, Х_оп=Х_кр .

Для решения задачи анализа необходимо установить связь между вероятностями P_i, , допустимыми значениями векторов Х, , а также плотностями вероятностей векторов Х и . С этой целью, учитывая определения

B₁={X(t) X_доп(t) t [t₀,T]}; B₂={X(t) X_доп(t) t [t₀,T]};

A₁={ X^пр_доп(t) t [t₀,T]}; A₂={ X^пр_доп(t) t [t₀,T]},

представим рассматриваемые вероятности в виде

P₁=P {[X(t) X_доп(t)] ∩ [ X^пр_доп(t)]};

P₂=P{[X(t) X_доп(t)] ∩ [ X^пр_доп(t)]};

P₃=P{[X(t) X_доп(t)] ∩ [ X^пр_доп(t)]};

P₄=P{[X(t) X_доп(t)] ∩ [ X^пр_доп(t)]}.

При этом риск управления будем характеризовать векторной величиной P=(P₂, P₃, P₄), включающей в себя вероятности P₂, P₄, обусловленные погрешностями функционирования системы контроля, и вероятность P₃, обусловленную ошибками летчика. В дальнейшем будем говорить, что P₂=P_лс – вероятность ложной сигнализации; P₃=P_оп – вероятность ошибки пилота (при ручной системе управления); P₄=P_пр – вероятность пропуска опасной ситуации.

Рис. 2.8

Будем предполагать, что множества Х_доп, Х^пр_доп образуют односвязные области. Тогда для искомых вероятностей получим:

где W(t; x, ) – совместная плотность вероятности компонент векторов Х и в момент времени t; Х_доп, Х^пр_доп – области, образованные дополнениями к Х_доп, Х^пр_доп.

Существуют некоторые режимы полета самолета, для которых события (B_1i, A_2i), (B_2i, A_2i), (B_2i, A_1i), соответствующие ложному срабатыванию, ошибкам летчика и пропуску опасной ситуации для параметров x_i , вектора Х являются независимыми. Тогда эти события будут несовместны, поэтому получим

Теперь рассмотрим P_пр и P_лс для компонент вектора X, допускающих выбросы в критическую область на ограниченном интервале времени θ₀. Так, например, θ₀ для угла атаки – это время развития сваливания и перехода ЛА в новый режим – штопор. При этом получим

P_пр=P{x_i(t) > x_i доп, t [t₁, t₂], (t₂ – t₁)=θ_i; θ_i ≥ θ_0i; < x_i^пр_доп}.

Здесь случайная величина θ_i – интервал времени между моментами времени t₁ выхода x_i из X_доп и t₂ – входа x_i в X_доп, а θ_0i – допустимая продолжительность выброса x_i за уровень x_i доп.

При этом для i-го параметра получим [12]:

Приведенная формула позволяет вычислить P_пр для параметров движения, допускающих кратковременные выбросы в недопустимую область, например, таких как угол атаки α, скорость V, число Маха М, перегрузка n_y центровка x_T. При этом W(θ_i|х_i) представляет собой условную плотность распределения длительности θ_i выброса i-го параметра за фиксированный уровень x_i=const, а θ_0i зависит от конструктивно-аэродинамических характеристик ЛА и подлежит определению. Вывод W(θ_i|х_i) приведен в главе IV.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением вероятностей P₂ и P₄, непосредственно связанных со свойствами системы контроля и объекта управления.

Пусть l₁ представляет собой траекторию движения первого самолета, а l₂ – траекторию полета второго самолета (рельеф местности при полете первого самолета на малой высоте), которые соответствуют параметрам x₁ и x₂, представляющим собой случайные процессы.

Рассмотрим вероятности P_пр и P_лс для параметров движения l₁ и l₂, расположенных в пространстве различным образом: l₁ и l₂ параллельны; l₁ и l₂ пересекаются, их общие точки контролируются двумя системами контроля [8, 11]. Выберем правую систему координат (X_g, Y_g, Z_g), начало которой зафиксируем на Земле, а ось OY_g направим по местной вертикали вверх (рис. 2.9).

