Текст книги "Введение в теорию риска (динамических систем)"

Возникновение опасного состояния динамической системы может быть представлено как последовательность нижеследующих событий. При одностороннем ограничении по минимуму возможны следующие ситуации.

1. Появление события А, обусловленного отклонением х под влиянием W или/и V. В результате такого воздействия отдельные компоненты вектора х (или все в совокупности) покидают область Ω_доп и попадают в Ω_кр. Событие А обозначим А = {x Ω_кр}. Вероятность события А обозначим Р(А) (рис. 1.22).

2. Пусть событие А происходит на интервале времени τ большем, чем τ₀, за которое в динамической системе завершаются все переходные процессы, и тогда она не может возвратиться в Ω_доп. Таким образом, опасное состояние динамической системы наступает тогда, когда реализуются два события (А, В), где В: (τ > τ₀).

Рис. 1.22

3. Появление события А фиксируется подсистемой контроля или оценки в некоторый момент времени t в виде х^o = х_изм, представляющем собой событие D : (x^o < x_доп), где x^o – оценка текущего (фактического) значения x_ф; x_доп – ограничение одностороннее снизу.

4. При появлении события D в процессе принятия решения из-за ошибок, имеющих место в системе контроля, формирующей x^o, опасное состояние динамической системы может не аннулироваться, а развиваться, т. е. наступает событие E : (x(t) < x_доп, t > τ).

5. Событие А реализуется на отрезке времени [t₀,T], на котором все события приняли безвозвратный характер. Это событие обозначим: С : (x(t) < x_доп, t [t ₀, T]).

При этом вероятность P_ос перехода динамической системы в опасное состояние записывается так:

P_oс = P(A, B, D, E, C) = P(A, B) · P(D, E,C /  A, B),

где P(A, B) – вероятность появления фактора риска, обусловливающего опасное состояние динамической системы; P(D, E, C / A,B) – условная вероятность пребывания динамической системы в критической области.

Представим P(D, E,C / A, B) и соответствующие ему ситуации в виде

P(D, E, C / A, B) = P(D, E / A, B) + P (C / A, B)

в силу независимости (D, E) и (С).

Предполагая, что ошибки принятия решения и ошибки оценки, совершаемые динамической системой, есть независимые события, получим

P_oс = P (A, B)[P(D / A, B) + P(E / A, B) + P(C / A, B)].

При этом вероятность P(D / A, B) позволяет оценить наши возможности в области оценок (измерений) и допускаемых ошибок, которые влияют на процесс возникновения опасной ситуации.

Вероятность P(E / A, B) равна вероятности непарирования критических значений контролируемого параметра из-за ошибок управления.

Вероятность P (C / A, B) характеризует численно величину аварийной ситуации (катастрофы).

Таким образом, нижеследующие события характеризуют:

(А, В) – усложнение функционирования динамической системы;

(А, В, D) – опасную ситуацию;

(А, В, D, Е), (А, В, С) – катастрофическую ситуацию.

При этом P_ос является интегральной характеристикой риска динамической системы.

Исходной информацией при оценке P_ос является область допустимых состояний Ω_доп. Задача построения P_ос включает в себя:

– обоснование совокупности параметров х состояния динамической системы, подлежащих контролю и ограничению;

– разработку математического метода количественного расчета фактических значений параметров х с заданной степенью достоверности;

– разработку методов оценки погрешностей измерения параметров х с заданной степенью достоверности;

– разработку математического метода расчета допустимых значений х, т. е. x_доп.

Процессу целереализации соответствуют три уровня состояния динамической системы:

– допустимых состояний Ω_доп(х), при которых динамическая система способна достичь поставленную цель, например, когда θ > 0, > 0;

– область критических состояний Ω_кр(х), когда динамическая система не способна достичь поставленную цель в силу того, что, например, < 0, но способна возвратиться в Ω_доп;

– область безвозвратных состояний или энергетической смерти, когда θ = 0, включая энергию, получаемую от среды.

Приведем классификацию областей состояния динамической системы.

Уровень 1. Одна координата х динамической системы подлежит ограничению, при этом имеет место одностороннее ограничение по минимуму или по максимуму. Динамическая система находится в квазистационарном режиме.

