Текст книги "Введение в теорию риска (динамических систем)"

Полученные вероятностные показатели рисков и безопасности динамических систем могут быть применены в практической деятельности человека, если мы сможем установить области допустимых состояний изучаемой динамической системы и построить плотности вероятности случайных процессов, подлежащих контролю и ограничению.

Проблемы решения обусловлены:

1) принадлежностью любой динамической системы к иерархии динамических систем бытия, что обусловливает особенности анализа;

2) тем, что в общем случае динамическая система обладает структурно-функциональными свойствами, которые в процессе функционирования динамической системы подвержены как эволюции, так и инволюции;

3) наличием взаимосвязи динамических систем, направленных на достижение единой цели в общем случае на иерархическом уровне.

Теоретические основы оценки потерь и соответствующих рисков динамической системы связаны с разработкой математических моделей, направленных на нахождение методов и средств нейтрализации потерь, например путем построения областей допустимых состояний Ω_доп и построения таких управлений, при которых динамический объект не покидает Ω_доп.

При этом теория риска динамических систем посвящена подтверждению возможности или невозможности реализации и формирования динамическими системами таких процессов, когда достигается поставленная цель.

Теория риска включает в себя разработку:

1) теоретических основ расчета области допустимых Ω_доп и критических Ω_кр состояний с использованием:

– теории устойчивости;

– теории катастроф;

– численных методов и т. п. согласно структурно-функциональным свойствам динамической системы;

2) математических моделей объектов контроля и управления;

3) теоретических основ математических моделей погрешностей систем управления;

4) теоретических основ построения математических моделей погрешностей систем контроля;

5) теоретических основ анализа и синтеза систем контроля и управления;

6) математических основ построения численных показателей риска в пространстве случайных величин, процессов и полей;

7) метода расчета допустимых значений показателей риска и их корректировки путем изменения области допустимых состояний;

8) оценки возвратных и невозвратных критических состояний;

9) методов и средств полунатурального и натурального моделирования.

В общем случае теория риска с указанных позиций изучает объекты биосферы, этносферы, социосферы, техносферы, эгосферы в их взаимосвязи, взаимовлиянии. При изучении эгосферы имеют место проблемы взаимодействия потерь и рисков, возникающих на уровнях мегамира, макромира, микромира и тонкого мира. Это позволяет рассматривать проблемы риска человека как элемента биосферы и социосферы.

Построение показателей риска и безопасности управляемых динамических систем включает разработку:

1) математических моделей областей опасных и безопасных состояний динамической системы, т. е. Ω,_кр и Ω_доп соответственно;

2) модели изменения выходных параметров x(t) под воздействием внешних W(t) и внутренних V(t) возмущающих факторов риска, т. е. R = (W, V);

3) модели вероятностных характеристик векторного процесса x(t), т. е. плотностей вероятностей W(x, t), как в текущий момент времени, так и в упрежденный;

4) модели процесса x(t) при переходе из Ω_доп в Ω_кр и наоборот:

– процедуры расчета допустимого времени пребывания динамической системы в области Ω_кр;

– разработка средств и методов вывода из области Ω_кр.

Выход в Ω_кр при различных факторах риска R порождают различные фазовые траектории, которым соответствуют различные допустимые временные интервалы τ₀ выхода из Ω_кр и различные характеристики движения х(t).

Глава II. Классические динамические системы. Опасные и безопасные состояния

В данной главе рассматриваются фрагменты теоретических основ построения областей опасных и безопасных состояний, необходимых для расчета вероятностей риска и безопасности Р = (Р₁, Р₂, Р₃, Р₄) классических динамических систем, наделенных информационно-энергетическим потенциалом. Функциональные свойства подсистем структуры таких систем неизменны во времени и пространстве так же, как и целевые возможности системы в целом.

2.1. Классификация динамических систем. Вводные понятия

В качестве примеров, поясняющих суть дальнейших рассуждений, рассмотрим следующие системы.

1. Интеллектуальная система эгосферы управляет интеллектуальным потенциалом, ее деятельность направлена на изменение внутренних функциональных свойств подсистем единой системы – эгосферы.

2. Человек как динамическая система создает внутренние и внешние процессы в виде интеллектуальных и материальных объектов.

Введем следующие динамические системы на качественном уровне, положим в основу классификации такие рассмотренные в первой главе понятия, как функциональные свойства, структура, структурно-функциональные свойства.

Функциональные динамические системы – это такие системы, деятельность которых направлена на самосовершенствование – эволюционное развитие своего внутреннего потенциала [42].

