Текст книги "Введение в теорию риска (динамических систем)"

2.4. Структурная устойчивость. Области устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий

Для динамических систем и порожденных ими случайных процессов вводят понятия структурной устойчивости [11–13, 42, 47]. Система является структурно-устойчивой, если ее свойства качественно не изменяются под действием возмущений.

Понятие структуры – основное для всех наук, занимающихся теми или иными аспектами теории динамических систем, – при любой степени общности предполагает некую «жесткость» динамической системы – способность сохранять тождество самой себе при различных внешних W и внутренних V возмущениях и изменениях. Общая теория структур динамической системы – это макроуровень, а функциональная теория динамической системы – микроуровень. Весьма сложная проблема их единения – отыскание общих принципов, закономерностей. Значительно сложнее проблема единой качественной теории динамических систем и объектов иерархии, когда необходимо единение макро– и микроуровней.

Особенности структур обусловлены упорядоченной иерархией структур динамических систем различной природы: физических, химических, биологических, экологических, технических, социальных. При этом необходимо разделять системы по функциональным признакам, но не структурным в силу единства последних. Функциональные признаки динамической системы идентифицируются, прежде всего, по последовательности упорядоченных явлений (процессов), направленных к реализации некоторой цели, которая в общем случае может быть функцией времени.

Структура – это свойство, необходимое любой динамической системе независимо от того, в каком состоянии она находится: в области допустимых или критических состояний [8, 16, 53]. Устойчивость динамической системы к возмущениям связывают с ее структурной устойчивостью [6, Т. 2, с. 44]. В общем случае рассматриваются структурная устойчивость и фазовые переходы, структурно-устойчивые системы при любых возмущениях. При этом рассматривают градиентные и автономные динамические системы.

Структурная устойчивость динамической системы связана с бифуркацией [55]. Эту связь можно представить как переход системы от одного структурно-устойчивого состояния к другому через структурно-неустойчивое состояние в точке бифуркации. Бифуркации, катастрофы свяжем с такими понятиями, как мягкие и жесткие границы критических состояний. В первом случае преодоление границ S_доп и выход в Ω_кр не обусловливают необратимые структурные изменения; во втором случае имеют место необратимые структурные изменения.

С введенными понятиями связан ряд фундаментальных работ [6, 8, 9, 16, 39, 40, 47, 53, 54, 58], в том числе:

– неустойчивость точки;

– глобальная неустойчивость;

– локальное неустойчивое многообразие;

– неустойчивое инвариантное подпространство;

– неустойчивый узел;

– неустойчивый фокус;

– расширенное неустойчивое инвариантное подпространство;

– расширенное неустойчивое инвариантное многообразие;

– структурно-неустойчивые состояния;

– структурно-устойчивое равновесие;

– структурно-устойчивые периодические траектории;

– центральное неустойчивое многообразие;

– условно неустойчивое многообразие;

– устойчивые по Пуассону траектории (устойчивый узел, устойчивый узел (+), устойчивый узел (–), устойчивый фокус);

– частичный порядок;

– предельная точка (α);

– предельное множество (ω);

– аттрактор;

– локальная бифуркация;

– критический случай.

Сложность поведения даже простых динамических систем и неисчерпаемое разнообразие моделируемых объектов обусловливают необходимость поиска универсального класса моделей, которые могли бы воспроизводить требуемый тип поведения любой динамической системы. Построение универсального класса моделей возможно через универсальные структуры динамической системы, через их эквивалентность. Важность структурной эквивалентности динамической системы состоит в возможности подразделить ее объекты на непересекающиеся классы. Все объекты, принадлежащие одному и тому же классу, обладают единством математических моделей средств и методов их изучения.

Структурную устойчивость динамической системы, как правило, связывают с таким понятием, как «грубость» системы. Динамическая система называется грубой, или структурно-устойчивой, если малые гладкие возмущения оператора эволюции приводят к топологически эквивалентным решениям.

Грубая динамическая система обладает следующим свойством: для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что при любом ее возмущении, отстоящем от нее в C¹-метрике не более чем на δ, существует гомеоморфизм фазового пространства, который сдвигает точки траектории не более чем на ε и переводит траектории невозмущенной системы в траектории возмущенной. Таким образом, при малом возмущении грубой системы получается система, эквивалентная исходной по своим топологическим свойствам.

