Текст книги "Энциклопедия финансового риск-менеджмента"

3.20. Выбор параметра сглаживания λ в методе RiskMetrics

Стандартная формула RiskMetrics для расчета VaR параметрическим методом с горизонтом прогнозирования в один день (t = 1) в случае единичного актива имеет вид:

На практике широко используется следующая аппроксимация формулы (3.66):

Экспоненциально взвешенная волатильность (exponentially weighted moving average – EWMA) в методике RiskMetrics рассчитывается по формуле:

Из рис. 3.13 видно, в чем состоят преимущества экспоненциального сглаживания волатильности: оно быстрее реагирует на шоковые изменения доходности (что особенно актуально для России) и в целом представляет собой хороший прогноз стандартного отклонения.

Между параметром сглаживания А и глубиной ретроспективы Т устанавливается зависимость. Для этого вводится переменная, называемая уровнем толерантности (tolerance level):

Таким образом, уровень толерантности представляет собой сумму весов данных, находящихся за пределами горизонта Т (табл. 3.36). Решая уравнение относительно Т, получаем:

Так, например, для γ_L=0,01 и λ = 0,94 Т = 74.

Затем необходимо определить оптимальное значение параметра λ.

Считая математическое ожидание случайной величины е равным нулю, в качестве критерия выбора оптимального параметра λ примем минимум среднеквадратичной ошибки (root mean squared error– RMSE), определяемой следующим образом:

Путем варьирования параметра λ строится ряд значений RMSE(λ)_i, затем определяется min RMSE(λ)_i, и соответствующий этому значению параметр сглаживания λ считается оптимальным.

В данном методе важно определить оптимальную глубину ретроспективы. Как известно, для того чтобы оценка стандартного отклонения верно характеризовала генеральную совокупность, выборка должна обладать объемом не ниже некоторого уровня. Из рис. 3.14 следует, что этот объем должен быть не менее 40-50 наблюдений, иначе погрешность расчета волатильности будет слишком велика (т. е. волатильность может случайным образом оказаться как ниже, так и выше среднего уровня). Однако оценка волатильности доходности финансовых активов имеет ряд особенностей, связанных с тем, что параметры распределения меняются со временем, в том числе и средняя волатильность (гетероскедастичность). Таким образом, накладывается ограничение на максимальный размер выборки (глубину ретроспективы).

Пример 3.14. Расчет оптимального параметра сглаживания по данным российского финансового рынка.

Расчеты были произведены по выборке данных о курсах американского доллара (USD), евро (EUR) на ММВБ и значениях индекса РТС за период 20002002 гг. вплоть до 19.03.2002.

На рис. 3.15 значение λ, соответствующее min (RMSE_EUR), равно 0,88. Как видно из рис. 3.15-3.17, зависимость ошибки прогноза от λ близка к гиперболической, VaR растет с увеличением λ, что ведет к снижению количества случаев превышений убытками величины VaR.

Рассмотрим теперь важную проблему «недостающих данных», связанную, в частности, с определением оптимального параметра λ в модели EWMA. Под недостающими данными здесь понимается, например, отсутствие данных о ценах активов в так называемые «неторговые» дни (обычно выходные и праздничные дни). Проблема недостающих данных заключается в том, что информация, накопившаяся за то время, пока торги не велись, с открытием торгов может привести к скачкообразным движениям цен активов, что, в свою очередь, может привести к существенному изменению формы (параметров) вероятностного распределения доходности активов, изменению (нарушению) корреляционных связей и т. д.

Обычно (когда неторговые периоды совпадают по продолжительности и календарно на взаимосвязанных рынках) этого не происходит, и эти «недостающие» данные никак не учитываются. Однако, учитывая современные условия, а именно все более тесную интеграцию финансовых рынков, данная проблема, скорее всего, неизбежна. Естественным образом встает вопрос о том, учитывать или не учитывать эти данные, что зависит от того, насколько значимыми стали изменения в поведении участников рынка.

