Автор книги: Хаим Шапира
Жанр: Математика, Наука и Образование
Возрастные ограничения: +16
сообщить о неприемлемом содержимом
Текущая страница: 2 (всего у книги 14 страниц) [доступный отрывок для чтения: 4 страниц]
Монах и его задача{3}3
Впервые я увидел эту задачу о восхождении монаха в книге Мартина Гарднера «Мои лучшие математические и логические головоломки» (My Best Mathematical and Logical Puzzles, 1994). Это чрезвычайно увлекательная маленькая книжка.
[Закрыть]: взгляд с обеих сторон
Однажды ранним утром, на самом восходе солнца, старый буддийский монах начал подниматься по крутому и извилистому горному склону к монастырю, стоявшему на вершине. Монах взбирался по узкой, извивающейся тропе – единственному пути в монастырь. Подъем был поистине изнурительным.
Он шел то быстрее, то медленнее, время от времени останавливаясь передохнуть, бормоча мантры, а иногда задерживаясь, чтобы немного поесть или попить воды. До монастыря на вершине он добрался в тот самый момент, когда солнце начинало садиться. Старый монах провел в монастыре несколько дней, уча молодых монахов о сострадании, о Четырех благородных истинах, о шуньяте (пустотности), об иллюзорности самосознания, о сансаре и страдании, о карме и спокойствии, о Благородном восьмеричном пути, об учении Нагарджуны и о желании избавиться от желаний.
Когда же монах закончил свои поучения, пришло время спуститься с горы и вернуться в свою деревню. Он начал спускаться в то же время, когда начинал подниматься – с появлением первых солнечных лучей, – и шел в точности по тому же пути, что и раньше. Спускался старый монах, разумеется, гораздо быстрее, чем поднимался. Когда он дошел до конца спуска, ему в голову пришло, что на тропе, несомненно, есть такая точка, которую он проходил на подъеме и на спуске в точности в одно и то же время суток.
Головоломка
Как монах пришел к этому выводу? Если вы еще не нашли ответа на этот вопрос за десять секунд размышлений, вот вам вполне очевидная подсказка:
Пусть два монаха отправляются в путь на рассвете, причем один из них поднимается от подножия горы, а второй спускается с ее вершины. В какой-то точке они неизбежно встретятся.
Математика тенниса: бесконечность – это сколько?
Версия первая
В 1953 г. английский математик Джон И. Литлвуд (1885–1977) предложил следующий парадокс, известный теперь под названием «парадокс Росса – Литлвуда».
Перед входом в огромную пустую комнату выложен бесконечный ряд теннисных мячей, пронумерованных по порядку: 1, 2, 3, 4… Близится полночь. За тридцать секунд до 0:00 в комнату вносят мячи 1 и 2 и мяч номер 1 немедленно выносят из нее. За пятнадцать секунд (четверть минуты) до 0:00 в комнату вносят мячи 3 и 4, а мяч номер 2 выносят. За одну восьмую минуты до 0:00 в комнату вносят мячи 5 и 6, а мяч номер 3 выносят – и так далее. На языке математики мы бы сказали, что за (½)n минуты до 0:00 в комнату вносят мячи 2n – 1 и 2n, а мяч номер n из нее выносят.
Спрашивается, сколько мячей будет в комнате ровно в 0:00?
Те, кто пытается ответить на этот вопрос, замечают, что возможных ответов существует два, и у обоих почти что поровну сторонников: бесконечно много или ни одного. Как такое может быть? Рассмотрим логические обоснования обоих ответов.
Бесконечно много. В конце процесса в комнате будет бесконечно много мячей, потому что на каждом из бесконечного количества этапов в ней прибавляется по одному мячу (два заносят в комнату, но один из нее выносят). Математики формулируют это утверждение так: для любого n можно точно определить момент, в который число мячей равно n + 1. Следовательно, в 0:00 в комнате окажется бесконечно много мячей.
