Текст книги "Стоимостное инвестирование. От Грэма до Баффета и далее"

Приложение: Расчеты доходности для инвестиций в привилегированную компанию

Процедуры, описанные в главе 8 для расчета рентабельности инвестиций в привилегированные предприятия, зависят от ряда допущений относительно этих предприятий. Важно понимать сами эти допущения, их возможные отклонения от реальности и то, как они соотносятся с допущениями для альтернативных подходов: в оценке на основе мультипликаторов или в анализе дисконтированных денежных потоков. В настоящем приложении допущения четко определены, указаны их последствия, выведена математическая зависимость между ними.

Во главе списка находится предположение, что будущему свойственно постоянство тенденций. Допустим, что темпы органического роста выручки и прибыли будут постоянными, равно как и доля распределяемой прибыли и объем капитала, необходимый для обеспечения каждого доллара органического роста. Предположим, что стоимость, создаваемая на доллар активных инвестиций, постоянна. Тогда качество инвестиционных возможностей и эффективность их использования будут неизменны. Для другой стороны уравнения допустим, что стоимость капитала, с которой мы сравниваем нашу расчетную доходность, постоянна. В совокупности эти допущения означают постоянство скорости роста. Наконец, вероятность угасания привилегий, хотя и не используется в явном виде при расчете доходности, по неявному допущению постоянна для целей оценки адекватности запаса прочности между расчетной доходностью и стоимостью капитала.

На самом деле, история не развивается стабильно, и переменные будут колебаться непредсказуемым образом. Предположения о постоянном будущем неточны. Если прогноз рассматривать как вероятное значение, вокруг которого будут происходить колебания, то до тех пор пока в среднем прогноз соответствует будущим тенденциям, оценка существенно искажаться не будет. Оценка на основе мультипликаторов и расчеты терминальной стоимости на основе дисконтированных денежных потоков основаны на таком же допущении о постоянстве. Предположения о вариациях, происходящих в периоде до начала расчета терминальной стоимости, как правило, незначительно влияют на оценку по методу дисконтированных денежных потоков. Таким образом, предположения о постоянном росте и операционном коэффициенте фактически являются общими для всех подходов к оценке привилегированного бизнеса[114]114
  На этот счет есть одно уточнение. Для быстрорастущих привилегированных предприятий некоторые аналитики пытаются определить периоды ускорения, а затем замедления роста (обычная S-кривая внедрения новых продуктов). На практике эти переломные точки почти невозможно предсказать, о чем свидетельствуют результаты таких прогнозов. Ситуация с такими предприятиями часто такова, что их привилегированные позиции еще не полностью установились. Тем не менее они обычно торгуются по завышенным ценам. Более того, даже если они успешно возведут существенные входные барьеры, темпы роста рассматриваемых зарождающихся рынков еще не стабилизировались и поэтому их обычно трудно прогнозировать. Эти инвестиции почти всегда попадают в категорию слишком сложных для принятия решения.


[Закрыть].

В модели дисконтирования дивидендов, которая лежит в основе наших оценок доходности, обычно рассчитывается доходность на акцию. В нашей версии модели рассматривается предприятие в целом. Так,

R = D/M + G, (1)

где R – доход от покупки всего бизнеса, D – общее текущее распределение денежных средств среди инвесторов, включая как поступления от чистого выкупа акций, так и выплаты держателям долговых обязательств, M – рыночная цена, уплаченная за фирму, включая как собственный капитал, так и заемные средства, а G – темп роста стоимости фирмы, который, учитывая наши допущения о постоянном темпе роста, равен темпу роста прибыли. Как мы утверждали в главе 8, для фирмы, полностью финансируемой за счет собственного капитала, расчет на уровне всей компании полностью эквивалентен традиционному вычислению в расчете на акцию.

Для бизнеса с заемными средствами распределение чистого долга (включая продажи и погашения) можно учесть в переменной D, а непогашенную стоимость чистого долга в рыночной цене M. Тогда G будет соответствовать темпу роста операционной прибыли основного бизнеса после налогообложения. Для привилегированного бизнеса важна перспектива основного предприятия, потому что именно основные операции отвечают за создание как текущей стоимости, так и за ее рост с течением времени.