Рассмотрим основные факторы, влияющие на масштаб накопившейся информации. Это в первую очередь несовпадение неторговых периодов по времени и продолжительности (как это было на Нью-Йоркской фондовой бирже, торги на которой не велись с 11 по 17 сентября 2001 г., в то время как на большинстве мировых финансовых рынков торги проводились). Любые крупные изменения (политические, экономические, социальные и т. д.), произошедшие в это время, повлияют на характер торгов в момент открытия рынка.

Для решения этой проблемы используются такие подходы, как метод максимального правдоподобия, множественный «броуновский мост» (multivariate Brownian bridge)[70]70
  «Броуновский мост» – это случайный процесс X_t, подчиняющийся уравнению и некоторым броуновским движением B_t, t ≥ 0.


[Закрыть], линейная интерполяция и др. У каждого метода есть свои преимущества и недостатки, и выбор метода в каждом случае будет определяться конкретными условиями.

Проанализируем результаты применения метода линейной интерполяции на примере данных о курсе доллара США.

Рассмотрим два графика (рис. 3-18-3.19), на одном из которых изображена зависимость средней величины ошибки прогноза RMSE_USD от значения Л (значение λопт ≈ 0,99), а на втором – динамика RMSE_USD за последние два года. Заполнения недостающих данных не производилось.

На рис. 3.20-3.21 представлены те же зависимости, но уже после заполнения недостающих данных (традиционно нерабочие дни, первые числа января 2001 и 2002 гг.). После обработки данных оптимальное значение Л стало равным 0,92. Можно также заметить, что на порядок снизилось максимальное значение ошибки прогноза, наблюдавшееся в январе 2002 г., что привело к увеличению доли в ошибке прогноза остальных дней ретроспективы, для которых λ = 0,92 является оптимальным параметром.

Заметим, что при заполнении недостающих данных для диверсифицированного портфеля, существенное внимание следует уделить корреляционным связям в динамике активов.

Проведенные измерения оптимальных значений параметров сглаживания для некоторых активов российского финансового рынка (доллар США, евро, индекс РТС) позволяют построить график (рис. 3.22).

Под «возмущением» в данном случае понимается вызванное влиянием какого-либо фактора скачкообразное изменение текущей доходности актива, сопровождающееся, как правило, временным увеличением волатильности.

Рассмотрим три ключевые точки графика:

• возмущение – значение λ снижается до уровня 0,85-0,88; это обусловлено тем, что изменившаяся ситуация на рынке наиболее адекватно характеризуется недавними изменениями;

• стабилизация – λ равна 0,98-0,99: на первый взгляд, парадоксальный результат, однако ему есть логическое объяснение – как можно в меньшей степени использовать данные недавнего возмущения;

• стабильность – λ равна 0,92-0,95: диапазон наиболее часто наблюдаемых значений при длительном отсутствии возмущений.

Значение параметра сглаживания λ в системе RiskMetrics равно 0,94 при уровне толерантности 1 %. Это значение параметра сглаживания считается пригодным для финансовых рынков развитых стран. Оптимальное значение данного параметра для рынка в целом было получено при помощи взвешивания индивидуальных параметров, при этом в качестве весов выступала точность прогнозирования волатильности (ошибка прогноза): чем выше точность, тем больший вес имеет параметр сглаживания данного актива. Разброс значений точности прогнозирования волатильности активов российского финансового рынка ставит под сомнение целесообразность применения данного подхода в российских условиях. Поскольку наименее волатильные инструменты обладают наименьшей средней ошибкой прогноза, то они имеют наибольший вес в значении параметра λ для рынка в целом. Для интегрального параметра λ было бы рациональнее использовать индивидуальные значения этого параметра с приданием им весов, пропорциональных объемам торгов по соответствующим инструментам или их долям в портфеле.

3.21. Модели авторегрессионной условной гетероскедастичности[71]71
  Пункты 3.21, 3.22 написаны при участии А. А. Лобанова.


[Закрыть]

Главным недостатком экспоненциального сглаживания является его сильная зависимость от исторических данных, что иногда затрудняет прогнозирование будущих значений волатильности.

