Текст книги "Рациональность. Что это, почему нам ее не хватает и чем она важна"

Рациональность рациональности

Несмотря на всю старомодность такого подхода, мы должны следовать разуму – и различными неочевидными способами следуем ему. Уже ставя перед собой вопрос, почему нам стоит так поступать, мы внутренне признаем, что это так и есть. Стремление добиваться целей и воплощать мечты не противоречит рассудку; в конечном счете он для того нам и дан. Разум помогает добиваться целей, а заодно и ранжировать их по степени важности, если достичь всех сразу невозможно. Поддаться моментальному соблазну – разумный поступок для смертного существа в изменчивом мире, при условии, конечно, что будущее при этом не дисконтируется слишком резко или чересчур близоруко. Но и в этом случае наше нынешнее рациональное «я» может перехитрить будущее, менее рациональное «я», ограничив его решения, – это основа парадоксальной рациональности неведения, беспомощности, импульсивности и табу. Мораль тоже не независима от рассудка, но вытекает из него, когда эгоистичные представители социального вида беспристрастно разбираются в своих конфликтующих и порою несовместимых желаниях.

Такая рационализация на первый взгляд нерационального может вызывать беспокойство: неужели любую странность или порок можно как-нибудь хитро вывернуть, обнажив ее скрытую логику? Это неверное впечатление: порой нерациональное – это просто нерациональное. Люди могут ошибаться или обманываться по поводу фактов. Они могут упускать из виду то, какие цели для них важнее всего и как их достичь. Они могут рассуждать нелогично или, что случается чаще всего, преследовать ложную цель, например не отыскать истину, а оставить за собой последнее слово в споре. Они способны загонять себя в угол, пилить сук, на котором сидят, стрелять себе в ногу, сорить деньгами, как пьяный матрос, играть в «Слабó» до трагического конца, прятать голову в песок, назло маме морозить уши и вести себя так, словно, кроме них, в мире никого больше нет.

И в то же время впечатление, будто как ни крути, а разум в конце концов побеждает, не назовешь необоснованным. Разум так устроен: он всегда может взглянуть на себя со стороны, разобраться, правильно ли он применялся, и осмыслить свой успех или провал. Лингвист Ноам Хомский полагает, что в основе языка как такового лежит рекурсия – возможность вкладывать одну и ту же фразу в саму себя неограниченное число раз[124]124
  Chomsky 1972/2006; Pinker 1994/2007, chap. 4.


[Закрыть]. Мы можем говорить не только о своей собаке, но о собаке соседа тетки мужа подруги мамы; мы можем сказать не только, что она что-то знает, но и что он знает, что она это знает, и даже что она знает, что он знает, что она знает, – и так далее до бесконечности. Рекурсивные высказывания – не просто способ витиевато выражаться. Мы не развили бы в себе умение говорить фразами, вложенными в другие фразы, если не умели бы обдумывать мысли, вложенные в другие мысли.

Вот в чем сила разума: он способен рассуждать о себе самом. Если что-то кажется нам безумным, мы умеем искать в этом безумии последовательность. Если есть риск, что будущее «я» поступит нерационально, настоящее «я» может его перехитрить. Если рациональное рассуждение сползает в софистику или приводит к ошибке, еще более рациональное рассуждение сумеет это обнаружить. А если вы со мною не согласны – если считаете, что в мою аргументацию вкралась ошибка, – именно разум дает вам возможность не соглашаться.

Глава 3
Логика и критическое мышление

Рядового читателя этого современного типа можно узнать в разговоре по той сердечности, с какой он поддакивает невнятным, расплывчатым утверждениям. Cкажешь, что черное – это черное, и он покачает головой и вряд ли с тобой согласится; скажешь, что черное – на самом деле не такое уж и черное, и он ответит: «Так и есть». Он не колеблясь… поднимется с места в общем собрании и уверенно заявит, что иногда, при строго определенных условиях, радиусы одного и того же круга имеют тенденцию к равенству, но, с другой стороны, он хотел бы отметить, что, вероятно, наука геометрия заходит в этом вопросе чересчур далеко.

ДЖОРДЖ ЭЛИОТ[125]125
  Eliot 1883/2017, pp. 257–58.


