Текст книги "Введение в анализ риска"

2.3. Показатели риска пересечения двух траекторий

Пусть l₁ представляет собой траекторию движения первого самолета, а l₂ – траекторию полета второго самолета или рельеф местности при полете первого самолета на малой высоте.

Рассмотрим вероятности P_пр и P_лс для параметров движения l₁ и l₂, расположенных в пространстве различным образом: l₁ и l₂ параллельны; l₁ и l₂ пересекаются, их общие точки контролируются двумя системами контроля.

Выберем правую систему координат (X_g,Y_g,Z_g), начало которой зафиксируем на Земле, а ось OY_g направим по местной вертикали вверх (рис. 2.4).

Пусть , представляют собой невозмущенные траектории движения. В этом случае каждая из них – прямая с единичными направляющими векторами

где δ_i, δ′_i (i=1, 2, 3) – углы между векторами и и координатными осями OX_g, OY_g, OZ_g соответственно.

Рис. 2.4

При этом параметры траектории движения ψ(t), θ(t) (рис. 2.4) будут связаны с углами δ_i и δ′_i следующими соотношениями:

cosδ₁ = cosψ₁ cosθ₁; cosδ'₁ = cosψ₂ cosθ₂;

cosδ₂ = sinψ₁ cosθ₁; cosδ'₂ = sinψ₂ cosθ₂;

cosδ₃ = sinθ₁; cosδ'₃ = sinθ₂.

Обозначим через M(x_M,y_M,z_M) точку, перемещающуюся по прямой , а через N(x_N,y_N,z_N) – точку, перемещающуюся по прямой . Выберем фиксированные точки M₀(0,0,0) и N₀(x₀,y₀,z₀) . Тогда параметрические уравнения и примут следующий вид:

где τ₁ > 0, τ₂ > 0 – переменные параметры, равные расстоянию от M₀ до M и от N₀ до N соответственно, которые берутся со знаком плюс, если направление векторов , совпадает с направлением векторов , соответственно; α, β, γ – направляющие косинусы прямой l₁, т. е. α = cosδ₁, β = cosδ₂, γ = cosδ₃; α′, β′, γ′ – направляющие косинусы прямой l₂, т. е. α′ = cosδ'₁, β′ = cosδ'₂, γ′ = cosδ'₃.

Пусть (ξ_M, η_M, μ_M) = λ_M – случайный векторный процесс с известным законом распределения W_М(x,y,z), который характеризует погрешности выдерживания пространственно-временного положения точки M l₁, а (ξ_N, η_N, μ_N) = λ_N – случайный векторный процесс с известным законом распределения W_N(x,y,z), который характеризует погрешности выдерживания пространственно-временного положения точки N l₂.

Случайное положение точек M₁ и N₁, координаты которых обозначим λ_М1 = [ξ_М1,η_М1,μ_М1] и λ_N1 =[ξ_N1,η_N,μ_N1], подчинено следующей системе равенств:

При определении событий A и B, входящих в вероятность P₄ = P_пр, будем рассматривать следующие случаи: полет на встречном или попутном направлениях, который характерен для крейсерского режима полета по заданному эшелону, или полет в зоне аэропорта, когда l₁ и l₂ пересекаются.

Сначала рассмотрим движение самолетов на встречных курсах. Для вычисления P₄ из (2.1) введем вектор

Ему соответствует следующее множество недопустимых или критических состояний ЛА:

где ; (l_x)_доп, (l_y)_доп, (l_z)_доп – величины, характеризующие размер опасной зоны, представляющей собой прямоугольный параллелепипед со сторонами, равными, например, размерам самолета. Последнее означает, что X принадлежит недопустимой области, т. е. оно принадлежит критической области.