Допущение о равенстве рыночной цены и внутренней стоимости

Как мы обсуждали в главе 8, правильная форма уравнения (1) имеет вид

R = D/M + G(V/M), (2)

поскольку рост стоимости, возникающий в результате роста прибыли, относится к внутренней стоимости предприятия V, а не к его рыночной цене. Уравнение (1), как и традиционная модель дисконтирования дивидендов, содержит предположение, что V и M равны, так что V/M равно 1. С этого допущения мы начали наш процесс оценки доходности. Но инвестирование по Грэму и Додду заключается в выгоде от разницы между V и M, поэтому важно понять, как изменяется доходность, если V и M не равны.

Рассмотрим в нашем постоянно растущем мире фирму с текущей операционной прибылью после уплаты налогов E. Постоянная доля прибыли C распределяется между инвесторами; оставшаяся часть реинвестируется в бизнес, чтобы поддерживать темп роста G. Стоимость капитала для фирмы будет обозначаться R*. Внутренняя стоимость фирмы будет равна приведенной стоимости всей будущей распределенной прибыли, которая в случае постоянного роста составит

V = CE/(R* − G), (3)

при этом, поскольку C, R* и G считаются постоянными, V растет с темпом роста прибыли G. Таким образом, G, умноженное на V, – это рост стоимости для инвестора в течение года, а CE – текущая денежная доходность. Общая доходность R_T от владения фирмой – это сумма двух доходностей, а именно:

R_T = CE + GV. (4)

Разделив R_T на рыночную цену M, получим уравнение процентной доходности (2).

Умножение обеих частей уравнения оценки (3) на (R* − G)/V дает

(R* – G) = CE/V. (5)

Можно переписать уравнение доходности (2) в виде

R = (V/M)(CE/V + G), (6)

где мы заменили D на CE и вынесли за скобки член (V/M). Подстановка из уравнения (5) для CE/V в уравнение (6) дает

R = (V/M)(R* – G + G) = (V/M)R*. (7)

Деление обеих частей уравнения (7) на R* дает полезный результат:

R/R* = V/M. (8)

Отношение внутренней стоимости бизнеса к его рыночной цене равно отношению доходности от покупки бизнеса по рыночной цене к стоимости капитала. Если доходность выше стоимости капитала, то внутренняя стоимость выше рыночной цены. И напротив, если доходность ниже стоимости капитала, внутренняя стоимость ниже уплачиваемой цены.

Поскольку V нельзя точно оценить, мы не можем использовать ни уравнение (2), ни уравнение (5) для расчета R. Вместо этого мы начинаем процесс оценки доходности с эталонной доходности, R_B. Эталонная доходность основана на предположении, что M и V равны. Таким образом, эталонная доходность равна

R_B = (CE/M) + G. (9)

Ошибка использования R_B в качестве оценки внутренней доходности R составляет

R – R_B = (CE/M + G(V/M)) – (CE/M + G) = G((V/M) – 1), (10)

где второе равенство получается из сокращения членов (CE/M). Мы установили в уравнении (8), что V/M равно R/R*, так что уравнение (10) принимает вид

R – R_B = G(R/R* – 1) = (G/R*)(R – R*). (11)

Простое вычитание R* из каждого члена в левой части (11) дает

(R – R*) – (R_B – R*) = (G/R*)(R – R*), (12)

или, преобразуя уравнение,

(R – R*)(1 – G/R*) = RB – R*. (13)

Член (1 – G/R*) равен (R* – G)/R*. Деление обеих частей уравнения (13) на этот член дает результат

(R – R*) = (R*/(R* – G))/(R_B – R*), (14)

который определяет соотношение между внутренним запасом прочности доходности и запасом прочности при использовании эталонной доходности из уравнения (9). Член R*/(R* – G) всегда положителен, поскольку R* должна быть больше, чем G. В противном случае наш привилегированный бизнес имел бы бесконечную стоимость. Для растущих компаний G больше нуля. Таким образом, R* будет больше, чем (R* – G), а R*/(R* – G) будет больше 1. С учетом этих отношений, для растущего бизнеса внутренний запас прочности превышает эталонный запас прочности, пока эталонный запас прочности положителен. Таким образом, эталонный запас прочности как критерий для инвестиций в растущий бизнес – это консервативная стратегия.