[Закрыть]

В предыдущей главе мы задавались вопросом, почему люди, на первый взгляд, руководствуются тем, что мистер Спок называл «глупыми эмоциями». В этой мы обратим внимание на их раздражающую «нелогичность». Глава посвящена логике – не в расплывчатом смысле рациональности как таковой, но в формальном смысле выведения истинных утверждений (заключений) из других истинных утверждений (посылок). Например, из утверждений «Все женщины смертны» и «Ксантиппа – женщина», мы можем сделать вывод, что «Ксантиппа – смертная».

Дедуктивная логика – мощный инструмент, хотя ее возможности ограничены выведением заключений, которые уже содержатся в посылках (в отличие от индуктивной логики, темы главы 5, которой мы руководствуемся при переходе от частных фактов к общему знанию). Есть немало положений, с которыми никто не станет спорить (все женщины смертны, восемь в квадрате – это 64, камни падают вниз, а не вверх, убивать дурно), и поэтому перейти от них к новым, не настолько очевидным тезисам – задача, которую каждый из нас может лишь приветствовать. Такой инструмент позволяет нам открывать новые истины о мире, не вставая с уютных кресел, и разрешать споры по множеству вопросов, сталкивающих людей меж собой. Философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) воображал, что логика способна сделать реальностью эпистемологическую утопию:

Единственный способ усовершенствовать рассуждения – сделать их такими же конкретными, как рассуждения математиков, чтобы мы могли заметить ошибку с первого взгляда. И тогда, если возникнет спор, мы могли бы просто сказать: давайте, не мудрствуя лукаво, посчитаем и увидим, кто прав[126]126
  Leibniz 1679/1989.


[Закрыть].

Я думаю, вы заметили, что и три столетия спустя мы так и не научились разрешать споры словами «давайте посчитаем». В этой главе я объясню почему. Для начала, логика бывает не по зубам даже специалистам: велика опасность допустить «формальную ошибку», неверно применив правила. Кроме того, люди часто даже не пытаются играть по правилам и совершают «неформальные ошибки». Стремление выявлять такие ошибки и убеждать людей признавать их называется критическим мышлением. Наконец, самая главная причина, по которой мы не всегда можем «не мудрствуя лукаво посчитать», состоит в том, что логика, как и прочие нормативные модели рациональности, представляет собой инструмент, пригодный для достижения определенных целей при использовании определенных типов знания, а в других случаях она бессильна.

Формальная логика и формальные ошибки

Логика называется формальной, потому что имеет дело не с содержанием утверждения, но с его формой – с тем, как оно составлено из субъектов, предикатов и логических связок вроде и, или, не, все, некоторые, если и то[127]127
  Доходчивые вводные курсы логики: McCawley 1993; Priest 2017; Warburton 2007.


[Закрыть]. Обычно мы применяем законы логики к утверждениям, содержание которых нам небезразлично, например: «Президент Соединенных Штатов отстраняется от должности после импичмента и признания его виновным в измене, взяточничестве или других тяжких преступлениях и правонарушениях». Отсюда мы делаем вывод, что для того, чтобы отстранить президента, необходимо, чтобы он был не только подвергнут импичменту, но и признан виновным, при этом не обязательно и за измену, и за взяточничество сразу – достаточно чего-то одного. Но законы логики универсальны: они работают независимо от того, насколько разумно, туманно или даже абсурдно содержание высказывания. Именно поэтому, а не только в качестве причуды Льюис Кэрролл включил в свой учебник «Символическая логика» (Symbolic Logic, 1896) так называемые «силлигизмы» (от английского слова silly, «дурацкий»), которые и сегодня используются при обучении этому предмету. Например, из посылок «Хромой щенок не скажет спасибо, если вы согласитесь одолжить ему скакалку» и «Вы согласились одолжить хромому щенку скакалку» можно заключить, что «Щенок не сказал спасибо»[128]128
  Основано на Carroll 1896/1977, book II, chap. III, § 2, example (4), p. 72.


[Закрыть].

Системы логики формализованы в виде правил, которые позволяют выводить новое умозаключение из уже имеющихся, заменяя одни последовательности символов другими. Самая простая из таких систем называется логикой высказываний или пропозициональным исчислением. Английское слово calculus («исчисление») происходит от латинского «камушек»; этот термин напоминает нам, что суть логики – в механическом манипулировании символами безотносительно их содержания. Простые предложения сводятся к переменным, например P и Q, которым приписывается истинностное значение – ИСТИНА или ЛОЖЬ. Сложные утверждения составляют из простых, связывая их логическими операторами и, или, не и если-то.

