Текст книги "Введение в теорию риска (динамических систем)"

1.6. Вероятностные показатели рисков и безопасности

В общем случае в процессе функционирования динамических систем измерению и ограничению подлежат многомерные процессы. В дальнейшем ограничимся рассмотрением одномерного и двумерного процессов. В этом разделе мы рассмотрим несколько моделей процессов контроля индикаторов х(t) состояния как динамической системы, имеющих односторонние и двусторонние ограничения. При одностороннем ограничении возможны следующие ситуации.

1. Простейшая ситуация.

Ограничиваемый процесс х(t) – одномерный, ограничения односторонние, в нашем примере – по минимуму (рис. 1.29), значение х¹_доп вычислено в системе контроля точно, без ошибок, ошибки измерения δх = х_ф – х_изм равны нулю, т. е. х_изм = х_ф; динамикой процесса х(t) и ошибками управлений можно пренебречь. При этих условиях критическое значение х, т. е. х_кр, совпадает с х¹_доп. Такую ситуацию и модель (систему) будем считать идеальной.

Рис. 1.29

2. Системе контроля присущи ошибки вычисления х_доп.

Система контроля вычисляет х_доп с ошибкой δх_доп. При этом множество Ω¹_доп уменьшают на некоторую величину Δ₁, которую называют запасом (рис. 1.30).

С помощью Δ₁ компенсируются потери, обусловленные погрешностями δх_доп как факторами риска. При этом х²_доп > х¹_доп.

Рис. 1.30

3. Измеренное значение х_изм индикатора х и его фактическое значение х_ф отличаются на величину δх – погрешность измерения, которая отлична от нуля. При этом с целью компенсации потерь, обусловленных δх, вводят новое множество Ω^o_доп, которое называется областью допустимых значений х, полученных при измерении или оценке, и соответствующий запас Δ₂ = х³_доп – х_кр (рис. 1.31).

4. В некоторых случаях динамика процесса = dx / dt такова, что ею нельзя пренебрегать в силу свойств системы управления (ее инерционных характеристик). Тогда вводят запас Δ₃ = х⁴_доп – х_кр (рис. 1.32) для компенсации потерь, обусловленных в том числе динамикой процессов.

Рис 1.31

Случай двусторонних ограничений, накладываемых на х(t), представлен на рис. 1.33.

Рис. 1.32

Граничные элементы множества (Ω)_э обозначим (х^н)_доп и (х^в)_доп, где (х^н)_доп < (х^в)_доп, т. е. Ω_э – это область допустимых состояний, когда отсутствуют динамика системы и погрешности контроля, т. е. область допустимых состояний, например, из условий устойчивости. При этом имеем

x^н_доп = x^н_кр + Δ^н; x^в_доп = x^в_кр – Δ^в,

где x^н_кр, x^в_кр – соответственно нижнее (минимальное) и верхнее (максимальное) критические значения индикатора; x^н_доп, x^в_доп – соответственно нижнее (минимальное) и верхнее (максимальное) допустимые значения контролируемого и ограничиваемого индикатора; Δ^н, Δ^в – соответственно нижняя и верхняя величины гарантийного запаса для индикатора, вводимые на случай непреднамеренного выхода x за допустимые значения при неблагоприятном сочетании возмущающих факторов, в том числе из-за ошибок измерения. При этом критические значения, как правило, определяются для установившегося режима функционирования социально-экономической системы, когда компоненты вектора состояния x постоянны или изменяются пренебрежимо мало.

Рис. 1.33

Задача построения множества допустимых состояний для нестационарной социально-экономической системы более сложна и в настоящее время еще не получила окончательного решения. В отличие от установившегося движения здесь необходимо рассматривать также скорость изменения ограничиваемого параметра системы.

Введем множество (Ω)^дин_доп допустимых значений x в неустановившемся режиме:

(Ω)^дин_доп = {x : (x^н)^дин_доп ≤ x ≤ (x^в)^дин_доп},

где (x^н)^дин_доп = φ^н(x^н_доп, ); (x^в)^дин_доп = φ^в(x^в_доп, ); φ^н, φ^в – неизвестные функции, подлежащие определению; .

