Текст книги "Системы аэромеханического контроля критических состояний"

2.3. Экспериментальное определение аэродинамических сил

Распределение давления на поверхности тела, движущегося относительно среды, изображается графически с помощью диаграмм: векторных и координатных [28]. На векторной диаграмме (рис. 2.2) коэффициент давления = (p – p_∞)/q, где q = ρV²/2, изображается в виде векторов, нормальных к поверхности тела и направленных внутрь его или наружу в зависимости от того, является коэффициент давления положительным или отрицательным; р_∞ – давление воздуха на бесконечности.

Рис. 2.2

Координатная диаграмма (рис. 2.3) распределения давлений строится так, что по оси абсцисс откладывают абсциссы точек контура продольного сечения тела (профиля) или безразмерные отношения этих абсцисс х к продольному размеру тела, например к хорде профиля b, а по оси ординат – коэффициент давления . В общем случае профиль движется при углах атаки, не равных нулю. При этом давление на верхней части поверхности может быть значительно больше по абсолютной величине давления на нижней части поверхности. Следовательно, в этом примере аэродинамическая подъемная сила профиля происходит в основном от понижения давления (подсасывания) на верхней части поверхности, а не от повышения давления на нижней части.

Если распределение давлений известно, то аэродинамические силы и моменты могут быть найдены как главный вектор и главный момент нормальных усилий, распределенных по поверхности тела. Допустим, что нам известно распределение давлений по контуру профиля крыла и необходимо найти коэффициент подъемной силы этого профиля.

Рис. 2.3

Выделим по поверхности крыла элементарную площадку, размеры которой обозначим через dS – вдоль дуги контура профиля – и dZ₁ – перпендикулярно к плоскости профиля. Приложенная к площадке по нормали к ней нагрузка от избыточного давления равна , а ее проекция на ось у₁ связанной системы координат запишется в виде . Так как

то проекция элементарной нагрузки на ось у₁, приложенной к площадке, равна . Результирующая сила dY, действующая перпендикулярно к хорде на часть крыла, которая выделена двумя плоскостями, перпендикулярными к размаху и отстоящими друг от друга на dz₁, выразится в виде

при этом контур L профиля обходится по часовой стрелке. Введем безразмерные коэффициенты подъемной силы и давления по формулам

где ρ_∞ – плотность воздуха на бесконечности; V_∞ – скорость воздушного потока на бесконечности. Тогда получим коэффициент подъемной силы С_y в связанной системе координат в виде

где = x₁/b, b – хорда профиля. При малых углах атаки ≈ , и последняя формула позволяет определить коэффициент подъемной силы профиля в данном сечении крыла в скоростной системе координат.

Если в результате опытов или расчетов построена координатная диаграмма распределения давления (рис. 2.4), то в силу равенства (2.6) коэффициент геометрически будет представлять собой площадь, ограниченную замкнутой кривой этой диаграммы. Часто бывает полезно перейти от к  – , где  – коэффициенты избыточного давления на верхней и нижней поверхности в точке х по хорде сечения. В этом случае имеем

Данная методика используется при определении аэродинамических характеристик ЛА в процессе трубных и летных испытаний.

Предлагаемый здесь подход к построению измерительной системы использует связи между аэродинамическими давлениями, измеренными в характерных точках на поверхности ЛА, с аэродинамическими силами и моментами и их отдельными компонентами. При этом имеется возможность использовать результаты широких исследований в области аэродинамики и динамики полета, проведенных в течение ряда лет в нашей стране и за рубежом.

