Текст книги "Изучаем науку с помощью бумаги"

ФИГУРЫ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

Г, Т, П, Н… Возможно, для вас это всего лишь буквы алфавита, но для инженера они являются основными фигурами в строительстве. Буквы отображают форму балок, наблюдаемую, если смотреть на них с торца. Каждая из них прочнее, чем просто плоский лист металла, и каждой предназначается в здании своя работа. Инженер должен уметь правильно выбирать форму балок в зависимости от той задачи, которая перед ним стоит. Балка должна быть пригодна для данного конкретного случая и быть достаточно прочна, чтобы поддерживать свою часть здания.

Согните четыре листа писчей бумаги, как показано на иллюстрации. Аккуратно сложив их, вы получите модели П–, T–, Н–и Г–балок. Это поможет вам понять, почему они названы буквами алфавита. Всем будет интересно, если вы расскажете об этом в классе.

Какая из фигур наиболее прочна? Чтобы ответить на этот вопрос, проведите для каждой из них тест на разрушение.

Рис. 33. Моделируем балки

Требуется: четыре листа писчей бумаги; линейка; карандаш.

Зачем столько разных форм? Одни из них лучше подходят для узких мест, зато другие прочнее. Особая форма некоторых балок выбрана из тех соображений, чтобы держать кирпичи или цемент, или для крепления деревянных балок. Если, например, балка должна поддерживать пол или потолок, ее форма будет заметно отличаться от балки в стене. Почему – вы узнаете из следующей главы.

СИЛЫ ПРОДОЛЬНЫЕ… СИЛЫ ПОПЕРЕЧНЫЕ

Не удивляйтесь, если вы в этом разделе настолько погрузились в изучение, что исследуете те же самые проблемы, которые решает и настоящий инженер: как ведут себя материалы, когда подвергаются эффекту сжатия. Вы открыли, что бумага не может быть сильно сжата из–за того, что она легко сминается.

Однако не все балки в зданиях работают на сжатие. Не возникает сомнений по поводу балок в стенах зданий, но вот как насчет балок в полах или потолках? Балки, лежащие поперек, прогибаются вниз по всей своей длине. Сила, противодействующая прогибанию, называется силой упругости. Каким образом бумажные балки, которые вы уже настолько исследовали, могут сопротивляться прогибанию?

Чтобы понять разницу, вот еще одна загадка, решение которой вам будет интересно найти.

Поставьте два пластиковых стаканчика на стол на расстоянии примерно 15 см друг от друга. Положите на них лист бумаги. Поставьте на него посередине еще один стаканчик. Выдержит ли его бумажный мост?

Бумага слишком гибка, и она не сможет удержать веса стаканчика. На самом деле она, скорее всего, прогнется уже под собственным весом. Вес же стаканчика намного больше, так что листок провалится.

Ваша задача – сделать из одного листа бумаги мостик, который сможет удерживать вес стаканчика. Разумеется, нельзя использовать ничего, кроме стаканчиков и бумаги. Как бы вам сделать это?

Возможно, вы уже догадались. Эта загадка долгие годы оставалась необъяснимым фокусом. Давным–давно люди обнаружили, что из листа бумаги можно сделать мост, который выдержит небольшой стаканчик, если этот лист несколько раз сложить (гармошкой). Если внимательно рассмотрите такой мостик, вы поймете, почему он стал прочнее.

Рис. 34. Бумажный мост

Требуется: лист писчей бумаги; три пластиковых стаканчика.

Существует множество других форм, которые позволяют сделать бумажный мостик между двумя бумажными стаканчиками. Вы можете складывать бумагу в виде треугольника, квадрата или цилиндра. Каждый из этих мостиков будет удерживать посередине некоторый вес. Естественно, одни из них смогут выдержать больший вес, чем другие, в чем вы убедитесь, проведя тест на разрушение, но, так как здесь действует поперечная сила упругости, а не продольная сила, сопротивляющаяся сжатию, вы можете получить не совсем верные результаты. А какая форма листа окажется наиболее упругой? Давайте проведем следующее исследование.

Сложите и скатайте несколько листов писчей бумаги в разные формы. Каждый лист, в свою очередь, уложите на два стаканчика. Медленно надавливайте на середину каждого листа до тех пор, пока он не сложится и не провалится. Вы поймете, что ваш палец – весьма чувствительный инструмент, и вы легко можете определить, какая из форм позволяет листу выдержать наибольшее давление. Ну что, какая из форм оказалась самой упругой и выдержала самое большое давление (или вес), прежде чем прогнулась?

