Текст книги "Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее"

Практика – путь к надежным знаниям

Я уже упоминала, что простого понимания принципа обычно недостаточно для формирования порции информации. Схематическое изображение мозга поможет вам лучше это понять. Порции (замкнутые петли) на рисунке – всего лишь расширенные следы памяти, которые появились из-за того, что вы связали воедино факты и достигли понимания. Порция информации, стало быть, – это просто более сложный вид следов памяти. В верхней части рисунка – слабая порция, которая начинает формироваться после того, как вы поняли материал и раз-другой в нем попрактиковались. В центре линия темнее: это более мощный нейронный паттерн, появившийся после более обширной практики и применения порции к разным контекстам. Внизу – самая темная порция, надежно укорененная в долговременной памяти.

Кстати, очень важно закрепить изначальный паттерн через день после формирования, иначе он может быстро стереться (о важности периодических повторений мы поговорим позже). А если решать однотипные задачи одним и тем же неправильным способом, то в памяти отпечатается неверный процесс. Вот почему так необходимо перепроверять то, что вы делаете. Даже верный ответ может временами увести вас в ненужную сторону, если он получен в результате некорректной процедуры.

Решение математических и естественно-научных задач похоже на исполнение фортепианной пьесы. Чем больше практикуетесь, тем надежнее, четче и сильнее становятся ментальные паттерны.

О важности формирования порций

«Математика порой оказывается удивительно компактной: вы можете долго, шаг за шагом биться над задачей, подходить к идее или процессу с разных сторон, но, как только пришло понимание и вы увидели масштаб явления на фоне целого, материал становится более компактным: вы можете его отложить в сторону, при необходимости вспомнить его быстро и в полном объеме, использовать его как рядовой этап в других мыслительных процессах. То озарение, которое приходит вместе с таким “сжатием” материала до компактного, и составляет одну из главных радостей изучения математики»{77}77
  Thurston 1990: 846–847.


[Закрыть].

Уильям Терстон, лауреат Филдсовской премии (высшей награды в математике)

Повторение и упражнения, существенные для формирования надежных порций информации, могут быть слишком скучны – и потому неприятны. Еще хуже, когда в руках плохого учителя (как в моей школе) они становятся безжалостным орудием пыток. Однако даже при всех своих отрицательных сторонах повторение и практика совершенно необходимы при обучении. Всем известно: без повторения невозможно научиться ничему – ни шахматам, ни языку, ни музыке, ни танцам. И хорошие преподаватели всегда сумеют объяснить, почему повторение и упражнения стоят затраченных на них усилий.

Кроме того, для овладения материалом требуются оба вышеописанных подхода – и «снизу вверх» (формирование порций), и «сверху вниз» (получение более широкой картины). Нам всем нравится творческий подход и мысль о том, что взгляд на более широкую картину – способ выучить материал. Однако математике и наукам невозможно научиться без нужного количества практики и повторений, формирующих порции информации, на которых держится ваше мастерство{78}78
  См. основополагающую работу Карла Андерса Эрикссона о совершенствовании мастерства (Ericsson 2009). Ценные популярные подходы, относящиеся к развитию таланта, см. в: Койл, 2011; Грин, 2014; Leonard 1991.


[Закрыть]. Исследование, опубликованное в журнале Science, четко подтвердило это{79}79
  Karpicke and Blunt 2011a; Karpicke and Blunt 2011b. Дальнейшую информацию см. в: Guida et al. 2012: 239.


[Закрыть]. Студенты читали научный текст, а потом пытались вспомнить как можно больше содержащейся в нем информации. Затем они еще раз читали текст и вспоминали сведения из него (т. е. пытались припомнить ключевые идеи).

И каков же был результат?

Практика и воспроизведение материала по памяти давали студентам больше знаний и на более глубоком уровне, чем любые другие подходы, включая многократное перечитывание текста или вычерчивание блок-схем с основными понятиями, которые предположительно должны помогать усвоению материала. Улучшенный процесс обучения сказывается на результатах и формального тестирования, и неформальных самопроверок студентов.

