Текст книги "Энциклопедия финансового риск-менеджмента"

3.8. Разрывы срочной структуры как мера процентного риска и риска потери ликвидности

Для случаев, когда менеджеры концентрируют свое внимание на влиянии несовпадения сроков погашения, исполнения или переоценки процентных активов и пассивов на процентный доход, весьма популярным является анализ разрывов срочной процентной структуры (gap analysis).

Статьи аналитического баланса группируются в отдельные категории: процентные активы и пассивы (они приносят процентный доход или расход – это, например, облигации, долговые обязательства, кредиты, депозиты, средства в управлении и т. д.), непроцентные активы и пассивы (например, счета ностро и лоро[31]31
  Корреспондентские счета данного банка в других банках и других банков в данном банке соответственно.


[Закрыть], денежные средства в кассе, долевые ценные бумаги, основные фонды, собственные средства, прочие активы). Процентные активы и пассивы группируются по срокам до погашения или переоценки (т. е. по срокам поступления процентного дохода) на несколько диапазонов. Чем большее количество диапазонов используется, т. е. чем уже диапазоны, тем точнее результат. Часто используется следующая группировка: первые 12 диапазонов месячные, затем четыре квартальных, затем годовые диапазоны и наконец диапазон с открытой границей – «свыше стольких-то лет». Группировка на диапазоны обычно производится таким образом, чтобы все процентные активы оказались учтены в диапазонах, предшествующих последнему, в котором часто учитывают активы и пассивы с очень длинным сроком до погашения или даже бессрочные инструменты. В приведенном ниже примере 3.8 используется 6 диапазонов: до 1 месяца, от 1 до 3 месяцев, от 3 до 6 месяцев, от 6 до 12 месяцев, от года до 3 лет, свыше 3 лет.

Разрыв (gap) срочности t определяется как разность суммы процентных активов данной срочности A_t и процентных пассивов данной срочности L. Для каждого диапазона можно вычислить величину такого разрыва:

Можно рассчитать кумулятивный разрыв (cumulative gap) накопленным итогом разрывов для каждой срочности. Кумулятивный разрыв представляет собой разрыв для диапазона, включающего в себя все предыдущие диапазоны, начиная с первого, со срочностью t₀:

Коэффициент отношения разрыва к общей величине активов (gap ratio) для разрывов и кумулятивных разрывов рассчитывается соответственно:

Пример 3.8. В табл. 3.8 приведена срочная структура активов и пассивов и расчет разрывов на реальном примере российского банка.

Положительный разрыв означает, что процентные активы в пределах данной срочности превышают по своей массе процентные пассивы. Если процентные ставки вырастут, рост процентного дохода превысит рост стоимости обслуживания долга (процентный расход), и чистый процентный доход (net interest income) увеличится. Если же процентные ставки упадут, то доходы по процентным активам упадут сильнее, чем стоимость обслуживания долга, и чистый процентный доход снизится.

Отрицательный разрыв означает, что процентные пассивы в пределах данной срочности превышают по массе активы. Если процентные ставки вырастут, стоимость обслуживания долга (процентный расход) вырастет больше, чем процентный доход, и чистый процентный доход снизится. Если же процентные ставки упадут, то стоимость обслуживания долга упадет больше, чем процентный доход, и чистый процентный доход вырастет.

Чем больше абсолютная величина разрыва, тем сильнее влияние изменения процентных ставок на процентный доход, т. е. сильнее чувствительность к процентному риску.

Идеальным с точки зрения минимизации риска является нулевой разрыв, но, во-первых, такая ситуация практически нереальна, а во-вторых, при уверенности в росте или падении процентных ставок можно, напротив, стремиться увеличить доходы, наращивая положительный или отрицательный разрыв соответственно.

Важным допущением при анализе разрывов в качестве измерения процентного риска является симметричное движение ставок для разных инструментов. Так, если ставки overnight (суточный межбанковский депозит) вырастут на 1 %, то и по кредитам, облигациям, депозитным сертификатам они также вырастут на 1 %. В этом отношении показатели дюрации и выпуклости представляют собой гораздо более совершенный инструментарий по сравнению с анализом разрывов, но они требуют более сложных расчетов по портфелю банка. Для пакета облигаций эти расчеты гораздо проще и намного эффективней.

С помощью анализа разрывов срочной структуры активов и пассивов можно также исследовать риск недостаточной балансовой ликвидности, т. е.