Нам даже не нужно знать, что означают слова-связки в повседневной речи. Это просто правила, по которым истинность сложного высказывания определяется в зависимости от истинности составляющих его простых. Эти правила сведены в таблицы истинности. Первую из приведенных ниже таблиц, позволяющую определить значение высказываний с оператором И, можно прочесть строка за строкой: если P – ИСТИНА и Q – ИСТИНА, то «P и Q» – тоже ИСТИНА. Если P – ИСТИНА, а Q – ЛОЖЬ, то «P и Q» – ЛОЖЬ. Если P – ЛОЖЬ… и так далее до самой нижней строки.

Давайте разберем это на примере. При первой случайной встрече героев, с которой начинается романтическая кинодрама «История любви» (Love Story, 1970), Дженнифер Кавиллери объясняет другому студенту Гарварда, Оливеру Барретту IV, которого она снисходительно именует «преппи» (выпускник частной школы), почему она решила, что он посещал дорогую частную школу: «Ты выглядишь глупым и богатым». Обозначим высказывание «Оливер глуп» буквой Р, а «Оливер богат» – буквой Q. Из первой строки таблицы для оператора И понятно, что для того, чтобы это сложное оскорбление было истинным, необходимо, чтобы истинными были оба простых высказывания: он богат и он глуп. Оливер возражает (не совсем честно): «На самом деле я умный и бедный». Будем считать, что «умный» означает «НЕ глупый», а «бедный» означает «НЕ богатый». Очевидно, Оливер отражает выпад девушки, обратившись к четвертой строке таблицы истинности: если он не глупый и не богатый, то он не «глупый и богатый». Но если все, чего он хотел, – это возразить ей, ему достаточно было бы сказать: «На самом деле я глупый и бедный» (строка 2) или «На самом деле я умный и богатый» (строка 3). В реальности Оливер солгал: он не бедный, а значит, не мог, не покривив душой, сказать, что он «умный и бедный».

Дженни честно возражает: «Нет, это я умная и бедная». Давайте, идя на поводу у сценария, сделаем циничное заключение: «Студенты Гарварда богатые или умные». Это заключение не дедуктивное, но индуктивное – заведомо ненадежное обобщение имеющихся данных, однако оставим пока в стороне вопрос, как мы к нему пришли, и, изучив само высказывание, попытаемся понять, при каких условиях оно будет истинным. Это дизъюнкция – утверждение, которое содержит оператор или, и проверить его истинность можно, подставив то, что нам известно о будущих влюбленных, в таблицу истинности для этого оператора, обозначив «богатый» переменной Р, а «умный» – переменной Q. Дженни умна, хотя и не богата (строка 3), а Оливер богат, умен он или нет (строка 1 или строка 2), поэтому наше дизъюнктивное суждение о студентах Гарварда истинно как минимум в отношении этих двоих.

Однако на этом пикировка не заканчивается:

Оливер: И чем же ты так умная?

Дженнифер: Я бы с тобой кофе пить не пошла.

Оливер: Да я бы тебя и не позвал.

Дженнифер: Потому-то ты и глупый.

Давайте переформулируем слова Дженни так: «Если бы ты позвал меня выпить кофе, то я бы отказалась». Что мы можем сказать об истинности этого высказывания, учитывая все, что нам уже известно? Это импликация, то есть условное высказывание, построенное по формуле если (антецедент) – то (консеквент). Как выглядит его таблица истинности? Напомню, что, как мы знаем из обсуждения задачи выбора Уэйсона (глава 1), суждение «если Р, то Q» будет ложным, только если Р – ИСТИНА, а Q – ЛОЖЬ. (Высказывание «Если письмо отправляется экспресс-почтой, то на конверте должна быть марка за десять долларов» означает, что письмо без десятидолларовой марки экспресс-почтой не отправишь.) Вот эта таблица:

Если верить нашим студентам на слово, Оливер не позвал бы Дженни пить кофе. Другими словами, Р – ЛОЖЬ, а это значит, что условное высказывание Дженни истинно в любом случае (строки 3 и 4, третья колонка). Согласно таблице, неважно, как на самом деле она ответила бы на просьбу Оливера: если Оливер никогда не позовет ее в кафе, девушка говорит правду. Однако завершающая сцену насмешливая фраза Дженни позволяет предположить, что в один прекрасный момент Оливер все-таки пригласит ее выпить кофе (значение Р поменяется с ЛОЖЬ на ИСТИНА) и она согласится (Q – ложь). А это значит, что ее условное высказывание «если Р, то Q» было ложным, как нередко случается в игривых пикировках.