Для измеренных значений вектора введем множество недопустимых или критических по прибору значений χ:

где ; (l_x)^пр_доп, (l_y)^пр_доп, (l_z)^пр_доп, – величины, характеризующие область допустимых по прибору состояний (рис. 2.4). В результате получим

При этом самолет находится в критической области, т. е. в области пересечения со встречным самолетом, а система контроля утверждает противоположное.

Для описания события В₂ введем вектор

χ₁ = (ξ_M – ξ_N; η_M – η_N; μ_M – μ_N)

и область

где Δl = (Δl) = (Δl₁, Δl₂, Δl₃); Δl₁ = x_N – x_M; Δl₂ = y_N – y_M; Δl₃ = z_N – z_M. Тогда получим

Для события A₁ введем = χ₁ + δχ₁, где

где δχ₁ = (δξ, δη, δμ); δξ = δξ_M – δξ_N; δη = δη_M – δη_N, δμ = δμ_M – δμ_N, ; ; ; ; χ_M = (ξ_M, η_M, μ_M); χ_N = (ξ_N, η_N, μ_N).

Тогда область допустимых значений χ по прибору запишется в виде

При этом имеет место

Искомая вероятность P_пр запишется в виде

Рассмотрим случай, когда l₁ и l₂ пересекаются. При этом область опасного сближения представляется косоугольным параллелепипедом и вести интегрирование по такой области в декартовой системе координат трехмерного пространства сложно. Поэтому осуществим линейное ортогональное преобразование системы координат по следующей схеме: ось ΟΥ′ направим по направляющему вектору прямой l_i; ось OX′ параллельна вектору , который находится по формуле , где = (α,β,γ); = (α′,β′,γ′). Направление оси OX′ выберем так, чтобы система координат была правой и прямоугольной. В случае если угол φ между векторами и не равен π/2, нужно осуществить поворот относительно оси OZ′ на угол φ и перейти к системе координат OUVW, т. е. ось OX′ должна перейти в ось OU, ось OY′ — в OV, а ось OZ′ — в OW. В результате получим

X = α_UU + α_VV + α_WW;

Y = β_UU + β_VV + β_WW

Z = γ _UU + γ_VV + γ_WW,

где

α_U = α₁cosφ + α₂sinφ; α_V = α₂cosφ – α₁sinφ; α_W = α₃;

β_U = β₁cosφ + β₂sinφ; β_V = β₂cos φ – β₁sinφ; β_W = β₃;

γ_U = γ₁cosφ + γ₂sinφ; γ_V = γ₂cosφ – γ₁sinφ; γ_W = γ₃;

α_i, β_i, γ_i – косинусы углов между осями OX′ и OX, OY′ и OY, OZ′ и OZ соответственно. После указанного преобразования координат уравнения для траекторий l₁ и l₂ запишутся в виде

Таким образом, уравнения траекторий (2.6) представлены в форме (2.4), изученной ранее. Значит, все результаты, полученные для P_пр, распространяются и на данный случай.

Теперь рассмотрим частный случай, когда траектории l₁ и l₂ расположены в вертикальной плоскости, а векторы и коллинеарны (рис. 2.5). Эта ситуация наблюдается при полете на малой высоте, когда рельеф местности описывается случайным процессом. При этом вектор χ содержит одну координату, т. е. представляет собой скаляр, множества и Ω^пр_доп расположены на прямых, а (l_y)^пр_доп = (H^пр_доп)₂ – (H^пр_доп)₁; (l_y)_доп = (H_доп)₂ – (H_доп)₁ (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Введем следующие обозначения:

где z – высота, замеряемая радиовысотомером; H_C = (H_C)_H + ΔH_C; H_C – высота полета самолета; (H_C)_H – среднее значение высоты полета самолета; ΔH_C – отклонение высоты полета самолета от (H_C)_H; H_P – высота рельефа местности;

z_H = (H_H)₁ – (H_H)₂,

где z = z_H + Δz; z_H – среднее значение случайного процесса z = H_C – H_P; Δz =ΔH_C – ΔH_P; ΔH_P = H_P – (H_P)_H; (H_P)_H – среднее значение высоты рельефа местности; z_изм = z + δz;

z_доп = H_доп – (H_P)_H = const; z^пр_доп = H^пр_доп – (H_P)_H = const.