Рассмотрим множество (Ω)^к_доп, заданное с учетом погрешностей системы контроля. Информационно-измерительная система обладает погрешностями δ(t), в результате в простейшем случае на ее выходе имеем (x)_изм = (x)_ф + δ. Погрешности измерения δ = δ(t) обусловливают необходимость введения допустимых x^к_доп, индицируемых на выходе системы контроля, значений контролируемого и ограничиваемого параметра x(t), т. е. дополнительного запаса.

Множество (Ω)^к_доп допустимых в процессе контроля (оценки) значений x(t) определим следующим образом:

(Ω)^к_доп = {x : (x^н)^к_доп < x < (x^в)^к_доп},

где (x^н)^к_доп, (x^в)^к_доп – соответственно нижнее и верхнее допустимые при контроле значения x(t) (рис. 1.33). В частном случае

(x^в)^к_доп = (x^в)_доп – Q^в; (x^н)^к_доп = (x^н)_доп + Q^н,

где Q^в, Q^н – соответственно верхний и нижний запасы, обусловленные погрешностями измерения и подлежащие определению в процессе анализа риска.

В общем случае величины (x)^к_доп (Ω)^к_доп являются функциями ряда параметров и имеют вид

(x)^к_доп = f(x₁, …, x_n, (x₁)_доп, …, (x_n)_доп, (x₁)_кр, …, (x_n)_кр, k_i, σ², t),

где k_i – параметр системы контроля, подлежащий определению при проектировании ; σ² – дисперсия погрешностей функционирования информационно-измерительной системы; f – функции, описывающие закон изменения области Ω^к_доп(x^к_доп).

На рис. 1.34 приведены графические представления указанных выше множеств для двумерного вектора состояния в стационарном случае. На данном рисунке обозначено: Ω_доп = Ω_э; (Ω₂)_доп = (Ω₂)_э; (Ω₁)_доп = (Ω₁)_э.

Рис. 1.34

Будем говорить, что риск динамической системы равен нулю, если ее параметры х постоянно находятся в области допустимого состояния, и записывать х Ω_доп. Движение на границе области Ω_доп или вблизи ее иногда является требуемым режимом такой динамической системы, как социально-экономическая. Последствия возникновения нештатного режима, т. е. выхода из области Ω_доп, часто называют кризисом или катастрофой. При этом говорят, что динамическая система сменила базис своего состояния. Как правило, динамическая система по завершении переходного процесса переходит из одного установившегося состояния в другое. В связи с тем, что новое состояние в Ω_кр не отвечает ее целевому назначению, его необходимо предотвратить. В общем случае область Ω_доп и ее граница S_доп зависят от следующих управлений-возмущений, действующих, например, на социально-экономическую динамическую систему со стороны внешней среды:

– ресурсов (v₁);

– государства с его законами и исполнительными органами (v₂);

– общества, в том числе трудового коллектива, требующего от социально-экономической системы выполнения своих запросов (v₃);

– космоса и окружающей среды, требующих вложения человеческих сил для обеспечения нормальной жизнедеятельности космоса (v₄);

– культуры, создающей определенный интерес к другой жизни и другим взглядам на жизнь, желания изменить свою жизнь (v₅);

– политики, без которой сегодняшнее общество не существует (v₆);

– финансов, т. е. стимула для развития динамической системы (v₇).

Каждое из этих управлений-возмущений непрерывно изменяется как во времени, так и в пространстве состояния динамической системы. Таким образом, Ω_доп = Ω_доп(v(v₁, …, v₇), Ω_кр = Ω_кр(v₁, …, v₇).

С учетом сказанного, при оценке рисков и безопасных значений индикаторов динамической системы необходимо принимать во внимание следующее.

1. На вход динамической системы поступают ресурсы, а на выходе имеем совокупность параметров х(t), подлежащих контролю, ограничению и управлению.

2. Динамическая система предназначена для достижения заранее определенной цели, которая может меняться в процессе функционирования, в том числе по воле человека.

3. Невыполнение поставленной задачи означает потери создателя динамической системы и его риск.

4. Каждая динамическая система имеет множество критических состояний, в которых она теряет свои свойства и не способна выполнять поставленные задачи.

5. Потери, обусловленные недостижением цели, связаны с выходом контролируемых параметров в критическую область.

6. Область допустимых состояний Ω_доп и соответствующие ей x_доп изменяются в процессе функционирования и определяются экспериментально или теоретически.