Ни одного. В 0:00 в комнате не будет ни одного мяча, потому что для любого мяча можно точно указать момент, в который его выносят из комнаты. Мяч номер 1 выносят, когда часы показывают полминуты до полуночи, мяч номер 2 – за четверть минуты до полуночи и так далее. Говоря математическим языком, n-й мяч выносят из комнаты в точности за ½ в n-й степени минуты до полуночи.
Если бы на эту тему проводился опрос, за какой ответ проголосовали бы вы?
Здесь важно понимать – хотя согласиться с этой мыслью может быть немного трудно, – что количество моментов, остающихся до полуночи, бесконечно, потому что оставшийся промежуток всегда можно разделить на два.
Я бы сказал, что правильный ответ – «бесконечно много», и даже рискнул бы утверждать, что те, кто выбирает второй ответ, вероятно, не могут отрешиться от схемы конечных рассуждений. Их стремление узнать, сколько мячей окажется в комнате «в конце» процесса, похоже на стремление узнать, какие числа находятся «в конце» последовательности натуральных чисел, то есть «в конце» ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, 12 367, 12 368…
Все мы знаем и понимаем, что множество натуральных чисел бесконечно, и никто на свете не может сказать, какие числа находятся «в конце» их ряда, просто потому, что у этого ряда нет никакого конца.
Интересно отметить, что Блаженный Августин (354–430) полагал, что Бог видит и знает все бесконечное количество натуральных чисел и их свойства и тем самым каким-то образом превращает их в конечное множество (но это, разумеется, лишь точка зрения Блаженного Августина).
Вот две другие вариации парадокса Росса – Литлвуда.
Версия вторая
У нас снова есть бесконечный ряд теннисных мячей с номерами 1, 2, 3, 4… выложенный перед входом в огромную пустую комнату. За полминуты до полуночи в комнату вносят мячи 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 и выбрасывают из нее мяч номер 1. За четверть минуты до полуночи в комнату вносят мячи 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 и 20 и выбрасывают из нее мяч номер 2 – и так далее.
Вопрос, разумеется, остается тем же: сколько мячей будет в комнате ровно в полночь?
В этом случае на каждом этапе в комнату добавляют 10 мячей, а убирают только один, то есть в ней становится на девять мячей больше. Поскольку эта процедура повторяется бесконечное число раз, кажется совершенно ясным, что в полночь в комнате будет бесконечно много мячей (можно даже сказать, девять раз по бесконечно много!).
Головоломка
Можете ли вы сказать, какие именно мячи будут в комнате? То есть номер(а) мячей, которые останутся в комнате.
Версия третья
Перед огромной пустой комнатой по-прежнему выложен все тот же ряд теннисных мячей с номерами 1, 2, 3, 4… За полминуты до полуночи в комнату вносят мячи 1 и 2, причем мяч 2 сразу же из нее выкидывают. За четверть минуты до полуночи в комнату вносят мячи 3 и 4, причем мяч 4 сразу же из нее выкидывают. И так далее. Тот же вопрос: сколько мячей будет в комнате в полночь?
Внезапно все становится кристально ясно.
Поскольку мы выкидываем все мячи с четными номерами, в полночь в комнате будет бесконечно много мячей, и у всех у них будут нечетные номера. Так что мы знаем, какие именно мячи останутся в комнате в полночь: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…
Разумеется, количество нечетных чисел бесконечно, и все они будут в комнате. Четные числа также образуют бесконечное множество, но они окажутся снаружи.
Еще одна головоломка
Можно ли сказать, что множества нечетных чисел и четных чисел меньше, чем множество всех натуральных (то есть целых положительных) чисел?
На первый взгляд можно решить, что это утверждение должно быть справедливым. Казалось бы, логично считать, что, например, множество четных чисел должно быть в два раза меньше множества всех натуральных чисел (в которое входят числа как четные, так и нечетные).
Однако посмотрим на этот вопрос вот с какой стороны: каждому натуральному числу можно сопоставить натуральное число.