В результате при полете на малой высоте соотношение (2.5) примет вид

где Δ₁ = z_доп; Δ₂ = z^пр_доп – z_доп. При этом границы области допустимых состояний зависят от вертикальной скорости V_y, т. е.

z_доп = f₁(V_y);z_доп = f₂(V_y изм; a₁, a₂, …),

где V_y изм=V_y + δV_y; δV_y – погрешности измерения V_y : V_y = V_y0 + ΔV_y; ΔV_y, δV_y – случайные процессы или величины.

Как правило, вид функций f₁ и f₂ задан. Функция f₂ содержит неизвестные детерминированные параметры (a₁, a₂, …), которые подлежат определению при проектировании системы контроля и, в частности, при вычислении H_доп.

Вероятность (2.7) использована при построении устройства сигнализации опасной высоты полета, работа которого подробно рассмотрена в [36, 37].

Блок-схема вычисления параметров контроля и формирования безопасных стратегий управления ЛА приведена на рис. 2.6.

Входной сигнал (x_ф)_i через систему контроля (1) поступает на вход формирователя (2) критических значений контролируемых параметров и на вход анализатора спектра (7) измеренного сигнала (x_изм)_i, с помощью которого строится плотность вероятностей W(Δx_i) для каждого из контролируемых параметров (x_ф)_i. С помощью формирователя (6) строится плотность вероятностей W(δx_i) погрешностей δx_i системы контроля. Используя W(Δx_i) и W(δx_i), а также относительную величину = (x_изм – x_кр)/x_кр запаса по ограничиваемому параметру, вычислитель (8) определяет текущее значение вероятности (P₄)_i, которое сравнивается с расчетным значением (P₄)_i в формирователе ограничений (12). Полученный сигнал подается через сигнализатор (звуковой) (13) и летчика на регулятор, который воздействует на ЛА, предотвращая его выход в критическую область.

Рис. 2.6

Дополнительный канал вводится в системах, включающих совокупность параметров, подлежащих ограничению, когда возможно их одновременное достижение области критических состояний. При этом система содержит: блок (4) выделения совокупности параметров, достигших критической области; блок (5) ранжирования параметров по степени опасности последствий выхода их в критическую область; блок (10) распознавания образов, в том числе при ведении воздушного боя, выход которого подается на вход автомата стратегии управления (11), обеспечивающего через регулятор безопасное управление.

Отметим, что ситуация, описываемая (2.7), возможна при:

1) полете на малой высоте [28], когда дисперсия рельефа σ²_p зависит от времени полета;

2) изменении высоты полета, когда дисперсия скорости изменяется, т. е. σ²(ΔV) = f(M).

При этом в полете вычисляются текущие, или фактические, значения P_пр и сравниваются с заданными P^з_пр в моменты времени t_i. В результате формируется стратегия управления, при которой P_пр(t_i) ≤ P⁽³⁾_пр (t_i). При этом вероятность P₄ зависит от совместной плотности вероятностей (Δz,δz), номинальной или заданной высоты полета, а также от области допустимых значений высоты (Δ₁ и Δ₂).

Таким образом, показатель P_пр для систем автоматического контроля, установленных на двух различных ЛА и предназначенных для обеспечения безопасности пилотирования ЛА по эшелонам, вычисляется по формуле (2.5), а в более простом случае, при полете на малой высоте, – по формуле (2.7).

2.4. Ограничение одной из координат движения динамической системы

Конкретизируем вероятности P_пр и P_лс в (2.3). С этой целью рассмотрим случай, когда ограничению подлежит одна из координат x_i.