Структурные или классические динамические системы наделены неизменными целевыми функциями при неизменных функциональных свойствах подсистем структуры, реализующих заданные цели [36].

Структурно-функциональные или суперклассические динамические системы реализуют комплексную деятельность, в процессе которой реализуется функциональное саморазвитие подсистем структуры, а также развитие динамических систем иерархии.

Введенные динамические системы, обладая различными потенциалами, реализуют различные уровни целедостижения.

Функциональные динамические системы, например эгосфера [26], осуществляют саморазвитие посредством энергетического потенциала, создаваемого системой, преобразуя энергию внешней среды.

Структурные динамические системы в процессе функционирования реализуют информационно-энергетический потенциал, заложенный в них согласно программам, неизменным во времени.

Структурно-функциональные динамические системы осуществляют свое целевое назначение путем саморазвития и реализации интеллектуально-энергетического потенциала согласно программам, заложенным в них при создании.

С учетом сказанного, структурные системы будем называть информационно-энергетическими, а структурно-функциональные – интеллектуально-энергетическими. Первые будем относить к классическим динамическим системам, вторые – к суперклассическим, учитывая, что последние создают первые.

Классические динамические системы [36].

В процессе эволюции теоретико-математических знаний о динамических системах введены несколько классов динамических систем, включающих:

«Классические динамические системы», исследованные Немыцким и Степановым (публикация 1949 г.).

Классические динамические системы включают:

«Динамические полусистемы», исследованные Бушау (1963 г.), Халкиным (1964 г.), в которых обобщено классическое определение динамических систем путем введения (рассмотрения) различных входных воздействий или внешних факторов W.

«Динамические системы и автоматы» в единстве, принадлежащие одному классу объектов, когда определение системы или машины включает входные воздействия и выходные величины. Создатели этого направления теоретических знаний: Задэ, Дезоер (1963 г.); Арбиб (1965); Вейес, Калман (1965 г.); Уаймор (1967 г.); Уиндекнехт (1967 г.).

Отметим особенности структурных динамических систем, у которых функциональные свойства неизменны.

Теория структурных динамических систем, которым посвящена работа [36], создана для динамических систем, в общем случае обладающих функциональными свойствами, которые либо неизменны во времени и пространстве, либо изменяются под воздействием внешних факторов W, в общем случае случайных. При этом структурные свойства системы исследуются в работе [36], где сказано: «Заметим, что одного знания текущего значения входного воздействия u(t) может оказаться недостаточным для предсказания выходной величины y(t). Предыдущие входные воздействия, подававшиеся на систему, могли изменить структуру Σ (например, из-за накопления энергии в первом приведенном примере или из-за срабатывания некоторого внутреннего переключателя во втором) настолько, что это приведет к изменению выходной величины. Другими словами, в общем случае значение выходной величины системы Σ зависит как от текущего значения входного воздействия, так и от предыстории этого воздействия. Лучше всего было бы не делать специальных различий между текущим и предшествующим входным воздействием системы. Поэтому мы будем говорить, что текущее значение выходной величины системы Σ зависит от состояния системы Σ, и определим чисто интуитивно текущее состояние системы Σ как такую часть настоящего и прошлого системы Σ, которая необходима для определения настоящих и будущих значений выходной величины. Другими словами, мы рассматриваем состояние системы Σ как некоторую (внутреннюю) характеристику системы Σ, значение которой в настоящий момент времени определяет текущее значение выходной величины и оказывает влияние на ее будущее. И если рассуждать совсем упрощенно, то состояние можно рассматривать как своего рода хранилище информации, или запоминающее устройство, или накопитель прецедентов. При этом нам нужно, конечно, потребовать, чтобы множество внутренних состояний системы Σ было достаточно богатым для того, чтобы вместить всю информацию о предыстории системы Σ, необходимой для предсказания влияния прошлого на будущее. Однако мы не станем требовать, чтобы состояние содержало лишь минимум такой информации, хотя, конечно, подобное требование является удобным упрощающим предположением».

Для того чтобы заслужить название «динамической», система Σ должна обладать еще одним свойством. Знание состояния x(t₁) и отрезка входного воздействия ω = ω(t₁, t₂] должно быть необходимым и достаточным условием, позволяющим определить состояние x(t₂) = φ(t₂; t₁, x(t₁), ω) каждый раз, когда t₁ < t₂. Заметим, что в связи с этим придется потребовать, чтобы множество моментов времени Т было упорядоченным, т. е. чтобы в нем было определено направление времени. Обычно упорядоченность множества Т выбирается так, чтобы прошлое предшествовало будущему. Заметим также, что введенное понятие «динамической» системы, грубо говоря, совпадает с понятием «причинной» системы в том смысле, что прошлое влияет на будущее, но не наоборот. Короче говоря, математическое понятие динамической системы служит для описания потока причинно-следственных связей из прошлого в будущее.

