Текст книги "Глазами физика. От края радуги к границе времени"

Идея изменения веса сама по себе настолько захватывающа, что мне уж очень хотелось бы иметь возможность продемонстрировать это явление – даже невесомость – в аудитории. Что, если забраться на стол, привязать к ногам весы и спрыгнуть вниз? Может, тогда я мог бы показать студентам, приспособив специальную камеру, что буквально полсекунды, пока я пребываю в свободном падении, стрелка весов будут находиться на нуле. Я мог бы порекомендовать вам сделать это самим, однако, право, не стоит. Поверьте, я пробовал это много раз и только сломал несколько весов. Проблема в том, что обычные весы, которые продаются в магазине, реагируют на все гораздо медленнее, чем требуется для данного эксперимента, – и все из-за инерции в их пружинах. Получается, что один из законов Ньютона мешает другому! Вот если бы вы спрыгнули с тридцатиэтажного здания, у вас, наверное, было бы достаточно времени (около 4,5 секунды), чтобы увидеть желаемый эффект, но, конечно, при этом возникли бы кое-какие другие серьезные проблемы.

Так что при желании испытать состояние невесомости, вместо того чтобы ломать весы или прыгать с небоскребов, попробуйте кое-что получше на своем дворе, если там есть стол для пикника, а у вас достаточно крепкие колени. Я проделываю это с лабораторным столом перед аудиторией. Заберитесь на стол и возьмите в руки небольшой кувшин с водой. Держите его на вытянутых руках, просто поставив на ладони, а не обхватив с боков. Он должен просто лежать на ваших руках. Теперь прыгайте со стола, и пока вы будете находиться в воздухе, кувшин на мгновение отделится от ваших ладоней и начнет парить над ними. Если вы привлечете к эксперименту друга, чтобы он снял ваш прыжок на цифровое видео, а потом воспроизведете запись в замедленном движении, то очень четко увидите, что кувшин парит в воздухе. Почему? Потому что по мере того, как вы с ускорением летите вниз, сила, с которой вы давили на кувшин по направлению вверх, чтобы удержать его на ладонях, становится равна нулю. Теперь кувшин летит с ускорением 9,8 метра в секунду за секунду – так же, как и вы. Вы оба находитесь в свободном падении.

Но как же все это помогает объяснить, почему ваши весы сходят с ума, когда вы поднимаетесь на них на цыпочки? Толкая себя вверх, вы ускоряетесь в том же направлении, и сила, с которой на вас воздействуют весы, увеличивается. Поэтому вы очень короткое время весите больше. Но потом, когда вы уже встали на пальцы, ваше движение прекращается, вы останавливаетесь, и ваш вес уменьшается. Затем, когда вы начинаете опускать пятки, весь процесс повторяется в обратном порядке, и вы можете смело считать, что только что наглядно продемонстрировали, как, ни на грамм не меняя массы тела, можно буквально за доли секунды набрать или сбросить вес.

Закон всемирного тяготения: Ньютон и яблоко

Обычно мы говорим о трех законах Ньютона, хотя на самом деле он сформулировал четыре. Все слышали знаменитую историю о том, как однажды Ньютон наблюдал за падением с дерева яблока в своем саду. Один из его ранних биографов утверждал, что об этом рассказывал сам физик. «Все из-за падения яблока», – писал друг Ньютона Уильям Стакли, ссылаясь на разговор с ученым в момент, «когда он находился в созерцательном настроении». «Почему яблоко всегда падает перпендикулярно земле?» – задумался Ньютон. Однако следует признать, что в правдивости этой истории убеждены далеко не все. В конце концов, Ньютон рассказал ее Стакли всего за год до своей смерти и более не упоминал о случае с яблоком ни в одном месте своего весьма внушительного письменного наследия.