Рис. 35. Проверяем гибкость с помощью пальца

Требуется: несколько листов писчей бумаги; два стакана.

Оказалась ли эта форма лучшей по силе упругости и силе сопротивления сжатию? Мудро ли поступит инженер, если выберет для стен и потолка балки разной формы?

СТРОИМ САМЫЙ ЛУЧШИЙ МОСТ

Одна из наибольших проблем человечества – преодоление водных преград. Мы можем использовать лодку или просто переплыть на другой берег, но, когда нам придется перевозить грузы или пересекать воду много раз туда и обратно, проще всего построить над ней дорогу. Такая дорога называется мостом. Мосты проектируются инженерами, и постройка бумажного моста будет достойной задачей для любого начинающего инженера, а также отличным завершением этого раздела.

Мы уже знаем, что плоский лист бумаги оказался слишком гибким для того, чтобы служить мостиком между двумя стаканчиками. Плоский стальной мост, перекинутый через реку, конечно же не выдержит веса большого количества автомобилей, пока инженер не сделает его достаточно прочным. Как он может это сделать? Инженеры изобрели для этого множество способов… и множество разновидностей мостов.

Даже используя только листы бумаги, вы можете сделать модели разных типов мостов. Помните, что всякий раз, когда строите мост, вы должны преодолеть прогибающую силу или действующую вниз нагрузку. Каким образом это достигается в разных проектах?

Что такое балка? Это конструкция, которая может жестко держаться без посторонней помощи, а это, похоже, именно то, что нам требуется для хорошего моста. Чтобы сделать балочный мост, вырежьте полосу бумаги длиной 28 см и шириной 10 см. Отмерьте по 2,5 см от каждой из длинных сторон и отогните параллельно кромке кверху (см. рисунок). Поместите концы этой балки на пластиковые стаканчики.

А теперь начинайте класть монетки на середину моста, пока он не сломается. Запомните, сколько монет он выдержал. Можете ли вы найти балочный мост в вашем городе? Во многих железнодорожных мостах используется именно такая форма.

Рис. 36. Модель балочного моста

Требуется: лист писчей бумаги; два стакана; несколько монет.

Внимательно рассмотрите иллюстрацию, чтобы сделать арочный мостик. Вырежьте две полоски бумаги шириной 7,5 см каждая. Одна из них должна быть такой длины, чтобы ее можно было положить поверх двух стаканчиков. Другую нужно вырезать так, чтобы арка из нее, вставленная между двумя стаканами, по высоте была бы точно вровень с ними. Вам придется опытным путем определить точные размеры, поскольку стаканчики бывают разные и расстояние между ними также подбирается по собственному усмотрению.

Рис. 37. Модель арочного моста

Требуется: два листа писчей бумаги; два стакана; несколько монет.

Точно так же кладите монетки на мост. Ну как, арочный мост выдерживает больший или меньший вес по сравнению с балочным? Видите ли вы, как арочный мост одновременно сопротивляется прогибающим и сжимающим силам? Если бы вы строили мост из стали, и достаточно большой, чтобы перекинуть его через огромную реку, какой тип моста оказался бы более дорогим?

Иллюстрация поможет вам сконструировать еще один тип моста. Бумага должна быть вырезана так, чтобы получилась дорога по мосту, и еще один лист должен быть обрезан по высоте стаканчиков. Сверните этот лист в цилиндр и скрепите его клейкой лентой. Эта «свая» должна быть помещена под середину «проезжей части». Снова положите монеты на мост. Какую нагрузку он выдержит? Выдержит ли он больший вес, если монеты поместить между сваей и стаканчиками? Это наиболее часто встречающаяся конструкция моста, и вы, скорее всего, видели такой.

Рис. 38. Модель моста на сваях

Требуется: несколько листов писчей бумаги; клейкая лента; два стакана; несколько монет.

Существует много других форм мостов. Наверняка вам захочется самим исследовать их, сделав бумажные модели. Они не включены в этот раздел, поскольку вам понадобятся и другие материалы – нитки, соломинки и клей, – и их конструкции немного сложнее. Каждая из них придумана с определенной целью: быть прочнее, или легче в постройке, или дешевле, чем другие.