Внутренние свойства классической динамической системы отображаются функциями φ и η. Первая функция отображает итоговые свойства на структурном или системном уровне, и, как правило, эти свойства неизменные. Вторая функция описывает процесс наблюдения в виде y(t) = η(t, x(t)) выходных координат х(t) состояния, которая формируется переходной функцией состояния φ вида: x(t) = φ(t; t₀, x(t₀), ω) X.

Здесь внешнее взаимодействие динамической системы со средой характеризуется функциями ω, γ:

– множество допустимых входных воздействий Ω = {ω: T → U}, где U – множество значений входных воздействий, каждый элемент которого есть u(t) (управление);

– множество выходных (наблюдаемых) величин Г = {γ : T → Y}, где η : T × X → Y; y(t) Y; y(t) = η(t, x(t)); отображение η есть сужение некоторого γ Г на (τ, t].

Согласно сказанному, можно уточнить, что есть управление и как оно реализуется.

Если x(t₂) = φ(t₂; t₁, x(t₁), ω), то х(t₁) и отрезок входного воздействия ω = ω(t₁, t₂), включающего входное воздействие U(t), где t [t₁, t₂], выступают в качестве управлений, когда ω Ω – узкому классу функций.

Таким образом, структурные динамические системы изменяют свое состояние в нужном направлении посредством функции U(t), которая либо задана, либо вводится в систему посредством внешних команд. Так вводится классическая динамическая система. Более подробное изложение можно найти в работе [36].

Структурно-функциональные или суперклассические динамические системы характеризуются наличием: входных воздействий, выходных величин, функциональных свойств подсистем структуры. Таким системам свойственно самообеспечение безопасности движения и эффективности функционирования, реализуемое в подсистемах: стратегического, тактического, оперативного контроля, включая подсистему целеконтроля.

В структурно-функциональных динамических системах изменение состояния реализуется посредством:

– введения управления U(t);

– изменения функциональных свойств подсистем Φ_i .

Первое формируется согласно потребностям внешней среды, второе формируется (изменяется) согласно потребностям внутренней среды (подсистем).

Совместная реализация U(t) и Φ_i формирует комплексное управление, обеспечивающее как эффективность (посредством U(t)), так и безопасность (посредством Φ_i ).

В отличие от классических динамических систем суперклассические способны формировать стратегические и тактические управления. При этом посредством стратегического управления реализуется прогнозирование будущего состояния динамической системы. Так, прогнозируя состояние х(t) в момент времени Т, т. е. зная х(Т), система способна обеспечивать такие управления, при которых:

1) система не выходит в критическую область, т. е. обеспечивается максимальная безопасность в момент времени t [t₀,T);

2) система достигает максимальное саморазвитие и соответственно максимальную эффективность самореализации в среде на отрезке времени t [t₀,T).

При этом будущее формируется не только согласно тому, что было в прошлом, а также тому состоянию, которое формирует структурно-функциональные динамические системы, анализируя будущее. К таким системам относятся рыночные динамические системы [34], которые, образно говоря, представляют интеллектуально-энергетические динамические системы, способные формировать и реализовывать стратегические, тактические и оперативные управления своим состоянием.

Таковы основы развития теории иерархии динамических систем бытия от структурных к структурно-функциональным или интеллектуально-энергетическим.

Человечество, как и человек [26], представляет собой самоуправляющую систему, которая создана согласно принципу минимального риска, имеющую структуру с обратной связью, каждая из подсистем которой наделена необходимыми функциональными свойствами. В отличие от человека, созданного природой, человечество само создает свою управляющую систему, основой которой является социальная система. По этой причине здесь сегодня много проблем, как и в далеком прошлом. Отметим, что иерархия систем бытия, в том числе социальная система, включает множество динамических систем, овеществленных в виде объектов и систем различного уровня.

Всем биодинамическим системам свойственны единые циклы изменения энергетическо-интеллектуального потенциала. К таким системам относятся: этносы, цивилизации, экономика, общество, государственные и религиозные системы, т. е. все те системы, где есть человек и им созданные динамические системы.

Кризисы и катастрофы, например экономики, создаются по причине влияния внешних W(t) и внутренних V(t) факторов риска. Первые изменяют ресурсный потенциал, поступающий извне, вторые – внутренний потенциал, в том числе посредством деструктуризации системы или нарушения функциональных возможностей подсистем.