Логический сюрприз, на который мы здесь наткнулись, – условное высказывание всегда истинно, пока его антецедент ложен (если Оливер так и не позовет ее пить кофе, Дженни говорит правду) – наглядно демонстрирует, чем логическая импликация отличается от утверждения со словами «если» и «то» в обыденной речи. Мы чаще всего прибегаем к условному суждению, чтобы сделать обоснованный прогноз на базе поддающегося проверке причинного закона, например: «Если пить кофе, то не уснешь». Мы не готовы назвать истинным условное высказывание просто потому, что оно ни разу не проверялось, например: «Если пить брюквенный сок, то не уснешь», несмотря на то что оно будет логически истинным, если вы никогда не пили брюквенный сок. Нам нужны основания, чтобы поверить, что в гипотетической ситуации, где Р – истина (вы пьете брюквенный сок), не Q (вы уснете) не случится. Зная, что антецедент условного высказывания – ложь или заведомая ложь, мы скорее сочтем высказывание неуместным, неактуальным, надуманным или даже бессмысленным, но никак не истинным. Однако в строго логическом смысле, описанном таблицами истинности, где «если Р, то Q» – всего лишь синоним «не [Р и не Q]», истинными будут и такие странные утверждения, как «Если у поросят есть крылья, то 2 + 2=5» и «Если 2 + 2=3, то 2 + 2=5». По этой причине специалисты в области логики используют для условного высказывания в смысле таблиц истинности особый технический термин «материальная импликация».

Чтобы показать значимость этого различия, приведу пример из жизни. Предположим, нам нужно оценить точность предсказаний, сделанных аналитиками. Как оценить условный прогноз 2008 г.: «Если Сара Пэйлин станет президентом, она запретит аборты»? Стоит ли нам похвалить аналитиков, поскольку, рассуждая логически, это утверждение истинно? Или же истинность в смысле законов логики здесь не в счет? В ходе реального состязания прогнозистов, откуда и взят этот пример, экспертам пришлось задуматься, что делать с такими прогнозами, и в итоге они постановили не считать их истинными – подобные импликации решено было понимать в житейском смысле, а не в строго логическом[129]129
  Donaldson, Doubleday, et al. 2011.


[Закрыть].

Разница между «если» в обыденной речи и логическим если – лишь один пример того, что мнемонические символы, применяемые в качестве операторов формальной логики, не тождественны аналогичным словам живого языка, где у них, как и у всех прочих слов, есть масса значений, а конкретный смысл раскрывается в контексте[130]130
  Логические операторы в логике и в разговорной речи: Grice 1975; Pinker 2007, chaps. 2, 8.


[Закрыть]. Союз «и» в предложении «Он уселся и поведал мне свою историю» сообщает, что человек, о котором идет речь, сделал сначала одно, а затем другое, хотя логически все могло быть ровно наоборот (как в шутке из другой эпохи: «Они поженились и завели ребенка – только в обратном порядке»). Когда грабитель говорит: «Кошелек или жизнь», технически вы можете сохранить и то и другое, поскольку выражение «Р или Q» будет истинным и тогда, когда истинно и Р, и Q. Но я бы не советовал объяснять эту мысль бандиту; в данном контексте все без исключения понимают «или» как логический оператор «исключающее или»: «Р или Q и не [Р и Q]». Именно поэтому, если меню бизнес-ланча предлагает на выбор «суп или салат», мы не станем доказывать официанту, что с точки зрения логики нам полагается и то и другое. Наконец, заявления вроде «Мальчишки остаются мальчишками», «Сделка есть сделка» и «Иногда сигара – это просто сигара» – строго говоря, пустые тавтологии, неизменно истинные из-за своей формы и в то же время лишенные всякого содержания. Но нам удается извлечь из них смысл; из последнего примера (приписываемого Зигмунду Фрейду) мы узнаем, что сигара – не всегда фаллический символ.