Уровень 2. Один параметр х динамической системы подлежит двустороннему ограничению: по минимуму и по максимуму. Динамическая система находится в квазистационарном режиме функционирования.

Уровень 3. Многопараметрическое одностороннее ограничение векторного параметра х = (х₁, …, х_n); многопараметрическое двустороннее ограничение. Динамическая система находится в квазистационарном режиме.

Уровень 4. Нестационарный режим функционирования, когда скорость изменения параметров ≠ 0.

Уровень 5. Хаотический процесс изменения х(t).

Проблема построения области допустимых состояний решалась, решается и будет решаться широко и глубоко в силу ее большой значимости для среды жизнедеятельности. Пока здесь имеет место некоторая незавершенность для физических систем, где приложен талант многих великих ученых.

Часто мы познаем границы Ω_доп так же, как животные: через потери (так, например, флаттер крыла самолета, колебания шимми колеса самолета [31]). Область допустимых состояний Ω_доп имеет границу S_доп, например, точку x_доп в одномерном случае для стационарного процесса, для случая двустороннего ограничения в виде изолированных точек х^н_доп, х^в_доп – нижнего и верхнего значений соответственно. Область критических состояний имеет границу S_кр, которая отстоит в одномерном случае на некоторую величину запаса Δ от S_доп.

В общем случае, когда х_доп = х_доп(t), для различных динамических систем на границе S_кр формируются процессы:

– детерминированные;

– квазидетерминированные;

– стохастические;

– квазистохастические.

Можно выделить две крайности для границы S_кр: жесткая и «эластичная». В первом случае нарушение границы S_кр приводит к «смерти» динамической системы, когда невозможен возврат в Ω_доп, во втором случае – к такой потере функциональных возможностей, когда возможен возврат в Ω_доп. Для построения математической модели оценки риска необходимо иметь достоверную информацию как о самих Ω_доп, S_доп, Ω_кр, S_кр, так и об особенностях функционирования динамических систем при их достижении.

Рис. 1.23

Приведем в качестве примера области состояния такой динамической системы, как человек (рис. 1.23). Пусть в точке М₁ = М₁(х₁), и ее окрестности (x₁ ± ε) в момент t энергия Е обеспечивает комфортное его состояние. За время жизни фактическое состояние организма, характеризуемое точкой М₂ = М(х), перемещается в сторону х₀ критической области. Чем дальше от х₁, т. е. ближе к х₀, при увеличении ρ(M, M₁) состояние человека ухудшается, достигая границы S_доп (х = х₀). За границей S_доп начинается область динамического хаоса, когда Е ≠ 0, но близко к нему. Катастрофа происходит тогда, когда Е = 0, организм полностью отключается при достижении критической точки х_кр.

Области допустимых значений параметров контроля и управления (состояний) для динамической системы, как правило, определяются в статических условиях. В основном это обусловлено простотой реализации систем контроля и управления. При переходе к динамической области состояния возникает многофакторное ее описание, и реализация систем контроля становится затруднительной.

Существуют два пути учета динамики:

1) уменьшение области Ω^с_доп, выбранной в статике;

2) учет допустимости выброса, т. е. введение в расчет допустимой величины времени выброса τ_доп, в область критических состояний.

При этом область допустимых состояний Ω_доп включает в себя области с фиксированными границами: устойчивости, наблюдаемости, управляемости, идентифицируемости. Сегодня эти области Ω(C) для динамических систем технического содержания получены в виде параметрических (C) соотношений. Однако при заданных С эта область зависит от (E, J, m), которые изменяются практически во всех системах, в том числе технических и биосистемах. Другое дело – причины, обусловливающие изменение θ = (E, J, m), различные для различных систем.

Отметим, что в области допустимых состояний динамической системы реализуются регулярные динамические процессы, когда процесс достижения поставленной цели контролируем и управляем. В области критических состояний динамических систем реализуются хаотические динамические процессы – непрогнозируемые, когда поставленная цель не достигается.