Теперь мы начинаем осознавать эту умопомрачительную концепцию: хотя в множестве четных чисел пропущено каждое второе число (по сравнению с множеством всех натуральных чисел), количество элементов обоих множеств все равно одинаково. Говорят, что это множества одинаковой мощности. В этой книге мы еще поговорим о концепции мощности множества гораздо подробнее.
А это, по сути, подводит нас к вопросу еще более глубокому: можно ли вообще сравнивать бесконечные множества чисел и спрашивать, какое из них больше? Имеют ли слова «больше» и «меньше», «крупнее» и «мельче» вообще хоть какой-нибудь смысл, когда речь идет о бесконечных величинах?
Читайте дальше!
Концепция бесконечности сложна и глубока и иногда действительно кажется невообразимой. Имеет смысл вспомнить, что говорил на эту тему Галилей:
[Это] относится к числу затруднений, происходящих вследствие того, что, рассуждая нашим ограниченным разумом о бесконечном, мы приписываем последнему свойства, известные нам по вещам конечным и ограниченным. Между тем это неправильно, так как такие свойства, как большая или меньшая величина и равенство, неприменимы к бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой или равна ей[4]4
«Две новые науки». День первый.
[Закрыть].
Несмотря на всю симпатию и все уважение, которые я питаю к Галилео Галилею, я придерживаюсь более оптимистических взглядов. В оставшейся части этой книги мы будем довольно плотно иметь дело с бесконечностью, хотя и останемся, увы, существами до боли конечными. Как сказал Паскаль:
А теперь еще разок
Если вы по-прежнему не уверены в том, что (во всех этих версиях) в полночь в комнате будет бесконечно много мячей, мне остается только пустить в дело тяжелую артиллерию и предложить вам следующую, последнюю версию этого парадокса: предположим, что мячи не пронумерованы; все они – самые обычные белые теннисные мячики.
Наличие или отсутствие нумерации не должно никак повлиять на количество мячей, оказавшихся в комнате к полуночи.
Теперь все должно быть кристально ясно. Если итоговое число мячей на каждом шаге увеличивается, а количество таких шагов до 0:00 бесконечно, то в полночь должно получиться бесконечное число мячей.
Теперь мы можем ответить и на вопрос о том, какие именно мячи будут в комнате.
В ней будет бесконечно много… белых мячей!{4}4
Многие математики с этим не согласятся. Они скажут, что мы говорим здесь о пределах сходимости и все зависит от того, с каким типом сходимости мы имеем дело. Читателям, не принадлежащим к числу математиков, может быть полезно найти в «Википедии» статью о концепции Supertask [ «суперзадачи» – соответствующей статьи на русском языке в «Википедии» пока что нет. – Примеч. перев.]: это задача, требующая выполнения бесконечного числа операций за конечный временной промежуток. Мы еще встретимся с этой концепцией позднее, когда познакомимся с Зеноном, Ахиллесом и черепахой.
[Закрыть]
Последняя версия принципиально отличается от всех предыдущих тем, что в ней нет правила, определяющего, какие именно мячи выбрасываются из комнаты. Когда у мячей есть номера, это дает нам возможность предлагать правила. Но теперь все мячи одинаковы, и мы вынуждены выбирать, какие из них выбросить, случайным образом.
Первое апреля, или Логика в доме старшего брата
Знаменитый логик, фокусник и математик Рэймонд Смаллиан (1919–2017) (он, к слову сказать, был еще и концертным пианистом: его исполнение Баха можно послушать на YouTube) рассказывал, как он впервые столкнулся с концепцией логики. Это случилось однажды 1 апреля, когда Рэймонд был еще маленьким мальчиком. Накануне вечером старший брат будущего логика пообещал, что разыграет его (как обычно и делают первого апреля), и заверил, что Рэймонд не сумеет избежать розыгрыша, как бы он ни пытался.
Рэймонд воспринял эту угрозу очень серьезно и решил, что не доставит брату такого удовольствия и не позволит себя разыграть. Подумав немного, он решил, что лучшим способом уберечься от первоапрельского розыгрыша будет засесть в своей комнате и не выходить из нее весь день.