Выразим P_пр и P_лс через верхние x^в_i доп, (x^в_i)^пр_доп и нижние x^н_i доп, (x^н_i)^пр_доп – фактически допустимые значения и допустимые по прибору значения параметра x_i соответственно – и плотности вероятностей случайных процессов x_i, . Далее для упрощения записи индекс i опустим.

Сначала рассмотрим вероятность P₂ (двустороннее ограничение), представив ее в виде

где xн = x^н_доп; x^в = x^в_доп; = ()^пр_доп; = ()^пр_доп; x = x_ф = x_н + Δx; x_ф – фактическое значение контролируемого параметра; x_н – математическое ожидание; Δx – отклонение x от x_Н. Обозначив

получим:

Определим область интегрирования при вычислении вероятности P₂. С этой целью запишем события Д и К в виде Д = ( < – x); K = ( > – x), где = δX – погрешность измерения. Тогда, в силу независимости x и , области интегрирования для пересечений событий, входящих в (2.8), имеют вид, представленный на рис. 2.7–2.12, а именно:

Рис. 2.7

Рис. 2.8

Рис. 2.9

Рис. 2.10

Рис. 2.11

Рис. 2.12

В итоге получим следующее выражение:

где

Здесь φ₁(, t) – плотность вероятностей случайного процесса x в момент времени t; φ(x, t) – плотность вероятностей процесса в момент времени t.

Введем функции распределения случайного процесса :

и

где F₂(·) – функция распределения x. В этом случае (2.9) запишется в виде

Для вычисления вероятностей P_n = P₄ рассмотрим вероятность

Окончательное выражение для P_пр примет вид:

Если случайный процесс x подчинен односторонним ограничениям, то в формулах (2.10) и (2.11) необходимо проделать следующие преобразования в зависимости от вида ограничений.

1. Пусть на x накладываются ограничения только сверху, т. е. х^н и стремятся к бесконечности. В результате получим

2. Пусть на x накладываются ограничения только снизу, т. е. x^в и стремятся к бесконечности. При этом

Для практических расчетов удобно использовать не φ₁(x,t), а . В этом случае для i-го параметра движения, подлежащего одностороннему ограничению сверху, получим:

где W(t, Δx, ) – совместная плотность распределения случайных процессов , Δx в момент времени t.

Если зависимостью между Δx и погрешностями можно пренебречь, то для искомых вероятностей получим более простые выражения:

Геометрическая интерпретация событий (ограничение сверху), соответствующих вероятностям P_пр и P _лс, представлена на рис. 2.13.

Рис. 2.13

В качестве примера рассмотрим вычисление вероятностей Pⁱ_пр и Pⁱ_лс для случая, когда x_доп и x^пр_доп – функции, допускающие представления в следующем виде:

и задача вычисления Pⁱ_пр и Pⁱ_лс упрощается. В этом случае получим

где

(x_j)_н = M{x_j} – математическое ожидание x_j; Δx_i – отношение x_i к (x_i)_н. Например, для угла атаки, когда α_доп = f₁(M), α^пр_доп = f₂(M), имеем Δy = Δα – bΔM; δy = δα – b₁δM; c = a + bM_n – α_n; = a₁ + b₁M_n – α_n; a, b, a₁, b₁ – заданные постоянные числа, f₁ = bM + a; f₂ = b₁ M + a₁, М – число Маха.

Глава 3. Кредитные риски и кредитное ценообразование

3.1. Вероятности различных ситуаций при выдаче кредита

Как уже было сказано выше, выдача кредитов для банка всегда связана с риском, причем кредитные риски являются одной из главных опасностей, влияющих на функционирование банка.

Кредитный риск обусловлен возможностью возникновения одного из следующих событий: несвоевременного возвращения кредита, частичного возвращения кредита (в неполном объеме), полного невозврата кредита. Для количественной оценки кредитных рисков используются вероятности наступления данных событий.