недостаточности денежных и других быстрооборачиваемых активов для покрытия потребностей в оборотных средствах и обеспечения платежеспособности фирмы.

Хотя схемы рассуждений и расчетов при анализе разрывов схожи, следует указать два существенных отличия срочной структуры процентных активов и пассивов и срочной структуры активов и пассивов по ликвидности.

Первое отличие заключается в том, что при измерении ликвидности не имеет значения, являются ли активы и пассивы чувствительными к изменению процентных ставок.

Второе отличие срочной структуры активов и пассивов от структуры процентных активов и пассивов заключается в том, что они распределены по временным диапазонам в зависимости от ликвидности, а не от времени поступления ожидаемого процентного дохода. Например, бескупонная облигация обеспечивает процентный доход в момент погашения, но в срочной структуре активов и пассивов по ликвидности она должна быть отнесена в диапазон, соответствующий не сроку до погашения, а сроку, в течение которого ее можно реализовать на рынке без существенных потерь. Так, если имеется облигация с погашением через год, которая котируется на биржевом рынке и в течение дня, безусловно, может быть продана по рыночной цене, то в срочной структуре по ликвидности она будет отнесена в диапазон, в который попадают активы со сроком в один день (в нашем примере – до 1 месяца), а в срочной процентной структуре этот процентный актив попадает в диапазон 1 год. Часто группировка на диапазоны по ликвидности просто соответствует группировкам активов и пассивов в принятой на данный момент форме баланса, так как структура актива и пассива баланса косвенно отражает принятые в данной стране представления о шкале ликвидности.

Если разрывы ликвидности отрицательные, это свидетельствует о недостатке ликвидных источников для покрытия нужд и долгов в полном объеме, что является очень тревожным сигналом. Если разрывы положительные и слишком велики, это свидетельствует о избытке ликвидных средств и значительных упущенных от их вложения выгодах.

Риск-менеджмент, направленный на управление ликвидностью, заключается в приведении в соответствие срочной структуре активов срочной структуры пассивов, что особенно актуально для инвестиционных компаний и банков, работающих на конкретных сегментах рынка с заданным уровнем ликвидности активов. С другой стороны, финансовые и особенно нефинансовые предприятия обычно сталкиваются с нехваткой ликвидных активов. Один из широко применяемых инструментов риск-менеджмента – поддержание минимального запаса ликвидности («ликвидной подушки») с помощью установления лимитов[32]32
  О методах управления ликвидностью баланса см. также пп. 4.5, 4.6.


[Закрыть].

3.9. Дюрация и иммунизация портфеля

Отсутствие работающих механизмов банкротства в России ведет к тому, что на предприятиях представление об оценке эффективности управления в рыночных условиях часто сводится к критерию величины текущей чистой прибыли. Игнорируются критерии, учитывающие альтернативные варианты вложения средств, цену фирмы с учетом динамики рыночных факторов, долгосрочную эффективность. Однако широкая приватизация предприятий, рост конкуренции в отрасли и экономическая свобода, доступность первичного и вторичного рынков капитала ставят все более остро задачу построения критерия эффективности управления портфелем предприятия, отвечающего вышеперечисленным требованиям.

Критерий эффективности управления портфелем логично увязывать с той или иной моделью оценки эффективности проектов, инвестиций и мероприятий, большинство из которых требует в качестве одного из параметров ставку дисконтирования разновременных потоков ценностей.

Эффективность можно рассчитать как внутреннюю норму доходности (IRR) рыночного портфеля – такую ставку дисконта, при которой приведенная стоимость рыночного портфеля PV становится равной его текущей рыночной стоимости C, т. е. чистая приведенная стоимость (NPV = PV – C) становится равной нулю:

Взвесив сроки до погашения долями соответствующих приведенных выплат в приведенной стоимости, можно получить средневзвешенную дюрацию портфеля (D):

Заметим, что дюрация портфеля равна эластичности приведенной стоимости портфеля по валовой ставке дисконта:

Дюрацию можно интерпретировать как математическое ожидание случайной величины T, которая принимает значение t с вероятностью

Минимальная чувствительность приведенной стоимости к изменению ставки дисконта достигается при нулевой дюрации портфеля. Например, при равенстве приведенных стоимостей активов и пассивов оптимальная структура портфеля должна обеспечить равенство дюрации активов и пассивов. Управление структурой активов и пассивов должно стремиться оптимизировать чувствительность приведенной стоимости портфеля к изменению ставки дисконта, например минимизировать риск колебания цены фирмы из-за флуктуаций рыночного уровня доходности. В этом заключается смысл иммунизации (immunization) портфеля – адаптации его структуры к изменениям конъюнктуры.