7. Для предотвращения потерь и наилучшего достижения цели динамическая система должна включать в себя системы контроля и управления.

8. Система контроля обладает погрешностями, что обусловливает в процессе функционирования динамической системы необходимость строить область допустимых состояний Ω^к_доп. При этом, как правило, Ω_доп и Ω^к_доп не совпадают, т. е. Ω^к_доп Ω_доп.

9. Оператор (человек), используя информационно-измерительную систему для управления, получает измеренные значения контролируемых параметров, которые обозначим x_изм.

10. На выходе динамической системы реализуются фактические значения параметров, которые обозначим x_ф. При этом x_изм = x_ф + δх, где векторный случайный процесс δх – погрешность информационно-измерительной системы.

11. Фактические значения параметров x_ф, в силу объективных причин, обусловленных внешними возмущениями и внутренними шумами, а также субъективными причинами, свойствами управлений от человека, изменяющимися случайным образом, представляют собой случайные процессы. На этапе анализа динамической системы векторный процесс x_ф должен задаваться с помощью математических моделей.

12. Для компенсации влияния δх на величину риска вводятся такие допустимые при контроле значения x^к_доп и соответствующая им область Ω^к_доп Ω_доп, которые в одномерном случае записываются в виде |x_доп – x^к_доп| > 0, когда реализуется требование x_доп ≠ x^к_доп.

13. При контроле над динамическими процессами, когда скорость изменения процесса во времени ≠ 0, необходимо вводить дополнительный запас, например, в виде = k || и вектор х^дин_доп = х_доп ± . В результате имеем Ω^к_доп Ω^дин_доп Ω_доп при двустороннем и одностороннем ограничении.

14. Предотвращение потерь состоит в обеспечении условия x_ф(t) Ω_доп(t) для любого момента времени t функционирования динамической системы. Для целей управления мы располагаем величиной x_изм, кроме того, система контроля индуцирует не область Ω_доп, а Ω^к_доп. При этом х^к_доп = х_доп + δх_доп, где δx_доп – погрешность функционирования системы контроля, а x^к_доп задает границы Ω^к_доп. В этих условиях можно обеспечить только условие х_изм Ω^к_доп, а это означает, что возможен выход x_ф из области Ω_доп, что может привести к соответствующим потерям и рискам.

15. В силу того, что процессы x_ф и x_изм являются случайными, в качестве меры риска будем рассматривать вероятности P событий, приводящие, например, к экономическим, техническим, финансовым и другим потерям.

16. С учетом сказанного, необходимо разработать показатели риска

P = P(x_доп, x^дин_доп, x^к_доп, М^о_k(х_ф), М^о_k(х_изм), a, b),

где М^о_k(х_ф) – центральный момент k-го порядка векторного случайного процесса x_ф для всех k N; М^о_k(х_изм) – центральный момент k-го порядка векторного случайного процесса x_изм; векторные величины a, b – параметры системы.

17. Полученные расчетным путем вероятности Р_i уточняются в процессе функционирования динамической системы. В общем случае уточняются как P_i, так и область Ω^к_доп.

Рассмотрим математическую модель вероятностных показателей риска и безопасности с учетом введенных понятий.

Поиск решения задачи в работе осуществляется при следующих допущениях относительно контролируемого и ограничиваемого индикатора x:

– критическое значение параметра состояния постоянно и не зависит от времени (x_кр = const);

– фактические и измеренные значения параметра представляют собой случайные процессы с известным законом распределения;

– превышение параметром (когда ограничение сверху) величины x_кр на любом интервале времени ведет к критической ситуации.

Введем необходимые обозначения.

Текущее, или фактическое, значение параметра запишем в виде x_ф = x_н + Δx, где x_н – номинальное значение (математическое ожидание) параметра; Δx – отклонение параметра движения x относительно x_н. Обозначим через δx погрешность измерения параметра. Тогда измеренная величина параметра контроля x будет определяться суммой:

x_изм = x_н + Δx + δx.

Обозначим α x_н + Δx = х_ф; β δx; γ x_изм = α + β ( означает равенство по определению); x^в_доп x^в, x^н_доп x^н – соответственно верхнее и нижнее допустимые значения х_ф; x^кв_доп , x^кн_доп – для измеренных значений x верхнее и нижнее допустимые соответственно; x^н < < < x^в (рис. 1.35).