Часто грубость и структурная устойчивость интерпретируются в более узком смысле, когда утверждается сохранение при малых возмущениях некоторых локальных свойств системы. В качестве примера приведем такие понятия, как локальная грубость. Локальная грубость, строго говоря, есть свойство системы, рассматриваемой в окрестности компактного инвариантного множества Е (гладкой динамической системы).

Пусть Е – положение равновесия потока или неподвижная точка каскада, т. е. динамической системы с дискретным временем. Тогда локальная грубость Е означает (необходимое условие): расположение собственных значений линеаризованной системы вне мнимой оси.

В качестве примера задания допустимых Ω_доп и критических Ω_кр множеств рассмотрим систему Морса-Смейла. Такая система является динамической – гладкий поток {S_i} или каскад {Sⁿ} (порожденный диффеоморфизмом S) на компактном (обычно замкнутом) дифференцируемом m-мерном многообразии M^m [15] – и имеет следующие свойства:

1) система имеет конечное число периодических траекторий (включая в случае каскада и неподвижные точки) и (в случае потока) положений равновесия;

2) каждая периодическая траектория из (п. 1) обладает локальной грубостью (обычно в определении фигурируют эквивалентные этому свойства соответствующих линеаризованных систем).

Это гарантирует существование у траектории соответственно устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий W^s = Ω_доп и Wⁿ = Ω_кр (если траектория устойчива или вполне неустойчива, то считается, что W и соответственно W^s сводятся к ней самой); размерность Wⁿ называется ее индексом.

Рассмотрим динамическую систему, состояние которой задано математической моделью в метрическом пространстве D. Построение области допустимых начальных состояний Ω_доп(x₀) связано с отысканием множества значений x₀, при которых динамическая система остается грубой, т. е. структурно-устойчивой. При этом в Ω_кр можно говорить о деструктуризации динамической системы, когда она не способна выполнять поставленную цель. Кроме того, есть, так называемый, странный аттрактор: инвариантное замкнутое множество, состоящее только из неустойчивых траекторий.

В дальнейшем для построения областей Ω_доп, Ω_кр, следуя Пуанкаре, будем использовать качественные особенности функций, задаваемых, прежде всего, дифференциальными уравнениями.

Этап 1. Исследуются все возможные типы траекторий, имеющие различные поведения и геометрические формы.

Этап 2. Дается описание для каждой группы качественно схожих траекторий.

Этап 3. Выделяются «особые» траектории, принадлежащие Ω_кр.

Этап 4. Согласно свойствам траекторий, наполняющих области Ω, Ω_доп, Ω_кр, вводится качественная структура разбиения фазового пространства траекторий.

Построение границы областей Ω_доп и Ω_кр (обозначим ее S_доп) представляет собой предмет специальной математической теории – теории катастроф, или бифуркаций. При этом в области Ω_доп имеет место регулярная динамика, в области Ω_кр – хаотическая динамика систем.

В общем случае рассматривается такая динамическая система А, математическая модель которой имеет вид

где C_α() – управляющий параметр, зависящий от , в частном случае C_α не зависит от .

Бифуркация – это качественное преобразование фазового портрета системы (2.9), т. е. его структурная перестройка, нарушающая топологическую эквивалентность, обусловленная соответствующими изменениями [15].

Изучаемые качественные свойства объекта А состоят в существовании других объектов D, некоторым образом связанных с ним. При этом бифуркация состоит в том, что при изменении C_α объекты D возникают или исчезают, в частности они могут сливаться друг с другом, или из одного объекта может рождаться несколько новых.

Катастрофами называют резкие изменения состояния системы, вызванные гладкими возмущениями оператора F(·), его эволюцией, в частности при изменении C_α(). Те значения C_α(·), при которых происходит бифуркация, называются точкой бифуркации.

Различают локальные и нелокальные бифуркации. Локальные бифуркации обусловлены сменой знака одного из ляпуновских показателей траектории. В особых точках – бифуркационных значениях параметров C_α() – имеют место качественные изменения фазовой картины расположения интегральных кривых. Это может выражаться в изменении типа особых точек, например превращение особой точки типа устойчивого фокуса в седловую, в изменении числа особых точек. Такие значения параметров управления (например, для подсистем структуры динамической системы) необходимо знать для определения границ области допустимых состояний, на которых происходит качественное изменение процесса движения динамической системы, например появление областей неустойчивости (динамической, прочностной, энергетической и т. п.). Таким образом, речь идет об определении бифуркационных или критических значений параметров C_α().