Объекты, которые можно различать и идентифицировать, должны находиться в режиме регулярной динамики. В режиме хаотической динамики динамическая система не идентифицируется. Процесс пребывания в критической области происходит различным образом как для различных динамических систем, так и для различных параметров одной и той же динамической системы. Так, например, для самолета такое критическое состояние, как сваливание в штопор и движение в нем на большой и малой высоте, завершается по-разному. В первом случае самолет, как правило, возвращается в область допустимых состояний, во втором – происходит пересечение с поверхностью земли, т. е. наступает энергетическая «смерть». При этом возникает проблема допустимости и недопустимости пребывания динамической системы в области критических состояний, так, например, хаотический режим свойственен не только динамическим системам, но и социальным и в частности их «атому» – человеку. Во всех случаях источником такого режима является функциональная особенность динамической системы, возникающая под действием внутренних и внешних факторов риска. Так, клинической смерти человека предшествуют хаотические режимы работы сердца. Если такие режимы ограничены по времени, то возможен выход из Ω_кр в Ω_доп.

Состояние динамической системы со структурой характеризуется различной степенью упорядоченности (рис. 1.24) с односторонним ограничением по минимуму, свойственной областям состояний Ω₁, Ω₂, Ω₃, на которые разделяется критическая область состояний Ω_кр динамической системы. В области Ω₁ возможна частичная потеря функциональных свойств, когда возможно самовосстановление. В области Ω₂ требуются специальные меры восстановления функциональных свойств динамической системы, динамика функциональных свойств которых хаотическая. Только после принятия специальных мер динамическая система способна выполнять исходную цель, возвратившись в область допустимых состояний. В области Ω₃ находятся те динамические системы, которые не подлежат восстановлению и сами являются источником хаоса для других динамических систем.

Рис. 1.24

Принцип минимальных потерь (риска) свойственен всем динамическим объектам бытия, и его реализация со стороны человека является основополагающей. Однако здесь не все благополучно и, на наш взгляд, делаются начальные вклады в этот процесс. Это обусловлено сложными связями динамических систем мегамира, которые включают в себя динамические системы макромира, а последние включают в себя динамические системы микромира, включающие в себя в свою очередь объекты тонкого мира. При этом одна и та же динамическая система рассматривается нами в зависимости от уровня проникновения в ее сущность:

– детерминированная, а процессы, порожденные ею, мы относим к регулярным;

– квазидетерминированная, а процессы, порожденные ею, мы относим к квазидетерминированным, включающим стохастическую компоненту как вспомогательную (неосновную);

– стохастическая, а процессы, порожденные такой динамической системой, мы относим к случайным.

Так, например, для динамической системы, описываемой математической моделью вида = f(x, W, V, t), где x, W, V – выходная координата, внешние и внутренние возмущающие факторы риска соответственно, на различных этапах анализа риска рассматривают следующие модели: 1) = f(x, t), 2) = f(x, V, t), 3) = f(x, W, t). Если W в последней модели является квазидетерминированным процессом, то принимаем x(t) квазидетерминированным, если во второй модели V – стохастический, то процесс x(t) также стохастический.

В каждом из миров: макро-, микро– и тонком мире – имеют место различные цели функционирования динамической системы, различные функциональные возможности их подсистем с соответствующими потерями и рисками. В зависимости от того, из какого пространства происходит оценка, вводится соответствующая мера. Если из макромира оценивается система микромира, то имеют место стохастические процессы; если наоборот – то имеют место детерминированные.

Мы часто рискуем, не подозревая об этом. Так было, например, с флаттером. При этом наш риск связан с незнанием законов явлений. Здесь работают детерминированные показатели, а выход в Ω_кр, когда возникает флаттер, обусловливает разрушение крыла самолета, когда наступает энергетическая «смерть» динамической системы [30, 31].

При анализе риска мы оцениваем, прогнозируем и управляем вероятностным процессом, а в качестве меры риска принимаем вероятности. Такой подход связан с особенностями принятых моделей, он имеет место для любой системы из иерархии систем. Так, например, для человека это:

– макроуровень на уровне тела и соответствующие риски;

– микроуровень на уровне органов и соответствующие риски;

– системы, реализующие алгоритмы контроля и управления, т. е. тонкий мир и соответствующие риски.

На каждом из этих уровней (миров) мы обнаруживаем допустимые и критические значения энергий и энергетическо-информационных потенциалов. При этом для анализа рисков необходимы:

– модель биофизическая в эготопическом пространстве;

– модель теоретическая в эготопологическом пространстве;

– процедуры теоретического расчета Ω_доп, Ω_кр;

– процедуры построения вероятностей риска P;

– модель систем контроля, прогнозирования и управления эгосферными рисками.