Как правило, кредит может быть выдан одновременно нескольким клиентам, и, следовательно, по каждому из них существует риск невозврата. Наиболее просто задача решается в предположении, что клиенты осуществляют действия независимо друг от друга, при этом достаточно рассмотреть работу банка с одним клиентом, поскольку при данном предположении распространение полученных результатов на случай нескольких клиентов не составляет труда. Отметим, что введенное предположение соответствует реальной практике и, следовательно, практически не сужает область применения полученного решения.

Для получения кредита предприятие должно представить в обслуживающее его учреждение ряд документов, в том числе:

– проект кредитного договора;

– технико-экономическое обоснование потребности в кредите;

– копии контрактов или иных документов, подтверждающих возможность его погашения;

– договор залога, или договор гарантии, или договор страхования ответственности заемщиков на случай непогашения кредитов;

– срочное обязательство-поручение на погашение кредита с установленными сроками.

В дальнейшем будем рассматривать кредитование под залоги. При этом всегда необходимо контролировать качество залога, уровень его ликвидности, соотношение его рыночной стоимости с размером кредита.

Залоговое имущество, как правило, делят на твердое (фиксированное) и плавающее. К твердому залогу относят имущество, которое может быть представлено кредиторам при невозможности заемщика оплатить свои обязательства. В таком случае предприятие (заемщик) больше не имеет права распоряжаться им. Чаще всего к твердому залогу относятся ипотека на реальный основной капитал, реже – дебиторская задолженность, стоимость акций, облигации и другие ценные бумаги на имущество.

К плавающему залогу относятся, прежде всего, запасы товаров, материальных ценностей и готовая продукция. Иногда залог может быть распространен на все имущество заемщика.

Раз в год (полугодие, квартал) при активной динамике макроэкономики необходимо проводить развернутый анализ кредитоспособности. Гораздо чаще необходимо осуществлять так называемый экспресс-анализ, с помощью которого банку становится известно текущее финансовое состояние клиента. Для проведения анализа кредито– и платежеспособности заемщика банку необходима следующая информация:

– годовая, квартальная, месячная финансовая отчетность;

– детальная структура запасов товарно-материальных ценностей, дебиторская и кредиторская задолженности, по крайней мере, за последние 18 месяцев;

– бизнес-план предприятия;

– план маркетинга, производства и управления;

– анализ отрасли, к которой относится заемщик;

– прогноз денежных потоков между заемщиком и его клиентами и контрагентами на период погашения займа.

Учитывая сказанное, для формирования показателя риска кредитования рассмотрим две стадии, через которые проходят выданные в кредит деньги для реализации того или иного проекта.

На первой стадии деньги выдаются с простого ссудного счета и зачисляются на расчетный счет предприятия-заемщика или направляются непосредственно на оплату предъявленных им расчетно-денежных документов. При этом предполагается, что на счету у клиента имеются только кредитные средства, а на балансе – залоговое имущество.

На второй стадии пущенные в оборот деньги должны дать, по мнению клиента, прибыль. Из этой прибыли клиент оплачивает банку проценты за кредит. Банк, в свою очередь, полученные проценты пускает в оборот для получения прибыли. Этот процесс успешно развивается, если клиент смог организовать реализацию своего кредита, получил прибыль и возвратил полученные в кредит деньги, а также оплатил вовремя и в полном объеме проценты по кредиту. Однако в реальной жизни это не всегда так. При этом возможна ситуация, когда финансируемый банком проект не реализовался. В этом случае банк вынужден продавать залоговое имущество, стоимость которого должна покрывать как кредит, так и проценты по нему, что не всегда выполняется.

Таким образом, во всех случаях необходима правильная оценка залогового имущества, а риск кредитования связан с вероятностью невозврата кредита, которую обозначим P_нк. Рассмотрим возможные реальные ситуации процесса кредитования и возврата кредита и выделим те из них, которым соответствует риск невозврата кредита.