Пусть , представляют собой невозмущенные траектории движения. В этом случае каждая из них – прямая с единичными направляющими векторами

где δ_i, δ'_i, i=1, 2, 3 – углы между векторами и с координатными осями OX_g, OY_g, OZ_g соответственно. При этом параметры траектории движения ψ(t), θ(t) будут связаны с углами δ_i и δ'_i следующими соотношениями:

cosδ₁=cosψ₁ cosθ₁;      cosδ'₁=cosψ₂cosθ₂;

cosδ₂=sinψ₁ cosθ₁;       cosδ'₂=sinψ₂ cosθ₂;

cosδ₃=sinθ₁;                 cosδ'₃=sinθ₂.

Выберем фиксированные точки M₀(0, 0, 0) и N₀(x₀, y₀, z₀) . Обозначим через M (x_M, y_M, z_M) точку, перемещающуюся по прямой , а через N (x_N, y_N, z_N) – точку, перемещающуюся по прямой . Тогда параметрические уравнения и примут следующий вид:

где τ₁ > 0, τ₂ > 0 – переменные параметры, равные расстоянию от M₀ до М и от N₀ до N соответственно, которые берутся со знаком плюс, если направление векторов , совпадает с направлением векторов , соответственно; α, β, γ – направляющие косинусы прямой l₁, т. е. α=cosδ₁, β=cosδ₂, γ=cosδ₃; α', β', γ' – направляющие косинусы прямой l₂, т. е. α'=cosδ'₁, β'=cosδ'₂, γ'=cosδ'₃.

Пусть (ξ_M, η_M, μ_M)=λ_M – случайный векторный процесс с известным законом распределения W_M(x, y, z), который характеризует погрешности выдерживания пространственно-временного положения точки М l₁, а (ξ_N, η_N, μ_N)=λ_N – случайный векторный процесс с известным законом распределения W_N (x, y, z), который характеризует погрешности выдерживания пространственно-временного положения точки N l₂.

Рис. 2.9

Случайное положение точек M₁ и N₁, координаты которых обозначим и , подчинено следующей системе равенств:

При определении событий A и В, входящих в вероятность P₄=P_пр, будем рассматривать следующие случаи: полет на встречном или попутном направлениях, который характерен для крейсерского режима полета по заданному эшелону, и полет в зоне аэропорта, когда l₁ и l₂ пересекаются.

Сначала рассмотрим движение самолетов на встречных курсах. Для вычисления P₄ из (2.1) введем вектор

Ему соответствует следующее множество недопустимых или критических состояний ЛА:

Х_доп={χ : 0 < χ_i ≤ l_i, i=1,2,3},

где l₁=(l_x)_доп; l₂=(l_y)_доп; l₃=(l_z)_доп; (l_x)_доп, (l_y)_доп, (l_z)_доп – величины, характеризующие размер опасной зоны, представляющей собой прямоугольный параллелепипед со сторонами, равными, например, размерам самолета (рис. 2.9). Последнее означает, что Х принадлежит критической области.

Для измеренных значений вектора введем множество недопустимых или критических по прибору значений χ:

где = (l_x)^пр_доп; = (l_y)^пр_доп; = (l)^пр_доп; (l_x)^пр_доп, (l_y)^пр_доп, (l_z)^пр_доп – величины, характеризующие область допустимых по прибору состояний (рис. 2.9). В результате получим

P₄=P_пр=P(B₂, A₁)=P{χ X_доп; X^пр_доп}.

При этом самолет находится в критической области, т. е. в области пересечения со встречным самолетом, а система контроля утверждает противоположное.

Для описания события В₂ введем вектор

χ₁=(ξ_M – ξ_N; η_M – η_N; μ_M – μ_N)

и область

где Δl=(Δl₁, Δl₂, Δl₃); Δl₁=х_N – х_M; Δl₂=y_N – y_M; Δl₃=z_N – z_M. Тогда получим

B₂={χ₁ X_доп}.

Для события А₁ введем =(δξ; δη; δμ);

где

Окончательно получаем

P₄=P_пр=P {χ₁ X_до; Х^пр_доп}.