Этот опыт – хорошее подспорье недавно упомянутому тезису. Когда мы вспоминаем выученное, мы не просто механически, как роботы, повторяем материал: процесс извлечения сведений из памяти сам по себе способствует более глубокому усвоению материала и помогает приступить к формированию порций информации{80}80
  Интересно, что префронтальные зоны левого полушария бывают активны во время кодирующей фазы запоминания, а зоны правого полушария – во время вспоминания. Об этом сообщают разные группы, использовавшие различные методы получения изображений мозга (Cook 2002: 37). Возможно, извлечение запомненного материала приводит к образованию связей, свойственных рассеянному режиму? См. также: Geary et al. 2008: 4–6 до 4–7.


[Закрыть]. Для исследователей стал сюрпризом тот факт, что сами студенты считали, будто чтение и вспоминание не лучший способ изучать предмет. Они думали, что рисование диаграмм или блок-схем быстрее приведет к цели. Однако попытки выстроить связи между порциями раньше, чем первичные порции укоренятся в мозгу, ни к чему не приводят. Они похожи на попытки выучиться сложным шахматным стратегиям прежде, чем вы запомните, как ходят фигуры{81}81
  Здесь есть и опасности. Например, что, если студента попросят вспомнить материал, чтобы определить, что должно быть включено в концепт-карту? Несомненно, различия между учебными предметами тоже имеют значения. В случае ряда дисциплин, например связанных с передачей сигнала внутри биологических клеток, концепт-карты естественным образом более удобны при усвоении ключевых идей.


[Закрыть].

Практика повторения математических и естественно-научных понятий и решения задач помогает формированию порций информации – надежных нейронных паттернов, богатых контекстами{82}82
  Brown et al. 1989.


[Закрыть]. В сущности, освоение любых навыков или учебных дисциплин требует большого количества упражнений с разными контекстами: это помогает создавать нейронные паттерны, необходимые для того, чтобы новый навык хорошо вписался в ваш стиль мышления.

Держите знания наготове

«Мне в жизни довелось применять многие из описанных в этой книге техник обучения. В студенчестве я занялся физической химией, вывод формул меня завораживал. Я взял себе за привычку решать все до одной задачи в учебнике. В результате я так натренировал свой мозг, что к концу семестра мне стоило только взглянуть на задачу – и я уже знал, как ее решать. Рекомендую этот способ и своим ученикам, занимающимся естественными науками, и студентам других специальностей. Я также не устаю напоминать о пользе ежедневных занятий, необязательно долгих, но достаточно продолжительных для того, чтобы держать знания наготове. Я всегда привожу в пример свой опыт владения двумя языками. Когда я уезжаю работать во Францию, в первые несколько дней я говорю по-французски не совсем свободно, но затем язык приходит в норму. Когда я возвращаюсь в Америку и студенты или коллеги меня о чем-то спрашивают в первый или второй день после возвращения, то мне приходится искать нужные английские слова! Когда вы практикуетесь каждый день – информация всегда под рукой, вам не приходится ее искать».

Роберт Гамаш, помощник вице-президента по учебным вопросам, студенческим делам и международным связям (Массачусетский университет в Лоуэлле)

Повторяйте материал не за учебным столом: о пользе прогулок

В случае если вам сложно понять ключевую идею изучаемого материала, физическая активность особо полезна. Как мы упоминали ранее, существует огромное количество рассказов о научных открытиях, случившихся во время прогулок{83}83
  Джонсон, 2013.


[Закрыть].

К тому же повторение материала вдалеке от привычного места занятий помогает укрепить знания, поскольку позволяет взглянуть на них с другой точки зрения. Когда мы сдаем экзамен не в нашем обычном классе, а в ином помещении, порой теряются подсознательные подсказки и точки опоры. Когда мы повторяем учебный материал в разнообразных условиях, подсознательные точки опоры уже не относятся исключительно к одному и тому же месту и экзамен в новой аудитории не выбьет вас из колеи{84}84
  Baddeley et al. 2009, chap. 8.


[Закрыть].

Усвоение математических и естественно-научных понятий может быть легче, чем запоминание китайских слов или гитарных аккордов. Ведь математическая задача сама ведет вас вперед, показывая следующий шаг. В этом смысле решение математических и естественно-научных задач похоже на танец. Во время танца вы чувствуете, как тело подсказывает вам следующий шаг.