Проанализируем первую стадию. На этой стадии для получения необходимых соотношений все события рассматриваются в момент времени t₀. При этом вероятность P_нк связана с правильной оценкой залогового имущества.

Введем основные обозначения и определения, используемые на первом этапе. Обозначим величину стоимости залогового имущества клиента в момент времени t₀ через D^ф₃(t₀). При этом, очевидно, должно выполняться неравенство D^ф₃(t₀) > D, где D – сумма кредита, выдаваемого банком. Выделим критический случай, когда D = D^ф₃(t₀). Величину кредита для этого случая будем называть критической и обозначим ее через D_кр. Введем также допустимую величину кредита – D_доп. Разность Δ₁ = D_кр – D_доп представляет собой запас на непредвиденные обстоятельства. Эта величина должна регламентироваться сверху (например, Центральным банком), являясь независимой по отношению к кредитору и заемщику, с учетом возможных или непредвиденных изменений в кредитной политике, и должна составлять определенный процент от суммы выделяемого кредита. Так, во Франции [11] размер предоставляемого кредита ограничен величиной, составляющей не более 75 % от суммы обеспечения заемщиком получаемого кредита.

Введем понятия фактической и оценочной стоимости залогового имущества. В рассматриваемых условиях фактическая стоимость такого имущества – это стоимость, за которую можно его продать на рынке в момент времени t = t₀ + τ, где τ – время пользования кредитом, t₀ – момент времени выдачи кредита. Обозначим эту стоимость как D^ф_з(t). Именно она должна обеспечивать покрытие кредита, выданного банком.

Стоимость нового имущества (товара), произведенного и реализуемого при t = t₀, отличается от стоимости товара (имущества), произведенного при t = t₀ + τ. Это отличие определяется законами рынка, связанными с изменением стоимости сырья, комплектующих изделий и готового изделия. Эти законы изменяются случайным образом и независимо от нас, их трудно прогнозировать. Такие величины или процессы являются случайными. При этом имеем D^ф_з(t) = M^ф_з(t) + ΔD^ф_з, где M^ф_з(t) – математическое ожидание стоимости залогового имущества, в общем случае функция времени; ΔD^ф_з – отклонение D^ф_з от своего среднего значения.

Ясно, что D^ф_з(t) и D^ф_з(t₀) отличаются, и это отличие обусловлено внешними факторами среды. Однако существуют и внутренние факторы, присущие залоговому имуществу, из-за которых его стоимость изменяется. Учет этих факторов приводит к необходимости ввода новой стоимости залогового имущества, которую назовем оценочной и обозначим D⁰_з. В результате получим соотношение D⁰_з = D^ф_з + δD_з. При этом δD_з – погрешность оценки стоимости залогового имущества, зависящая от таких факторов, как старение товара за время τ пользования кредитом, в том числе ухудшение характеристик залогового имущества, его товарного вида, выхода из строя и т. д., что обесценивает залоговое имущество. А это, в свою очередь, означает, что допустимую величину кредита следует уменьшать. В силу того, что δD_з имеет неопределенное заранее значение, т. е. является случайной величиной, оценка стоимости D_з⁰ залогового товара также является случайной, так как D⁰_з = D^ф_з + δD_з.

Для того чтобы обеспечить компенсацию возможных потерь, обусловленных влиянием δD_з, банку необходимо вводить дополнительный запас, или резерв залогового имущества, Δ = D_доп – D⁰_доп, где D⁰_доп – допустимая оценочная величина кредита. Таким образом, если залоговое имущество представлено на сумму D_к, которую назовем критической и обозначим через D_кр, то банк может выдать кредит на сумму, не превышающую D⁰_доп.

