Текст книги "Игра в имитацию"

Подобная возможность появилась вследствие четкого разграничения на официальный мир и неофициальный. Внешний мир накладывал необходимость вести двойную жизнь, поскольку последствия разоблачения в Кингз-Колледже были такими же, как и везде. Неофициальный мир представлял собой нечто, вроде гетто для тех, кто осознавал свою нетрадиционную сексуальную ориентацию со всеми преимуществами и недостатками жизни в нем. Разумеется, подобная свобода выражения чувств и мыслей, которые кому-то могли показаться еретическими, шла Алану на пользу. К примеру, ему помогло то обстоятельство, что Кеннет Харрисон унаследовал от своего отца, также выпускника Кингз-Колледжа, либеральную позицию понимания гомосексуальных чувств других людей. И все же Алану казалась чуждой атмосфера напыщенности и лоска, царившая в Кингз-Колледже, где так ценились искусства и в частности театральное дело, в котором он не принимал участия. Его могли легко испугать некоторые театральные проявления в выражении гомосексуальности окружающих. И если в Шерборне его сексуальная ориентация ассоциировалась с чем-то «грязным» и «скандальным», теперь ему пришлось смириться с новым ярлыком: одного из «пэнси», которые одним своим существованием оскорбляли всеобщее чувство мужского превосходства. Но Алан не мог себя отождествлять с ними, как и не мог влиться в круг «эстетов», которые не оставляли без внимания застенчивого юного математика. Как и во многом другом Алан стал узником своей собственной самодостаточности. Кингз-Колледж мог укрывать его от забот внешнего мира, пока он занимался самопознанием.

Подобное положение Алан занимал и по отношению к религии: в то время как в Кингз-Колледже агностицизм считался de rigeur, он не захотел слепо следовать общей моде, чтобы наконец получить право поднимать темы, которые до сих пор оставались под запретом. В силу своей застенчивости ему не удалось обзавестись необходимыми связями в интеллектуальных кругах. В отличие от большинства его близких знакомых, его не приняли ни в «Клуб десяти», ни в «Общество Мэссинджера» – общества студентов Кингз-Колледжа, в первом из которых участники читали по ролям пьесы, а во втором вели долгие беседы под покровами ночи, обсуждая статьи на темы культуры и моральной философии за чашками горячего какао. В обществе товарищей по колледжу Алан был слишком неловок, даже неуклюж, чтобы принимать участие в подобных встречах. Ему не удалось попасть и в престижное дискуссионное общество «Апостолов», прославившееся необычайной одаренностью его членов, в основном студентов Кингз-Колледжа и Тринити-Колледжа. Во многих отношениях Алан был слишком посредственным и заурядным студентом Кингз-Колледжа.

В этом он походил на одного из своих новых товарищей – Джеймса Аткинса, который также получил стипендию и учился на курсе математики вместе с Аланом. Вскоре знакомство переросло в дружбу, в которой не было места увлеченным обсуждениям научных тем или разговорам о Кристофере, но именно Джеймс получил приглашение от Алана поехать вместе в Озерный край на несколько дней.

Они запланировали поездку на период с 21 по 30 июня, так что Алан действительно провел 23 июня, день своего «совершеннолетия», вдали от дома, как и планировал. Тот день ребята провели в пути, добираясь по главной улице от студенческой гостиницы в деревне Мардейл до Паттердэйла. Погода стояла необычайно жаркая и солнечная, и в какой-то момент Алану пришла в голову идея полностью раздеться и позагорать. Возможно, сама обстановка позволила ему сделать следующий шаг, когда несколькими днями позже они остановились отдохнуть на склоне холма. Тот случай скорее имел большое значение для Джеймса, который постоянно ощущал давление сверстников во время учебы в частной школе и теперь пытался наверстать упущенные годы, познавая себя духовно и физически. До конца их путешествия подобное больше не повторялось, и пока Джеймс обдумывал случившееся. Но уже спустя две недели он вдруг почувствовал пробудившиеся чувства привязанности и страсти и с нетерпением ожидал возвращения Алана в Кембридж 12 июля, чтобы вместе провести летние каникулы. Летом студенты могли отдохнуть от математики и принять участие в концертах в рамках Международного конгресса общества музыковедческих исследований, поскольку в музыке Джеймс находил тот абсолют истины, который Алан видел в чистой математике.