Рис. 39. Слева – балочный мост, сквозной арочный мост, арочный мост; справа – подвесной мост, консольный мост.

Рис. 40. Слева – арка, консоль; справа – балка, подвес.

И последнее замечание по поводу мостов: практически двух абсолютно одинаковых мостов не существует, и все же инженеры утверждают, что есть только четыре различных вида мостов, построенных человеком. Это арочный, балочный, консольный и подвесной мосты.

Глава 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ С БУМАГОЙ

Фокусники придумывают самые разные трюки. Одни используют кроликов или голубей. Другие – шелковые платки или колоду карт. А если вам интересна наука и нравится разыгрывать друзей, вы окажетесь на высоте, выбрав предметом своих фокусов листок бумаги. С обыкновенной бумагой, карандашом и небольшим знанием математики вы легко сумеете изумить ваших друзей и, что лучше всего, удивитесь сами.

В арсенале фокусников множество способов. Некоторые вы узнаете из этой главы. Вы сможете поразить ваших товарищей фокусами «Двое рыбаков и пять рыбок» и «Десять писем в девяти конвертах», обмануть их зрение «Чудесной линией», запутать обыкновенной арифметикой в «Возрасте вашего друга», ну а если проделаете фокусы «Удваивающаяся сложность» или «Почему я не могу идти в школу», то озадачите даже самих себя.

И что самое чудесное, но чего нет в большинстве настоящих фокусов, математическая магия кое–чему научит вас. Вместо того чтобы просто остаться с открытым от изумления ртом, как после обыкновенного выступления фокусника, вы в итоге неожиданно обнаружите, что знаете уже больше, чем знали несколько часов назад, приступая к экспериментам.

КАК РАЗОСЛАТЬ ДЕСЯТЬ ПИСЕМ В ДЕВЯТИ КОНВЕРТАХ

Если вам нравятся загадки, имеющие математическое объяснение, вот вам одна, кажущаяся неразрешимой, ответ на которую вроде бы есть, хотя вы и думаете, что это невозможно! Сможете ли вы понять, в чем все же дело?

«Мальчику нужно было послать десять писем. У него было только девять конвертов, а так как каждое письмо должно было отправиться по собственному адресу, похоже, что ему не хватает одного конверта. Но вместо того, чтобы искать десятый, он разложил десять писем в девять конвертов, по одному в каждый», – говорите вы, начиная показывать фокус.

Рис. 41. Попробуйте сделать как написано

Требуется: девять небольших листков бумаги.

Каждый листок – «письмо», которое нужно отправить. Вы будете использовать вымышленные конверты. Сначала возьмите все листки в одну руку. Громко рассказывая следующую историю, проделывайте то, что написано в круглых скобках:

«Сначала он положил одно письмо в первый конверт. (Кладете один листок на стол.)

Затем он положил второе письмо к первому, в первый конверт. (Кладете другой листок на первый.)

Он положил третье письмо во второй конверт. (Кладете следующий листок на стол рядом с первыми двумя.)

Четвертое письмо пошло в третий конверт. (Кладете следующий листок на стол рядом с предыдущим.)

Пятое письмо оказалось в четвертом конверте. (Кладете следующий листок.)

Шестое письмо пошло в пятый конверт. (Кладете следующий листок.)

Седьмое письмо – в шестой конверт. (Кладете на стол следующий листок.)

Восьмое – в седьмой конверт. (Очередной листок на стол.)

И девятое письмо пошло в восьмой конверт. (Кладете последний листок на стол.) И поскольку у нас здесь девять писем и восемь конвертов, мы можем вынуть десятое письмо из первого конверта (поднимаете один листок из первой стопки) и положить это десятое письмо в девятый конверт! (Кладете этот листок в конце ряда.)»

Как же это получилось? Вы можете проделать этот фокус несколько раз, чтобы убедиться в том, что так действительно и есть!

Эту тайну я предоставлю разгадывать вам самим. Если вы пересчитаете письма, то обнаружите, что в действительности их только девять, то есть ровно столько, сколько у вас и было конвертов. Однако в конце вы сказали, что десятое письмо оказалось в девятом конверте. Вот ключ к разгадке, почему этот способ кажется работающим. Математическая ли это головоломка или просто словесная? Даже если вы догадались, в чем дело, вы обнаружите, что подобной историей можно довольно легко заморочить головы своим друзьям.