Изучение закономерностей изменений волатильности привело к появлению в начале 1980-х гг. класса моделей авторегрессионной условной гетероскедастичности (autoregressive conditionally heteroskedastic – ARCH) следующего вида:

Идея, лежащая в основе ARCH-модели, заключается в различии между условными и безусловными моментами второго порядка. Тогда как безусловные дисперсии и ковариации постоянны, условные моменты нелинейно зависят от прошлых состояний и изменяются во времени. За последние двадцать лет были разработаны многочисленные модификации базовой модели Энгла (3.74), в частности M-ARCH, F-ARCH, T-ARCH, и примеры применения ее к финансовым и макроэкономическим временным рядам[72]72
  Детальный обзор этих моделей дан в [2].


[Закрыть]. В результате выделился целый набор более совершенных моделей, позволяющих отказаться от предположений о независимости волатильности от своих предыдущих значений и учесть автокорреляцию в них. В частности, появились так называемые GARCH-модели (general autoregressive conditional heteroskedastic – GARCH). Как видно из названия, они учитывают корреляционную зависимость с помощью авторегрессии значений волатильности при условии ее гетероскедастичности.

Впервые GARCH (p, д)-модель была предложена Боллерслевым в 1986 г. [19] и имела вид:

Существенным преимуществом GARCH-модели признается ее свойство быстрого реагирования на любые наблюдаемые изменения на рынке и быстрого восстановления после сильных колебаний рынка.

За прошедшие годы было установлено, что даже простые модели GARCH (1, 1) (с коэффициентами p и q, равными 1) позволяют объяснить около 95 % волатильности доходности, показывая лучшие результаты, чем различные взвешенные модели. В большинстве случаев эта упрощенная модель вполне подходит для многих финансовых показателей, обеспечивая приемлемую прогнозную точность.

3.22. После VaR: иные меры риска

Показатель VaR как статистика, характеризующая риск инвестиционного портфеля, несомненно, обладает многими достоинствами, главными из которых являются относительная простота представления информации о риске (в виде только одного значения в стоимостном выражении) и практическая полезность для управления портфелем. Однако поскольку VaR представляет собой только одну заданную квантиль распределения прибылей и убытков, он имеет и целый ряд существенных недостатков, в том числе:

• отсутствие информации о наихудшем возможном убытке за пределами значения VaR; так, например, при заданном уровне доверия (1 – α) = 95 % остается неизвестным, какими могут быть потери в оставшихся 5 % случаев;

• отсутствие информации о виде распределения убытков: у распределений с разной толщиной «хвостов» при определенном уровне доверия может наблюдаться одно и то же значение VaR;

• показатель VaR не является однозначно определенным: для одного и того же портфеля уровни доверия его значения могут существенно различаться в зависимости от способа декомпозиции портфеля по факторам риска, объема выборки исторических данных и применяемого метода расчета. Поэтому сложно судить о точности любого отдельно взятого значения VaR, скорее речь может идти о статистической точности модели расчета VaR, оцененной по большим выборкам данных[73]73
  Некоторые критерии оценки точности VaR-моделей рассмотрены в [6].


[Закрыть].

Перечисленные слабые стороны VaR позволяют усомниться в том, насколько целесообразно использовать квантили распределений прибылей и убытков в целях оценки достаточности капитала. В качестве альтернатив можно было бы прибегнуть к таким мерам риска, используемым в финансовой сфере, как[74]74
  Сравнительный анализ перечисленных мер риска дан в [25].


[Закрыть]:

• полное распределение прибылей и убытков по портфелю, для которого можно определить уже набор квантилей разных порядков;

• дисперсия (стандартное отклонение) доходности, которая учитывает большие по величине колебания цен; в то же время большая дисперсия доходности может объясняться как значительными по величине убытками, так и прибылями;

• полудисперсия доходности, отличающаяся от обычной дисперсии тем, что отражает разброс только тех значений, которые меньше среднего:

• нижний частный момент порядка n:

Ясно, что для случая n = 2, X_t = E(X) нижний частный момент будет равен полудисперсии;

• абсолютное отклонение, представляющее собой математическое ожидание абсолютных значений отклонений от среднего:

• модифицированный коэффициент Джини:

и др.