Джеймс не подозревал, что в тот же самый день Алан отправился в «Клок Хаус» почтить память Кристофера. В том же году на Пасху он уже приезжал к Моркомам, чтобы принять причастие в своей церкви, и позже написал:

20 апреля 1933 года

Моя дорогая миссис Морком,

Я так рад, что смог провести у вас в «Клок Хаус» светлый праздник Пасхи. Мне особенно нравится в этот день вспоминать о Кристофере. Он напоминает всем нам о том, что в некотором роде Кристофер сейчас жив. Возможно, для некоторых приятнее думать о возможности встречи с ним в необозримом будущем, когда он снова будет рядом с нами, но меня же утешает мысль, что он все еще жив и разлука наша временна.

Так получилось, что время его следующей поездки к Моркомам совпало с торжеством в честь открытия мемориального витража, которое состоялось 13 июля, в двадцать второй день рождения Кристофера. По такому случаю в местной школе были отменены занятия, и все дети пришли возложить цветы у церкви. В память о мальчике друг семьи прочитал проповедь «О доброте», а затем все исполнили любимый гимн Кристофера:

 
Милостивый Боже, Дух Святой,
Ученьем Твоим озаренные мы просим
В день Троицы из всех даров
Лишь святую небесную Любовь.
 

Под установленным у дома шатром фокусник развлекал детей, пока они наслаждались булочками и лимонадом, Руперт показывал эксперимент Кристофера с йодатами и сульфитами, а его дядя объяснял ребятам суть опыта. После этого они принялись выдувать мыльные пузыри и запускать воздушные шарики в небо.

Спустя две или три недели после этого исполненного горечью праздника Алан вернулся в Кембридж, где ожидавший его Джеймс поделился с ним своим желанием продолжить сексуальные отношения с Аланом, который так неосторожно пробудил в нем чувства. Казалось, что Алан больше не решится проявить инициативу со своей стороны, однажды пробудившуюся в нем под жарким летним солнцем, а Джеймс никогда не сможет понять сложность ситуации. Возможно, причина заключалась в еще не угаснувшей памяти о Кристофере, о чем Алан никогда не делился с Джеймсом. Поездка вновь освежила воспоминания о чистой, романтической любви, которую он не видел в отношениях с Джеймсом. Вместо этого между ними возникла дружеская симпатия, влечение без притворства и обещания любви, и это положение устраивало обоих. По крайней мере теперь Алан знал, что он не одинок.

И все же порой он выглядел весьма раздраженным. На торжественном вечере в честь основателей колледжа в декабре 1933 года произошел случай, когда один студент, с которым Джеймс учился вместе в частной школе, подошел к Алану и сказал оскорбительным тоном: «Не смотри на меня так, разве я похож на гомосексуалиста». Тогда раздосадованный такой репликой в свой адрес Алан сказал Джеймсу: «Когда будешь ложиться в постель, знай, меня там больше не будет». Но этот момент можно считать исключительным в их отношениях, которые длились, постепенно сходя на нет, все семь лет.

Никто не догадывался о подобном положении дел, только в общих чертах, но как показал случай на банкете, Алан вовсе не скрывал свою сексуальную ориентацию. Был еще один студент, к которому Алан испытывал сильные чувства (о чем он поделился с Джеймсом). Осенью 1933 года Алан нашел нового друга, с которым он мог проводить время, обсуждая вопросы секса. Его звали Фред Клейтон, и он был человеком совершенно другого характера. В то время как Алан и Джеймс вели себя сдержанно, стараясь не афишировать свои отношения, в случае с Фредом все обстояло несколько иначе. Его отец был директором школы, расположенной в деревне неподалеку от Ливерпуля, а потому он не получил должного образования в частной школе. Довольно невысокого роста, юный студент курса классической филологии он, должно быть, познакомился с Аланом в клубе гребцов, но их знакомство стало стремительно перерастать в дружбу, как только Фред узнал о сексуальных предпочтениях Алана – от него самого или от других студентов.