Рассмотрим случай, когда l₁ и l₂ пересекаются. При этом область опасного сближения представляется косоугольным параллелепипедом, и вести интегрирование по такой области в декартовой системе координат трехмерного пространства сложно. Поэтому осуществим линейное ортогональное преобразование системы координат по следующей схеме: ось OY' направим по направляющему вектору прямой l₁; ось OX' параллельна вектору , который находится по формуле n=( · ), где =(α, β, γ); =(α', β', γ'). Направление оси OX' выберем так, чтобы система координат была правой и прямоугольной. В случае, если угол между векторами и не равен π/2, нужно осуществить поворот относительно оси OZ' на угол φ и перейти к системе координат OUVW, т. е. ось OX' должна перейти в ось OU, ось OY' – в OV, а ось OZ' – в OW. В результате получим

где

α_U=α₁cosφ+α₂sinφ; α_V=α₂cosφ – α₁sinφ; α_W=α₃;

β_U=β₁cosφ+β₂sinφ; β_V=β₂cosφ – β₁sinφ; β_W=β₃;

γ_U=γ₁cosφ+γ₂sinφ; γ_V=γ₂cosφ – γ₁sinφ; γ_W=γ₃;

α_i, β_i, γ_i – косинусы углов между осями OX' и OX, OY' и OY, OZ' и OZ соответственно. После указанного преобразования координат уравнения для траекторий l₁ и l₂ запишутся в виде

Таким образом, уравнения траекторий (2.3) представлены в форме, изученной ранее. Значит, все результаты, полученные для P_п распространяются и на данный случай.

2.3. Показатели риска и безопасности полета самолета на малой высоте

Полеты на малых и предельно малых высотах имеют своей целью поражение различных объектов противника. Реализация полетов связана со следующими потерями: 1) пересечением траектории ЛА с поверхностью земли; 2) поражением ЛА со стороны противника; 3) промахом снаряда, пущенного с борта ЛА для поражения цели. Каждое из трех перечисленных событий характеризуется своей вероятностью: Р₁₀, Р₂₀, Р₃₀. В силу независимости этих событий имеем Р_Σ=Р₁₀+Р₂₀+Р₃₀. Суммарная вероятность Р_Σ характеризует суммарные потери или суммарный технический риск, величина которого должна быть вычислена.

В рамках данной работы рассматривается вероятность Р₁₀ пересечения ЛА с рельефом местности. Эта вероятность зависит от свойств бортового приборного комплекса, свойств ЛА и двигателя, летчика, свойств рельефа поверхности земли, над которым совершается полет, необходимой высоты полета, внешних возмущений.

В дальнейшем будем рассматривать математические модели разного уровня, описывающие подсистемы авиационного комплекса, с помощью которого осуществляется полет на малой высоте, для вычисления вероятности Р₁₀. Области возможных состояний ЛА относительно рельефа местности при полете на малой высоте представлены на рис. 2.10.

Рис. 2.10

Задача пилота, системы предупреждения критических режимов или системы автоматического управления состоит в обеспечении условия H_изм ≥ H_п, где Н_изм – измеренное значение высоты полета, определяемое как Н_изм=Н_ф+δН; δН – погрешность измерения Н_ф. Как правило, при построении таких систем пороговая высота полета рассматривается как функция скорости сближения самолета с землей, т. е. Н_n=f(), где =(+δ) – измеренное значение скорости изменения высоты полета, δ – погрешность измерения .

На рис. 2.10 приведены следующие обозначения:

Н_рел=Н_кр – высота рельефа местности или критическая высота полета;

Н_оп=Н_доп – опасное значение высоты;

H^пр_оп=Η_n – опасное по прибору или пороговое значение высоты полета;

Н_з=Н_ном – заданное или номинальное значение высоты полета;

Н_ф – высота полета самолета (фактическая).