Умно́, не правда ли?
Рэймонд пошел в свою комнату, закрыл дверь и сидел там, изнывая от скуки, час за часом… до самой полуночи. Потом он гордо вышел из комнаты и торжествующе объявил брату, что его план провалился. Брат ответил: «А вот и нет! Я тебя разыграл! Ты думал, что я тебя разыграю, а я тебя так и не разыграл, значит, я тебя разыграл! Ха-ха-ха!»
До самой смерти Рэймонд Смаллиан не был уверен, что же все-таки произошло: удалось или не удалось брату его разыграть. А вы как думаете?
Шоколад и яд
Эта весьма простая игра больше всего известна под названием Chomp[6]6
Звукоподражательное слово, передающее чавканье. Дело в том, что в эту игру можно играть на разделенной на дольки плитке шоколада: игрок, делающий очередной ход, отламывает и съедает те «клетки», которые он занимает по правилам игры. В русском варианте (Гарднер М. Математические новеллы / Пер. с англ. Ю. А. Данилова. М.: Мир, 1974) игра называется «Щелк!».
[Закрыть]. Вариант этой игры на плитке шоколада изобрел ныне покойный американский математик Дэвид Гейл, а название Chomp придумал Мартин Гарднер. Играют в нее на разграфленной на клетки доске по следующим правилам.
Игрок, делающий первый ход, помечает одну из клеток крестиком.
После этого все клетки, расположенные выше и правее помеченной, также помечаются крестиками (и выходят из игры). Ниже исходный крестик выделен жирным шрифтом:
Теперь второй игрок должен пометить любую из оставшихся пустыми клеток ноликом. После этого все пустые клетки, расположенные правее и выше помеченной, также помечаются ноликами (исходный нолик выделен жирным шрифтом):
Затем первый игрок ставит следующий крестик, второй игрок ставит следующий нолик, и так продолжается до тех пор, пока один из них не будет вынужден съесть отравленную дольку и умереть (разумеется, метафорически).
Осторожно: эта игра затягивает!
Можете попробовать поиграть в нее на доске размером 7 × 4 (7 строк и 4 столбца или наоборот).
Если в эту игру играют на доске с равным количеством строк и столбцов, существует стратегия, при помощи которой первый игрок всегда побеждает. Можете ли вы ее найти? Подумайте минуты три.
Решение
Первый игрок должен выбрать клетку, расположенную по диагонали над ядом.
После этого все ответные ходы первого игрока должны быть симметричны ходам второго:
* Первый ход соперника
** Ответный ход первого игрока
Теперь должно быть ясно, как выиграть эту партию.
Ситуация становится гораздо более сложной, когда игра идет на доске, количества строк и столбцов на которой не равны; однако и в этом случае можно доказать, что для начинающего партию игрока существует выигрышная стратегия. К сожалению, доказательство не уточняет, в чем именно эта стратегия заключается. Математики называют такие доказательства «неконструктивными доказательствами существования».
И наконец, выполним упражнение.
Найдите выигрышную стратегию для первого игрока в игре на прямоугольной доске размером 2 × N (2 строки, N столбцов).
Подсказка: Чтобы получить симметричную позицию, как на квадратной доске, нужно прийти к положению, в котором незанятой останется только клетка с ядом или еще две клетки – одна над ядом и одна справа от него.
А теперь, когда вы (я надеюсь) решили эту задачу, что, по-вашему, произойдет, если на доске будут две строки и бесконечное количество столбцов? Кто выиграет теперь? Бесконечность – злостный нарушитель правил!