При формировании показателей риска и безопасности динамической системы возникает ряд проблем в связи с тем, что система обладает структурой, каждая из подсистем которой имеет возможность независимого изменения своего потенциала. Так, показатели риска и безопасности динамических систем, созданных человеком, формируются на следующих этапах их жизненного цикла [17, 21]:

– научно-исследовательском;

– проектно-конструкторском;

– производственном;

– эксплуатационном.

Существенным фактором выступает временной интервал оценки риска и безопасности для различных объектов. Так, например, экономика страны оценивается, как правило, за год работы, отрасли – за квартал, завода – ежемесячно, станка – ежедневно.

Таким образом, задача построения области включает в себя:

– обоснование совокупности параметров x состояния системы, подлежащих контролю и ограничению;

– разработку метода количественного расчета фактических значений параметров x с заданной степенью достоверности;

– задание и обоснование критических значений x, т. е. x_кр, где x = (x₁, …, x_n);

– разработку методов оценки погрешностей измерения параметров x с расчетной степенью достоверности;

– разработку метода численного расчета x^o_доп.

В общем случае область допустимых измеренных посредством средств контроля значений Ω^o_доп за счет погрешностей измерения отличается от Ω_доп, и, кроме того, Ω^o_доп зависит от x_ф, т. е. фактических значений индикаторов. Например, для рыночной социально-экономической системы Ω^o_доп = Ω^o_доп (x, у, z), где x = (x₁, x₂, …) – индикаторы производственной сферы; у = (у₁, у₂, …) – индикаторы финансовой сферы; z = (z₁, z₂, z₃, z₄) – индикаторы социальной среды с соответствующими подсистемами.

1.5. Вероятностные модели процессов, создаваемых динамической системой

Особенность разрабатываемой модели заключается в необходимости рассмотрения вероятностных процессов, порождаемых динамическими системами, обладающими структурно-функциональными свойствами. Такие системы обладают интеллектуально-энергетическим потенциалом, для контроля которого используется информационно-измерительная система.

Последняя предназначена для получения количественной информации о состоянии объекта исследования, обработки ее и выдачи потребителю. Следовательно, нужно рассматривать ее как средство получения информации в неразрывной связи с объектом исследования и потребителем. С помощью информационно-измерительных систем решается задача оценивания состояния системы путем обработки результатов измерений.

В системе контроля (подсистема 4) устанавливается соответствие между свойствами объекта контроля и заданной нормой, определяющей качественно различные области его состояния. При этом решаются следующие задачи:

– получение текущих значений контролируемых параметров x_i , определяющих данное состояние объекта контроля;

– сопоставление текущего значения х_i и его допустимых значений (x_i)_доп, которые описывают область нормального состояния объекта контроля;

– получение и выдача результатов контроля, т. е. суждения о том, каково положение компонент х_i вектора х относительно (x_i)_доп .

Отметим, что погрешности информационно-измерительных систем оказывают существенное влияние на результат контроля и, следовательно, создают предпосылки выхода параметров системы из допустимой области состояний.

Перечислим основные проблемы.

1. Есть динамическая система, она создана и подлежит изучению, моделированию, математическому описанию на структурно-функциональном уровне.

2. Для построения модели фактических значений процессов x(t), формируемых динамической системой, возможны измерения этих процессов, которые принимают значения в пространстве В₁ фазовых координат динамической системы.

3. Измеренные значения процесса x(t) обозначим х_изм – в общем случае случайные процессы или поля. Измеренным х_изм значениям необходимо ставить в соответствие вероятностное пространство B₂ = (Ω, f, P). Для отображения В₁ в В₂ вводятся символические обозначения, интерпретирующие объекты как аналоги в этих пространствах [17];

4. Исследование модели в вероятностном пространстве, получение показателей, которые могут быть подтверждены, так, например, экспериментальным методом.

Сложность такого подхода обусловлена неадекватностью отображения пространства В₁ в пространство В₂. Отметим, что вероятностное пространство служит базовой основой для [17]:

– вероятностных моделей;

– статистического моделирования;

– теории статистических решений.