Рис. 2.4

Аэродинамические давления p_ij = p(S_ij), где S_ij – точка на поверхности крыла с координатами х_i, z_j зависят от [23]:

– параметров, включающих в себя истинный угол атаки α_i, скоростной напор q, число Маха M, угловые скорости вращения ЛА ω_x, ω_y, ω_z относительно осей координат OX, OY, OZ; скорость изменения угла атаки а_i; угла скольжения – β;

– углов отклонения закрылков δ_з, элеронов δ_эл, спойлеров δ_сп, предкрылков δ_пр;

– геометрии внешних обводов: углов стреловидности крыла χ, сужения крыла η; внешних подвесок n_вн; технологических δ_тех и прочностных δ_п погрешностей изготовления ЛА; прогибов h_пр и кручения φ_кр конструкции; наличия гофр на поверхности ЛА, коэффициента μ выдува воздуха через щели на поверхности крыла; расстояния h_э кр до экрана от средней линии профиля;

– аэродинамических процессов: интерференции δ_инт отдельных частей ЛА, срыва потока ω_ср; турбулизации потока в области горизонтального и вертикального оперений, влияющих на сопротивление ЛА, т. е. на коэффициент сопротивления c_x и коэффициент подъемной силы горизонтального оперения ; влияния числа Рейнольдса Re при переходе от трубных к натурным условиям.

Изучение зависимости между коэффициентами перепада давления и нормальной силы С_у мы проведем для ряда практически важных случаев.

1. При теоретическом исследовании тонкого профиля функцию будем рассматривать в виде , где  – кривизна профиля;  – безразмерное расстояние от носка профиля до точки съема перепада давления.

2. При теоретико-численном исследовании изучению подлежит зависимость

При этом коэффициент момента профиля C_mо при нулевом угле атаки отражает геометрические параметры профиля.

Кроме этого, будем рассматривать случай, когда

где F_в, F_н – координаты точек профиля на его поверхности сверху и снизу от оси х соответственно.

3. При экспериментальном исследовании с использованием трубного аэродинамического эксперимента будем рассматривать

При этом исследуется влияние каждого в отдельности параметра, содержащегося в качестве аргумента в .

Как правило, в процессе трубного эксперимента имеем = или при различных фиксированных параметрах. Так, например, имеем при x = const, η = const и различных углах отклонения механизации крыла (δ_з,δ_эл,δ_сп,δ_пр).

4. Для нестационарных условий обтекания модели прямоугольного крыла рассмотрена функция вида , где ω_z – угловая частота колебания модели около продольной оси, проходящей на расстоянии 25 % от носка профиля по хорде.

Таким образом, объем проведенных исследований охватывает практически важные случаи обтекания несущих поверхностей самолета. Из исследований исключена важная область скоростей обтекания – область трансзвуковых и сверхзвуковых скоростей. Некоторые результаты для трансзвуковых скоростей получены.

Зависимость p_ij (в точке с координатами x_i, z_j) от этих параметров запишется в виде

где q_∞ = ρ_∞V²_∞/2 – скоростной напор; = f₂(, α_i, δ_з, δ_эл, β, δ_сп, μ, , Re, , M, δ_инт, δ_тр, δ_тех, δ_пр, φ_кр, , n_вн) – коэффициент давления; ρ_∞, p_∞, – соответственно плотность и давление воздуха на бесконечности. В дальнейшем рассмотрим коэффициент перепада давления  = (C_Pн – C_Pв), где C_Pн, C_Pв – коэффициенты давлений, измеренные на нижней и верхней поверхностях крыла в точке S_ij. Переход к позволяет исключить из рассмотрения полное и статическое давления, измеряемые с погрешностями.

 Влияние ряда параметров на величину достаточно хорошо изучено в теоретической и экспериментальной аэродинамике. Так, например, известны методы расчета зависимости от параметров α_i, μ, δ_зак, δ_эл, δ_сп [24]. Существует экспериментальный материал по исследованию зависимости от параметров S_ij, α_i, μ, δ_эл, h_экр, Re [8]. Исследована адекватность распределений давлений на поверхности крыла, полученных в аэродинамической трубе и при летных испытаниях.

Отметим основные особенности построения измерительной системы с использованием аэродинамических давлений. Величина p_ij зависит от статического давления p_∞, которое, как правило, замеряется с большими погрешностями. Влияние изменения геометрии, интерференции и запаздывания в трубопроводе должно быть учтено в расчетной схеме, в том числе при переходе от трубного эксперимента к натурному. Сжимаемость потока воздуха и сопутствующие этому явлению эффекты затрудняют непосредственное применение аэродинамических давлений при построении информационно-измерительной системы. Это связано с известными явлениями сверхзвукового срыва, неустойчивыми скачками уплотнения в области трансзвуковых скоростей и дополнительных давлений, возникающих из-за образования гофр на несущих поверхностях ЛА. Все это приводит к появлению как высокочастотной, так и низкочастотной случайных составляющих изменения давлений. В дальнейших исследованиях будем рассматривать обтекание ЛА только несжимаемым потоком воздуха, или когда число Маха больше, т. е. поток сверхзвуковой.