Тем не менее одно не вызывает сомнений: Ньютон был первым в мире человеком, понявшим, что та же самая сила, которая заставляет яблоко падать с дерева, управляет движением Луны, Земли и Солнца, да и всех объектов во Вселенной. Это было экстраординарное открытие, истинное озарение, но великий физик опять, в очередной раз, не стал останавливаться на достигнутом. Он понял, что каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект, и вывел формулу для расчета силы этого притяжения, ныне всем известную как закон всемирного тяготения Ньютона. Этот закон гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя объектами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Иными словами, если использовать чисто гипотетический пример, который, я подчеркиваю, не имеет никакого отношения к действительности, и представить, что Земля и Юпитер вращаются вокруг Солнца на одинаковом расстоянии, то, учитывая, что Юпитер примерно в 318 раз тяжелее Земли, сила тяготения, действующая между Солнцем и Юпитером, была бы приблизительно в 318 раз больше силы, притягивающей друг к другу Солнце и Землю. А если бы Юпитер и Земля имели одинаковую массу, но Юпитер находился бы на его реальной орбите, то есть примерно в пять раз дальше от Солнца, чем Земля, то, поскольку сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния, между Солнцем и Землей она была бы в двадцать пять раз больше, чем между Солнцем и Юпитером.

В знаменитом фундаментальном труде Ньютона «Математические начала натуральной философии» (сегодня мы называем его просто «Начала»), опубликованном в 1687 году, физик не использовал для представления закона всемирного тяготения уравнение, но в современной физике он обычно представлен следующим образом:

Здесь F_тяг – сила земного притяжения между объектами с массой m₁ и m₂; r – расстояние между ними, а 2 над r означает «в квадрате». А что же такое G? Это то, что физики называют гравитационной постоянной. Ньютон, конечно, знал о ее существовании, но в «Началах» о ней не упоминается. В результате многочисленных измерений, выполненных учеными с тех пор, на сегодняшний день самое точное значение G составляет[11]11
  Если вы хотите использовать это значение, убедитесь, что массы тел выражены в килограммах, а расстояние, r, в метрах. Тогда гравитационная сила будет в ньютонах.


[Закрыть] 6,67428 ± 0,00067 × 10⁻¹¹. Мы, физики, также считаем, что эта постоянная одинакова для всей Вселенной, как и предполагал Ньютон.

Влияние законов Ньютона оказалось поистине гигантским, и его просто невозможно переоценить. «Начала» ученого были и остаются одним из самых фундаментальных научных трудов, когда-либо написанных человеком. Его законы в корне изменили физику и астрономию и позволили вычислить массу Солнца и планет. Делается это на редкость элегантно. Если вам известен орбитальный период той или иной планеты (скажем, Юпитера или Земли) и ее расстояние до Солнца, вы можете рассчитать массу Солнца. Разве это не похоже на волшебство? Но можно пойти еще дальше: если нам известен орбитальный период одной из ярких лун (спутников) Юпитера (их открыл Галилей в 1609 году) и расстояние между Юпитером и этой луной, мы можем вычислить массу Юпитера. Соответственно, зная орбитальный период обращения Луны вокруг Земли (он составляет 27,32 дня) и среднее расстояние между Землей и Луной (около 384 тысяч километров), мы с высокой степенью точности можем рассчитать массу Земли. Я покажу вам, как это работает, в Приложении II. И если вы хоть немного дружите с математикой, вам обязательно понравится!

Более того, законы Ньютона не ограничиваются нашей Солнечной системой. Они диктуют и объясняют движение звезд, двойных звезд (глава 13), звездных скоплений, галактик и даже скоплений галактик; им мы обязаны одним из величайших открытий XX века – открытием вещества, которое мы называем темной материей. Я подробнее расскажу об этом чуть позже. Законы Ньютона прекрасны и одновременно умопомрачительно просты и невероятно мощны. Они объясняют так много; а диапазон явлений, которые они помогают понять, поистине огромен.

Сведя воедино физику движения, взаимодействия между телами и движения планет, Ньютон предложил новый порядок астрономических измерений, показав, как то, что прежде было беспорядочным нагромождением запутанных наблюдений, сделанных астрономами за много веков, взаимосвязано между собой. Другим ученым приходили в голову проблески его идей, но они не смогли, подобно Ньютону, объединить их в единую систему.