ЧУДЕСНАЯ ЛИНИЯ

Представьте, что кто–нибудь начертил на листе бумаги линию длиной 10 см и вдруг на ваших глазах она исчезла… Скажете, волшебный фокус?

На самом деле есть очень простой способ проделать такой трюк, причем вам в общем–то необязательно быть фокусником, и, когда вы попробуете, вы сами удивитесь. Вот что нужно сделать.

Вам понадобится лист бумаги 12,5x20 см. Начертите тонкие линии, отступив по 1 см от каждой из длинных его сторон. Разметьте эти две линии с интервалом по 2,5 см. Проведите между отметками жирные прямые линии. (Рис. А поможет вам сделать это правильно.)

Теперь проведите одну линию от начала первой жирной линии к концу последней (рис. Б). Продолжите ее с обеих сторон до кромок листа. Разрежьте лист ножницами по этой линии.

Пересчитайте линии, сложив два кусочка, как было до разреза. Вы обнаружите, что их семь. А теперь сдвиньте нижнюю часть вниз по диагонали. Выровняйте жирные линии, как показано на рис. В. Снова пересчитайте линии. Вы найдете только шесть! Куда же делась седьмая?

Рис. 42. Семь и шесть

Требуется: лист бумаги 12,5x20 см тридцатисантиметровая линейка; карандаш; ножницы.

Когда вы сделаете это в первый раз, вас наверняка поразит внезапное исчезновение седьмой линии. Но не забывайте, что это не волшебный, а математический фокус. Сумеете понять, почему так получается, до того, как будете читать дальше?

Вот пример, который поможет вам разобраться в этом: представьте, что у вас есть семь ковшей, наполовину наполненных водой. Ваш друг пересчитает их и согласится с вами, что у вас действительно семь ковшей с водой. Затем он отвернется, а вы возьмете один из ковшей и будете разливать воду из него в остальные шесть, пока она не закончится. После этого каждый из оставшихся ковшей будет содержать лишь чуть–чуть (на ¹/₆) больше воды, чем в нем было до этого. Когда ваш друг обернется, он, скорее всего, этого не заметит, но зато он обязательно заметит, что седьмой ковш пуст. И попытается это объяснить, сказав, что вода в нем исчезла.

Это примерно то же самое, что случилось с вашей бумагой. Когда вы сдвинули бумагу, каждая из шести оставшихся линий стала немного длиннее, чем она была до этого. Если вы измерите линейкой длину исходных линий, то обнаружите, что они длиной по 10 см. После сдвига каждая линия окажется примерно по 11,6 см. Так что лишняя линия не растворилась, она просто оказалась разрезанной на маленькие отрезки, распределенные между оставшимися шестью.

Человеческий глаз весьма слаб при оценке длины. Это одна из причин того, почему линейки крайне необходимы нам при измерении различных предметов. Из–за этого вы, возможно, не заметили, что каждая линия стала немного длиннее, и поэтому вам показалось, что одна из них просто исчезла.

В этом фокусе вы можете не только заставить линию исчезнуть, но и вызвать появление «лишней» линии. Используя ту же самую бумагу, сначала верните линии в их первоначальное положение, после чего сдвигайте нижнюю часть вправо до тех пор, пока линии не совпадут. После пересчитывания вы обнаружите, что их стало восемь, хотя линии справа и слева окажутся длиннее, чем посередине. Откуда взялась лишняя линия? Она образовалась, «украв» понемногу длину у каждой из семи исходных линий. Точно так же, как если бы вы отлили воду поровну из семи ковшей в восьмой!

Если появление восьмой линии удивило вас, продолжайте сдвигать нижнюю часть вправо, и вы получите девять, десять и даже двенадцать линий; но затем вы увидите, что средние линии станут настолько короткими, что разгадка фокуса будет очевидна.