Коэффициент подъемной силы C_y несущих аэродинамических поверхностей является одной из основных характеристик состояния ЛА. Характеристики устойчивости, прочности и управляемости в полете зависят от его текущего значения. В большинстве существующих методов для определения C_y, например крыла, необходимо измерить p_ij по всей поверхности и полученные результаты проинтегрировать по этой поверхности. Если выбрать конечное число точек измерений p_ij, то величина C_y определится с погрешностью. При увеличении количества точек измерений p_ij повышается точность определения C_y, но возникают трудности практической реализации такого подхода даже при наличии бортовой ЭВМ.

В работе [24] впервые при определении нагрузок, действующих на крыло, рассмотрены зависимости C_Pн и C_Pв от коэффициента подъемной силы C_y сечения крыла; от координаты по хорде профиля точки замера избыточного давления; от коэффициента нулевого момента . Мы будем рассматривать зависимость

где C_y(z_j) – коэффициент подъемной силы сечения крыла на расстоянии z_j по размаху крыла от оси симметрии ЛА.

Докажем, что на профиле крыла существуют точка с координатой или множество точек, в которых коэффициенты перепада давления и подъемной силы C_y(α) связаны линейным преобразованием вида

где  – коэффициенты, зависящие только от = x / b.

Для профилей существуют точки, в которых имеют место более простые зависимости:

Сформулированное положение имеет принципиальное значение при проведении трубных и летных испытаний, а также при измерениях воздушно-скоростных параметров движения ЛА.

2.4. Теоретические основы метода получения и обработки аэромеханической информации. Теорема

Рассмотрим обтекание жесткого тонкого профиля стационарным идеальным несжимаемым потоком. В этом случае для расчета коэффициентов подъемной силы и перепада давления, как правило, используется предположение о малости возмущения, поэтому дифференциальное уравнение в частных производных для потенциала скоростей φ сводится к уравнению Лапласа

При этом для нахождения φ можно использовать широко известные математические методы [5, 25], особенно методы теории аналитических функций для двумерных течений. Полученное уравнение представляет собой чисто геометрический результат совместно действующих условий неразрывности и отсутствия вихрей. Воспользуемся законами механики для вычисления давлений по известному полю скоростей и запишем уравнение, являющееся аналогом уравнения Кельвина для случая несжимаемой жидкости:

где p – давление; ρ – плотность; F(t) – заданная функция. При этом и φ связаны векторным уравнением = grad φ. Функция F(t) равна нулю для баротропного потока, соединенного с большим резервуаром. В случае, когда на достаточном удалении от профиля движение жидкости со скоростью U характеризуется прямолинейными линиями тока, F(t) = U²/2.

Формула (2.10) может быть упрощена, если учесть, что в случае движения, равномерного в бесконечности,

где p_∞ – давление в невозмущенном потоке на бесконечности. При этом

q² = (U + u')² + V² + w² ≈ U² + 2Uu', (2.12)

где

– составляющие скорости возмущения потока воздуха. Здесь предполагается, что u', V, w значительно меньше U в силу малости наклонов касательной в любой точке поверхности профиля. Подставляя (2.11), (2.12) в (2.10) и учитывая, что движение профиля считается установившимся, для безразмерного коэффициента давления C_p получим:

Теперь установим связь между местной скоростью возмущения u' и циркуляцией γ_a на единицу длины. С этой целью рассмотрим элемент, расположенный вдоль оси x вихревого слоя, моделирующего возмущения, которые возникают вследствие кривизны тонкого профиля и наличия угла атаки (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Отметим, что наличие циркуляции равносильно наличию разрыва величины u' при переходе через вихревой слой. Если для z = 0⁺ значение этой величины равно u'_в, то для z = 0^– вследствие асимметричности ее значение должно быть –u'_в (рис. 2.5). Вычисляя циркуляцию по прямоугольному пути, показанному на рис. 2.5, получим

(U + u'_в)dx – wdz – (U – u'_в)dx + wdz = 2u'_вdx,

где w = ∂φ/∂z. Согласно определению величины у_a, эта циркуляция 2u'_вdx должна быть равна также γ_adx, поэтому

u'_в = γ_a / 2.