Например, Галилео Галилей, умерший за год до рождения Ньютона, был автором ранней версии первого закона Ньютона и сумел математически описать движение тел. Он также обнаружил, что все тела падают с заданной высоты с одинаковым ускорением (при отсутствии сопротивления воздуха), однако не смог объяснить, почему так происходит. Иоганн Кеплер, разработав основополагающие принципы действия планетарных орбит, тоже не смог сказать, почему они действуют именно так. Это опять же объяснил Ньютон. И, как мы уже убедились, эти ответы и многие выводы, которые из них проистекают, никак нельзя назвать интуитивными.

Меня лично чрезвычайно интересуют и восхищают силы движения. Сила тяготения всегда с нами; она пронизывает всю Вселенную. И что самое поразительное (ну хорошо, это всего лишь одно из ее неимоверных качеств) – она действует на расстоянии. Вы когда-нибудь задумывались над тем, что наша планета остается на орбите, а мы с вами живы благодаря силе притяжения между двумя небесными телами, которые отделены друг от друга почти 150 миллионами километров?

Движущиеся маятники

Хотя сила тяготения присутствует в нашей жизни повсеместно, влияние, которое она оказывает на наш мир, довольно часто сбивает с толку. Я, например, люблю устраивать демонстрацию с маятником, чтобы удивить студентов тем, насколько парадоксально работает сила тяготения в этом несложном устройстве. Теперь расскажу и вам.

Многие из вас, возможно, думают, что если вы качаетесь на качели рядом с человеком, который намного легче вас, скажем с трехлетним малышом, то вы будете двигаться гораздо медленнее. Однако это не так. Так что вас должен немало удивить тот факт, что количество времени, необходимое для завершения одного колебания маятника (период колебания), не зависит от веса груза, висящего на этом маятнике. Обратите внимание, что я сейчас говорю о простом маятнике, а это означает, что он отвечает двум условиям. Во-первых, вес груза должен быть настолько больше веса нити, чтобы вес последней можно было не принимать во внимание. Во-вторых, размер груза должен быть достаточно мал, чтобы мы могли трактовать его как простую точку, имеющую нулевой размер[12]12
  Если массу нити нельзя сбросить со счетов и/или если размер груза не может трактоваться как точечная масса, маятник не будет простым. Такой маятник называется физическим, и ведет он себя несколько иначе.


[Закрыть]. Смастерить простой маятник в домашних условиях совсем нетрудно: просто привяжите яблоко к легкой нити, длина которой как минимум раза в четыре превышает размер яблока.

Итак, используя законы движения Ньютона, я вывожу в аудитории уравнение для вычисления периода колебания простого маятника, а затем проверяю это уравнение. Для этого мне надо исходить из предположения, что угол колебания маятника мал. Позвольте уточнить, что я имею в виду. Когда вы смотрите на свой самодельный маятник, раскачивающийся справа налево и слева направо, вы видите, что большую часть времени он движется либо в одну, либо в другую сторону. Тем не менее во время полного колебания маятника есть два момента, когда он замирает, после чего начинает движение в обратном направлении. В эти моменты угол между нитью и вертикальной осью достигает максимального значения, которое называется амплитудой маятника. Если не принимать во внимание сопротивление (трение) воздуха, то максимальный угол при остановке маятника в крайнем левом положении будет точно таким же, как и в крайнем правом положении. Уравнение, которое я вывожу, подходит только для малых углов (малых амплитуд). Мы, физики, называем такое выведение аппроксимацией с допущением о малости углов. Студенты обычно спрашивают меня: «А насколько мал должен быть этот угол?» А одна студентка подошла к делу еще серьезнее, спросив: «А считается ли малой амплитуда в пять градусов? Работает ли это уравнение для амплитуды в десять градусов, или десять градусов уже слишком большой угол?» Отличные вопросы, на которые я предложил ответить, не отходя от кассы.