* * *

Даже если слова употреблялись бы только в их строго логическом значении, логика оставалась бы малозначительным упражнением, умей она лишь устанавливать истинность утверждений, содержащих логические связки. Своим потенциалом она обязана правилам, позволяющим делать истинные выводы, – коротким алгоритмам, описывающим путь от истинных посылок к истинным заключениям. Самое известное из них называется подтверждением антецедента или утверждающим модусом (посылки размещены над линией, заключения – под ней):

«Если некто – женщина, то она смертная. Ксантиппа – женщина. Следовательно, Ксантиппа – смертная». Еще одно надежное правило вывода называют отрицанием консеквента, законом контрапозиции или отрицающим модусом:

«Если некто – женщина, то она смертная. Горгона Сфено – бессмертная. Следовательно, горгона Сфено – не женщина».

Это самые известные, но, конечно, не единственные верные правила вывода. С момента, когда Аристотель впервые формализовал логику, и до конца XIX в., когда ее законы начали оформлять математически, логика прежде всего описывала способы, какими можно и нельзя вывести заключение из совокупности посылок. Существует, к примеру, верное (и по большей части бесполезное) дизъюнктивное сложение:

«Париж находится во Франции. Следовательно, Париж находится во Франции или единороги существуют». Дизъюнктивный силлогизм, он же процесс элиминации, оказывается более полезным:

«Жертва была убита свинцовой трубой или канделябром. Жертва была убита не свинцовой трубой. Следовательно, жертва была убита канделябром». Есть такой анекдот: однажды логик Сидни Моргенбессер и его девушка проходили сеанс психотерапии для пар, во время которой без конца препирались и жаловались друг на друга. В конце концов доведенный до белого каления психотерапевт сказал: «Слушайте, кому-то нужно измениться». На что Моргенбессер ответил: «Ну, я-то меняться не собираюсь, и она тоже. Так что придется меняться вам».

Еще интереснее «принцип взрыва», также известный под названием «из противоречия можно вывести все, что угодно»:

Предположим, вы считаете, что Хекстейбл находится в Англии (Р). Одновременно вы уверены в истинности не Р: Хекстейбл находится не в Англии. По правилу логического сложения вы можете перейти от Р к [Р или Q]: «Хекстейбл находится в Англии, или единороги существуют». Затем, по правилу дизъюнктивного силлогизма, ничто не мешает перейти от [Р или Q и не Р] к Q: «Хекстейбл находится не в Англии. Следовательно, единороги существуют». Мои поздравления! Вы только что логически доказали, что единороги существуют. Люди часто неверно цитируют Ральфа Уолдо Эмерсона, который якобы сказал: «Постоянство – это химера ограниченного ума». На самом деле он писал о глупом постоянстве, от которого «великие умы» должны избавляться, но в любом случае выпад сомнительный[131]131
  Emerson 1841/1993.


[Закрыть]. Если ваша система верований внутренне противоречива, вы можете уверовать во что угодно. (Моргенбессер сказал однажды о философе, которого ценил невысоко: «Это человек, который одновременно провозгласил Р и не Р, а затем вывел из этого все возможные следствия»[132]132
  Liberman 2004.


[Закрыть].)

Тот факт, что верные правила вывода порой приводят к абсурдным заключениям, сообщает нам о логических рассуждениях нечто очень важное. Чтобы рассуждение было валидным, достаточно корректно применить к посылкам правила вывода. Все, на что такое рассуждение способно, так это сообщить: если посылки истинны, то и заключения должны быть истинными. Оно ничего не говорит о том, истинны ли посылки, и, следовательно, не гарантирует истинности заключения. Ему можно противопоставить обоснованное рассуждение, которое верно применяет правила вывода к истинным посылкам и, соответственно, приходит к истинному заключению. Вот валидное рассуждение: «Если Хиллари Клинтон выиграет выборы 2016 г., то в 2017 г. Тим Кейн станет вице-президентом. Хиллари Клинтон выиграла выборы 2016 г. Следовательно, в 2017 г. Тим Кейн занял должность вице-президента». Однако это рассуждение не обоснованно, поскольку Клинтон не победила на выборах в 2016 г. А вот рассуждение: «Если Дональд Трамп победит на выборах 2016 г., то в 2017 г. Майк Пенс станет вице-президентом. Дональд Трамп выиграл выборы 2016 г. Следовательно, в 2017 г. Майк Пенс стал вице-президентом» – и валидно, и обоснованно.