Можно сказать, что любой вихрь в тонком слое является однозначной функцией тангенциальной составляющей скорости. При этом при переходе через вихревой слой должен быть разрыв давления, определяемый с помощью коэффициента перепада давления по формуле

Теперь получим интегральное уравнение для γ_a:

где z_a – функция, содержащая члены, зависящие от угла атаки и кривизны профиля; – равенство по определению; ω(x) – угловая скорость.

Предположим, что верхний слой потока обладает циркуляцией γ_в, а нижний – циркуляцией γ_н на единицу длины в горизонтальном направлении (рис. 2.6).

При этом γ_в будет большой положительной величиной, тогда как для профиля, создающего подъемную силу, γ_н будет несколько меньшей отрицательной величиной. Предполагая, что влияние толщины можно учесть с помощью отдельного исследования, уменьшим вертикальные размеры профиля до нуля. В результате произойдет слияние двух вихревых слоев в один, расположенный вдоль средней линии профиля, с удельной интенсивностью γ_a = γ_в + γ_н (рис. 2.7). Если мы запишем интегральное уравнение, выражающее то обстоятельство, что угловая скорость ω, индуцированная вдоль средней линии этим слегка искривленным вихревым слоем, всюду равна величине Udz_a /dx, и заменим в качестве приближения все косинусы малых углов наклона прямых линий, соединяющих различные точки вихревого слоя, единицами, то получим уравнение (2.13). Для удобства математических выкладок независимые переменные в уравнении (2.13) заменим безразмерными эквивалентами = x / b; = ξ/b, что приведет к уравнению

где . В данном интегральном уравнении известной функцией является ω, а неизвестной – γ_a. При этом устанавливается связь между геометрическими параметрами z_a тонкого профиля и γ_a, а в итоге через γ_a – с коэффициентом .

Рис. 2.6

Рис. 2.7

Обычно для вычисления функции γ_a(х) ее представляют в виде тригонометрического ряда, коэффициенты которого находят из граничного условия на средней линии профиля. Это позволяет найти коэффициент подъемной силы, но не решает поставленной задачи. По этой причине рассмотрим иной путь. Найдем плотность γ_a(х) методом обращения интеграла на основе общей теории потенциала. Седов Л.И. [25] показал, что единственным решением интегрального уравнения (2.14) будет

где

Чтобы вычислить , достаточно подставить (2.15) в (2.13), и тогда

Коэффициент подъемной силы определится из соотношения

Пусть функция при α = 0 в связанной системе координат задана в виде . При полете, когда угол атаки отличен от нуля, для получим

Для малых углов атаки, как принято в теории малых возмущений, можно отбросить все члены разложений cosα и sinα, содержащие α, начиная с α². Ясно, что приближение существенно упрощает конечные результаты для и C_y. При этом будем иметь

В частном случае, когда рассматривается плоская пластинка, кривизна которой , получим

Сначала получим значения и C_y для случая (2.16), когда

где . При принятом виде для коэффициентов перепада давления и подъемной силы профиля C_y получим следующие соотношения:

где

Преобразуем соотношение (2.18) к виду

где

Для получим:

Из выражений (2.19) и (2.20) следует, что

где

Таким образом, доказано, что для тонкого крыла имеет место (2.8).