Фред как никто другой нуждался во взаимном обмене взглядами и чувственным опытом, поскольку тема секса всегда озадачивала его в отличие от более сведущих в этом вопросе бывших товарищей по школе. Поэтому он поспешил воспользоваться привилегией Кингз-Колледжа открыто обсуждать любой волновавший студента вопрос, и таким образом узнал от одного из членов совета колледжа, что он кажется «вполне себе обычным молодым человеком с бисексуальным поведением». Но все было не так просто, особенно в случае с Фредом.

Алан поделился со своим новым другом своим негодованием по поводу обрезания в детстве, а также ранними воспоминаниями об играх с сыном садовника (предположительно, речь шла о времени, проведенном в доме Уордов), которые, как ему казалось, во многом определили его сексуальные предпочтения. Справедливо или же нет, но Алан стал для Фреда и других студентов наглядным примером того, как именно в частной школе мальчики переживают свой первый сексуальный опыт. Хотя более важным было то обстоятельство, что школьные дни все еще оказывали большое влияние на его сексуальную жизнь. Фред был знаком с работами Хэвлок Эллис и Фрейда, а также сделал собственные открытия в античной литературе, чем и поделился со своим другом-математиком, интересы которого не касались греческого языка или латыни.

Неудивительно, что подобные темы приводили молодых людей в замешательство в условиях 1930-х годов, когда даже в Кингз-Колледже предпочитали говорить об этом лишь полушепотом. Такое положение дел никак нельзя было считать результатом принятого ранее в Великобритании закона, который ввел запрет на любое проявление гомосексуального поведения, в силу его неэффективности. Запретность темы сравнивалась с уклонением от догматов христианской церкви, как об этом писал Дж. Ст. Милль:

У нас давно уже главное зло легальных преследований и состоит именно в том, что эти преследования на самом деле суть не что иное, как исполнение приговоров самого общества. В нетерпимости нашего общества и заключается главное зло, – зло столь сильное, что мы чаще встречаем в других странах выражение мнений, которые там влекут за собой судебное преследование, чем в Англии выражение таких мнений, которые хотя и не влекут за собой легальные кары, но осуждаются обществом.

На рубеже веков современный психоанализ оказал огромное влияние на восприятие мира, и уже в 1920-х годах многие авангардисты ярко и оригинально использовали фрейдистские идеи в своем экспериментальном творчестве. Но на практике психоанализ служил лишь универсальным инструментарием для обсуждения отклонений гомосексуального поведения, и даже здесь официальный мир постоянно учинял препятствия, стараясь предать забвению эту тему, так же как и академический мир, сыгравший определенную роль наряду с судебными преследованиями и цензурой. Что касается мнения среднего класса, оно было выражено в одном из выпусков «Санди экспресс» 1928 года, в котором роман «The Well of Loneliness» получил следующую рецензию: «Я бы скорее дал в руки здоровому мальчику или девочке бутылочку синильной кислоты, чем эту книгу». Подобный запрет на освещение темы был общим правилом для всех, и даже получившим блестящее образование гомосексуалистам оставалось искать поддержку, разгадывая смутные и неясные знаки в мире античности, на руинах судебного дела Уайльда и среди редких исключений к общему правилу, представленных в работах Хэвлока Эллиса и Эдварда Карпентера.

В подобной уникальной среде Кембриджского университета гомосексуальный опыт мог стать несомненным преимуществом с точки зрения удовлетворения своих физических потребностей. И лишение подобной возможности касалось не права личности, а самого духа, ведь в таком случае возникало чувство самоотречения. Понятия гетеросексуальной любви, страсти и супружества также связывались с определенными проблемами и страданиями, но все известные миру романы и песни были написаны с целью выразить чувства, которые они в себе несли. Подобные же истории гомосексуальных отношений обычно предавались забвению или сводились к чему-то курьёзному, преступному, патологическому, и отвратительному. Достаточно сложно было оградить себя от подобных коннотаций, когда они включались в само значение слов, единственных слов, которыми оперировал язык. Возможность сохранить цельность и монолитность своей личности и не расщепиться на внешнюю оболочку соответствия нормам и скрытую от лишних взглядов внутреннюю правду представлялась настоящим чудом. А способность при этом продолжить развиваться, как личность, укрепляя внутренние связи и общаясь с остальными, и вовсе казалась невероятной.