Последнее замечание. Может показаться соблазнительным использовать формулу уравнения (14) для расчета внутренней доходности привилегированного бизнеса. Однако член 1/(R* – G), который создает такую большую неточность в терминальной стоимости при методе дисконтированных денежных потоков, также входит в правую часть уравнения (14) для внутренней доходности. Качественные выводы уравнения (14) полезны. Но его количественные выводы не таковы.

Для сокращающихся элитарных компаний, у которых G меньше нуля, оценочная доходность будет выше внутренней. Но они не представляют таких проблем для оценки, как растущие. Рассмотрим привилегированный бизнес, прибыль которого распределяется полностью и сокращается на 5 % в год при стоимости капитала 10 %. Мультипликатор стоимости устойчивой прибыли будет равен 1, деленному на 15 % (10 % минус 5 % или 10 % плюс 5 %), или 6,7. Если мы ошибемся на 1 % в наших оценках стоимости капитала и темпов роста, этот мультипликатор будет колебаться от 7,7 (1/(9 % + 4 %)) до 6 (1/(11 % + 6 %), т. е. погрешность составит лишь 25 %. При сокращающейся элитарности отдаленные денежные потоки не имеют большого значения. В таком случае обычная оценка по Грэму и Додду, скорректированная с учетом сокращения устойчивой прибыли, или даже оценка по методу дисконтированных денежных потоков будет достаточно точна для принятия инвестиционных решений.

Определение коэффициента создания стоимости для активных инвестиций

Для многих видов активного реинвестирования, особенно для инвестиций за пределами материнской компании, существуют простые способы оценки созданной стоимости в расчете на доллар активно инвестированной нераспределенной прибыли. Приобретение целых предприятий можно расценивать как еще одну инвестицию в собственный капитал/предприятие. Приобретение бизнеса без преимуществ можно оценить с помощью методов, которые мы разработали в главах 3–5. Для оценки внутренней стоимости приобретаемого бизнеса можно использовать методику оценки стоимости активов / стоимости прибыли. Деление расчетной внутренней стоимости на цену приобретения дает оценку стоимости, полученной на каждый вложенный доллар, которая для этих инвестиций представляет собой коэффициент создания стоимости. Отдельные проекты, например открытие новых магазинов, можно оценивать так же, как и проекты капиталовложений. Затем оценочную стоимость можно разделить на инвестиционные затраты, чтобы получить стоимость на доллар инвестиций, то есть тот же коэффициент создания стоимости. Если оценочный коэффициент создания стоимости больше 1, полученная доходность превышает стоимость капитала для проекта.

Для автономных проектов есть только два способа обеспечить коэффициент создания стоимости больше 1 при активных инвестициях. Первый – когда выдающийся менеджмент (то есть менеджмент с долгой историей эффективной работы на конкурентном рынке, не защищенном входными барьерами) инвестирует с целью расширения на конкурентных рынках. При условии, что компания продолжит работать сфокусированно и превосходить конкурентов, ее инвестиции принесут больше, чем стоимость капитала. Второй вариант – компания с устойчивым конкурентным преимуществом расширяется либо в пределах своей сферы деятельности, либо на смежные (географические или продуктовые) рынки, распространяя свое конкурентное преимущество на новую территорию и сохраняя входные барьеры. Если в первом случае менеджмент просто компетентный, а не выдающийся, коэффициент создания стоимости ненамного превысит 1, независимо от того, что показывают самые тщательные оценки. Если во втором случае фирма выходит на рынки, где она не может расширить свое влияние, или, что еще хуже, на рынки, где конкурентные преимущества есть у других компаний, коэффициент создания стоимости будет меньше 1, независимо от того, что показывает оценка.