При директорном способе управления после достижения фактической высоты Н_ф порогового значения Н_n=Н_ф летчик использует информацию с командного прибора, на вход которого подается Н_n и Н_ф. В рассматриваемых условиях координатой управления является нормальная перегрузка n_у, которая при полете с отслеживанием рельефа должна строго ограничиваться с диапазоном n*_у [–0,8; 2,5]. Учитывая, что при формировании управляющих команд летчик использует информацию, выдаваемую командным прибором в виде отклонения δ_стр стрелки, изображение сигнала δ_л(S) имеет вид [3]:

δ_л(S)=W_л(S)δ_стр(S),

где W_л(S) – передаточная функция летчика;

δ_стр(S)=W_кп(S)[n_y(S) – n^з_y(S)],

W_кп(S) – передаточная функция командного прибора;

n_у(S) – изображение текущего значения нормальной перегрузки;

n^з_y(S) – изображение заданного значения нормальной перегрузки, определяемое следующим образом:

где F(·) – нелинейная функция с ограничениями (по максимуму и по минимуму); Н, Н_з – текущее и заданное значения высоты полета.

Выбором функции F(Z) обеспечивается требуемый диапазон изменения перегрузки n^з_y. После достижения Н_изм своего порогового значения Н_n летчика переводит самолет в режим набора высоты с максимально разрешенной перегрузкой – n_y^max.

При моделировании процессов управления и ограничения будем считать, что вертикальная составляющая атмосферной турбулентности является случайным процессом. Случайными являются погрешности измерения параметров движения, необходимые для формирования закона управления. Высота пролетаемого рельефа местности Н_рел может иметь как случайный, так и детерминированный характер. Это связано с тем, что маршрут полета может быть как известным заранее, так и неизвестным. Последняя ситуация возникает, когда над заданным районом земной поверхности назначено множество возможных маршрутов и полет по любому из них можно рассматривать как случайное событие. В дальнейшем полет в данных условиях будет называться полетом по произвольному маршруту.

Выход ЛА в область критических G₄ или опасных G₃ (рис. 2.10) состояний в полете оценим количественно функционалом, определенным на множестве состояний, т. е. интегрально. В качестве таких оценок наибольшее распространение получили вероятностные характеристики, связанные с частотой Р^*=Р^*(А) выхода ограничиваемого параметра из области допустимых состояний Ω G₁ G₂ в область G₄ (событие А). Вероятность появления события А обозначим Р=Р(А).

При уменьшении высоты полета ниже критической происходит столкновение ЛА с землей, т. е. катастрофа. Поэтому по требованиям безопасности для такого события должно выполняться неравенство P* ≤ 10^–9.

Таким образом, разработка интегрального критерия Р состоит в установлении зависимости между пороговым, опасным и критическими состояниями ЛА, свойствами техники, действиями оператора, внешними условиями, в которых протекает полет и частотой выхода из области допустимых состояний за 1 час полета. Поэтому в качестве критерия оценки эффективности рассматриваемой системы целесообразно выбрать вероятность пребывания параметров движения ЛА в области допустимых значений Ω на протяжении всего времени полета:

P{ Ω, t [0, T]},           (2.4)

где ={α(t), ω_z(t), V_y(t)} – вектор параметров движения ЛА; Т – время полета ЛА на малой высоте.

Поскольку, как отмечалось выше, в первую очередь, недопустим выход высоты полета из области допустимых значений, критерию (2.4) можно придать следующий вид:

P{H_min < H(t) < H_max, 0 ≤ t ≤ T},          (2.5)

где Н_min – минимально допустимая (опасная) высота полета; Н_max – максимально допустимая высота полета; Н(t) – фактическое значение высоты полета.

Помимо критерия (2.4) (или (2.5)), имеющего общий характер, для оценки эффективности бортовой информационной системы для управления полетом целесообразно использовать и частные критерии. Одним из таких критериев является вероятность нахождения параметров движения ЛА в области допустимых значений в расчетные моменты времени t_i (1 ≤ i ≤ n), соответствующие контрольным точкам траектории полета, т. е. вероятность вида

P*(t_i)=P{ Ω}.          (2.6)

Моментом t_i в рассматриваемых условиях может являться момент облета высокого препятствия, момент перехода от облета понижающегося участка маршрута к облету поднимающегося участка маршрута и т. п.