Всем перечисленным мерам присущи свои достоинства и недостатки, однако остается неясным, какие из них обладают свойствами, важными для финансового риск-менеджмента, и в чем именно состоят эти свойства.

Важнейшие свойства, которым должны обладать меры риска, применяемые в финансовой сфере, были сформулированы в известной работе Артзне-ра, Делбана и др. [16]. Меру риска p(X), определенную на всем множестве возможных прибылей и убытков G, называют когерентной (coherent), если и только если она удовлетворяет следующим аксиомам:

В [16] показано, что показатель VaR в общем случае не удовлетворяет последнему свойству субаддитивности, т. е. при определенных условиях объединение позиций может привести к более высокому портфельному VaR, чем сумма их индивидуальных значений VaR[75]75
  В случае нормально распределенных доходностей факторов риска показатель VaR будет удовлетворять всем четырем свойствам когерентных мер риска, в том числе аксиоме субаддитивности.


[Закрыть]. Это лишний раз доказывает необходимость осмотрительного применения VaR и производных от него показателей при управлении рыночным риском портфеля.

Одной из мер риска, удовлетворяющих условиям когерентности, является показатель ожидаемых потерь (expected shortfall, mean excess loss, tail conditional expectation, tail loss, tail VaR, conditional VaR – CVaR[76]76
  Conditional VaR совпадает с expected shortfall только в случае непрерывного распределения доходностей финансовых активов.


[Закрыть]) – статистика, позволяющая оценить потери по портфелю, выходящие за пределы VaR.

Распространенным свойством вероятностных распределений доходностей финансовых активов является большая плотность редких или экстремальных событий по сравнению с нормальным распределением (эффект «толстых хвостов»). При использовании гипотезы о нормальном распределении доходностей финансовых активов это может привести к тому, что результаты верификации данной модели расчета VaR по частоте превышений прогноза убытками окажутся удовлетворительными, а потери, превысившие VaR, в среднем окажутся выше предсказываемых данной моделью.

Таким образом, важно иметь представление о потерях, превышающих заданный доверительный уровень. Пусть (1 – α) – доверительный интервал, ΔV_(-) – величина текущего снижения рыночной стоимости V инвестиционного портфеля. Математически можно определить величину ожидаемых потерь как условное математическое ожидание потерь X, превысивших по величине VaR:

Для непрерывно распределенной доходности показатель ожидаемых потерь определяется следующим образом:

При использовании совместно с VaR показатель ожидаемых потерь позволяет получить дополнительные сведения о функции плотности распределения и толщине его «хвостов».

Показатель ожидаемых потерь может быть использован для определения размеров резерва (C_ES), достаточного для страхования данного портфеля от убытков, которые превысят VaR:

Таким образом, размер требуемого страхового резерва составит разницу между ожидаемыми потерями, превышающими VaR, и величиной VaR, умноженной на вероятность наступления такого события (1-α).

Пример 3.15. Расчет показателя ожидаемых потерь на современном российском рынке.

Соответствующие расчеты были проведены для индекса РТС по данным за период с 09.03.2000 по 19.03.2002 (два финансовых года) с параметрами (1 – а) = 0,95, l = 0,92, рыночная стоимость портфеля на начало периода составила 1 000 000 ед. Результаты расчетов представлены в табл. 3.37.

3.23. Современные проблемы риск-менеджмента в России

Финансовый риск-менеджмент в современной России находится в стадии становления. С одной стороны, это связано с особенностями политической и экономической истории страны, с низкими по сравнению с другими странами Восточной Европы темпами развития рынка в России. С другой – следует помнить о сравнительно небольшом возрасте финансового риск-менеджмента как направления в мировой экономической науке и практике.

Риск-менеджмент, пожалуй, в наибольшем объеме отражает специфику российской экономики и менталитета. В отличие от других стран в России еще не сменились собственники, участвовавшие в первичном накоплении капитала, и в то же время есть пример и технологии развитых стран, неплохое развитие информационной инфраструктуры бизнеса и высококвалифицированные специалисты в области точных и компьютерных наук, массово перешедшие в коммерческий сектор.