Уравнение, которое я вывожу, довольно простое и очень элегантное, хотя тем, кто долгое время не имел дела с математикой, оно может показаться несколько устрашающим:

Здесь Т – это период колебания маятника (в секундах), L – длина нити (в метрах), значение π приблизительно равно 3,14, а g – ускорение свободного падения (9,8 метра в секунду за секунду). Правая часть уравнения формулируется так: 2π, умноженное на корень квадратный частного длины нити, поделенное на ускорение свободного падения. Я не буду здесь вдаваться в подробности, почему это уравнение истинно (при желании вы можете проследить за ходом моих рассуждений на моих видеолекциях).

Я привожу в книге это уравнение для того, чтобы вы могли оценить, насколько точно его истинность подтверждается моими демонстрациями. Согласно данному уравнению период колебания маятника длиной в 1 метр составляет приблизительно 2 секунды. Я засекаю время, которое требуется маятнику с нитью такой длины, чтобы произвести десять колебаний, и у меня получается примерно 20 секунд. Делим на 10 и получаем период колебания 2 секунды. Тогда я перехожу к маятнику с нитью в четыре раза короче первой. В соответствии с уравнением его период колебания должен быть в два раза меньше. У моего маятника нить длиной 25 сантиметров, и на десять колебаний у него действительно уходит около 10 секунд. Пока все идет вполне обнадеживающе.

Чтобы подвергнуть выведенное уравнение более тщательной проверке, чем с использованием маленького маятника из нити с яблоком, я соорудил в аудитории другой простой маятник: канат длиной 5,18 метра со сферическим стальным грузом весом 15 килограммов. Я называю его отцом всех маятников.

Каким же будет период колебания (T) такого, куда более внушительного маятника? Подставив значения, получаем T = 2π√(5,18/9,8), то есть 4,57 секунды. Чтобы проверить этот результат, как было обещано студентам в начале лекции, я измеряю период колебания при амплитудах 5 и 10 градусов.

Я использую большой цифровой таймер, который могут видеть все студенты, показывающий время с точностью до одной сотой секунды. Время моей реакции при его включении и выключении за много лет проверено неоднократно, и я знаю, что оно составляет примерно одну десятую секунды (в удачный день). Это означает, что если я сделаю один и тот же замер десяток раз, то получу данные о периоде колебания маятника, которые будут отличаться не более чем на 0,1 (ну, возможно, на 0,15) секунды. Так что, измерю я время одного колебания или десяти, погрешность полученного показателя будет приблизительно плюс-минус 0,1 секунды. Поэтому я позволяю маятнику колебаться десять раз, что дает в десять раз более точное значение периода его колебания, чем если бы он качнулся всего один раз.

Я отвожу груз так, чтобы угол наклона каната относительно вертикальной оси составлял около 5 градусов, отпускаю его и одновременно включаю таймер. Студенты хором считают колебания, и после десятого качка я останавливаю таймер. Потрясающе – таймер показывает 45,70 секунды, в десять раз больше моей оценки времени одного колебания. Студенты в восторге аплодируют.

Тогда я увеличиваю амплитуду до 10 градусов, отпускаю груз и запускаю таймер; аудитория считает до десяти, я останавливаю таймер: 45,75 секунды. 45,75 ± 0,1 секунды за десять колебаний дает 4,575 ± 0,01 секунды на одно колебание. Результат для амплитуды в 5 градусов практически такой же, как для амплитуды в 10 градусов (в пределах погрешности данных измерений). Так что мое уравнение по-прежнему очень точное.

Затем я спрашиваю аудиторию: предположим, я сяду на груз и буду качаться вместе с ним – останется ли период колебаний прежним или изменится? Не могу сказать, что сплю и вижу, как бы забраться на эту штуку верхом (это, знаете ли, довольно больно), но ради науки, да и чтобы повеселить студентов и еще больше заинтересовать предметом, я никогда не упускаю данной возможности. Конечно, я не могу сидеть на грузе вертикально, потому что в этом случае сильно сокращу длину каната и, соответственно, несколько уменьшу период колебания. Но если пристроить тело, насколько это возможно, в максимально горизонтальном положении, чтобы быть на одном уровне с грузом, длина веревки останется практически прежней. Итак, я засовываю груз между ног, берусь за канат, сажусь на груз верхом и начинаю качаться.