На рис. 2.1 в качестве примера представлены пространства возможных состояний экономики. В области Ω₃, когда имеют место функциональные возможности Φ₃₁, Φ₃₂, наблюдаются стабильное производство и потребление. Область Ω₁ – критическое состояние, обусловленное внешней средой, падением энергии и, как следствие, падением функциональных возможностей Ф₁. Область Ω₂ создана внутренней средой, когда функциональные возможности Ф₂ подсистемы (2) социальной системы находятся в критической области.

Рис. 2.1

Одновременное влияние внешней и внутренней среды, внешних W и внутренних V факторов создает хаос. Это зависит от уровней W и V, их противостояния или, наоборот, совместного усиления (ускорения) достижения границы критических значений S_кр, за которой возникает хаос: падение производства, цен, занятости. Эти процессы естественны для всех динамических нелинейных систем, созданных в биосфере.

2.2. Области устойчивых и неустойчивых состояний классических динамических систем

Области опасных и безопасных состояний в современной теории динамических систем строятся путем отыскания областей устойчивого и неустойчивого состояния динамической системы [15]. Теоретические основы такого подхода основываются на математических моделях динамических систем.

Математические модели динамических систем строятся согласно их целевому назначению. Это естественно, ибо основная задача динамических систем – достижение цели – должна быть исследована на возможность безопасного достижения последней. Существующие математические модели не есть модели динамических систем, а только той подсистемы, которая представляет собой ее материальную часть. При этом, как правило, ограничиваются фазовым пространством состояния динамической системы, так, например, пространством R³, где исследуются устойчивость, управляемость и наблюдаемость. Если вчера мы рассматривали только физические объекты и разрабатывали для них математические модели, то сегодня мы изучаем биосистемы. Происходит эволюция наших научных знаний об объектах различного уровня.

Рассмотрим особенности математических моделей, описывающих функционирование динамической системы «с точки зрения внешнего поведения». При этом «внутреннее поведение» либо отсутствует, либо мало, либо мы его не в состоянии учесть и пренебрегаем, а оценки погрешности не даем.

Рассматривается механическая система с конечным числом степеней свободы. Такая система характеризуется ее расположением (конфигурацией) и скоростью изменения последнего. При этом закон движения указывает, с какой скоростью изменяется состояние системы во внешней среде.

Закон движения в простейшем случае записывается в виде автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Изучением механических систем занимаются следующие разделы математики.

Топологическая динамика посвящена разработке теорий на теоретико-множественном уровне, таких как: предельное множество траекторий, минимальное множество, почти периодичность, дистальность, устойчивость по Лагранжу, устойчивость по Пуассону и др.

Эргодическая теория в своих истоках была посвящена классической статистической физике, когда рассматривалась гамильтонова система дифференциальных уравнений и требовалось, не решая ее, указать свойства статистического характера, проявляющиеся в поведении при всех или почти всех ее фазовых траекториях.

Теория гладких динамических систем в основном посвящена качественной теории дифференциальных уравнений. Гладкие динамические системы исследуются локально и глобально. В первом случае производят исследование: положения равновесия и других специальных типов траекторий; квазипериодических движений и инвариантных многообразий, некоторых классов инвариантных множеств.

В моделях механических систем используют:

– процессы и поля детерминированные;

– процессы и поля стохастические;

– хаотические процессы и поля.

При этом общепринятая математическая модель имеет следующий вид:

= f_i (ω₁, …, ω_n) ,

или в векторной форме

= f(ω),          (2.1)

здесь ω – некоторый вектор, описывающий состояние динамической системы. Множество всех ω образует фазовое пространство.

Кинетическая интерпретация: в каждый момент времени векторная скорость движения фазовой точки () равна вектору f(ω), исходящему из той точки ω фазового пространства, где в данный момент находится движущаяся фазовая точка.

В общем случае фазовое пространство, в котором заданы фазовые точки, обобщается с евклидова пространства на дифференцируемое многообразие W^m . В локальной системе координат многообразия W^m движение динамической системы описывается системой (2.1). Глобальное (пригодное для всех состояний динамической системы) и инвариантное описания движения, согласно (2.1), справедливы, если f задано на W^m векторным полем, сопоставляющим каждой точке ω вектор f(ω), лежащий в касательном пространстве к многообразию в этой точке.

Вводится инвариантное многообразие W – подмногообразие фазового пространства такого, что траектория, проходящая через некоторую точку ω W, целиком лежит в W.