Очевидно, что по известным вероятностным характеристикам (Δx, δx, x_изм) находятся вероятностные характеристики (α, β, γ) и наоборот. При этом рассматривается вектор (α,γ) зависимых случайных процессов, в частности стационарных, а α и β – независимые случайные процессы (величины).

В процессе выполнения поставленной цели относительно фактических и измеренных значений возможны следующие события.

1. Фактическое значение α параметра находится в области допустимых значений, т. е. на одном из трех отрезков, принадлежащих промежутку [x^н, х^в] (рис. 1.35). Тогда имеем событие А_α {(x^н ≤ α ≤ ) ( ≤ α ≤ ) ( ≤ α ≤ х^в)}.

2. Фактическое значение α находится вне области допустимых состояний, превышая х^в (рис. 1.36). В итоге имеем В_α {α > х^в}.

3. Фактическое значение α находится вне области допустимых состояний, не достигая х^н (рис. 1.37). В итоге имеем C_α {α ≤ х^н}.

Рис. 1.35

Рис. 1.36

4. Измеренное значение γ индикатора х состояния динамической находится в области допустимых состояний объекта (рис. 1.38). В этом случае имеем событие A_γ { ≤ γ ≤ }.

Рис. 1.37

Рис. 1.38

5. Измеренное значение γ индикатора х состояния динамической системы находится вне области допустимых значений, превышая (рис. 1.39). В итоге имеем В_γ {γ ≥ }.

6. Измеренное значение γ индикатора х находится вне области допустимых значений, не достигая (рис. 1.40). В итоге имеем С_γ {(γ ≤ )}.

Рис. 1.39

Рис. 1.40

В процессе контроля индикатора х, изменяющегося во времени на всей числовой оси, возможны следующие гипотезы.

Гипотеза А_α. Ограничиваемый индикатор х, его фактическое значение х_ф, находится в области допустимых значений, т. е. имеет место событие А_α.

Гипотеза В_α. Фактическое значение индикатора динамической системы x_ф находится вне области допустимых состояний B_α. С помощью средств контроля или оценки имеем А_γ, В_γ или С_γ.

Гипотеза С_α. Фактическое значение индикатора динамической системы x_ф находится вне области допустимых состояний С_α. С помощью средств контроля или оценки имеем А_γ, В_γ или С_γ.

В итоге имеем различные события S_ij, которые сгруппируем следующим образом:

I. (А_α ∩ А_γ); → S₁₁;

II. (А_α ∩ С_γ); (А_α ∩ В_γ); → S₂₁, S₂₂;

III. (С_α ∩ А_γ); (В_α ∩ А_γ); → S₃₁, S₃₂;

IV. (С_α ∩ С_γ); (В_α ∩ В_γ); → S₄₁, S₄₂;

V. (С_α ∩ В_γ); (В_α ∩ С_γ); → S₅₁, S₅₂.

Полученные события характеризуют следующие контролируемые состояния динамической системы:

I) безопасные (в норме);

II) опасное ложное из-за ошибок измерения (фактическое безопасное);

III) опасное (пропуск со стороны системы контроля);

IV) опасное известное (форс-мажор);

V) опасное известное – нонсенс (несообразность), вероятность которого пренебрежимо мала.

Каждое из событий S_ij характеризуется соответствующей вероятностью:

1) вероятность Р₁₁ = Р(S₁₁) = Р(А_α ∩ А_γ) – когда поступает информация о допустимом состоянии х, и фактическое его значение х_ф допустимо;

2) вероятности Р₂₁ = Р(S₂₁) = Р(А_α ∩ С_γ) и Р₂₂ = Р(S₂₂) = Р(А_α ∩ В_γ) – когда значение х_ф находится в допустимой области, а система контроля фиксирует недопустимое значение;

3) вероятности Р₃₁ = Р(S₃₁) = Р(С_α ∩ А_γ) и Р₃₂ = Р(S₃₂) = Р(В_α ∩ А_γ) – значение х_ф находится вне допустимой области, но система контроля подает сигнал о допустимом состоянии объекта;

4) вероятности Р₄₁ = Р(S₄₁) = Р(С_α ∩ С_γ) и Р₄₂ = Р(S₄₂) = Р(В_α ∩ В_γ) – значение х_ф находится вне области допустимых состояний, одновременно система контроля подтверждает это состояние;

5) вероятности Р₅₁ = Р(S₅₁) = Р(С_α ∩ В_γ) и Р₅₂ = Р(S₅₂) = Р(В_α ∩ С_γ) – значение х_ф находится вне области допустимых состояний, например по минимуму (максимуму), а система контроля показывает, что объект находится в недопустимой области, но с противоположной стороны – максимальной (минимальной).