Отметим, что величина Δ должна быть изменена с увеличением погрешностей, возникающих при работе экспертов по оценке залогового имущества. Кроме того, при уменьшении D⁰_доп уменьшается и степень банковского риска, но при этом могут быть ущемлены интересы клиента (для банка это может быть чревато недоверием со стороны клиента, вплоть до его потери). Поэтому также необходимо уметь обосновывать разумный выбор величины D⁰_доп < D. При этом как величина D⁰_з, так и D^ф_з, являющиеся случайными, имеют некоторые законы распределения W₁(D⁰_з) и W₂(D^ф_з). На числовой оси допустимые и критические значения кредита расположены следующим образом (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Анализируя возможные события, связанные с решениями эксперта банка о выдаче кредита под залог, выделим те из них, которые ведут к особой ситуации, снижающей эффективность функционирования банка. Указанные события будем оценивать с помощью соответствующих вероятностей, при этом обоснуем возможность применения рассматриваемых вероятностей в качестве показателей кредитного риска.

Введем следующие гипотезы.

Гипотеза В₁. Стоимость (фактическая) залога не меньше затребованного кредита, то есть D^ф_з ≥ D_доп.

Гипотеза В₂. Стоимость (фактическая) залога меньше затребованного кредита, то есть D^ф_з < D_доп.

При этих двух гипотезах эксперт или менеджер банка принимает за истинное одно из двух событий – A₁ или A₂: A₁ = {D⁰_з ≥ D⁰_доп}; A₂ = {D⁰_з < D⁰_доп}. Таким образом, при принятии решения с учетом введенных гипотез возможны четыре комбинации событий, заключающихся в справедливости одной из гипотез и принятии одного из решений.

Ситуация, когда справедлива гипотеза B₁ и формулируется решение A₁, соответствует такой работе экспертов банка, при которой основная цель банка – получение прибыли – выполняется. Вероятность одновременного наступления этих двух событий является вероятностью их пересечения (рис. 3.2), которую обозначим следующим образом:

P₁ = P(B₁ ∩ A₁) = P(C).

Рис. 3.2

Ситуация, когда реализуется гипотеза B₁ и формулируется решение A₂, соответствует поступлению ложной информации эксперту или менеджеру банка, при этом принимается решение, неправильное с точки зрения нормального функционирования банка. Введем вероятность пересечения данных событий

P₂ = P(B₁ ∩ A₂).

Ситуация, когда реализуется гипотеза B₂ и принимается решение A₂, соответствует такому решению эксперта (менеджера) банка о выдаче кредита, при котором вероятность возврата средств (другими словами, гарантия их возврата) резко снижается. Вероятность пересечения данных событий

P₃ = P(B₂ ∩ A₂).

Наконец, реализация гипотезы B₂ и принятие решения A₁ означает, что фактическое значение стоимости залога меньше допустимой величины получаемого кредита, а оценочное значение залога больше допустимой оценочной величины средств, получаемых по кредиту. Введем вероятность пересечения данных событий:

P₄ = P(B₂ ∩ A₁).

Четыре рассматриваемых пересечения событий образуют полную группу несовместных событий, следовательно, На рис. 3.3 представлена диаграмма событий A_i, B_j (i=1, 2; j=1, 2).

Рис. 3.3

Для того чтобы решить задачу анализа работы экспертов банка по выдаче кредитов, нужно установить связь между вероятностями P₁, P₂, P₃, P₄, допустимыми значениями кредита D_доп и D⁰_доп, а также плотностями вероятностей фактической стоимости залога D^ф_з и его оценочной стоимости D⁰_з, которые являются случайными величинами.