В качестве вводных положений, необходимых в дальнейшем при применении теории вероятностей, используемой в теории риска динамических систем, приведем общее понимание теории вероятностей на структурном уровне [24].

Теория вероятностей как динамическая система знаний, синтезированная на структурно-функциональном уровне, представлена на рис. 1.25.

Рис. 1.25

Подсистема 1. Математическая статистика. Множества случайных величин. Вероятностное множество.

Подсистема 2. Теория вероятностей и случайных процессов. Вероятностное пространство. Основы создания математических моделей.

Подсистема 3. Математическое моделирование, средства и методы решения конкретных математических задач.

Подсистема 4. Оценка достоверности знаний. Математическая статистика. Погрешности.

Задача построения модели динамической системы формулируется следующим образом: по известным экспериментальным данным, полученным на выходе изучаемого объекта в виде множества исходов ω, необходимо создать модель М₁, формирующую множество исходов ω₁, близкое в некотором заданном смысле к ω.

Пусть мы нашли факторы ω на выходе изучаемого объекта, которым можем поставить в соответствие фактор ω₁ на выходе подсистемы 3, тогда можем рассматривать статистические функции распределения F(ω) и F(ω₁).

Созданная модель М₁ считается верной с точностью до (1–ε), если

|F(ω) – F(ω)₁) | < ε,

где ε – заданная величина.

Получен первичный критерий достоверности знаний, т. е. истинности модели М₁ [55] в виде F(ω₁), формирующей множество ω₁.

Рассмотрим способ построения вероятностных или статистических моделей, используемых для описания исследуемых систем и объектов, обладающих энергетическо-информационным потенциалом. При формировании этих моделей используются алгоритмы, однозначно определяющие содержание и последовательность операций, переводящих совокупность исходных данных в искомый результат – цель исследования. Количество операций (действий) определяется степенью детализации изучаемых статистических и вероятностных моделей. Необходимость систематизации алгоритмов статистических решений обусловлена изобилием объектов и систем.

Задача состоит в том, чтобы подобрать научно обоснованные правила построения алгоритма и в результате получить компактно изложенные основы построения вероятностных моделей, охватывающие все возможное многообразие конкретных алгоритмов, вместо рассмотрения конкретного алгоритма для построения конкретной характеристики. При этом необходимо осуществлять как синтез искомого алгоритма, так и его анализ. Поскольку алгоритм состоит из системы последовательно выполняемых действий от измерения физических величин до выдачи готового результата статистических измерений, расчленение алгоритма на составные элементы начинается с декомпозиции синтезированного алгоритма.

Кроме того, сложность построения искомой вероятностной модели для описания реальных систем связана с разнообразием характеристик. Так, в качестве характеристики положения распределения можно рассматривать: математическое ожидание, медиану, квантили заданного порядка, моду, антимоду; в качестве характеристики рассеяния: среднее квадратическое отклонение, срединное отклонение, интерквартильную широту; в качестве характеристик связи: корреляционные и кумулянтные функции (коэффициенты) разных порядков, структурные и дисперсионные функции. Каждая из указанных характеристик имеет свои функциональные достоинства или недостатки. Эти характеристики должны отвечать цели и назначению изучаемой вероятностной или статистической модели.

Постановку и решение задачи необходимо осуществлять с системных позиций, когда исследуемый объект – система – включен в процесс исследования и построения моделей различного уровня. Для оценки возможностей построения стохастических математических моделей рассмотрим возможности применения алгоритмов обработки статистических данных. На рис. 1.26 представлены результаты структурно-функционального синтеза системы алгоритмов теории статистических решений.

Рис. 1.26

Рассмотрим, в каком виде, какая информация нужна каждой подсистеме структуры, чтобы подсистемы могли реализовывать необходимые алгоритмы обработки статистических данных.

Сначала перечислим функциональные свойства подсистем.

Подсистема 1 порождает структуру системы в целом, способную идентифицировать процессы достижения цели (целеполагание), т. е. реализует синтез.

Подсистема 2 выполняет параметрический анализ, отражающие точностные характеристики.

Подсистема 3 реализует смешанные алгоритмы, синтез и анализ.

Подсистема 4 проводит оценивание законов, функций и плотностей вероятностей.