И Алан оказался в том самом единственном месте, в котором его личность могла продолжить свое развитие. В конце концов, именно здесь Форстер нашел первых читателей рукописи его романа «Морис», выразившим многие мысли и чувства «человека недостойного поведения Уайльда». Определенную сложность для автора представлял выбор, как завершить свое произведение. Финал истории должен был со всей прямотой и искренностью донести чувства героя и в то же время остаться правдоподобным в реалиях современного мира. И это существенное противоречие не могло разрешиться побегом его героя в «зеленые леса» благополучной развязки.

Другое противоречие заключалось в том, что его произведение оставалось неизвестным на протяжении пятидесяти лет. Во всяком случае именно здесь эти противоречия многим были понятны и ясны. И хотя в силу своей необщительности Алан намеренно отдалился от общества Кингз-Колледжа, пока он находился в этой среде, он был надежно укрыт от суровости внешнего мира.

Увлечение Алана пьесой «Назад к Мафусаилу» могло также объясняться тем, что в ней Шоу выразил свою теорию «жизненной силы», которая поднимала схожие вопросы с манифестом о «природе духа». Один из героев пьесы сказал следующее: «Если эти нудные ископаемые – религия и наука не оживут в наших руках, не оживут и не станут захватывающе интересными, нам лучше оставить свои занятия и вскапывать свой сад до того самого дня, когда нам придется копать себе могилу». Эта фраза как нельзя лучше выразила основную проблему, занимавшую ум Алана в 1933 году, но вместе с тем он не был готов принять простое решение, которое предлагал сам автор пьесы. Бернард Шоу мог без всяких сожалений переписывать науку, если она не соответствовала его идеям; и если его теория «жизненной силы» противоречила принципам детерминизма, он был готов отказаться от него. Тогда Шоу сосредоточил все свое внимание на теории эволюции Дарвина, которая ему представлялась причиной любых изменений в обществе, включая в себя социальные и психологические, и в итоге отверг ее, как «веру»:

Но когда возникло новое движение в науке, связанное с именем великого натуралиста Чарлза Дарвина, оно было не только реакцией против варварской псевдоевангельской телеологии, нетерпимой противницы всякого прогресса в науке; его сопровождали, как оказывалось, чрезвычайно интересные открытия в физике, химии, а также тот мертвый эволюционный метод, который его изобретатели назвали естественным отбором. Тем не менее в этической сфере это дало единственно возможный результат – произошло изгнание совести из человеческой деятельности или, как пылко выражался Сэмюэл Батлер, «разума из вселенной».

По мнению Шоу, наука должна представлять собой некую «жизненную силу», о которой оракул из третьего тысячелетия мог бы сказать: «Наши физики изучают ее, наши математики определяют ее параметры с помощью алгебраических уравнений».

С точки зрения Алана, наука в первую очередь должна нести в себе истину, а затем уже служить обществу. И даже в работах физика и математика Джона Неймана он не мог найти ни одной причины, чтобы поверить в теорию «жизненной силы». Заказанную копию «Математических основ квантовой механики» он получил уже в октябре 1932 года, но вероятнее всего отложил чтение вплоть до лета, когда ему доставили другие работы по квантовой механике, а именно – Шрёдингера и Гейзенберга. В связи с этим в письме от 16 октября 1933 года он писал:

Книга, которую мне вручили в качества приза в Шерборне, оказалась весьма интересной и вовсе не трудной, хотя многие из тех, кто занимается прикладной математикой, находят эту работу достаточно серьёзным исследованием в области квантовой механики.