Отметим, что часто в теории особенностей динамической системы вместо бифуркаций говорят о катастрофах. Бифуркация подразумевает такую зависимость динамической системы от параметра С_α, когда в любой окрестности некоторого значения C_α0 (бифуркационное значение или точка бифуркации) параметра С_α исследуемые функциональные свойства объекта M(C_α) не являются одинаковыми для всех С_α. При этом M(C_α0) имеет качественные свойства, не адекватные M(C_α), которые могут возникать или исчезать.

В теории операторов M(C_α) – это нелинейный оператор Ф(x, C_α) с действительным параметром С_α, определенный в окрестности точки х = 0 и такой, что Ф(0, C_α) = 0. Этому оператору при каждом фиксированном С_α ставятся в соответствие объекты M₁(·) – решения х нелинейного операторного уравнения Ф(x, C_α) = 0. При этом точка бифуркации (обозначим ее C_окр) – это точка, в которой происходит рождение нового нетривиального решения x(C_α) этого уравнения.

Если Ф(x, C_α) – нелинейный вполне непрерывный оператор, непрерывно дифференцируемый в смысле Фреше и такой, что Ф_х(0, C_α) = С_αА, то точками бифуркации оператора Ф могут служить лишь характеристические значения оператора А. Цель такого анализа – установить ветвление решения x = 0, рассмотрев неединственность решения нелинейной задачи.

В ряде случаев более точную информацию дают аналитические методы теории ветвления решений нелинейных уравнений. Случаи, когда среди корней характеристического уравнения динамической системы имеется, по крайней мере, один нулевой или пара чисто мнимых, называются критическими, а исходные уравнения в этих условиях можно рассматривать как математическую модель особых ситуаций при функционировании изучаемой динамической системы. В этих критических ситуациях об устойчивости или неустойчивости динамической системы нельзя судить по линейным уравнениям возмущенного состояния, необходимо исследовать уравнение (2.9):

– путем численного интегрирования;

– качественным методом, основанном на исследовании особенностей решений нелинейных уравнений.

Последний метод позволяет идентифицировать многообразие стационарных состояний и выявить вид особых ситуаций по характеру области неустойчивости.

Рассмотрим идею метода на простом примере. Пусть состояние динамической системы описывается одним уравнением

– f(x(t), C_α) = Ф'(x(t), C_α) = 0,

где С_α – параметр системы. Отсюда следует

где Ф(x(t), C_α) может быть принята в качестве функции Ляпунова, если она позволяет судить о поведении решений.

Для построения области допустимых состояний динамической системы могут быть использованы методы, рассматривающие ветвления решений нелинейных уравнений, т. е. явление перехода одного решения нелинейного уравнения в несколько решений или полное его исчезновение при малых изменениях параметров динамической системы.

Запишем исследуемое нелинейное уравнение в виде

F(x, C_α) = 0          (2.10)

с параметром С_α (характеризующим, например, конструктивные свойства динамической системы или особенности подсистем, которые могут выходить из строя), которое имеет при фиксированном значении С_α решение x₀. Наша задача – построить область значений Ω_доп пар (x_i, C_αi) (i = 0, 1, 2…), при которых динамическая система имеет единственное решение, что обеспечивает решение задачи прогнозирования целедостижения и само целедостижение в силу допущения (C_α0, x₀) Ω_доп(х, С_α).

Пусть при значениях С_α, близких к C_α0, уравнение (2.10) имеет несколько решений х(С_α), близких к x₀. В этих случаях говорят, что происходит ветвление решения x₀, а пару (x₀, C_α0) называют точкой ветвления решения уравнения. При этом бифуркационное значение или точка бифуркации – это то значение С_α (обозначим его (C_α)_кр), при котором исследуемые качественные свойства динамической системы не являются одинаковыми для всех С_α. Значение (C_α)_кр представляет собой границу области допустимых величин для динамической системы. В общем случае (C_α)_кр = (С_α())_кр, т. е. представляет собой некоторое множество, которому можно поставить в соответствие область Ω_кр(C_α()).