Формализуем введенные определения:

B₁= {D^ф_з(t₀ ≥ D_доп}; B₂ = {D^ф_з(t₀) < D_доп};

A₁= {D⁰_з(t₀) ≥ D⁰_доп}; A₂ = {D⁰_з(t₀) < D⁰_доп},

и представим искомые вероятности в виде

P₁ = P{D^ф_з(t₀) ≥ D_доп ∩ D⁰_з(t₀) ≥ D⁰_доп};

P₂ = P{D^ф_з(t₀) ≥ D_доп ∩ D⁰_з(t₀) ≥ D⁰_доп}; (31)

P₃ = P{D^ф_з(t₀) ≥ D_доп ∩ D⁰_з(t₀) ≥ D⁰_доп};

P₄ = P{D^ф_з(t₀) ≥ D_доп ∩ D⁰_з(t₀) ≥ D⁰_доп}.

В качестве основных характеристик риска клиента и банка будем рассматривать вероятности P₂ и P₄. Вероятность P₄ характеризует потерю банком выданного кредита, поскольку соответствует ситуации его невозврата. Эту вероятность будем называть вероятностью пропуска критической (опасной) ситуации при невозврате кредита и обозначать P_ос или P_нк в зависимости от ситуации.

Вероятность P₂ характеризует потерю банком надежного клиента, которому было отказано в выдаче кредита, в то время как в действительности выдача ему кредита была банку выгодна. Эту вероятность будем называть ложным решением, или риском клиента, и обозначать P_лр или P_рк в зависимости от ситуации.

В этом случае финансовые потери банка также необходимо определять, а вероятность P_лр – регламентировать (вводя на нее ограничения сверху).

При дальнейших рассуждениях и выводах будем использовать следующие представления и формульные зависимости для рассматриваемых вероятностей:

 – условная вероятность ложного решения;

 – условная вероятность опасной ситуации.

При этом P₂ и P₄ отличаются от и множителями P(B₁) и P(B₂), которые не зависят от того, насколько точно эксперт банка оценил стоимость залога.

Рассмотрим случай, когда величины D_доп и D⁰_доп постоянны и детерминированы.

Согласно выражениям (3.1), вероятности P_i вычисляются с помощью одной и той же совместной плотности вероятностей W(x,y), x = D^ф_з, y = D⁰_з. При этом рассматривается задача о вычислении вероятности попадания случайной точки (x,y) в пределы заданной области Ω на плоскости xOy (рис. 3.4). Событие, состоящее в попадании случайной точки (x,y) в область Ω, обозначим через (x,y) Ω. Тогда P₂ = P((х, у) Ω₂), где Ω₂ – область, заданная неравенствами в выражениях (3.1) для P₂. В этом случае вероятность P₂ можно выразить с помощью плотности W(x,y) распределения системы двух случайных величин:

Рис. 3.4

В частном случае, когда Ω₂ представляет собой прямоугольник R, ограниченный абсциссами α и β и ординатами γ и δ, соответственно по осям x и y получим

Из формулы (3.2) в случае, когда область Ω₂ не является прямоугольником, следует, что

Отметим, что внутренний интеграл может зависеть от x или y. Для вероятностей P₃, P₄ имеем равенства

которые перепишем в виде

В этих формулах присутствует двухмерная плотность вероятности W(D^ф_з,D⁰_з) совместного распределения случайных величин D^ф_з и D⁰_з, а ω₁, ω₂, ω₃, ω₄, ω₅, ω₆ представляют собой области интегрирования, зависящие от величин D_доп и D⁰_доп. При этом решение задачи о величине выдаваемого кредита D ищется, исходя из определенных соотношений между D и залоговой стоимостью имущества потребителя D_з.

Представим D^ф_з и D⁰_з в виде

D^ф_з = М^ф₃  + ΔD_з; D⁰_з = D^ф_з + δD_з, (3.4)

где М^ф_з – среднее значение залога (математическое ожидание);

ΔD_з – отклонение фактической стоимости залога от среднего значения;

δD_з – погрешность оценки залога со стороны эксперта.

Такое представление позволит перейти от плотности вероятностей W(D^ф_з,D⁰_з) к плотности W(ΔD_з,δD_з), в которую входят случайные величины, представляющие собой погрешности и имеющие, как правило, известный закон распределения.