Взгляды фон Неймана разительно отличались от тех, что разделял Эддингтон. В его формулировке состояние физической системы поддавалось описанию в рамках принципа детерминизма; именно наблюдение позволило открыть её абсолютную недетерминированность. И если существовала возможность наблюдать извне на сам процесс наблюдения, его можно было назвать детерминистическим. Определение места неопределённости казалось невозможным, поскольку оно не было локализовано в определенном месте. Фон Нейману удалось показать, что подобная странная логика наблюдений, выходящая за рамки мира привычных вещей, по своей природе обладала последовательностью и подтверждалась рядом научных экспериментов. Алан скептически отнесся к такой интерпретации квантовой механики, но в то же время усомнился в идее разума, способного управлять волновыми функциями в человеческом мозге.

Но причина, по которой Алан нашел эту работу «весьма интересной», заключалась не только в близкой ему философской тематике. В первую очередь, его привлек научный подход фон Неймана, основанный по мере возможности на одной лишь логике, поскольку для Алана Тьюринга наука представляла собой полностью самостоятельное исследование вопроса, а не только набор некоторых фактов об устройстве мира. Наука могла ставить под сомнение существующие законы и аксиомы. Именно поэтому он сам руководился методом, который базировался на принципах чистой математики, вначале рассматривая любую возникшую идею, какой бы абсурдной она ни казалась, и только затем задумываясь, можно ли найти ей применение в материальном мире. Этот подход становился частой причиной для споров с Кеннетом Харрисоном, который обладал более традиционным научным взглядом на эксперименты, теории и их подтверждение.

Сторонникам принципа прикладной математики эта работа могла показаться «достаточно серьёзным исследованием в области квантовой механики», поскольку для ее понимания требовалось знание последних открытий в области чистой математики. В некотором роде работа представляла собой слияние двух на первый взгляд абсолютно разных теорий Шрёдингера и Гейзенберга: выразив основные идеи двух теорий в абстрактной математической форме фон Нейман доказал их эквивалентность. В своем исследовании ученый руководствовался именно логикой, а не результатами проведенных экспериментов. Такой прекрасный пример того, как исследование в области чистой математики принесло неожиданные результаты в физике, несомненно стало источником вдохновения для Алана.

Еще до начала войны Гильберт представил научному миру работу, обобщающую всю евклидову геометрию, которая рассматривала пространство с бесконечным множеством измерений. Такое «пространство» не имело ничего общего с пространством в привычном представлении. Его можно сравнить с воображаемым графом, на котором можно отметить любые звуки, учитывая, что звуки флейты, скрипки или фортепиано включают в себя основной тон, первую гармонику, вторую гармонику и так далее, – то есть каждый звук представляет собой особый набор бесконечно малых его составляющих. В приведенной аналогии точка в подобном «гильбертовом пространстве» соответствует звуку, к ней добавляются еще две точки (как при добавлении звуков), при этом точка может увеличиться в несколько раз (как при усилении звука).

Фон Нейман заметил, что именно «гильбертово пространство» как ничто другое подходило для более точного описания «состояния» системы в квантовой механике, например, электрона в атоме водорода. Одной из характерных особенностей таких «состояний» представлялась возможность их добавления, как в примере со звуками, другая особенность заключалась в бесконечном множестве возможных «состояний», как в случае с бесконечным множеством гармонических рядов. Таким образом, понятие гильбертова пространства было использовано для определения строгой теории квантовой механики.

Такое неожиданное применение «гильбертова пространства» только подтвердили взгляды Алана на принципы чистой математики. Следующее подтверждение он обнаружил в 1933 году, когда был открыт позитрон. Ранее Дирак предсказывал это открытие, основываясь на теории абстрактной математики, для которой было необходимо объединение аксиом квантовой механики с аксиомами теории специальной относительности. Так, в спорах об отношениях математики и науки Алан Тьюринг обнаружил потребность решить один трудный и важный для него вопрос.

Как отдельная научная дисциплина математика была признана лишь в конце девятнадцатого века. До тех пор математика представляла область отношений между числами и количеством веществ, представленных в материальном мире, хотя ошибочность такого суждения стало известно с появлением такого понятия как «отрицательные числа». Однако в девятнадцатом веке во многих отраслях науки начали появляться тенденции по применению абстрактного подхода, и математические символы постепенно стали терять непосредственную связь с физическими объектами.