По аналогии с соображениями, изложенными при введении критерия (2.5), критерий (2.6) можно упростить до выражения вида

P(t_i)=P{H_min < H(t_i) < H_max}.           (2.7)

Отметим, что критерий (2.7) слабо связан с характеристиками бортовой системы управления полетом. Поэтому рассмотрим другой критерий, близкий к (2.7), но лишенный присущего последнему недостатка. Предварительно приведем следующие соображения.

Функционирование бортовой информационной системы для управления полетом будет эффективно, если она обеспечит в момент времени t нахождение значения высоты полета в пределах области, указанной в правой части выражения (2.7). Поскольку в реальных условиях приходится иметь дело не с точными, а с измеренными значениями высоты полета Н_изм, то «точные» границы области допустимых значений высоты полета заменяют на «приборные». Так, нижней границей области допустимых значений высоты полета становится пороговое значение H_пор=Н^пр_доп высоты полета.

В процессе ограничения высоты полета в режиме ручного или автоматического управления возможны следующие гипотезы относительно ЛА.

Гипотеза В₁. Летательный аппарат находится в области допустимых состояний {Н_ф > Н_оп}.

На выходе информационно-измерительной системы формируются сигналы-события: А₁₁{Н_изм > Н_п} или А₁₂{Н_изм ≤ Н_п}, где Н_изм=Н_ф+δН – измеренное значение высоты полета; Н_ф – фактическое значение высоты полета; δН – приращение Н за счет погрешностей измерения.

Гипотеза В₂. Летательный аппарат находится вне области допустимых состояний, т. е. {Н_ф ≤ Н_оп}.

На выходе информационно-измерительной системы имеем: А₂₁={Н_изм > Н_п} или А₂₂={Н_изм ≤ Н_п}.

В качестве показателей потерь авиационной техники, следовательно, невыполнения поставленной задачи, в данной ситуации следует рассматривать следующие вероятности:

Р₁=Р(В₁, А₁₂)=Р(Н_ф > Н_оп, Н_изм ≤ Н_п),

Р₂=Р(В₂, А₂₁)=Р(Н_ф ≤ Н_оп, Н_изм > Н_п),

Р₃=Р(В₂, А₂₂)=Р(Н_ф ≤ Н_оп, Н_изм < Н_п).

Вероятность Р₁ характеризует потери, согласно (2.5), обусловленные полетом на высотах, больших Н_оп, т. е. с увеличением вероятности поражения противником. Вероятности Р₂, Р₃ есть вероятности пересечения ЛА с рельефом. При Р=Р₂ информационная система за счет ошибок функционирования δН неверно отобразила ситуацию, при Р=Р₃ информационная система работает верно, но система управления по каким-то причинам, например из-за ошибок летчика или системы автоматического управления, не справилась со своим назначением.

Таким образом, в дальнейшем будем рассматривать совокупность вероятностей Р_i (i=1, 2, 3) вида

Р₁=Р₁(t_i)=Р{Н_ф(t_i) > Н_оп, Н_изм(t_i) < Н_п},

Р₂=Р₂(t_i)=Р{Н_ф(t_i) ≤ Н_оп, Н_изм(t_i) > Н_п},

Р₃=Р₃(t_i)=Р{Н_ф(t_i) ≤ Н_оп, Н_изм(t_i) < Н_п}.

Учитывая, что Н_оп и Н_п зависят, в общем случае, от других параметров движения ЛА, которые, в свою очередь, являются функциями времени, последним выражениям следует придать вид

Р₁=Р{Н_ф(t_i) > Н_оп(t_i), Н_изм(t_i) ≤ Н_п(t_i)},

Р₂=Р {Н_ф(t_i) ≤ Н_оп(t_i), Н_изм(t_i) > Н_п(t_i)},           (2.8)

Р₃=Р{Н_ф(t_i) ≤ Н_оп(t_i), Н_изм(t_i) ≤ Н_п(t_i)}.