Стратегию иммунизации портфеля фирмы, готовой не только или не столько спекулировать на рынке, сколько хеджировать свои риски, можно построить на управлении дюрацией какого-либо одного композитного (сложного) актива, входящего в портфель. Рассматривая структуру портфеля и дюрации прочих инструментов, входящих в его состав, как экзогенный (внешний) параметр, можно пытаться подбирать структуру изменяемого актива согласно условию оптимальности[33]33
  Подробнее об оптимизации портфеля фиксированных обязательств см. п. 11.2.


[Закрыть]. Этот композитный актив может представлять собой специально выделенный для иммунизационных стратегий пакет облигаций.

Иммунизационный пакет облигаций должен максимизировать чистую приведенную стоимость облигаций (превышение приведенной стоимости бумаг над приведенными затратами на обслуживание долга – амортизацию заемного капитала), обеспечивая желаемый уровень чувствительности (дюрации) портфеля предприятия к риску колебания рыночной нормы прибыльности. При этом не должно нарушаться бюджетное ограничение на величину заемных средств.

Данная постановка позволяет сформулировать модель принятия решений в виде задачи целочисленной оптимизации, в которой определяются оптимальные количества облигаций каждой серии в пакете:

Имеет ли смысл производить иммунизацию? В общем случае следует сопоставлять издержки в форме амортизации капитала, размещаемого в облигации, и упущенной выгоды с пользой страхования от возможной потери капитала с учетом предпочтений по риску лиц, принимающих решения. Даже если субъективные оценки вероятностей событий совпадут с используемыми данными, различное восприятие риска может привести к противоположным ответам на подобный вопрос. Уместно напомнить о так называемой несклонности к риску, заключающейся в том, что определенные исходы (доход) иногда оцениваются как непропорционально более привлекательные, чем неопределенные исходы (возможное снижение потерь).

3.10. Показатели риска производных финансовых инструментов

Риск производных инструментов измеряется рядом показателей, обозначаемых в основном греческими буквами, поэтому они иногда называются собирательным термином «греческие» (the Greeks).

Первым из этих показателей является дельта (Д, delta). Дельта измеряет величину изменения стоимости данного финансового инструмента V при малом изменении[34]34
  Здесь и далее изменения переменных, стоящих в знаменателях формул (3.18)-(3.26), предполагаются достаточно малыми, в пределе стремящимися к нулю. См. также пп. 2.24-2.26.


[Закрыть] базисного ценового фактора S (например, ставки процента или цены базисного актива):

Если изобразить зависимость стоимости инструмента от базового ценового фактора линией, то дельта характеризует угол наклона, при этом ее величина равна тангенсу этого угла. Как и цена базисного пункта, и дюрация, дельта отражает тот же самый риск – чувствительность стоимости инструмента V к изменению процентной ставки r:

Если график зависимости стоимости производного инструмента от базового ценового фактора – прямая линия, то дельта – постоянная величина. Но так бывает не всегда – дельта может быть переменной величиной и может сама изменяться под действием факторов риска, в частности, дельта непостоянна для опционов.

Показатель гамма (Г, gamma) измеряет изменение дельты при изменении базисного ценового фактора:

Гамма измеряет тот же риск, что и выпуклость. Если график зависимости стоимости производного инструмента от базового ценового фактора выпуклый, то гамма положительна, при вогнутом графике гамма отрицательна, а если профиль риска – прямая линия, то гамма равна нулю. Показатель гамма прежде всего актуален для опционов. Наибольшего значения гамма достигает для опционов «без выигрыша» (at-the-money), но гамма близка к нулю для опционов «с проигрышем» (out-of-the-money), равно как и «с выигрышем» (in-the-money).

Вега (vega[35]35
  Это «псевдогреческое» название – такой буквы в греческом алфавите, конечно, нет. Для обозначения этого показателя используют греческую заглавную букву лямбда (Λ) и (реже) буквы каппа (κ, kappa), тау (τ, tau) и дзета (ζ, zeta).