Подавать валидное рассуждение как обоснованное – распространенная ошибка. Политики обещают: «Если мы положим конец растратам и коррупции среди чиновничества, то сможем понизить налоги, повысить доходы и сбалансировать бюджет. Я положу конец растратам и коррупции. Итак, голосуйте за меня, и все наладится». К счастью, люди, как правило, замечают, что таким рассуждениям не хватает обоснованности; у нас есть чем возразить софисту, который выводит правдоподобные умозаключения из сомнительных посылок: «Это еще бабушка надвое сказала», «Если бы да кабы, во рту росли бы грибы», «Возьмем сферическую корову в вакууме» (это выражение, распространенное в научной среде, обязано своим происхождением анекдоту о физике, нанятом фермером для разработки плана повышения удоев). Мое любимое подобное возражение звучит на идише так: As di bubbe volt gehat beytsim volt zi gevain mayn zaidah («Если бы у моей бабушки были яйца, она была бы моим дедушкой»).

Безусловно, существует масса рассуждений, которые даже валидными не назовешь. Специалисты по классической логике также составили перечень ненадежных рассуждений, или формальных ошибок, то есть таких последовательностей высказываний, где заключения на первый взгляд выводятся из посылок, но на самом деле это не так. Самая известная такая ошибка называется подтверждением консеквента: «Если Р, то Q. Q. Следовательно, Р». Если идет дождь, то улицы мокрые. Улицы мокрые. Следовательно, идет дождь. Это невалидное рассуждение: может, по улице проехала поливальная машина. Еще одна похожая ошибка – отрицание антецедента: «Если Р, то Q. не Р. Следовательно, не Q». Дождь не идет, следовательно, улицы не мокрые. Это рассуждение тоже невалидно, по той же самой причине. Проще говоря, утверждение «Если Р, то Q» не подразумевает ни обратного – «Если Q, то Р», ни противоположного – «Если не Р, то не Q».

Однако люди довольно часто прибегают в своих рассуждениях к подтверждению консеквента, путая «Р предполагает Q» с «Q предполагает Р». Вот почему в задаче выбора Уэйсона столь многие, кого просили проверить истинность высказывания «Если D, то 3», переворачивали карточку с тройкой. Вот почему консервативные политики внушают избирателям идею, что высказывание «Если некто социалист, он, вероятно, член Демократической партии» подразумевает и обратное: «Если некто член Демократической партии, он, вероятно, социалист». Вот почему безумцы заявляют, что над всеми великими умами в свое время насмехались, забывая, что «Если ты гений, то над тобой смеются» не предполагает, что «Если над тобой смеются, то ты гений». Эту мысль стоит держать в уме и лодырям, утешающим себя мыслью, что самые успешные хай-тек-компании были основаны студентами, бросившими колледж.

К счастью, люди обычно замечают такие ошибки. Мои ровесники, росшие в 1960-е гг., до сих пор посмеиваются над тогдашними борцами с наркотиками, утверждавшими, будто все героиновые наркоманы начинали с марихуаны и, следовательно, употребление марихуаны ведет к зависимости от героина. А был еще такой Ирвин, ипохондрик, который сказал своему врачу: «Я уверен, что у меня болезнь печени». – «Это невозможно, – отвечал доктор, – если бы у вас была болезнь печени, вы бы об этом не знали: она не причиняет никакого дискомфорта». На что Ирвин ответил: «Так это же как раз мои симптомы!»

Кстати, если вы обращали внимание на выбор слов в этих примерах, вы могли заметить, что я не всегда одинаково определяю мои Р и Q, как должен был бы, если принять, что логика – это манипулирование символами, и ничего более. Я иногда изменяю подлежащее, время, число или глагол. «Некто – женщина» превращается в «Ксантиппа – женщина», «вы предлагаете» чередуется с «Оливер предлагает», а «вы должны надеть шлем» превращается в «на ребенка надет шлем». Это важно: строго говоря, слова «вы должны надеть шлем» при такой подаче не противоречат словам «ребенок без шлема». Именно поэтому ученые-логики разработали более мощные логические системы, позволяющие разбивать Р и Q пропозиционального исчисления на составляющие. Это исчисление предикатов, различающее субъекты и предикаты, а также операторы все и некоторые; модальная логика, которая различает утверждения, истинные – так уж случилось – в нашем мире, вроде «Париж – столица Франции», и те, что будут истинными во всех мирах, вроде «2+2=4»; темпоральная логика, различающая прошлое, настоящее и будущее; и деонтическая логика, оперирующая понятиями «обязательство», «разрешение» и «норма»[133]133
  McCawley 1993.


[Закрыть].