Найдем и C_y для случая, когда задается в виде (2.17). При этом получим

Из последних соотношений для тонкого профиля следует очевидное равенство

где . Из (2.22) следует, что на профиле может существовать точка x₀ (возможно, не единственная), для которой выполняется условие

При этом между и C_y существует пропорциональная зависимость

Для плоской пластинки, кривизна которой равна нулю, имеется простая зависимость

Согласно линейным зависимостям (2.21) или (2.22), можно найти коэффициент подъемной силы C_y, измерив коэффициент перепада давления в точке x₁ места установки датчика перепада давления. Вычислив коэффициенты , согласно полученным выше соотношениям (2.18), измерив в эксперименте , получим искомое значение C_y:

Таким образом, удается избежать трудоемкой процедуры организации и проведения эксперимента по измерению распределения давления на профиле в большом количестве дискретных точек, чтобы воспользоваться формулой

При этом нельзя утверждать, что описанная процедура позволяет точно определить С_у. На погрешности скажутся допущения теории тонкого профиля, неучет вязкости и т. д. Но в качестве первого приближения можно использовать полученные результаты для отыскания С_у.

Примеры.

1. Симметричный профиль. Для такого профиля (Ψ = 0) имеем: . Таким образом, при любом справедливо (2.22).

2. Профиль – полуклин с углом при вершине, равным ε. Можно показать, что при этом

при любом .

3. Параболический профиль с плоской нижней стороной. Уравнение верхней поверхности профиля имеет вид

у = l₀ + l₁x + I₂x²,

где l₀, l₁, l₂ – заданные числа. В результате расчетов получено

где = с / (2b); с – координата у при x = 0, a₁ / b₁ = . Тогда из условия имеем = x₀ = –1/2. Для выбранной точки x₀ = –1/2 формула (2.21) имеет вид . При этом

В точке = x₀ получим

Окончательно найдем

2.5. Телесный профиль. Теорема

Пусть некоторый профиль L_z обтекается безотрывно плоскопараллельным установившимся потоком идеальной жидкости. Будем считать, что профиль L_z имеет острую заднюю кромку, причем угол τ между касательными к ней меньше π. Начало связанной системы координат XOY поместим в передней кромке (точке z₀), ось OX направлена по хорде, имеющей длину b. Предположим, что профиль L_z определяется уравнением y = F_±(x) = F^в_н(x), 0 ≤ x ≤ b, где знак «+», или буква «в», соответствует точкам профиля L_z, лежащим выше оси OX, а знак «–», или буква «н», соответствует точкам профиля L_z, лежащим ниже оси OX.

Теорема. На телесном профиле, обтекаемом безотрывно плоскопараллельным установившимся потоком идеальной жидкости, существуют линейная зависимость коэффициента перепада давления = (C_р)_в – (C_р)_н от коэффициента нормальной силы C_y

и хотя бы одна точка х₀ (0 ≤ x₀ ≤ b), в которой имеет место равенство

где a(x), b(x), Δα(х) – коэффициенты, зависящие от геометрии профиля.

Доказательство. Пусть функция ζ = g(z) (g(∞) = ∞, g'(∞) = 1) реализует конформное отображение внешности L_z на внешность круга |ζ| ≥ R. Комплексным потенциалом потока, обтекающего профиль с заданной точкой схода z₀ и заданной скоростью на бесконечности θe^iθ, будет служить, как известно [25], функция

где циркуляция Г определяется равенством

В силу условий, наложенных на профиль L_z, и соотношений для W и Г модуль скорости потока в точках t профиля L_z вычисляется по формуле

Из теоремы Келлога [25] и обычных рассуждений о поведении скорости потока в точке схода следует непрерывность |V(t)| в любой точке L_z, а значит, и непрерывность на отрезке [0,b] функций V±(x) = |V(x + iF_±(x))|, причем V₊(0) = V_–(0).

Рассмотрим теперь коэффициенты перепада давления

и нормальной силы

Используя полученное выше выражение для |V(t)|, получим

где

Поэтому коэффициент перепада давления можно представить в виде

где

Теперь, комбинируя (2.23) и (2.24), как и в предыдущем разделе, получим

причем , а угол β(x) определяется равенствами cosβ(x) = a₂(x)/k(x), sinβ(x) = a₃(x)/k(x).