Когда инициативы по активному реинвестированию приносят прибыль сверх той, что дает материнская компания, расчет коэффициента создания стоимости становится более сложным. В расчете доходности есть элемент, ссылающийся сам на себя, который требует подробного анализа. Как и любые инвестиции в растущий бизнес, активные инвестиции нельзя оценить по методу дисконтированных денежных потоков или с помощью иных подходов к оценке внутренней стоимости. Трудноопределимые отдаленные денежные потоки занимают большой вес в расчете, поэтому такая оценка стоимости будет слишком неточной. Нужно рассчитать коэффициенты создания стоимости для этих инвестиций, оценив доходность и разделив ее на стоимость капитала бизнеса. Оценочная доходность будет складываться из трех элементов:

1. Денежная доходность, равная дополнительной прибыли на каждый вложенный доллар, умноженной на долю прибыли, распределяемой между инвесторами.

2. Стоимость, создаваемая органическим ростом такой дополнительной прибыли.

3. Стоимость, создаваемая «вторичными» активными инвестициями нераспределенной доли дополнительной прибыли.

Последний из этих элементов представляет потенциальные трудности. Если и первоначальные, и «вторичные» реинвестиции осуществляются в одних и тех же условиях, то они должны приносить одинаковую доходность. Но если так, мы не можем вычислить доходности вторичных инвестиций, не зная доходности первоначальных. А доходность от первоначального активного реинвестирования нельзя вычислить, не зная доходности от вторичного реинвестирования, которая является частью первоначальной доходности.

Это не просто теоретический вопрос. Прибыль от активных инвестиций в этой категории распределяется в той же пропорции и органически растет с той же скоростью, что и прибыль от основного вида деятельности. Она приносит ту же сумму стоимости на доллар, что и прибыль от основной деятельности. Такие инвестиции направлены на сокращение затрат и совершенствование деятельности и ориентированы на основные операции компании, ее основные продукты и географическое расширение. На практике они обычно составляют значительную долю активно реинвестируемой нераспределенной прибыли.

Чтобы решить проблему цикличности в расчете доходности для таких видов активных инвестиций, предположим, что проект дает дополнительную прибыль e долларов на каждый вложенный доллар. Поскольку дополнительная прибыль неотличима от прибыли основного вида деятельности, допустим, что она органически растет с той же скоростью. Долю распределения прибыли от основного вида деятельности обозначим как С. Доля нераспределенной прибыли составит (1 – C). Доходность нераспределенной прибыли будет такой же, как и от прочей активно реинвестированной прибыли компании. В результате темп роста прибыли будет тот же, что у материнской компании, G. Риски, связанные с дополнительной прибылью, будут такими же, как риски основного вида деятельности. Стоимость капитала, связанная с e, будет равна R* – стоимости капитала для основного бизнеса фирмы. Тогда стоимость, созданная на доллар дополнительных инвестиций, будет равна

v = Ce/(R* – G), (15)

где C, G и R* – соответственно доля распределения, темп роста и стоимость капитала основной прибыли компании (т. е. здесь используются те же обозначения, что и в предыдущем разделе настоящего приложения). При допущении о постоянном темпе роста дополнительной прибыли e, стоимость, созданная на каждый реинвестированный доллар, v, растет с той же скоростью, G, что и прибыль. Таким образом, доходность на каждый вложенный доллар дополнительных инвестиций составит

r = Ce + Gv, (16)

где Ce – денежная доходность от e, а Gv – дополнительная созданная стоимость.

Уравнения (15) и (16) выглядят точно так же, как уравнения (3) и (2) из предыдущего раздела, за исключением того, что вложения, необходимые для получения прибыли e, по определению равны 1 доллару, так что нам не нужно делить на рыночную стоимость M. Таким образом, мы можем упростить уравнения (15) и (16) точно так же, как уравнения (3) и (2), получив

v = r/R*. (17)

К сожалению, мы не можем использовать уравнение (15) для оценки v с приемлемой степенью точности, потому что член 1/(R* – G) чрезвычайно чувствителен к небольшим изменениям в наших оценках R* и G. Без оценки v мы не можем найти коэффициент создания стоимости r из уравнения (16). Итак, как и прежде, определим эталонную доходность, r_b, на основе первоначального допущения, что v равно 1, эквивалентного сделанному ранее допущению, что V/M равно 1. Таким образом,

r_b = Ce + G. (18)

Уравнения (15), (16) и (18) выглядят точно так же, как уравнения (2), (3) и (9), за исключением того, что V/M заменено на 1. Упростив уравнения (15), (16) и (18) так же, как упрощали (2), (3) и (19), получим

(r – R*) = (R*/(R* – G))(r_b – R*). (19)

Это уравнение определяет взаимосвязь между внутренней доходностью r, полученной за счет дополнительной прибыли e, и эталонной доходностью r_b.