При этом многие технологии западного риск-менеджмента, рассчитанные на управление классическими микроэкономическими параметрами (экономической стоимостью бизнеса, прибылью), не срабатывают в российских условиях, во-первых, потому, что зачастую критерием для временного спекулятивного бизнеса в России являются не прибыли, а положительные денежные потоки, обладание которыми может закончиться их незаконным и часто безнаказанным, т. е. чрезвычайно рентабельным, присваиванием, а во-вторых, потому, что их пытаются применить в отсутствие четкой системы внутрифирменного управленческого учета, очищающего данные от огромных искажений бухгалтерской отчетности и фиктивных сделок, связанных с налоговой оптимизацией и коррупцией.

Кроме того, стандарты управления рисками стали базой для определения некоторых, не всегда полноценно обоснованных (как, например, коэффициенты достаточности капитала) и часто противоречивых ключевых параметров надзорных органов в области банковского, страхового и пенсионного дела, в связи с чем интерес к управлению рисками беспорядочно и неадекватно насаждается «сверху», а также требованиями к имиджу компании со стороны иностранных партнеров.

В целом это приводит к мифологизации риск-менеджмента, к восприятию технологий управления рисками как панацеи, а значит, чего-то нереального и неэффективного, надуманного и профанированного.

Другими важнейшими факторами низкого уровня управления экономическими рисками в России является отсутствие развитого и стабильного рынка финансовых инструментов, а также дефицит подготовленных кадров и общий низкий уровень культуры риск-менеджмента.

Не только в российской, но и в мировой науке и практике управления рисками сегодня наблюдается ряд серьезных проблем.

Одна из глобальных, на наш взгляд, проблем современного риск-менеджмента состоит в недооценке трудностей восприятия риска лицами, принимающими решения, и в недостаточно формализованных на сегодняшний день процедурах целеполагания и определения критериев для систем управления рисками, которые могли бы учитывать иррациональность предпочтений.

Последствием недооценки этой проблемы является нынешняя, затмевающая прочие подходы мода на измерение рыночных и иных рисков в соответствии с концепцией value at risk. Конечно, было бы ошибкой недооценивать превосходные свойства показателя VaR, прекрасно подходящего для многих практических целей в силу своей наглядности и эффективности, однако приходится констатировать, что в настоящее время маятник тенденции развития риск-менеджмента опять качнулся в сторону довольно примитивных измерителей рыночного риска, поскольку оценки сверху возможных потерь, во-первых, завышают (т. е. удорожают) для многих целей оценку риска, а во-вторых, противоречат концепции, объединяющей в понятии риска возможность не только отрицательных исходов (потерь), но и положительных (прибылей).

Увеличение систематических рисков провоцируется глобализацией мировой экономики и связанным с ней некоторым сокращением возможностей диверсификации (например, при объединении нескольких европейских валют в одну).

Наконец, следует отметить, что современные технические проблемы портфельного риск-менеджмента тесно связаны с развитием электронной коммерции, необходимостью ускорения расчетов в режиме реального времени и ростом требований к обеспечению сохранности и достоверности передаваемой через Интернет информации.

Возрастающую роль в науке об управлении рисками играют достижения нейроматематики, синергетики, эконофизики. В частности, появляются такие идеи управления портфелем, как теория хаоса, «фрактальные финансы», «нейрофинансовая» теория, «квантовые финансы». Важность применения аппарата этих теорий связана с тем, что в соответствии с современными взглядами на научную картину мира он позволяет скорректировать представление о принятии решений и ввести в научный оборот нетрадиционные для рационального поведения методы управления рисками.

В целом наблюдается возрастание роли риск-менеджмента в России и в мире и можно ожидать скачкообразного развития технологий риск-менеджмента с развитием поведенческого («иррационального») подхода в научно-техническом прогрессе и соответствующей эволюцией в эконометрике и оптимизационных методах риск-менеджмента.