Если сделано предположение о дифференцируемости векторного поля f(ω), то гарантировано, что для каждой точки ω₀ W^m существует ровно одно решение ω(t) системы (2.1), имеющее ω₀ своим начальным значением ω(0) = ω₀.

Если траектория покидает фазовое пространство W^m, то в локальных вопросах, как правило, нецелесообразно делать какие-либо предположения о дальнейшем поведении этих траекторий.

Одним из условий принадлежности динамических систем области безопасных состояний, когда система способна выполнять цель, является ее устойчивость [39, 40, 53]. Это условие можно отнести к необходимому в силу того, что устойчивость динамической системы является необходимым условием достижения поставленной цели.

Как правило, для неустойчивой динамической системы фактическое значение цели Ц_ф даже при небольшом возмущении покидает область допустимых значений Ω_доп(Ц) и переходит в область критических значений Ω_кр(Ц). Согласно сказанному, построение допустимой (безопасной) области состояний Ω_доп для динамической системы осуществляется в следующих состояниях:

– равновесия посредством теории статической устойчивости;

– регулярной динамики посредством теории устойчивости;

– хаотической динамики [39, 40, 53].

В основу такого разделения положены математические модели скорости протекания динамических процессов, влияющих на траекторию движения:

– внешних и внутренних сил, действующих на динамическую систему;

– управляющих процессов, порождающих силы и моменты;

– ответной реакции динамической системы путем образования сил и моментов, направленных на компенсацию возмущающих факторов, не адекватных потребным значениям, обусловливающих неустойчивые состояния.

Так, в области регулярной динамики, когда возможно прогнозирование, наблюдение, идентификация, имеют место как компенсация, так и усиление возмущающих факторов. Для хаотической динамики характерны непрогнозируемые процессы.

В качестве примера рассмотрим тело массой т (например, космический корабль), движущееся в физическом пространстве. Здесь имеет место:

1) модель М₁ в мегамире, например под воздействием сил тяготения (гравитационных) и других энергетических полей небесных планет, когда внутренние процессы не влияют на траекторию движения;

2) модель М₂ в макромире относительно заданного пространства (например, трехмерного) в детерминированном описании пространственных координат;

3) модель М₃ в микромире движения под действием сил и моментов внутреннего и внешнего происхождения стохастической природы, обусловливающие колебания, вращение и в итоге большие и малые отклонения от заданной траектории (цели);

4) модель М₄ движения с учетом атомарной структуры в тонком мире, например структур внутренних полевых и сосредоточенных энергетических случайных процессов, обусловливающих потери, например разрушение систем контроля и управления.

Цель динамической системы или ее целевое назначение определяет, в каком пространстве должна рассматриваться математическая модель. Если цель состоит в достижении заданной точки, например в R³, то на выходе системы имеет место вектор-функция x(t) = (x₁(t), x₂(t), x₃(t)) – фазовая траектория в пространстве состояний.

В общем случае, когда цель динамической системы формирует иерархия (например, биосфера), математическая модель должна быть создана согласно изменениям энергии Е, информации J и массы т вещества.

В общем случае для синтеза и анализа динамических систем нужны математические модели энергетических и информационных процессов для реализации как внутренних, так и внешних целей информационно-энергетического обеспечения.

Уровень достоверности математической модели определяется целью синтеза и анализа динамических систем, т. е. реализации цели посредством (с помощью) математической теории [56]. Рассмотрим один из возможных подходов, когда уровень модели определяется с учетом затрат на ее создание.

Пусть наши теоретические возможности могут быть реализованы:

– по максимальному уровню (α);

– по минимальному уровню (β).

Уровню α соответствуют затраты, равные А, а уровню β – В. При этом затратам А соответствуют ошибки δ_α, а В – δ_β. Этим ошибкам соответствуют потери при функционировании динамической системы. Последние подлежат экономическому анализу, например, в рамках теории риска.

При этом модели создаются путем:

– описания в функциональном пространстве;

– описания в пространстве параметров.

В пространстве параметров координатами являются числовые значения величин, определяющих выходные данные. При этом говорят о фазовом пространстве или пространстве фазовых координат, если модель описывается дифференциальными уравнениями.

Структура объекта на фазовом уровне и соответствующая ей структура на функциональном уровне – это первый, основной этап создания математической модели динамической системы. Так, можно создать модель структуры на эготопическом уровне, когда описана структура органов эгосферы. На втором этапе в эготопологическом пространстве полученная структура наделяется функциональными свойствами – вводятся функции Ф_i для каждой из подсистем структуры.