Разные виды задач предполагают разный режим повторения, зависящий от того, с какой скоростью и какими способами вы овладеваете материалом{85}85
  Кен Кёдингер, преподающий человеко-компьютерное взаимодействие и психологию в Университете Карнеги – Меллон, пишет: «Чтобы максимизировать удержание материала в памяти, лучше всего поначалу давать студентам информацию через небольшие промежутки, а затем постепенно удлинять промежуточные периоды. Разные типы информации – например, абстрактные понятия в противоположность конкретным фактам – требуют разных режимов запоминания» (цит. по: Paul 2012).


[Закрыть]. К тому же у вас, разумеется, есть другие обязательства в жизни, кроме изучения конкретной темы. Вам приходится определять для себя объем материала, который нужно изучить в данный момент, и не забыть о рассеянном режиме, на который тоже нужно оставить время. С какой скоростью усваивается материал? У всех по-разному. Однако прелесть решения математических и естественно-научных задач состоит в том, что чем больше задач вы решаете, тем легче и полезнее становится процесс.

Упорядочить записи и сформировать порции информации – вот путь к успеху

«Когда студенты плохо справляются с заданиями, я в первую очередь стараюсь взглянуть на то, как они записывают лекции и делают выписки из учебников. На первых занятиях я часто предпочитаю не переходить сразу к объяснению материала, а предварительно поговорить о том, как упорядочивать записи и формировать порции информации. На следующие занятия студенты приходят с уже хорошо структурированными записями и с изумлением отмечают, как много материала отложилось в мозгу».

Джейсон Дечант, доктор наук, руководитель программ по рекламе и развитию здравоохранения (Школа медицинских сестер в Питсбургском университете, Пенсильвания)

Интерливинг (чередование разных типов задач) – или избыточное обучение?

Последний важный шаг к тому, чтобы стать укротителем уравнений, – научиться интерливингу{86}86
  Dunlosky et al. 2013, sec. 10; Roediger and Pyc 2012; Taylor and Rohrer 2010.


[Закрыть]. Интерливинг, или чередование, – это вид деятельности, при котором вы имеете дело с разными типами задач, решение которых требует разных стратегий. Когда вы узнаете (от преподавателя или из учебника) о новом подходе к решению задач, вы обычно изучаете этот новый способ и затем интенсивно практикуетесь в нем на протяжении определенного периода занятий. Продолжение обучения или практики после того, как вы уже поняли материал, называется избыточным обучением. Избыточное обучение может быть полезным: оно помогает довести навык до автоматизма, что может пригодиться при отработке теннисной подачи или для мастерского исполнения фортепианного концерта. Однако регулярные избыточные повторения в ходе одного и того же занятия по математике или естественным наукам порой вредны: исследования показывают, что они могут стать неплодотворной тратой учебного времени{87}87
  Rohrer and Pashler 2007.


[Закрыть]. (Чередование же разных подходов во время одного занятия как раз полезно.)

Если не практиковаться с растущими порциями информации, то выстроить общую картину будет сложнее: фрагменты слишком расплывчаты

Стало быть, когда во время занятия вы поняли основную идею, усердное ее повторение в течение того же занятия отнюдь не обязательно усиливает те связи с долговременной памятью, которые вы хотите укрепить. Хуже того: если вы сосредотачиваетесь только на одной тактике – это почти то же самое, что при изучении плотницкого дела учиться только забивать гвозди: через некоторое время вам начнет казаться, будто единственный способ починить какой-нибудь предмет – стукнуть по нему молотком{88}88
  По-видимому, массово используемые методы презентации материала создают иллюзию компетентности при преподавании. Студенты быстро запоминают материал, однако, как показали исследования, забывают они его тоже быстро. Рёдигер и Пик (Roediger and Pyc 2012: 244) отмечают: «Такой исход показывает, почему преподаватели и студенты по заблуждению используют методики, которые оказываются неэффективными в долгосрочной перспективе. Когда мы учим материал, мы настолько сосредоточены на процессе заучивания, что с удовольствием прибегаем к стратегиям, облегчающим запоминание. Массовые практики именно к этому и приводят. Чтобы материал лучше и дольше удерживался в памяти, нужно использовать интервальное и чередующееся повторение, однако во время заучивания эта процедура кажется трудной. Чередование осложняет изначальный процесс обучения, однако оно более желательно из-за того, что способствует более надежному и длительному сохранению материала в памяти».