Интерпретация уравнения (19) весьма отличается от интерпретации уравнения (14). Доходность (r – R*) в правой части уравнения (19) – это мера качества вторичного размещения капитала. Если (r – R*) < 0, то r < R* и r/R* > 1. В уравнении (17) r/R* представляет собой коэффициент создания стоимости для инвестиций в материнскую компанию, дающий e – дополнительную прибыль на каждый вложенный доллар. Когда r > R*, то v > 1 – и инвестирование нераспределенной прибыли создает стоимость. Если r = R* (т. е. r – R* = 0), то v = 1 – и реинвестирование не создает и не уничтожает стоимость. Если r < R*, то v < 1 – и руководство уничтожает стоимость, когда реинвестирует долю прибыли (1 – C). Уравнение (19) показывает, что наша измеримая эталонная доходность r_b – вполне пригодная замена не поддающейся измерению внутренней доходности r. Поскольку (R*/(R* – G)) положительно, (r_b – R*) имеет тот же знак, что и (r – R*). Если (r_b – R*) больше нуля, то и (r – R*) больше нуля, а v больше 1. Для растущих фирм, у которых G больше нуля, (R*/(R* – G)) больше 1. Таким образом, в этом случае r больше, чем r_b, и оценочный коэффициент создания стоимости r_b /R* – хорошая консервативная оценка внутреннего коэффициента создания стоимости.

С другой стороны, если эталонная доходность ниже стоимости капитала, то внутренняя доходность ниже эталонной. В этом случае эталонная доходность занижает внутреннюю степень разрушения стоимости. Менеджмент, при котором е настолько низко, что r_b значительно меньше R*, разрушает стоимость. Если активные инвестиции кажутся ошибочными, консервативная стратегия состоит в том, чтобы просто предположить, что коэффициент создания стоимости находится между 0,5 (50 %-е разрушение стоимости) и нулем. Чтобы подытожить выводы уравнения (19) в несколько иных выражениях, можно определить эталонный коэффициент создания стоимости v_b = r_b/R*. Тогда, если R* больше, чем r_b,

1 > v_b > v. (20a)

Если r_b больше, чем R*,

v > v_b > 1. (20b)

До сих пор мы рассматривали активное реинвестирование прибыли от монополии в тот же самый основной бизнес. Вторая возможность заключается в том, что активное реинвестирование приносит прибыль иную, чем от основного вида деятельности. Этот сценарий менее вероятен, чем реинвестирование в основной бизнес, но не невозможен. Это может быть расширение ассортимента, географическая экспансия на смежный рынок, которому присущи некоторые конкурентные преимущества основного рынка, но с иными характеристиками органического роста и возможностями реинвестирования. В этой ситуации соответствующая стоимость капитала r* не должна равняться R*, темпы органического роста не должны быть равны темпам органического роста базового рынка, а доля выплачиваемой дополнительной прибыли с не обязана равняться С. Таким образом, общая скорость роста дополнительной прибыли g может отличаться от G.

В этом случае активное реинвестирование, дающее дополнительную прибыль e на каждый вложенный доллар, будет характеризоваться коэффициентом создания стоимости, равным

v = ce/(r* – g). (21) [115]115
  В уравнении (21) есть допущение, что инвестиции, необходимые для поддержания органического роста дополнительной прибыли, равны нулю. Если они все же положительны, их можно рассматривать как простое сокращение реинвестированной дополнительной прибыли.