[Закрыть]) – еще один показатель риска производных инструментов; она измеряет изменение стоимости финансового инструмента при изменении волатильности базового ценового фактора:

Тета (θ, theta) измеряет изменение стоимости финансового инструмента при изменении срока, оставшегося до его исполнения:

Часто этот показатель указывается инвестиционными компаниями в отчетах о прибылях и убытках.

Ро (ρ, rho) используют для обозначения показателя изменения стоимости процентных опционов при изменении процентной ставки:

Лямбда (λ, lambda) показывает изменение стоимости опционов при изменении величины дивидендов d для опционов на акции или уровня валютной процентной ставки для валютных опционов:

Показатель изменения гаммы при изменении базисного ценового фактора носит название «скорость» (speed)[36]36
  Данный показатель также обозначается греческой буквой омега (ω, omega).


[Закрыть]:

Если дельта – это первая производная функции стоимости инструмента по базисному ценовому фактору, а гамма – вторая производная, то скорость – производная третьего порядка. Скорость позволяет следить за ростом гаммы и дельты при работе с опционами.

Показатель, измеряющий изменение дельты по мере изменения времени до исполнения контракта, называется «очарование» (charm):

Если портфель производных инструментов хеджирован так, что его дельта (чувствительность к изменению ценового фактора) равна нулю, то хеджирование следует постоянно корректировать день от дня, а «очарование» показывает, насколько сильно нужно менять хеджирование.

«Цвет» (color) показывает изменение гаммы по мере изменения времени до исполнения контракта:

Например, по показателю «цвета» можно узнать, как небольшие изменения цены базисного актива повлияют на хеджирование при приближении к моменту исполнения.

Показатель вомма (vomma) отражает чувствительность веги к изменению предполагаемой волатильности опциона:

Таким образом, вомма – это вторая производная стоимости инструмента по базисному ценовому фактору.

Показатель вонна (vonna) измеряет чувствительность веги к изменению базового ценового фактора:

Показатели вомма и вонна используются в основном при торговле экзотическими валютными опционами.

3.11. Управление рыночным риском портфеля производных финансовых инструментов

Прежде всего менеджерам портфеля необходимо элиминировать риск путем хеджирования дельта-риска – чувствительности стоимости портфеля к колебаниям цен базисных активов. Для этого им необходимо знать, какова должна быть структура портфеля, чтобы изменения в цене базового актива при параллельном сдвиге кривой доходности не повлияли бы на стоимость портфеля.

Пример 3.9. Рассмотрим пример хеджирования дельты портфеля, состоящего из процентного свопа и кэпа.

Процентный своп имеет номинал (notional principal) 25 млн долл. и срок действия 2 года. По свопу банк получает 6-месячный LIBOR[37]37
  Шестимесячная ставка– это ставка размещения средств на 6 месяцев (она выражена в процентах годовых), а не половина годовой ставки (ставки размещения на 12 месяцев). Чтобы вычислить сумму процентов за 6 месяцев по 6-месячной ставке, надо номинал умножить на половину 6-месячной ставки, а не на половину годовой ставки. Аналогично, чтобы вычислить сумму процентов за 3 месяца по 3-месячной ставке, надо номинал умножить на четверть 3-месячной ставки, а не на четверть годовой ставки.


[Закрыть], производит выплаты по фиксированной ставке 7,765 %, расчеты производятся раз в полгода.

Банк продал одногодичный кэп на 3-месячный LIBOR с номиналом 50 млн долл., ставкой кэпа 8,5 %, расчеты производятся ежеквартально.

Предположим также, что расчеты производятся в середине декабря, а сглаженная кривая доходности бескупонных бумаг задана графиком, показанным на рис. 3.6.

По данному свопу банк платит фиксированную ставку, так что сумма, которую он выплачивает в июне и декабре следующего и последующего годов, постоянна. Однако получает банк различные суммы. В июне банк получит уже известную сумму (она определяется шестимесячной ставкой LIBOR, действующей в настоящий момент, и номиналом свопа – 25 млн долл.): r₆ /2 • 25 млн долл. Но остальные платежи к получению неизвестны, так как зависят от будущих 6-месячных ставок LIBOR. Размер платежа, который банк получит в декабре следующего года, зависит от 6-месячной ставки LIBOR, но не той, которая установилась сейчас, а той, которая установится через шесть месяцев: ₆r₁₂ /2 • 25 млн долл. В июне и декабре последующего года банк получит суммы, определяемые 6-месячными ставками LIBOR, которые реализуются через 12 и 18 месяцев соответственно: ₁₂r₁₈/2 • 25 млн долл. и ₁₈r₂₄/2 • 25 млн долл. График платежей показан на рис. 3.7.