Совокупность Р_ij (; j = 1,2) образует полную группу несовместных событий, т. е. .

Событие (А_α ∩ А_γ) соответствует правильному анализу состояния системы, а вероятность Р₁₁ характеризует безопасное ее состояние, при котором осуществляется основная цель динамической системы. Если же осуществляются такой контроль и управление, при которых наступают события S₂₁, S₂₂, S₃₁, S₃₂, S₄₁, S₄₂, S₅₁, S₅₂, то цель, поставленная перед управляющей системой, не выполняется, так как возникают неоправданные (лишние) затраты потенциала θ = (E,J,m) по управлению. Эти состояния характеризуются потерями и называются опасными.

В качестве основных интегральных характеристик невыполнения цели, т. е. риска, будем рассматривать вероятности событий (S₂₁, S₂₂), (S₃₁, S₃₂), (S₄₁, S₄₂), (S₅₁, S₅₂):

Р₂ = Р(S₂₁ S₂₂) = Р(S₂₁) + Р(S₂₂),

Р₃ = Р(S₃₁ S₃₂) = Р(S₃₁) + Р(S₃₂),

Р₄ = Р(S₄₁ S₄₂) = Р(S₄₁) + Р(S₄₂),

Р₅ = Р(S₅₁ S₅₂) = Р(S₅₁) + Р(S₅₂).

В дальнейшем из рассмотрения можно исключить ситуации, характеризуемые вероятностью Р₄, когда система контроля нам указывает на критическую ситуацию, но мы не имеем в своем распоряжении управления, способного возвратить в область безопасных состояний.

Система контроля, для которой события S₅₁ или S₅₂ теоретически осуществимы, порождает измеренные случайные величины или процессы, когда х_ф находится в области (х_ф < ), а измеренное значение х_изм – в области (х_изм > ) (рис. 1.41, здесь φ(·) – плотность распределения) или наоборот.

Рис. 1.41

Если учитывать физическую нереализуемость такого контроля, то события S₅₁ и S₅₂ невозможны.

На примере вероятностей Р₂, Р₃, которые наиболее важны при оценке риска динамической системы, рассмотрим построение математической модели, позволяющей получить численную оценку вероятностей Р₂ и Р₃. Для вероятностей Р₁, Р₄, Р₅ все выводы аналогичны и не представляют труда.

В качестве основных интегральных характеристик невыполнения цели будем рассматривать величины вероятностей событий (А_α ∩ В'_γ), (B'_α ∩ A_γ):

P₂ = P(A_α ∩ B'_γ) = P(A_α)Р(B'_γ | A_α);

P₃ = P(B'_α ∩ A_γ) = P(B'_α)Р(A_γ | В'_α),

где В' = (B_γ С_γ), В'_α = (C_α B_α).

Вероятность Р₂ характеризует появление ложной информации, поэтому назовем ее вероятностью ложной оценки состояния, а Р(В'_γ | А_α) = Р'₂ – условной вероятностью ложной оценки состояния.

Вероятность Р₃ характеризует такое состояние, при котором превышение х значения х_кр не фиксируется в процессе контроля или оценки параметра х. Эту вероятность назовем вероятностью опасной ситуации, а P (A_γ | В'_α) ⁼ Р'₃ – условной вероятностью опасной ситуации. Вероятности Р₂ и Р₃ включают Р'₂, Р'₃, которые не зависят от характеристик средств оценки или контроля и поэтому при анализе и синтезе системы контроля могут не рассматриваться. Однако это необходимо учитывать при назначении допустимых значений Р₂, Р₃, Р'₂, Р'₃. При этом Р₂ и Р₃ отличаются от Р'₂, Р'₃ на постоянные величины.