Признаюсь, включать и выключать таймер, изображая груз маятника, не увеличив при этом время реакции, довольно трудно. Но я практиковал это так много раз, что совершенно уверен в своей способности сохранить погрешность измерений в пределах ± 0,1 секунды. Я качаюсь десять раз, пока студенты хором считают колебания и хохочут над абсурдностью моего положения, поскольку я, качаясь, нарочито громко причитаю и стону, – и после десятого колебания останавливаю таймер. Он показывает 45,61 секунды. Период одного колебания – 4,56 ± 0,01 секунды. «Уравнение работает!» – кричу я. Студенты в полном восторге.

Бабушки и космонавты

Другим весьма запутанным аспектом гравитации является то, что у нас может сложиться ложное впечатление, будто она действует с совсем другого направления, нежели на самом деле. Сила земного тяготения всегда притягивает объект к центру Земли на Земле, а не где-нибудь на Плутоне, конечно. Но порой кажется, что она действует в горизонтальном направлении, и эта искусственная, или мнимая, гравитация, как ее называют физики, иногда фактически попирает саму гравитацию.

Вы можете без труда продемонстрировать мнимую гравитацию в домашних условиях, повторив то, что имела обыкновение делать моя бабушка, готовя мне салат. Как я уже говорил, у бабушки было множество поистине потрясающих идей – помните, это именно она убедила меня, что в лежачем состоянии человек длиннее, чем в стоячем. Так вот, к приготовлению салата она тоже подходила весьма оригинально. Бабушка мыла зелень в дуршлаге, а затем, вместо того чтобы сушить ее тканевым полотенцем, которое могло повредить хрупкие листья, использовала собственную, ею изобретенную методику. Она накрывала дуршлаг полотенцем, закрепляла его на месте резинкой, а потом очень-очень быстро и воинственно начинала им вертеть.

Когда я воспроизвожу это в аудитории, я стараюсь предупредить студентов, сидящих в двух первых рядах, чтобы они закрыли тетради, иначе страницы промокнут. Я приношу салат в аудиторию, тщательно промываю его в раковине на лабораторном столе и кладу в дуршлаг. «Поехали!» – объявляю я и начинаю энергично вертеть дуршлаг в руке. Капли воды разлетаются повсюду! Конечно, сегодня практически у каждой хозяйки имеется специальное кухонное приспособление – банальная скучная центрифуга для сушки салатных листьев, которая заменила веселый метод моей бабушки. Очень жаль. Вот так современная жизнь постепенно выдавливает из окружающих нас вещей романтику.

Такую же искусственную гравитацию испытывают космонавты, когда ракета разгоняется при выходе на орбиту Земли. Мой друг и коллега по МТИ Джеффри Хоффман участвовал в пяти космических миссиях и рассказывал, что в процессе запуска экипаж испытывает на себе целый диапазон различных ускорений, от примерно 0,5g на начальном этапе до около 2,5g к завершению стадии сгорания твердого ракетного топлива. Потом ускорение опять уменьшается приблизительно до 1g на короткое время, за которое загорается жидкое топливо, а затем нарастает до 3g в течение последней минуты запуска, который в целом длится около восьми с половиной минут (за это время ракета набирает скорость примерно 27 тысяч километров в час). И, как говорят знающие люди, это не самые приятные ощущения. Когда космонавты наконец достигают орбиты, они становятся невесомыми, что воспринимается ими как нулевая гравитация.