Из полученной зависимости (2.25) следует, что при обтекании профиля потоком идеальной жидкости с углом атаки α = θ коэффициент перепада давления в точке x связан линейным преобразованием с коэффициентом нормальной силы, возникающей при обтекании данного профиля с углом атаки α = θ + π/4 – β(x)/2. При этом в рамках рассматриваемой модели течения жидкости нужно требовать выполнения неравенства

где α_max – максимальный угол атаки, при котором возможно безотрывное обтекание данного профиля.

Соотношение (2.25) эквивалентно (2.8), если положить

Таким образом, для телесного профиля зависимость (2.8) доказана.

Величина β(x) зависит от x, и в связи с этим возможны следующие ситуации:

1) β(x₀) = π/2, и тогда соотношение (2.25) справедливо для всех θ вплоть до θ = α_max;

2) β(x₀) > π/2, и тогда θ < α_max, θ > –α_max + а₀, где α₀ = β/2 – π/4, то есть соотношение (2.25) имеет место для всех θ, таких, что –α_max + α₀ < θ < α_max;

3) β(x₀) < π/2, и тогда зависимость (2.25) выполняется при θ (–α_max, α_max – α₁), где α₁ = π/4 – β/2.

Осталось показать, что существует хотя бы одна точка x₀, 0 < x ₀ < b, в которой выполняется равенство a₂(x₀) = 0, т. е. β(x₀) = π/2, следовательно имеет место следующая линейная зависимость перепада давления от коэффициента нормальной силы:

Проинтегрируем (2.24) по x (0 ≤ x ≤ b). В результате получим

где

С другой стороны, с учетом (2.23),

что в силу произвольности θ возможно лишь при условиях A₁ = –4πR/b · sin φ₀; A₂ = 0; A₃ = 4πR/b. Поэтому

Из этого соотношения в силу непрерывности функции a₂(x), а также в силу условия a₂(0) = a₂(b) следует существование хотя бы одной точки x₀, a < x₀ < b, такой, что a₂(x₀) = 0, в которой имеет место зависимость (2.26). Таким образом, значение x₀ определяется из следующего соотношения:

a₂(x) = d₂(x + iF₊(x)) – d₂(x + iF_–(x)) = 0

или

d₂(x + iF₊(x)) = d₂(x + iF_–(x)).

Теорема доказана.

Отметим, что существуют профили с a₂(x) ≡ 0. Такими, например, являются все симметричные профили, так как в силу симметрии функций, через которые выражается коэффициент a₂, в точках x + iF₊(x) и x + iF_–(x) будут совпадать значения d₂(F₊) и d₂(F_–). Есть профили, у которых точка x₀ всего лишь одна. Таковым, например, является профиль NACA 23012. Для этого профиля a₂(x₀) = 0 при x = x₀ = 0.28. При этом зависимость (2.9) имеет вид = 0,780051 + 1,223434C_y. Если воспользоваться для этого профиля результата-ми эксперимента, приведенного в атласах Центрального аэрогидродинамического института, получим = 0,78 + 1,38C_y. Таким образом, теоретические и экспериментальные зависимости достаточно хорошо согласуются.

Допустимость применения линейной модели при решении прикладных задач определяется заданной или необходимой точностью измерения C_y и возможностями модели. Так, современные аналитические и теоретико-численные методы расчета обеспечивают точность определения и C_y в пределах 2÷10 %. Результаты прове-денного выше анализа показывают, что повышения точности можно добиться путем эмпирического уточнения коэффициентов и . Такое уточнение проводят по результатам эксперимента в аэродинамической трубе или летного исследования. Исследования, проведенные в ЛИИ [30], показали достаточную согласованность распределений давлений, полученных при продувках в аэродинамической трубе и летном эксперименте, в рассматриваемом диапазоне скоростей. Это означает, что зависимость (2.26), построенная по результатам трубного эксперимента, может быть использована при практической реализации измерительных систем, минуя этап тарировки в натурных условиях.

Таким образом, в эксплуатационном диапазоне углов атаки зависимость (2.8) устанавливает связь между входом и выходом C_y измерительной системы, что позволяет нам в дальнейшем заложить основы нового метода построения систем измерения аэродинамических характеристик ЛА для управления, в том числе обеспечения безопасности полета.