Поскольку маршрут полета на малой высоте может быть произвольным или заданным, целесообразно разбить рассмотренные выше показатели на две группы в зависимости от характера маршрута с целью удобства использования критериев. В условиях полета по произвольному маршруту следует использовать критерии (2.4) и (2.5). При полете по заданному маршруту наряду с указанными целесообразно использовать и критерии (2.6), (2.7).

Пусть полет совершается по заданному маршруту. При этом будем предполагать, что Н_оп и H_п не зависят от времени. Запишем вероятности Р_i (i=1, 2, 3) в виде

где Δ=Н_оп – Н_п; Δ'=Н_п – Н_н – ΔН.

Полученные соотношения пригодны для расчета показателей риска как в режиме ручного, так и автоматического управления. В случае системы ручного управления последние соотношения упрощаются. Это обусловлено тем, что погрешности ΔН и δН независимы, и тогда

Из полученных соотношений следует, что вероятности Р_i (i=1, 2, 3) зависят от плотностей распределения отклонений параметров состояния ЛА от их номинальных значений W₁(ΔН), пороговых Н_п, номинальных Н_н, опасных Н_оп значений высоты полета; плотностей распределения W₂(δН) суммарных погрешностей информационно-измерительной системы. Вид подынтегральной функции (2.10), основные факторы, подлежащие учету при их построении, а также область интегрирования определяются режимом полета и конструктивно-аэродинамическими характеристиками ЛА.

В дальнейшем все выкладки проведем для вероятности Р₂, имея в виду, что выкладки для вероятностей Р₁, Р₃ совершаются совершенно аналогично, согласно соотношениям (2.9) или (2.10).

Рассмотрим полет на малой высоте по произвольному маршруту. При этом одна из границ состояния ЛА является случайной, обозначим ее Н_с=Н_ф в силу случайности функции, описывающей изменение рельефа. Условно этот процесс изображен на рис. 2.10. Введение координаты Z=Н_ф – Н_рел, измеряемой с помощью радиовысотомера, позволяет перейти от рассмотрения условий пересечения двух случайных процессов Н_ф и Н_рел к одной случайной величине Z. Из рис. 2.10 видно, что Z=Н_г – геометрическая высота; Н_рел – высота рельефа поверхности земли, измеренная относительно уровня моря; ΔZ=ΔН – величина отклонения от номинального режима. Так как δН=δZ – погрешность информационно-измерительной системы, то Z_изм=Z_ф+δZ; Z_ном=Н_ном – Н_рел; Z_п=Н_п – Н_рел=Δ₁+Δ₂; Z_оп=Н_оп – Н_рел=Δ₁.

В практически важном случае ΔZ и δZ, или один из этих процессов, являются компонентами многомерного стационарного марковского процесса, тогда Р_пр и Р_лс имеют вид

где W(τ, ΔZ, δZ) – плотность распределения процессов ΔZ и δZ, Z_н=Z_ном.

Полученное соотношение записано при следующих допущениях: профиль рельефа, составляющие скорости ветра (W_х, W_у) и погрешности измерения высоты (δZ) представляются как выходы стационарных формулирующих фильтров, на входы которых поступает случайный процесс η(t) типа «белого шума». Если при этом скорость полета постоянна, а также постоянны параметры системы управления, то ΔZ и δZ являются компонентами стационарного марковского процесса. В этом случае ΔZ и δZ зависимы, так как управляющий сигнал в системе зависит от δZ погрешностей информационно-измерительной системы.

Таким образом, необходимо определить вероятность Р₂ того, что пересечение траектории полета ЛА Н_ф и опасного значения высоты полета Н_оп произойдет на интервале времени [t; τ], а измеренное значение высоты полета Н_изм ни разу не достигнет порогового значения высоты полета.

Если плотности распределения W(τ; ΔZ; δZ)=W₁(τ; ΔZ/δZ)W₂(δZ) известны, то для каждого фиксированного момента времени τ легко определить Р_пр(τ). Расчет плотностей W₁(·) и W₂(·) представляет собой сложную проблему. Это обусловлено, прежде всего, большой размерностью вектора состояния X=(α, V, …, ΔZ, δZ, …), кроме того, модель полета на малой высоте представляет собой нелинейную систему. В главе IV рассмотрены теоретико-численные методы расчета искомых плотностей вероятностей. При применении этих методов для расчета W₁(·) и W₂(·) будем рассматривать различные упрощающие предположения.