Как вы теперь знаете, и салат, ощущая на себе давление дуршлага, и космонавты, чувствуя, как на них давит кресло, испытывают своего рода искусственную, мнимую, гравитацию. Хитроумное изобретение моей бабушки, как и нынешние скучные сушилки для зелени, конечно же, представляет собой разновидность центрифуги, отделяющей салат от воды, цепляющейся за его листья, которая, в свою очередь, брызгами разлетается во все стороны через отверстия дуршлага. Кстати, чтобы испытать на себе искусственную, мнимую, гравитацию, вовсе не обязательно быть космонавтом. Можно просто пойти в парк развлечений на аттракцион под названием «Тарелка» – это когда вы стоите на краю большой вращающейся вертушки, прислонившись спиной к металлической ограде. Вертушка вращается все быстрее и быстрее, и вы чувствуете, как ваше тело все сильнее вдавливается в ограду, верно? В соответствии с третьим законом Ньютона вы давите на ограду с той же силой, с какой она давит на вас.

Сила, с которой ограждение давит на вас, называется центростремительной. Она обеспечивает необходимое ускорение, чтобы вы могли вращаться, причем чем быстрее вы вращаетесь, тем она больше. Помните, что при движении по кругу сила (и, следовательно, ускорение) необходима, даже если величина скорости не меняется. Аналогичным образом сила тяготения обеспечивает центростремительной силой и планеты, вращающиеся вокруг Солнца, о чем я подробно рассказываю в Приложении II. Силу, с которой вас прижимает к ограде аттракциона «Тарелка», часто называют центробежной. Величина центростремительной и центробежной силы одинакова, но действуют они в противоположных направлениях. Их не следует путать. На вас действует только центростремительная сила (но не центробежная), а на ограду аттракциона только центробежная (но не центростремительная)[13]13
  Строго говоря, это не совсем так, если бы центростремительной силы не было, ограда бы двигалась иначе… Но автор (видимо, упрощенно) пишет именно так. Прим. ред.


[Закрыть].

Некоторые «Тарелки» вращаются так быстро, что, когда в какой-то момент пол уходит из-под ваших ног, вы вниз не соскальзываете. Почему?

А вы подумайте. Если «Тарелка» вообще не вращается, сила тяготения заставит вас соскользнуть вниз, поскольку сила трения между вами и (вертикальным) ограждением недостаточно велика, чтобы уравновесить силу тяготения. Но сила трения при опущенном поле будет больше, когда «Тарелка» вращается, так как она зависит от центростремительной силы. Чем она больше (с опущенным полом), тем больше сила трения. Таким образом, если аттракцион с опущенным полом вращается довольно быстро, сила трения может быть достаточно большой для того, чтобы уравновешивать силу тяготения, и вы, следовательно, вниз не соскользнете.

Продемонстрировать искусственную гравитацию можно разными способами. Опишу один, который вы можете попробовать в домашних условиях, скажем, у себя во дворе. Привяжите веревку к ручке пустой банки из-под краски и налейте в нее воды (примерно наполовину, иначе вам будет тяжело крутить), а затем начните быстро вертеть банкой над головой. Возможно, чтобы получалось достаточно быстро, придется немного потренироваться. Научившись, вы увидите, что из банки не выливается ни капли. Мои студенты делают это на лекциях, и, должен сказать, это полный восторг! Такой маленький эксперимент также объясняет, почему некоторые особенно адреналиновые разновидности аттракциона «Тарелка» постепенно переворачиваются до тех пор, пока катающиеся в какой-то момент не оказываются вверх ногами и все равно не падают на землю (хотя их в целях безопасности, конечно же, привязывают к ограждению).

Сила, с которой весы давят на нас, определяет, что они скажут нам о нашем весе; сила тяготения – а не ее отсутствие, – делает космонавтов невесомыми; а когда яблоко падает на Землю, Земля падает на яблоко. Законы Ньютона просты, всеобъемлющи, глубоки и совершенно противоречат здравому смыслу. Разрабатывая их, сэр Исаак Ньютон соперничал с поистине таинственной Вселенной, и человечеству невероятно повезло, что он сумел разгадать некоторые из этих тайн, заставив нас взглянуть на окружающий мир совершенно по-новому.