В школьной алгебре – в сущности, алгебре восемнадцатого века – буквы обычно использовались для обозначения численных величин. Правила сложения и умножения применялись с тем допущением, что они действительно несли в себе числовое значение, но на самом деле оно было необязательным, а порой и неуместным.

Суть такого абстрактного подхода заключалась в освобождении алгебры, а значит, и всей математики, из общепринятой сферы вычислений и систем мер. В современной математике символы могут использоваться применительно к любым правилам, а их значение, если оно задано, может выходить за рамки численных величин. Квантовая механика послужила прекрасным примером того, как освобождение от условностей и развитие такой научной дисциплины, как математика в работе, представляющей собственный интерес, может принести значительные результаты в физике. Этот пример также указал на необходимость создать теорию не чисел и величин, а «состояний», как в случае с понятием «гильбертова пространства». По той же причине квантовые физики принялись разрабатывать новую теорию в области чистой математики, а именно абстрактную теорию групп. Сама идея создания абстрактной теории групп возникла при попытке математиков записать «операции» в символьном виде, рассматривая полученный результат, как чистую абстракцию. В результате такого абстрактного подхода ученым удалось свести алгебраические операции к общим законам, объединить их и провести новые аналогии. Такой шаг в науке можно было расценивать, как конструктивный и созидательный, поскольку, изменив правила таких абстрактных систем, наука открыла для себя новые разделы алгебры с непредвиденными областями применения.

С другой стороны, тенденция к применению абстрактного метода создала что-то вроде кризиса в области чистой математики. Если она теперь представлялась лишь игрой в символы, в которой игроки следуют произвольным правилам, что же стало с чувством абсолютной истины? В марте 1933 года Алан приобрел «Введение в математическую философию» Бертрана Рассела, в которой ученый попытался ответить на главный вопрос.

Сначала кризис возник в исследованиях в области геометрии. В восемнадцатом веке могло казаться, что геометрия – область науки, представляющая собой свод истин об устройстве мира, и аксиомы Евклида выразили их самую суть. Но уже в девятнадцатом веке появились исследования геометрических систем, которые не вписывались в геометрию Евклида. Также сомнению подверглось убеждение, что геометрия Вселенной является евклидовой. И в рамках отделения математики от естественных наук появилась необходимость задать вопрос, представляет ли евклидова геометрия в абстрактном представлении полное и законченное целое.

Оставалось неясным, действительно ли евклидовы аксиомы описывали полную теорию геометрии. Могло ли случиться так, что некоторые дополнительные предположения были хитрым образом представлены в виде доказательств из-за интуитивных и не выраженных явно идей о точках и прямых. С точки зрения современной науки, появилась необходимость абстрагировать логические связи между точками и прямыми, чтобы выразить их в рамках чисто символических правил, забыть об их «значении» с точки зрения физического пространства и тем самым показать, что в результате эта игра абстракциями была целесообразна сама по себе. Как однажды находясь под влиянием абстрактной точки зрения Виннера на геометрические объекты, Гильберт глубокомысленно заметил своим спутникам: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках».

В 1899 году Гильберту удалось обнаружить систему аксиом, из которой бы могли быть выведены все теоремы евклидовой геометрии. Тем не менее, доказательство существования такой системы аксиом требовало допущения, что теория «вещественных чисел» была удовлетворительной. Еще в древние времена греческие математики использовали «вещественные числа» для измерения бесконечно делимой длины отрезка. Но, с точки зрения Гильберта, этого было недостаточно.

К счастью, вещественные числа можно было описывать существенно различными способами. Уже к началу девятнадцатого века было хорошо известно, что «вещественные числа» можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, например, число π можно записать в виде 3.14159265358979.… Более точное представление получила идея, что «вещественное число» может быть представлено настолько точно, насколько требуется, в виде десятичного числа – бесконечной последовательности целых чисел. И только в 1872 году немецкий математик Дедекинд смог изобрести конструктивный подход к определению «вещественного числа», при котором их строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Таким образом, исследование Дедекинда объединило понятия числа и длины, а также перенаправило вопросы Гильберта из области геометрии в область целых чисел или «арифметики», в ее строгом математическом смысле. Как выразился сам Гильберт, вся его работа заключалась в том, чтобы «свести все исследования к оставленной без ответа проблеме: противоречивы ли аксиомы арифметики».