Сначала рассмотрим аналитический метод, в случае если возмущенное движение ЛА описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Это возможно тогда, когда дисперсия высоты рельефа местности достаточно мала, а номинальная высота полета достаточно большая, причем заданная величина перегрузки меньше допустимой, определенной из условия безопасности или комфорта полета. Тогда ΔZ(t) является компонентой многомерного стационарного марковского процесса. В этом случае δZ представляет собой случайную величину, которая изменяется от полета к полету.

При этих условиях W(τ; ΔZ; δZ)=W₃(τ; ΔZ)W₂(δZ), а случайная величина δZ входит в W₃(·) в качестве начальных условий. Тогда плотность распределения W₃(τ; ΔZ) определяется следующим образом. Сначала определяется плотность распределения W₃(τ; ΔZ) того, что в интервале времени [t; τ] значение ординаты ΔZ ни разу не вышло за границы дозволенной области –Z_н+Δ₁. Функция W₃(τ; ΔZ) удовлетворяет второму уравнению Колмогорова

при краевых условиях

W₃(τ; ΔZ)|_τ=t=f(t, y); W₃(τ; ΔZ)|_ΔZ→∞=0,

где f (t, y) – плотность распределения ординаты Y=ΔZ+δZ в начальный момент времени.

Установим связь между плотностями распределения W₁(·) и W₃(·). В работе [11] показано, что плотностью распределения первого достижения границы –Z_н+Δ₁ является

При этом вероятность того, что первое достижение границы (столкновения) произойдет на интервале времени, длительность которого не превосходит τ, равна

В рассматриваемом случае Р₂ из (2.10) запишется в виде

Тогда вероятность того, что первое достижение границы процессом ΔZ произойдет на интервале времени, длительность которого не превосходит τ, запишется так

Левые и правые части (2.12) и (2.13) равны, тогда равны и правые части:

Так как величины ΔZ₀ и τ₁ произвольные, то

Окончательно получаем

Вероятность Р₂, определяемая из последней формулы, зависит от профиля рельефа, закона управления, в том числе и от диапазона ограничения заданной величины перегрузки, а также от конструктивно-аэродинамических свойств объекта. Поэтому расчет Р₂ должен производиться перед каждым полетом в соответствии с полетным заданием. Если полеты совершаются однотипными самолетами, имеющими одинаковые характеристики рельефа, то значение Р₂, следовательно, Р₁=Р_пр и Р₃, можно считать неизменным. Время принимается равным одному часу, что соответствует среднему времени полета истребителя-бомбардировщика.

Теперь рассмотрим иной путь расчета Р₁, Р₂, Р₃, связанный с применением экспериментального статистического материала по результатам наблюдения процессов ΔZ и δZ. Будем предполагать, как и ранее, что вектор состояния представляет собой многомерный стационарный марковский процесс.

Как показывают результаты экспериментальных исследований, процесс измерения высоты полета δZ приближенно описывается дифференциальным уравнением δ+aδZ=cη(t), где а, с – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров информационно-измерительной системы, η(t) – гауссовский белый шум. Для процесса ΔZ(t) корреляционная функция K_ΔZ(τ) может быть определена экспериментально. Описание процесса дифференциальным уравнением возможно, если экспериментальная корреляционная функция может быть аппроксимирована аналитическими функциями вида: σ²е^{–a |τ|}; σ²е^–a|τ|cosβτ; σ²е^a|τ|(cosβτ+sinβ|τ|), где a, β – положительные постоянные. При этом для получения корреляционной функции строится спектральная функция и соответствующее ей дифференциальное уравнение (первого или второго порядка) для процесса ΔZ. Тогда функции W₁(τ, ΔZ/δZ) и W₂(τ, δZ) определяются из ФПК-уравнения вида (2.11), где W – двухпараметрическая функция [40].