[Закрыть].

На самом же деле усвоение нового учебного предмета предполагает тренировку умения выбирать и применять нужный способ решения задачи, и научиться этому можно, только работая над задачами, решающимися разными способами. Когда во время занятия вы поняли основной принцип того или иного способа решения (как если бы вы научились ездить на велосипеде с дополнительными поддерживающими колесами), начинайте чередовать соответствующие задачи с задачами других типов{89}89
  Rohrer et al. 2013.


[Закрыть]. Порой это не так просто сделать. Например, в каждом разделе учебника часто описывается определенный способ решения, и когда вы обращаетесь к этому разделу – вам уже понятно, какой способ использовать{90}90
  Рорер и Пашлер (Rohrer and Pashler 2010: 406) отмечают: «…чередование разных типов задач (так редко встречающееся в математике и естественных науках) заметно облегчает усвоение материала».


[Закрыть]. Тем не менее старайтесь разнообразить методы решения. Можно пролистать учебник дальше и найти подборки разных задач, которые иногда даются в конце главы. При этом полезно специально останавливаться на том, почему, например, эта задача требует одного способа решения, а та – другого. Ваш мозг должен привыкнуть к мысли, что простое умение использовать конкретный способ решения – лишь часть успеха. Вы, помимо прочего, еще должны знать, когда его использовать. Можно сделать набор карточек, где на одной стороне написано условие задачи, а на другой условие и решение. Такие карточки можно перетасовывать, и таким образом вы будете каждый раз сталкиваться со случайно попавшимся приемом, в котором можно попрактиковаться. Когда вы перебираете карточки впервые, сядьте за стол и проследите, какую часть решения вы можете записать на бумаге, не заглядывая в ответ на обратной стороне карточки. Когда же вы натренируетесь с карточками, их можно перебирать где угодно, даже на прогулке. Используйте условие задачи как отправную точку для запоминания этапов решения и переворачивайте карточку только для проверки того, все ли шаги вы помните. Тем самым вы укрепите соответствующую порцию информации. Другой способ: откройте учебник на любой странице и решайте попавшуюся на глаза задачу, по возможности закрывая весь текст, кроме условия задачи.

Почему чередование лучше избыточного обучения

Психолог Дуг Рорер из Университета Южной Флориды провел обширные исследования по чередованию и избыточному обучению применительно к математике и естественным наукам. Он отмечает:

«Многие считают, что избыточное обучение – это изучение материала или оттачивание навыков до победного конца. Однако исследователи связывают избыточное обучение с учебной стратегией, при которой студент продолжает изучать материал или отрабатывать навыки непосредственно после того, как нужный уровень уже достигнут. Например, после успешного решения задачи определенного типа вы немедленно решаете еще несколько задач того же типа. Хотя решение большего (а не меньшего) числа задач одного и того же типа часто способствует успеху на ближайшем экзамене, решение сразу слишком большого числа одинаковых задач приводит к отрицательным результатам.

В учебной аудитории (и где угодно еще) студенты должны наращивать количество выученного материала на единицу времени, потраченного на изучение или практику, – т. е. полезную отдачу от обучения. Как этого можно добиться? Научная литература дает однозначный ответ: вместо продолжительного совершенствования одного и того же навыка или понятия до степени избыточного обучения студенты должны разделить усилия на несколько более коротких сеансов. Это не значит, что долгие занятия обязательно плохи. Длительные занятия хороши при условии, если студенты не уделяют слишком много времени одному и тому же навыку или понятию. Как только они усвоили “икс”, нужно перейти к другому материалу, а к “иксу” вернуться в другой день»{91}91
  Личная переписка с автором, 20 августа 2013 г. См. также: Carey 2012.


[Закрыть].