[Закрыть]

Доходность на доллар от этих инвестиций составит

r = cd + gv, (22)

и, как и прежде, мы можем показать, что

v = r/r*. (23)

Здесь опять возникает проблема циклической зависимости переменных V и v. Таким образом, нужно сделать допущения о доходности вторичных инвестиций и использовать два полярных случая для анализа.

В случае 1 предположим, что вторичное реинвестирование не создает и не уничтожает стоимость. Тогда для целей оценки не имеет значения, распределяется ли дополнительная прибыль или реинвестируется. Таким образом, уравнение доходности принимает вид

r = ce + (1 – c)e + g = e + gv, (24)

где g – скорость органического роста дополнительной прибыли. Далее, как и раньше, поскольку r и v нельзя измерить с приемлемой точностью, определяем эталонную доходность

r_b = e + g, (25)

где предполагается, что v равно 1.

Структура уравнений (21) – (25) точно такая же, как и уравнений (15) – (18), с допущением о нейтральном вторичном реинвестировании, введенным в уравнение (24). Таким образом,

(r – r*) = (r*/(r* – g))(r_b – r*)(26)

определяет соотношение между измеримым r_b и релевантным, но неизмеримым r.

В этом случае эталонная доходность представляет собой просто сумму прироста прибыли и скорости ее органического роста. Разница между эталонной доходностью и стоимостью капитала имеет тот же знак, что и разница между фактической доходностью и стоимостью капитала. Таким образом, если эталонная доходность превышает стоимость капитала и с этой точки зрения размещение капитала выглядит удачным, то его фактическое размещение еще лучше, потому что фактическая доходность выше эталонной. Для органически растущих компаний (т. е. при g > 0) коэффициент r*/(r* – g) больше 1. Таким образом, эталонный коэффициент создания стоимости (r_b/r*) является консервативной оценкой фактического коэффициента (r/r*). С другой стороны, неправильное размещение капитала разрушает стоимость со скоростью, превышающей коэффициент создания стоимости. В этом случае (r – r*) отрицательна и больше по величине, чем (r_b – r*).

Второе полярное предположение о вторичном активном реинвестировании за пределами основной деятельности компании состоит в том, что вторичное и первичное реинвестирование различаются по качеству. В этом случае стоимость активного вторичного реинвестирования в расчете на доллар равна v, а не 1. Сумма вторичных реинвестиций на доллар первичных инвестиций равна (1 – с)е, где е – дополнительная прибыль на доллар первичных активных инвестиций, а с – доля распределяемой прибыли. Стоимость, созданная этим реинвестированием на доллар первичных инвестиций, составляет (1 – c)ev. Тогда доходность первичных активных инвестиций составит

r = ce + gv + (1 – c)ev, (27)

где ce – денежная доходность, gv – доходность от органического роста, а (1 – e)cv – доходность от вторичных активных инвестиций. Это можно переписать как

r = ce + (g + (1 – c)e)v, (28)

где g + (1 – c)e представляет собой общий темп прироста прибыли как от органического роста, так и от вторичного реинвестирования доли (1 – c) от e. Обозначим этот совокупный темп роста как h (равно g + (1 – c)e). Тогда уравнение (28) принимает привычный вид

r = ce + hv, (29)

и мы можем определить измеримую эталонную доходность, предполагая, что v равно 1:

r_b = ce + h = ce + (1 – c)e + g = e + g, (30)

где во второе равенство (30) вместо h подставлено (1 – c)e + g, а в последнем равенстве учтен результат сложения членов ce и (1 – c)e. Поразительно, что эталонная доходность в этом случае такая же, как при нейтральном реинвестировании. Причина кроется в определении эталонной доходности. Она рассчитывается исходя из предположения, что v равно 1, то есть что первичное реинвестирование не создает и не уничтожает стоимость. При равенстве первичной и вторичной доходности вторичная доходность также является «нейтральной», что соответствует допущению, принятому для нейтрального варианта вторичных инвестиций. Таким образом, при допущениях об эталонной доходности оба варианта одинаковы, их эталонные доходности равны.