Современная теория ветвления решений основывается на идеях А.М. Ляпунова и Э. Шмидта и наиболее развита для нелинейных уравнений в банаховых пространствах [38]:

1) в комплексных банаховых пространствах, когда С_α – комплексная переменная, а F(x, C_α) – нелинейный оператор, непрерывный вместе с Фреше-производной F_х(x, C_α) в окрестности ω точки (x₀, C_α0);

2) в случае вещественных пространств уравнения изучаются в комплексной области, а затем отбираются вещественные решения;

3) в случае когда F(x,C_α) – достаточно гладкий оператор, параметр С_α – элемент еще одного банахова пространства Е, то область S_доп точек (С_αi, x_i) разветвления могут заполнить в Е линии или поверхности;

4) частный случай, когда F(x, C_α) = x – Ф(x, C_α), Ф(0, C_α) = 0, исследуется топологическими, вариационными методами и методами, использующими конусы в банаховом пространстве.

Исследование процессов образования, поддержания и распада структур динамических систем имеет место на уровне структурно-функциональных пространств. Сложность анализа макро-и микросистемных структур в процессе самоорганизации, перехода и распада состоит в следующем.

1. В точке бифуркации решающее значение имеют флуктуации, т. е. стохастические процессы.

2. Неравновесные фазовые переходы обладают некоторыми особенностями, отличными от обычных фазовых переходов, например чувствительностью к форме границ и т. п.

3. В равновесной статической механике не существуют самоподдерживающиеся колебания.

4. В равновесной термодинамике широко используются такие понятия, как энтропия, производство энтропии и т. д., неадекватные при рассмотрении неравновесных фазовых переходов.

5. Теория катастроф основана на использовании некоторых потенциальных функций.

Проблема построения допустимой Ω_доп и критической Ω_кр областей связана с зависимостью от х и С_α – соответственно параметров фазовой траектории и конструктивно-управляющих. При этом возможны следующие ситуации.

1. Если объект создан и C_α = const, тo необходимо при заданных C_α найти Ω_доп или x_доп – границу в одномерном случае.

2. Если объект создан и С_α ≠ const, то ставится задача: найти (x_доп, С_α доп), где x_доп = f(C_α, x), C_α доп = f₂(С_α, x).

3. Если объект не создан, то необходимо на этапе проектирования найти C_α доп при заданном значении х_доп.

4. Пункты 1, 2, 3 рассматриваются в статике, в установившемся движении и в неустановившемся движении.

Область допустимых состояний Ω_доп динамической системы рассматривается на различных уровнях, которые сложились в процессе развития математической теории систем. При этом были внесены специфические уровни математики, ее особенности и ограниченные возможности. Базовые уровни математики определяют теоретические основы. Теоретические основы построения области допустимых состояний динамической системы включают в себя качественную теорию динамических систем в пространстве параметров: фазовых траекторий х; С_α, характеризующих функциональные свойства; х и С_α совместно.

При решении проблем риска нам необходимо найти условия, которым должна удовлетворять динамическая система, способная достичь заданную цель. Основное условие – это наличие структуры с соответствующими данной цели функциональными свойствами подсистем. Одно из определяющих свойств подсистем – возможность управления подсистемами и в целом системой. Управление возможно, если динамическая система находится в области допустимых состояний Ω_доп. Процессы, протекающие в Ω_доп, будем называть регулярными или управляемыми.

При приближении к S_доп (границе Ω_доп) падает качество регулирования, происходят потери, обусловленные отклонением фактической величины цели от требуемой. Область Ω⁽¹⁾_доп, где происходят эти потери, будем называть областью квазирегулярных процессов (динамики). После пересечения S_доп и выхода динамической системы в область критических состояний Ω_кр в некоторой области Ω⁽²⁾_доп, прилежащей к S_доп, возникают квазихаотические процессы. При этом процесс управления не позволяет достигать цель. Область Ω⁽²⁾_доп будем называть областью квазихаотических процессов. Из этой области возможен возврат в Ω_доп.

После выхода из Ω⁽²⁾_доп в Ω_кр происходит полная потеря функциональных возможностей либо одной из подсистем, либо всех. Как правило, здесь происходит полная потеря энергетических ресурсов подсистемы целереализации. Область Ω_кр будем называть областью хаотических процессов.