Пример изначального решения, диаграмму или понятие лучше записывать от руки. По некоторым свидетельствам, это помогает усвоению материала больше, чем запись с помощью компьютера{92}92
  Longcamp et al. 2008.


[Закрыть]. Более того, символы вроде Σ или Ω намного проще писать от руки, чем искать их в таблице символов (если вы, конечно, не используете эти символы настолько интенсивно, что запомнили соответствующие им кнопки на клавиатуре){93}93
  Например, см.: http://usefulshortcuts.com/alt-codes.


[Закрыть]. Однако если вы хотите сфотографировать или отсканировать вопрос и написанное от руки решение, чтобы скопировать их в смартфон или ноутбук, то это не повредит. Будьте осторожны: иллюзия компетентности будет диктовать вам продолжать работать с уже знакомыми способами решения – просто потому, что так легче, и к тому же успешное решение задач поднимает настроение. Порой может показаться, что чередование практикуемых способов (например, при повторении материала к экзамену, когда вы повторяете сразу много задач в разных главах и разделах) только затрудняет процесс, однако на самом деле такой способ помогает глубже усваивать материал.

Не копируйте решения – переключайте режимы мышления

«При выполнении домашних заданий порой приходится решать по десять одинаковых задач сразу. После второй или третьей студент уже не думает, он просто копирует решение предыдущей задачи. Я всегда советую следующее: делая домашнюю работу, решите несколько задач, например, из раздела 9.4, вернитесь назад и займитесь задачей из раздела 9.3, потом решите еще одну-другую задачу из 9.4, после этого решите одну из раздела 9.1. Это позволит переключить режимы мышления примерно таким же образом, каким потребуется это сделать на экзамене.

Кроме того, мне кажется, что слишком многие делают домашние уроки просто для того, чтобы их сделать. Они решают задачу, сверяют результат с ответом, данным в конце учебника, потом улыбаются и переходят к следующей задаче. Я всегда говорю, что между улыбкой и переходом к другой задаче полезно вставить еще один этап – спросить себя: “Если я увижу такую задачу среди задач другого типа и не буду знать, из какого раздела учебника она взята, то каким образом я определю нужный способ ее решения?” К каждой задаче, решаемой дома, нужно относиться не как к части задания, которое нужно сейчас выполнить, а как к части подготовки к контрольным и экзаменам».

Майк Розенталь, старший преподаватель математики, Международный университет Флориды

• Практические упражнения помогают создавать стойкие нейронные паттерны – т. е. понятийные порции информации.

• Практические упражнения делают сознание более живым и гибким, как и требуется для экзаменов.

• Порции информации лучше всего создаются при помощи:

– сфокусированного внимания;

– понимания общей идеи;

– практики, помогающей увидеть широкий контекст.

• Простое вспоминание – когда вы вызываете в памяти ключевые пункты материала, не глядя в текст, – один из лучших методов, способствующих формированию порций информации.

В некотором смысле вспоминание помогает формировать нейронные зацепки – «крючки», которые можно использовать в качестве опоры для мышления

ОСТАНОВИТЕСЬ И ВСПОМНИТЕ

В следующий раз, проводя время с родственником, другом или однокурсником, перескажите ему суть того, что вы изучали (из этой книги или из материала, относящегося к учебным предметам). Пересказ изучаемого материала не только подпитывает ваш энтузиазм и делает его заразительным, но также проясняет и укрепляет в сознании нужные понятия и идеи – так вы лучше будете их помнить в ближайшие недели и месяцы. Даже если вы изучаете очень сложные дисциплины, их упрощенное изложение тем, кто имеет другую специальность, может укрепить ваше собственное понимание предмета.

1. Как порция информации соотносится со следом памяти?

2. Выберите тему, которая вам интересна. Опишите относящуюся к этой теме порцию информации, которая вначале была сложной для вашего понимания, а сейчас кажется простой.

3. Какова разница между подходом «снизу вверх» и подходом «сверху вниз» при изучении учебного материала? Является ли какой-то один из этих подходов более предпочтительным, чем другой?

4. Достаточно ли понимания для формирования порции информации? Поясните, почему «да» или «нет».

5. Какова ваша самая привычная иллюзия компетентности? Какая стратегия поможет вам избегать этой иллюзии в будущем?