1
Чудесный мир чисел: Пифагор
Человек и легенда
Я впервые услышал о Пифагоре, когда учился в 4 классе и записался в математический кружок – на внешкольные занятия, предназначенные для тех странных детей, которые любят проводить свое свободное время, изучая необычные геометрические фигуры и завязывая отношения с числами, в которых скрываются загадочные секреты. Мне нравилось даже произносить само это имя: Пи-фа-гор. Мне сразу же показалось, что человек с таким необычайно звучащим именем и сам должен быть личностью необыкновенной. И я не ошибся. Многие считают Пифагора (ок. 570 – ок. 495 г. до н. э.) одним из самых интересных философов досократовской эпохи. Еще «отец истории» Геродот (ок. 485 – ок. 425 г. до н. э.) называл Пифагора одним из величайших философов Древней Греции. Даже Гераклит (ок. 535 – ок. 475 г. до н. э.), философ чрезвычайно спесивый, сетовавший на глупость всего человечества (за исключением, разумеется, самого себя), признавал, что Пифагор свое дело знает.
Найти какие-либо достоверные факты о жизни Пифагора нелегко, главным образом потому, что источники, рассказывающие о нем, написаны по большей части уже после его смерти. Сам Пифагор, по-видимому, писал мало – если вообще что-то писал. Однако Диоген Лаэртский{5}5
По иронии судьбы о жизни самого Диогена Лаэртского тоже почти ничего не известно; мы знаем только, что великий биограф жил «когда-то в третьем веке».
[Закрыть], автор книги «О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов» (сборника биографий всех великих греков), называет три работы, написанные Пифагором: «О воспитании», «О государстве» и «О природе». Однако так считает практически он один: другие историки в большинстве своем утверждают, что эти книги написаны не Пифагором.
Кстати говоря, многие великие люди так никогда и не удосужились приложить перо к пергаменту: взять хотя бы Сократа, Будду и Иисуса. Жаль только, что никто не сделал для Пифагора то же, что Платон сделал для Сократа, записав его диалоги.
Из всех биографий Пифагора я больше всего люблю две. Одну написал философ-неоплатоник и математик Порфирий (ок. 234 – ок. 305), а вторую – Диоген Лаэртский. Биографии эти лихорадочно хаотичны, изумительно неточны и переполнены противоречиями, что делает их в высшей степени интересными и оставляет огромный простор воображению.
О Пифагоре существует множество легенд. Кое-кто верил, что он сын бога Аполлона. Рассказывали, что его видели в одно и то же время в четырех разных местах. Отметим, однако, что у Диогена в конце жизнеописания Пифагора есть сенсационное заявление, что на самом деле людей по имени Пифагор было четверо[7]7
А сразу после этого Пифагор добавляет: «Говорят, что был и еще один Пифагор, ваятель …; и другой, скверный ритор; и третий, врач …; и четвертый, сочинитель “Истории дорян”…» Итого получается восемь.
[Закрыть]. В таком случае одновременное наблюдение четырех «Пифагоров» в четырех разных местах не кажется невероятным. Некоторые клялись, что Пифагор был двух с половиной метров ростом. Другие утверждали, что Пифагор был превосходным кулачным бойцом, ни разу не проигравшим поединка, а отдыхая между боями, он любил играть на лире, распевая стихи из поэм Гомера и Гесиода. Были даже такие, кто заявлял, что пение Пифагора исцеляет недуги. Интересно отметить, что и Порфирий, и Диоген рассказывают одну и ту же историю: якобы однажды, когда философ прогуливался вдоль реки, река приветствовала его словами: «Здравствуй, Пифагор…»
Отметим также и «скромность» Пифагора:
По словам Диогена Лаэртского (если мы ему верим), сам Пифагор никогда не упускал возможности еще более сгустить ту необычайную загадочность, которая окружала его образ. Например, он любил рассказывать о своих «прошлых жизнях», с гордостью демонстрируя, что помнит их до мельчайших подробностей. Так, он вспоминал, что был великим воином Евфорбом и участвовал в Троянской войне. Говорил он и о нескольких менее зрелищных предыдущих жизнях – например, он был успешным купцом, служил при царском дворе, был животным и даже листом на дереве. Откуда Пифагор все это знал? Однажды он повстречал Гермеса, посланца и глашатая греческих богов, и произвел на него, по словам самого Пифагора, такое впечатление, что тот предложил нашему герою любой дар, какого он только пожелает, кроме дара бессмертия. Пифагор решил попросить способность помнить все свои прошлые перерождения. Просите – и дастся вам![8]8
Мф. 7: 7.