УДВАИВАЮЩАЯСЯ СЛОЖНОСТЬ

Жил–был человек, который зарабатывал себе на карманные расходы тем, что косил лужайки. А еще, как вы увидите, он неплохо разбирался в арифметике. Он согласился все лето подстригать соседскую лужайку на таком условии: «Я подстригу вашу лужайку в первый раз за 1 копейку. За второй раз вы должны будете заплатить мне вдвое больше (2 копейки), затем снова вдвое больше (4 копейки) за третий раз и так далее, за каждую следующую стрижку плата будет удваиваться». – «Хорошо», – обрадовался сосед, подумав, что у него теперь будет аккуратная лужайка почти даром.

В течение лета этот человек подстриг лужайку двадцать раз. «Сколько я должен тебе?» – спросил сосед, когда наступила осень. От услышанного ответа у него перехватило дыхание.

«Вы должны мне 7 тысяч 290 рублей и 88 копеек», – ответил работник и был абсолютно прав! Это выдуманная история; однако если вы, как и этот человек, неплохо разбираетесь в математике, то легко поймете, почему плата оказалась столь высока. Сомневаетесь? Вот простое объяснение, которое поможет вам, причем это не будет стоить вам ни копейки.

Рис. 43. Вам не разрезать эту бумагу пополам

Требуется: лист бумаги (любого размера и толщины); ножницы.

Разрежьте лист бумаги пополам. Положите одну половинку на другую и разрежьте их еще раз пополам. Снова сложите их и разрежьте пополам, как и раньше. Так и продолжайте, каждый раз складывая и разрезая все половинки. Сколько раз вам удастся проделать это? Могу поспорить, что у вас не получится больше десяти разрезов!

Почему? Мы можем назвать это «удваивающейся сложностью», но математик скажет вам, что это математическая прогрессия. Давайте посмотрим, что это означает. Каждый раз, когда вы складываете разрезанную бумагу, вы на самом деле удваиваете количество листков по сравнению с тем, что у вас было до этого. Вы начали с одного листа, разрезали его надвое, два листа превратились в четыре, четыре стали восемью и так далее. Возможно, это звучит не так внушительно; в таком случае давайте посмотрим, что получится после десяти разрезов:

0 разрезов = 1 лист бумаги

1 разрез = 2 листа бумаги

2 разреза = 4 листа бумаги

3 разреза = 8 листов бумаги

4 разреза = 16 листов бумаги

5 разрезов = 32 листа бумаги

6 разрезов = 64 листа бумаги

7 разрезов = 128 листов бумаги

8 разрезов = 256 листов бумаги

9 разрезов = 512 листов бумаги

10 разрезов = 1024 листа бумаги.

Таким образом, после десяти разрезов у вас будет 1024 листка, сложенных вместе перед одиннадцатым разрезом. Вы думаете, что у вас хватит сил, чтобы разрезать 1024 листа бумаги с одного раза? Стопка–то будет в несколько раз толще, чем вся эта книга!

А еще я поспорю с вами, что у вас не получится сложить один и тот же лист бумаги пополам более девяти раз! Теперь вы знаете почему и можете смело спорить об этом с вашим другом. Вам известно, что после девяти сгибаний бумага окажется толщиной в 512 листов – многовато, чтобы еще раз перегнуть их. А что, если он, попытавшись однажды это сделать, предложит взять лист побольше – позволите вы ему это? Сколько угодно! Не забывайте, что в то время, как он удваивает толщину, он одновременно уменьшает вдвое размер (попробуйте и убедитесь). Если он начнет сгибать лист, скажем, длиной 3 м, то после девятого сгиба он окажется шириной всего лишь около 5 см (и толщиной 512 страниц). Он не сможет согнуть такую кипу пополам! Самое лучшее в математических фокусах – это то, что вы легко можете сами попробовать проделать их и посмотреть, что получится.

«РЫБАЦКАЯ» МАТЕМАТИКА

Фокусники располагают множеством способов запутать вас, «заморочить голову», отвлечь ваше внимание, маскируя свои действия хитрыми приспособлениями. Большинство людей оказывается недостаточно внимательными наблюдателями. Вот математический фокус, подтверждающий это.

Предложите товарищу посмотреть следующий фокус. Поставьте на стол две картонные коробки и посадите его на пол так, чтобы он не мог видеть их содержимое. Положите семь бумажных шариков на стол перед коробками: два из них напротив одной коробки, а оставшиеся пять – напротив другой. А теперь начинайте рассказывать примерно такую историю:

«Жили–были два рыбака. (Берете два бумажных шарика.) Однажды утром они отправились на рыбалку, каждый на своей лодке. (Кладете по шарику в каждую коробку.) Через некоторое время один из них поймал рыбку. (Кладете один из пяти шариков в одну из коробок.) Затем рыбка попалась и второму рыбаку. (Кладете шарик в другую коробку.) И так все утро они по очереди выуживали по рыбке. (Кладете третий шарик в первую коробку, четвертый – во вторую и пятый снова в первую.)