Соотношение между эталонной и фактической доходностью во втором случае:

(r – r*) = (r*/(r* – h))(r_b – r*). (31)

Здесь, поскольку h больше, чем g, коэффициент (r*/(r* – g)) выше при обычном вторичном реинвестировании, чем при нейтральном. Таким образом, в этом распространенном случае разница между эталонной и фактической доходностью больше, чем в нейтральном, как в положительную, так и в отрицательную сторону. Если эталонное размещение капитала является хорошим, фактическая доходность вторичного реинвестирования, при допущении, что вторичное размещение капитала также удачно, будет выше, чем при допущении о том, что оно нейтрально. Если эталонное размещение капитала неудовлетворительно, то допущение о том, что вторичное реинвестирование столь же плохо, преувеличит внутренний уровень разрушения стоимости.

Приблизительную величину этого эффекта можно выразить относительно простой формулой. Обозначим коэффициенты создания стоимости для нейтрального и обычного вторичного реинвестирования как v₁ и v₂ соответственно. Из определения v₂, умноженного на (r* – g),

ce ≡ v₂ (r* – h) = v₂ (r* – g) – v₂ (1 – c)e. (32)

Из определения v₁, умноженного на (r* – g),

e = v₁(r* – g). (33)

Подстановка из (33) в (32) дает

cv₁(r* – g) = v₂(r* – g) – v₂(1 – c)v₁(r* – g). (34)

Сокращаем (r* – g):

cv₁ = v₂ – v₂(1 – c)v₁ = v₂(1 – (1 – c)v₁). (35)

Разделив обе части уравнения (35) на (1 – (1 – c)v₁), получим

cv₁/(1 – (1 – c)v₁) = v₂, (36)

что выражает v₂, коэффициент создания стоимости при обычном реинвестировании, как функцию v₁, коэффициент создания стоимости при нейтральном варианте реинвестирования.

После незначительного преобразования:

(v₂ – 1) = [cv₁/(1 – (1 – c)v₁)] – 1 = (cv₁ – 1 + (1 – c)v₁)/(1 – (1 – c)v ₁), (37)

или

(v₂ – 1) = (v₁ – 1)/(1 – (1 – c)v₁). (38)

Разница между v₂ и 1 – это прибыль на доллар от реинвестирования при общем допущении о вторичной доходности. Разница между v₁ и 1 – чистая прибыль на доллар от реинвестирования при допущении о нейтральной вторичной доходности. Для того чтобы стоимость реинвестирования была не бесконечной, должен быть случай, когда (1 – c)v₁ меньше 1 и, следовательно, 1 – (1 – c)v₁ больше нуля. Следовательно, если нейтральное реинвестирование создает стоимость (т. е. v₁ > 1), то обычное реинвестирование также создает стоимость (т. е. v₂ > 1). Если нейтральное реинвестирование уничтожает стоимость (v₁ < 1), то обычное реинвестирование также уничтожает стоимость (v₂ < 1). Множитель (1 – (1 – c)v₂) должен быть меньше единицы. И (1 − c), и v₁ должны быть больше нуля (при условии, что e > 0), и, следовательно, их произведение также должно быть больше нуля. Следовательно, [1/(1 – (1 – c)v₁)] должно быть больше единицы. Вследствие допущения об обычной доходности вместо нейтральной увеличивается разница (v₁ – 1) в хорошую сторону (v₁ > 1) или в плохую (v₁ < 1).

Чтобы дать простой пример, рассмотрим случай, когда половина дополнительной прибыли реинвестируется. Тогда мультипликатор равен 1/(1 – ½v₁). Если v₁ равна 1,5, тогда 1 – ½v₁ = 1 – ¾ = ¼. Следовательно, (v₂ – 1) = 4 × (v₁ – 1) = 4 × (1,5–1) = 2. Таким образом, v₂ равна 3, что в два раза больше предположительного нейтрального коэффициента создания стоимости, равного 1,5. Если v₁ равна 1/2 (т. е. 50 %-ное разрушение стоимости), то 1 – ½v₁ = 1 – ¼ = 3/4. Это означает, что (v₂ – 1) равна 4/3 умножить на (v₁ – 1), или 4/3 × (—½), что дает –2/3. Следовательно, v₂ равна 1/3 (т. е. 67 %– ное разрушение стоимости). Различия весьма существенны.