Изменение на один базисный пункт[38]38
  Изменение процентной ставки на один базисный пункт – это изменение ее абсолютной величины на 0,01.


[Закрыть] в текущих (спот) ставках окажет два разных эффекта на стоимость свопа и соответственно дельту. Во-первых, изменится денежный поток, связанный с плавающей составляющей (floating-rate leg) свопа. Во-вторых, денежные потоки как плавающей, так и фиксированной составляющей (fixed-rate leg) свопа должны быть дисконтированы по новым процентным ставкам. Чтобы измерить дельту, следует учесть оба этих фактора.

Сначала рассмотрим плавающий денежный поток. Платежи в декабре следующего года и июне последующего года могут измениться (первый ближайший платеж уже зафиксирован). Поскольку мы увеличиваем все ставки на один базисный пункт (параллельный сдвиг), то могли бы ожидать, что форвардные ставки также увеличатся на один базисный пункт[39]39
  Напомним (см. п. 1.10), что форвардная ставка f на период от t до Т рассчитывается исходя из ставок спот r по формуле:


[Закрыть]. Ожидаемая выплата по плавающей составляющей за период 6-12 месяцев составляет 991 977 долл., исходя из новой форвардной ставки: 0,0793582/2 • 25 млн долл. = 991 977 долл.

Расчет дельты свопа приведен в табл. 3.9.

Следует обратить внимание, что, хотя в первом периоде все ставки известны, небольшая дельта все же появляется благодаря тому, что при изменении ставок на один базисный пункт приведенная текущая стоимость денежного потока изменится и для этого периода тоже. В целом видно, что дельта свопа составляет 2863, т. е. при росте ставок всего на один базисный пункт ожидается изменение стоимости свопа на 2863 долл.

Как можно хеджировать дельта-риск процентного свопа? Это можно сделать по-разному: позициями на текущем рынке облигаций, процентными форвардами, другими свопами и фьючерсами. Ниже приводится пример хеджирования с помощью евродолларовых[40]40
  Евродоллары – это американские доллары, размещенные за пределами США.


[Закрыть] фьючерсов. Евродолларовый контракт эквивалентен стоимости 3-месячного депозита на сумму 1 млн долл. Если ставки поднимутся на один базисный пункт, стоимость такого депозита упадет на 0,0001/4 • 1 млн долл. = 25 долл., т. е. дельта длинной позиции по одному евродолларовому фьючерсу составляет – 25 долл.

Попробуем максимально хеджировать дельта-риск свопа (табл. 3.10).

Открывая длинные позиции по евродолларовым фьючерсам, удалось получить портфель, состоящий из свопа и фьючерсов, с гораздо меньшей дельтой– всего +13 долл., т. е. при росте ставок на 1 б. п. следует ожидать рост стоимости портфеля всего на 13 долл., а не на 2863 долл. Если бы банк получал фиксированный денежный поток, а платил плавающий в отличие от рассмотренного свопа, то дельта была бы отрицательная и для хеджирования необходимо было бы открывать короткие позиции по евродолларовым фьючерсам.

Как хеджировать дельту кэпа? Проданный банком кэп – это портфель процентных опционов. Если 3-месячный LIBOR превысит 8,5 %, банк заплатит держателю опциона разницу между 3-месячной ставкой LIBOR и 8,5 %. Аналогично держатель опциона получит платежи от банка, если 3-месячный LIBOR превысит 8,5 % в шестой и девятый месяцы. Данный кэп – это портфель из трех опционов: одного – с 3-месячным сроком до исполнения, другого – с 6-месячным и третьего – с 9-месячным. Цена (ставка) исполнения составляет 8,5 %. Поскольку эти опционы могут быть исполнены только в будущем, ставкой, которую можно сравнить со ставкой исполнения, будет не текущая трехмесячная ставка LIBOR, а форвардная ставка 3-месячного LIBOR. Эти форвардные ставки 3-месячного LIBOR для третьего, шестого и девятого месяцев вычисляются исходя из кривой процентных ставок, приведенной на рис. 3.6. В табл. 3.11 приведены данные для кэпа.