Рис. 44. Два рыбака и пять рыбок

Требуется: две картонные коробки; семь скомканных листов бумаги (одинакового размера).

После этого один из рыбаков услышал приближающуюся моторную лодку. Он вспомнил, что оставил дома свое разрешение на лов рыбы, и испугался, что это рыболовная инспекция. Он решил выбросить рыбу. (Выкладываете один шарик из второй коробки на стол.) Тут первый рыбак спохватился, что он тоже забыл свое разрешение, и тоже решил отправить свой улов в воду. (Выкладываете на стол шарик из первой коробки.) Другой рыбак выбросил еще одну рыбку. (Возвращаете другой шарик из второй коробки на стол.) Первый рыбак сделал то же самое (кладете на стол очередной шарик из первой коробки), а второй выбросил свою последнюю рыбку («в воду» идет шарик из второй коробки). Теперь пять рыбок снова оказались в пруду.

Но только они вернули в воду весь улов, звук лодочного мотора затих, и рыбаки снова закинули свои удочки. Прошло довольно много времени, и наконец первый рыбак поймал следующую рыбку. (Бросаете шарик со стола в коробку.) Затем второй поймал одну. (Шарик со стола идет во вторую коробку.) Затем первый (кладете шарик со стола в первую коробку), потом второй (шарик во вторую коробку), потом первый (шарик в первую) и так далее, пока пять рыбок не оказались в лодках. (Говоря это, кладете оставшиеся два шарика в первую и вторую коробки.)

Вдруг моторная лодка вернулась, и это действительно оказался рыболовный инспектор. Он подплыл к лодкам и внимательно осмотрел их. Как вы думаете, что он увидел? Вовсе не по рыбаку с уловом в каждой из лодок, нет! В одной лодке он обнаружил двух рыбаков (достаете два шарика из второй коробки), а в другой, сами по себе, сидели пять рыбок (вынимаете пять шариков из первой коробки)!»

Это вовсе не волшебный трюк. Не требуется даже особой ловкости рук. Это не магия, это просто математика. Так получилось только по двум причинам: бумажные шарики, обозначавшие рыбаков и рыбок, выглядели одинаково, и у нас были две лодки с двумя рыбаками, а рыбок «плавало» нечетное количество.

Весь сюрприз в том, что в итоге два шарика очутились в одной коробке и пять – в другой, хотя казалось, что вы разделили их между коробками поровну. Давайте посмотрим, что же происходило на самом деле.

Вначале вы поместили двоих рыбаков (шарики) в две лодки (коробки), оставив пять рыбок на столе.

Одна рыбка попала в первую коробку;

следующая рыбка пошла во вторую;

третья – в первую;

четвертая – во вторую коробку;

и последняя – в первую.

А вот теперь мы и добрались до математического «волшебства» фокуса.

Когда рыбак во второй лодке–коробке услышал моторку, он выпустил первую рыбку;

следующая отправилась из первой коробки;

следующая – из второй;

очередная – из первой;

и следующая – из второй.

Теперь еще немного математической магии: шум мотора утих, и два рыбака снова начали ловить рыбу.

Первым выловил рыбку человек в первой лодке;

потом – другой;

затем первый выловил еще рыбку;

потом второй;

а потом первый рыбак поймал последнюю рыбку.

Поскольку рыбки и рыбаки выглядят одинаково, легко будет сказать, что два шарика во второй лодке – рыбаки, а пять шариков в первой – рыбки.

Вам нетрудно будет разобраться в том, что случилось, если вы на самом деле проделаете такой фокус или просто изучите рисунки; но когда вы покажете его вашему товарищу, он действительно будет сбит с толку. Он не сумеет вспомнить точно, что вы делали и в каком порядке, и воздаст честь вашей ловкости рук, которую, конечно, вам и не пришлось использовать. А если он все–таки поймет, как вы это сделали, то уже вам придется воздать должное его незаурядной наблюдательности.