[Закрыть]
Философ-монотеист и поэт Ксенофан (ок. 570 – ок. 475 г. до н. э.) рассказывает, что однажды Пифагор увидел, как некто бьет собаку, и потребовал немедленно прекратить избиение – потому что в собаку вселилась душа его недавно умершего друга. Я надеюсь, что тот человек послушал его, потому что в рассказах о том, что Пифагор был выдающимся кулачным бойцом, возможно, и была доля правды.
Пифагор любил розыгрыши. Однажды он исчез довольно надолго. Потом снова появился в городе исхудавшим до предела – кожа да кости. Он объяснял всем, что был в стране мертвых, и не только рассказывал истории о том, что он «видел» среди усопших, но и рассуждал о событиях, случившихся с еще живыми за время его отсутствия. Как ему это удалось? Очень просто. Все это время он прятался в доме своей матери, придерживаясь диеты, которая подошла бы современной топ-модели. Мать держала его в курсе текущих событий, а что до происшествий в мире мертвых – тут он, разумеется, мог рассказывать все, что взбредет ему в голову. Кто бы мог проверить его сведения?
Несмотря на все вышеизложенное, у нас есть несколько бесспорных фактов о Пифагоре. Вот они.
Пифагор родился приблизительно в 570 г. до н. э. на острове Самос. Когда ему было сорок лет, Поликрат стал «тираном Самоса»[9]9
Стоит отметить, что слово «тиран» употреблено здесь не в современном, а в исходном смысле: так назывался любой (не только жестокий и беззаконный) единоличный правитель, захвативший, а не унаследовавший, власть. Чтобы подчеркнуть это различие, в русских переводах классических текстов иногда используется написание «тиранн».
[Закрыть], и Пифагор бежал с острова, чтобы не оставаться под его властью. Он обосновался в городе Кротоне на юге Италии и основал там Пифагорейский союз. В нем было три отделения – политическое, математическое и теистическое. Утверждается, что в момент наивысшего расцвета в союзе состояло около 300 членов.
В некоторых из более поздних биографий Пифагора подчеркивается то огромное воздействие, которое он оказал на жизнь в Кротоне. Рассказывают, что Пифагор убедил жителей Кротона отказаться от мздоимства. Он превратил их в совершенных аскетов, преданных братской любви и стремившихся к знанию, справедливости и смыслу. Пифагор был прославленным оратором – несмотря на то что часто говорил из-за занавеса, так, чтобы никто не видел его лица. Этот изящный прием, несомненно, еще более усиливал окружавшую его таинственность: надо бы и мне использовать его, когда я разговариваю со своими студентами.
Прежде чем обосноваться в Кротоне, Пифагор совершил несколько путешествий в поисках фундаментальных знаний. Он побывал в Египте, Финикии, Аравии, Иудее и Вавилоне (который входил тогда в состав Персидской империи). Египтяне научили его геометрии, халдеи – астрономии, а маги – то есть зороастрийцы – преподали ему принципы религии и практические правила добродетельной жизни. Возможно, он даже добрался до Индии (в то время путешествия в Индию были не так популярны, как сейчас). Однако не вполне ясно, с какими именно замечательными людьми он там встретился и какие именно жемчужины мудрости оттуда вынес.
Существует множество версий относительно смерти Пифагора. Как вы, возможно, догадываетесь, они по большей части весьма драматичны. Я же предлагаю вам самую прозаическую из этих версий: Пифагор умер от естественных причин в возрасте 90 лет.
Правообладателям!
Данное произведение размещено по согласованию с ООО "ЛитРес" (20% исходного текста). Если размещение книги нарушает чьи-либо права, то сообщите об этом.Читателям!
Оплатили, но не знаете что делать дальше?