На этом этапе разные ученые-математики стали применять различные подходы. Среди них существовала точка зрения, что изучение аксиом арифметики является само по себе абсурдным занятием, ведь в математике нет ничего более примитивного, чем целые числа. С другой стороны, можно было, конечно, поставить вопрос, существует ли некоторое выражение сути фундаментальных свойств целых чисел, из которой могут быть выведены остальные. В своих исследованиях Дедекинд рассматривал и этот вопрос и в 1888 году доказал, что вся арифметика берет свое начало из трех основных идей: 1 есть число; если n есть число, то и n+1 тоже есть число; принцип индукции позволяет сформулировать подобные утверждения для всех чисел. При желании эти идеи могут быть представлены, как абстрактные аксиомы в духе «столов, стульев и пивных кружек», на которых может быть построена вся теория чисел, не ставя вопрос, какое значение несут символы «1» или «+». Год спустя, в 1889 году, итальянский математик Джузеппе Пеано представил эти аксиомы в более привычной для современной математики форме.

В 1900 году Гильберт приветствовал новый век, поставив перед миром математических наук семнадцать нерешенных проблем. Вторая из них заключалась в доказательстве последовательности «аксиом Пеано», от которого, как он показал, зависела строгость математических дисциплин. Ключевым словом было «последовательность». Так, в арифметике ранее были известны теоремы, доказательство которых требовало выполнения тысячи математических операций, к примеру, теорема Гаусса, которая объясняет, что каждое целое число может быть представлено в виде суммы четырёх квадратов. Тогда как можно быть уверенным наверняка, что не существует подобной длинной последовательности выводов, которая бы привела к противоположному результату? В чем же найти то основание для веры в подобные математические суждения о всех числах, если они не поддаются проверке? И как абстрактные правила игры Пеано, по которым символы «1» и «+» не несут в себе исходного смысла, могут гарантировать свободу математики от противоречий? Эйнштейн сомневался относительно законов движения. Гильберт сомневался даже в утверждении, что дважды два равняется четырём – или по крайней мере сказал, что на то должна быть причина.

Первая попытка ответить на этот вопрос была предпринята в работе Готлоба Фреге «Основы арифметики: логически-математическое исследование о понятии числа», опубликованной в 1884 году. В ней ученый выразил свой логистический взгляд на математику, по которому законы арифметики выводились при помощи логический связей между объектами окружающего мира, а ее последовательность подтверждалась миром реальных вещей. С точки зрения Фреге, «1» обозначало нечто конкретное, а именно предмет окружающего мира: «один стол», «один стул», «одна пивная кружка». Таким образом, утверждение «2 + 2 = 4» должно было соответствовать тому факту, что, если добавить два предмета к уже имеющимся двум предметам, в результате и в совокупности мы получим четыре предмета. Цель работы Фреге заключалась в том, чтобы рассмотреть отвлечённо такие понятия, как «любой», «предмет», «другой» и так далее, и затем на их основе построить теорию, по которой законы арифметики могли быть выведены из наиболее простых идей существования.

Однако, в этой работе Фреге опередил Бертран Рассел, который занимался изучением похожей теории. В своей теории типов ему удалось конкретизировать идеи Фреге, сформулировав понятие «класса» как логическое понятие. Суть его теории состояла в том, что некоторое множество, содержащее в себе один лишь предмет, могло быть определено тем свойством, что при извлечении этого предмета из множества, предмет будет тем же самым. Такая идея позволяла описывать исключительность с точки зрения единообразия или равенства. Но тогда и равенство могло определяться с точки зрения удовлетворения того же самого ряда утверждений. Таким образом, понятие числа и аксиомы арифметики, как оказалось, могли быть выведены из самых простых идей об объектах, утверждениях и пропозициях.