Преодолеть травму мозга и научиться учиться в режиме ограниченного времени. История Пола Кручко

Пол Кручко с женой и дочерью, которые помогли ему найти мотивацию для жизненных перемен

«Я рос в бедной, неблагополучной семье, с трудом окончил школу. После этого я ушел в армию, и меня отправили пехотинцем в Ирак. Восемь раз из двенадцати обстрелов в нашу машину попадали снаряды из придорожных засад.

По счастливой случайности в одной из поездок я встретил свою чудесную жену. Встреча с ней убедила меня оставить службу и завести семью. Однако я не знал, что делать. Хуже того, после возвращения домой у меня начались проблемы с вниманием и пониманием, появилась несвойственная мне раздражительность. Иногда я даже не мог закончить фразу. Лишь позже я прочел о том, что солдаты, вернувшиеся из Ирака и Афганистана, часто страдают недиагностированным травматическим повреждением мозга (TBI).

Я начал изучать компьютерную технику и электронику. Болезнь была настолько сильна, что я даже с трудом понимал дроби.

Однако это обернулось во благо. Учиться значило для меня делать что-то осознанно. Попытки сосредоточиться, пусть и нелегкие, перестраивали мозг и помогали ему исцеляться. Мне это напоминало тренировки в спортзале: я прилагаю усилия, и кровь бежит в мышцы, делая их сильнее. Со временем мозг вылечился – я с отличием окончил колледж и получил работу, стал техническим специалистом по электронике.

Я решил вновь пойти учиться, в этот раз на инженера. Математика, особенно математический анализ, еще более важна для инженера, чем для простого техника. На этом этапе стало ясно, что мне не хватает математических знаний – они оставались на уровне средних классов школы.

К этому времени я женился, у меня родилась дочь, я работал полный рабочий день. Мне приходилось не только работать, но и пытаться выкраивать время на образование. У меня были считаные часы в день на изучение сложных математических понятий на более глубоком уровне, чем когда-либо в жизни. После нескольких крупных неудач (я заработал неуд по дифференциальным уравнениям – вот так провал!) я решил применить более стратегический подход.

Каждый семестр я получаю от преподавателей программу курса и начинаю читать учебники за две-три недели до занятий, а то и раньше. Я стараюсь опережать сокурсников как минимум на одну главу, хотя часто в середине семестра это бывает невыполнимо. Главное здесь – практика решения задач, т. е. формирование порций информации. За время учебы я выработал для себя правила, которые позволили мне удовлетворительно закончить учебу. Моя цель сейчас – сделать хорошую карьеру, чтобы содержать семью, и эти правила помогают мне двигаться в нужном направлении».

Правила Пола для обучения в условиях ограниченного времени

1. Прочтите (но пока не решайте) домашние задания и практические задачи для экзаменов / зачетов. Этот шаг помогает настроить «мыслительный насос» на изучение новых понятий, т. е. на новые порции информации.

2. Перечитайте конспект лекции (по возможности не пропускайте лекций). Один час лекции стоит двух часов чтения учебника. Если я хожу на лекции и пишу подробные конспекты (а не просто смотрю на часы и жду, когда все закончится), то учусь более эффективно. Я перечитываю конспект на следующий день, по свежим следам. Я также обнаружил, что полчаса, проведенные с преподавателем за работой над вопросами и ответами, стоят трех часов чтения учебника.

3. Заново решите задачи, приводившиеся на лекции в качестве примера. Мне всегда было мало толку от задач, которые не снабжены готовыми ответами. Задачи, представляемые на лекциях, уже содержат пошаговое решение, и заново их решать – значит укреплять порции информации. В процессе учебы пишу ручками разных цветов: не только черными, но и синими, зелеными, красными. Я обнаружил, что это помогает мне лучше сосредоточиться на чтении конспектов: нужные фрагменты выделяются цветом, тогда они не сливаются в непонятную хаотическую массу.

4. Сделайте домашнее задание и попрактикуйтесь в ответах на вопросы для экзаменов и зачетов. Так формируется «мышечная память» мозга – порции информации, необходимые ему для решения определенных видов задач.