Представляется важным в теории риска установить связь структуры процессов на выходе динамической системы с ее структурой на макро– и микроуровне и структурой процессов на входе . Выделим следующие процессы:

– регулярные χ₁;

– стохастические χ₂;

– хаотические χ₃;

– квазирегулярные χ₁₂;

– квазистохастические χ₂₂;

– квазихаотические χ₃₂.

Структура регулярных динамических процессов, порожденных соответствующими динамическими системами, может быть исследована, например, с помощью рядов Фурье и может быть охарактеризована четными либо нечетными членами ряда, конечным числом членов ряда или бесконечным.

Каждому процессу χ₁, χ₂, χ₃, χ₁₂, χ₂₂, χ₃₂ мы можем поставить в соответствие динамическую систему U(Σ, Φ, E, J, m), способную создать эти процессы. Более того, мы хотим судить о структурно-функциональных свойствах динамической системы по процессам, которые она создала. Это интегральная или итоговая оценка. Этот путь позволяет нам, например, утверждать на уровне «да – нет», находится ли система в области Ω_доп или Ω_кр. Например, когда на входе у = х₁ и на выходе динамической системы х = χ₁,то система находится в Ω_доп. Если на входе у = χ₁, а на выходе х = χ₃, то система находится в Ω_кр.

Имея подобную информацию, мы можем судить о близости структурно-функциональных свойств динамической системы к Ω_кр или о выходе их в Ω_кр, в которой мы имеем квазихаотический процесс Х₃₂ или хаотический χ₃. Процессы χ₃₂ и χ₃ характеризуют соответственно возвратные и невозвратные состояния динамической системы в область Ω_доп.

Выделим процессы с простейшей структурой:

1) если процесс х такой, что х = sin(ωt + φ), то мы будем относить его к простейшему, а структуру динамической системы, породившей этот процесс, – к простейшей;

2) если динамическая система создала стохастический процесс x = χ₂, когда на входе y = χ₂, который полностью характеризуется математическим ожиданием и корреляционной матрицей (t – τ), то это будет динамическая система с простейшей структурой.

В общем случае структура случайного процесса в существующих математических теориях рассматривается на следующих уровнях:

– стационарные и нестационарные;

– начальные и центральные моменты различных порядков;

– одномерный и многомерный нормальный, у которого структура характеризуется математическим ожиданием и корреляционной матрицей.

Взаимосвязь между случайными возмущениями, их структурой и структурно-функциональными свойствами динамической системы может быть установлена в простейшем случае посредством корреляционной функции выходного процесса. Сегодня подобные задачи решены на уровне спектральной плотности.

Для решения задачи необходимо прогнозировать структуру выходного сигнала и оценить его вероятность остаться в безопасной области или покинуть ее и достигнуть критическую область состояния динамической системы, либо прогнозировать структурно-функциональные свойства этой системы U(Σ, Φ, Ε, J, m). Существующая теория устойчивости создана для анализа поведения выходных параметров, т. е. итогов функционирования динамической системы. Она связана с прогнозом структуры выходного сигнала. Это правильно, если мы рассматриваем механическую систему в ее единстве, у которой нет подсистем, способных функционировать самостоятельно, с большим запаздыванием, искажать цель и т. д.

Для систем с иными структурно-функциональными свойствами необходим иной подход, связанный с оценкой роли внешних W(t) и внутренних V(t) факторов риска (возмущающих факторов).

Внутренние факторы риска разрушают:

– ресурсы;

– функциональные свойства подсистем (обозначим их α);

– структуру динамической системы в целом (обозначим их β).

При некоторых условиях, характеризующих α и β, можно говорить о структурной, функциональной и структурно-функциональной устойчивости динамической системы.

Качественный анализ допустимых состояний динамической системы, прогнозирование и управление могут быть осуществлены при наличии:

1) теоретических основ расчета области допустимых Ω_доп и критических Ω_кр состояний, например, с использованием:

– теории устойчивости (микропроцессы);

– теории катастроф (макропроцессы);

– теории потенциала (субмикропроцессы);

– численных методов (некорректных задач);

2) математических моделей систем контроля М_к и управления М_у;

3) математических моделей погрешностей контроля и управления;

4) вероятностных показателей, характеризующих опасные и безопасные состояния динамической системы, в том числе в пространстве случайных процессов и полей (систем с сосредоточенными и распределенными параметрами).