Запишем вероятности Р₂ и Р₃ в явном виде и выразим их через x^н, x^в, , и плотности распределения вероятностей случайных величин α и γ. Вероятность

Воспользуемся дистрибутивными свойствами символов ∩ и . Обозначим

Тогда для Р₂ имеем:

Рассмотрим каждое из пересечений отдельно. Рассмотрим область на плоскости:

Так как α и β – случайные независимые величины, то область их значений можно изобразить так. Обозначая реализацию α через x, а реализацию β – через y, получим ситуацию, изображенную на рис. 1.42 в виде области G₁. Аналогично рис. 1.43–1.47:

Рис. 1.42

Рис. 1.43

Рис. 1.44

Рис. 1.45

Рис. 1.46

Рис. 1.47

Используя равенства (1.6), несовместность α и β, независимость А, В, С и несовместимость D, K, получим

где

φ_α(x) – плотность вероятностей случайной величины α, φ_β(y) – плотность вероятностей случайной величины β;

Таким образом, Р₂ есть сумма двух вероятностей, одна из которых обусловлена событиями D, вторая – событиями K. Отметим, что полученное выражение справедливо для двустороннего ограничения индикатора х, подлежащего контролю и ограничению, когда измеренная величина х_изм, с учетом погрешностей δх, удовлетворяет D или K.

Окончательно,

Из теории вероятностей известно, что

где F_β(x) – функция распределения случайной величины β; R_β(x) – дополнительная функция распределения случайной величины β. Тогда формулу (1.7) можно переписать в следующем виде:

Перейдем к вычислению вероятности P₃:

Таким образом,

Если параметры подчинены односторонним ограничениям, то, согласно формулам (1.8) и (1.9), вероятности событий (A_α ∩ B_γ) и (A_γ ∩ B'_α) вычисляются следующим образом. В случае одностороннего ограничения сверху можно считать, что x^н и → ∞, тогда F_β(–∞) = 0:

В случае одностороннего ограничения снизу можно считать, что x^в, → +∞, и тогда

Аналогично, если x^н, → +∞, то

Если x^в, → +∞, то

Часто при практических расчетах удобно использовать не φ_α(x), а , где Δх = х_ф – х_н. В этом случае для индикатора, подлежащего ограничению снизу, получаем:

где W(t, Δx, δx) – совместная плотность распределения случайных процессов Δx, δx в момент времени t; x_n = x^к_доп.

Вид подынтегральной функции выражений (1.11), (1.12) либо (1.13), (1.14) и основные факторы, подлежащие учету при ее формировании, определяются объектами или подсистемами анализируемой системы и их режимом работы, а также множеством других параметров и факторов. При этом погрешность δx, как правило, не оказывает влияния на величину отклонения от номинального режима Δx. Это обстоятельство есть допущение, которое каждый раз необходимо проверять.

С учетом сказанного выше, при практических расчетах вероятностей P_i зависимостью между погрешностями измерения δx и величинами отклонения параметров Δx от номинального режима можно пренебречь. В результате

где Δ = x_доп – x_н; Δ¹ = x_n – x_н – Δx.

На рис. 1.48 представлена геометрическая интерпретация событий, соответствующих вероятностям P₂ и P₃, определяемым в случае, когда ограничение сверху.

Рис. 1.48

Из последних соотношений следует, что вероятности Р₃ и Р₂ зависят от плотностей распределения W₁(Δx) отклонений x от номинальных значений x_н, пороговых x_n и допустимых x_доп значений параметров, плотности распределения суммарной погрешности W₂(δx). В случае одностороннего ограничения Р₃ представляет вероятность попадания точки (Δx, δx) в область G₁, ограниченную прямыми Δx = а = x_доп – x_н и δx = x_n – x_н – Δx (рис. 1.49). Величина δx изменяется от –∞ до b = x_n – x_н. Вероятность попадания точки (Δx, δx) в область G₂ представляет собой Р₂.

Случай двустороннего ограничения параметров представлен на рис. 1.50. При этом Р₃ представляет вероятность попадания точки с координатами (Δx, δx) в области G₁ и G₃ одновременно, а вероятность Р₂ – попадание (Δx, δx) в области G₂, G₄ одновременно.

Если Р₃ и Р₂ удовлетворяют допустимым или нормативным значениям Р_доп, то система способна выполнять поставленную перед ней цель. Если, например, Р₃ > Р_3доп, то необходимо принимать решение об изменении, в том числе уменьшении границ пороговых значений x_n.

Рис. 1.49

Рис. 1.50