Естественно, если рассматривать портфель, состоящий из кэпа и свопа, хеджирование дельты с помощью евродолларовых фьючерсов можно провести с учетом портфельного эффекта (табл. 3.12).

Как видно из этой таблицы, в шестой месяц нет необходимости одновременно открывать длинную позицию по 43 фьючерсным контрактам и короткую позицию по 10 фьючерсным контрактам, а достаточно просто открыть длинную позицию по 33 контрактам, что весьма снижает транзакционные издержки (комиссионные, накладные расходы и т. д.).

Хеджирование дельта-риска, рассмотренное выше, т. е. хеджирование риска параллельного сдвига кривой процентных ставок (parallel shift risk), не ограждает, однако, портфель от рисков поворота (rotation/twist risk) этой кривой, риска скачкообразных изменений (jump risk) процентных ставок, риска изменения волатильности (volatility risk) процентных ставок и других рисков.

Рассмотрим два портфеля, хеджированные от дельта-риска: положительная дельта, возникающая на некоторых сроках погашения (исполнения), полностью гасится отрицательной дельтой на других сроках погашения, однако в этих двух портфелях сделано это по-разному. В первом портфеле очень большая положительная дельта 3-месячного срока погашения компенсируется очень большой отрицательной дельтой 4-летнего срока погашения. Во втором портфеле отрицательные и положительные дельты более или менее равномерно распределены по множеству сроков погашения (рис. 3.8).

Предположим, что в будущем произойдет поворот кривой доходности: краткосрочные ставки упадут, а долгосрочные поднимутся, как показано на рис. 3.9.

Рассмотрим, какое влияние поворот кривой доходности окажет на портфели (табл. 3.13).

Из этой таблицы видно, что в первом портфеле поворот кривой доходности вызвал только падение стоимости, несмотря на нулевую суммарную дельту, а во втором вызванное поворотом кривой доходности падение стоимости на одних сроках компенсировалось ее ростом на других сроках.

Если стремиться минимизировать риск потери стоимости портфеля из-за поворота кривой ставок, следует выбрать второй портфель. Но если склонность к риску выше и более вероятным прогнозом является, например, противоположный поворот кривой (рост краткосрочных ставок и падение долго-

Распределение дельты в портфеле, менее чувствительном к повороту кривой доходности срочных ставок), то менеджер может намеренно выбрать первый портфель, ожидая роста его стоимости при сохранении значительного риска.

После хеджирования дельта-риска портфель остается подверженным гамма– и вега-рискам. Например, у рассмотренного ранее кэпа, состоящего из опционов на 3, 6 и 9 месяцев, величины этих рисков будут такими, как показано в табл. 3.14.

Поскольку процентные форварды имеют ненулевую гамму, их можно использовать для хеджирования гамма-риска. Однако для хеджирования вега-риска у менеджера есть только одна возможность – опционы.

Банк в данном кэпе продал опционы, поэтому ему просто необходимо приобрести другие опционы. Но опционы обладают различной вегой при различных ставках и в различные моменты времени, поэтому, хеджировав вега-риск при данных процентных ставках в данный момент, необходимо постоянно пересматривать вега-хедж с учетом этих двух факторов. Важно также учитывать еще один фактор, состоящий в том, что ставки могут измениться скачкообразно. Поэтому при хеджировании следует рассматривать оба сценария: если ставки будут изменяться понемногу и если процентные ставки сделают скачок.

Однако не всякая последовательность хеджирования будет успешной. Рассмотрим пример хеджирования дельты, гаммы и веги портфеля (табл. 3.15).

Из этой таблицы видно, что гамма-хеджирование приводит вновь к появлению риска дельты только что хеджированного по риску дельты портфеля, а вега-хеджирование приводит к возобновлению риска дельты и риска гаммы предварительно хеджированного по этим рискам портфеля. Поэтому рекомендуется на практике выполнять хеджирование в обратном порядке: вега – гамма – дельта[41]41
  Возможно, у читателя возникнет ассоциация с принципом оптимизации Веллмана, согласно которому оптимизация проводится от последнего шага к предпоследнему, от предпоследнего к предыдущему и т. д.


[Закрыть] (табл. 3.16).