Процесс оценивания в подсистеме 4 непосредственно связан с величиной показателей достоверности знаний, основанных на:

– синтезе и идентификации;

– теории анализа внутренних компонент;

– формировании прикладных методов;

– оценке результатов.

Отметим, что идентификация структуры динамических систем возможна с использованием структуры выходных процессов динамической системы, так, например, с помощью моментных характеристик.

В подсистеме 1 (рис. 1.26) формируется показатель качества алгоритма, устанавливающего связь между функциональными свойствами подсистем структуры и выходным процессом системы. При этом показатель качества есть некоторая характеристика, определяющая соответствие алгоритма его назначению, оценивающая пригодность алгоритма для решения поставленной задачи и достижения искомой цели. Так, для оценки вероятностной характеристики в данный момент времени достаточно FN-диаграммы, а для прогнозирования той же характеристики необходима как минимум корреляционная функция процесса. При этом показатель качества, как правило, отражает одну из сторон функционирования и область применения алгоритма.

В основу построения математической модели, порождающей стохастические процессы, положим вероятностное пространство, сформированное согласно аксиоматическому методу – системе аксиом Колмогорова. Воспользуемся вероятностной моделью испытаний на базе системы аксиом со структурой [44].

При этом вероятностное пространство характеризуется набором математических объектов (Ω, , P), где Ω – пространство исходов или пространство элементарных событий, множества А из  – события, а P(A) – вероятность события А.

Базовой основой аксиоматической теории вероятностей служат теория множеств и теория меры. Структура построенных нами вероятностных пространств должна исчерпывать структуру процессов и полей, порожденных динамической системой, для исследования которых создано пространство. Наиболее трудный этап – установление связи между структурой процессов и структурой моделей самой динамической системы, сформировавшими эти процессы.

При построении стохастических математических моделей для математического описания физических объектов используются два принципа [44]:

– аксиоматический А.Н. Колмогорова A*₁, априори вводимых моделей;

– статистический фон Мизеса A*₂, апостериори вводимых моделей.

Подход A*₁ имеет в основе макромир, идет от него к микромиру методом дедукции; подход A*₂ имеет в основе микромир, идет от него к макромиру (методом индукции).

Эти подходы могут соединиться через структуру макромира, содержащую подсистемы микромира. Объединить эти два подхода может единая структура математической модели динамических систем. При этом A*₁ идет сверху вниз, а A*₂ – снизу вверх при изучении одной и той же динамической системы. Часто их пути расходятся: изучая одну и ту же динамическую систему, они приходят к различным конечным структурам моделей динамических систем.

Согласно сказанному, рассмотрим вероятностную модель, вероятностное пространство эксперимента с конечным пространством исходов. В результате изучения подхода, созданного Колмогоровым, получена система и осуществлен структурно-функциональный синтез вероятностной модели Колмогорова, представленный на рис. 1.27.

Рис. 1.27

На рис. 1.27 обозначено: ω – исходы динамической системы; Ω(ω) – множество исходов; М₀ – модель изучаемой динамической модели (фактическая модель); M*₀ – модель М на множестве исходов; M*₁ – модель М на алгебре подмножеств; M₁ – модель, созданная в результате синтеза и анализа множества Ω(ω), в результате чего мы ввели меру Р или в общем случае (Ω, А, Р), т. е. создали искомую модель М₁.

С целью анализа статистического подхода, созданного фон Мизесом, на рис. 1.28 схематично представлена взаимосвязь и различие на структурно-функциональном уровне рассматриваемых принципов построения математических моделей. Здесь случайные внешние факторы обозначены как W, W₁, W₂.

Рис. 1.28

Исходная ситуация в подходе Колмогорова обусловлена наличием структуры Σ, а функциональные свойства Ф_ст получены по материалам статистических испытаний. Исходная ситуация в подходе фон Мизеса обусловлена отсутствием структуры Σ, а функциональные свойства Φ получены по материалам статистических испытаний (Σ_ст, Ф_ст).

В качестве меры отличия моделей M₀, M₁, M₂ принимается отличие свойств созданных ими множеств, так, например, дисперсии погрешностей, обусловленных величинами Δ₁ = |x₀ – x₁| и Δ₂ = |x₀ – x₂|, где x₀, x₁, x₂ – случайные величины, порожденные соответственно моделями M₀, M₁, M₂.