Текст книги "Энциклопедия финансового риск-менеджмента"

3.15. Дельта-гамма-вега-приближение

Если в портфеле содержатся опционы, то применение к нему дельта-нормального подхода для расчета VaR сталкивается со следующими проблемами:

• дельта портфеля может изменяться очень быстро (высокая гамма);

• дельта портфеля может быть различной для роста и падения цены базисного актива;

• возможна ситуация, когда предельные потери по инструменту нельзя оценить исходя из предельных отклонений цены базисного актива в обе стороны, т. е. функция изменения стоимости является немонотонной. В этом случае следует проверять поведение стоимости портфеля во всех промежуточных состояниях базисного актива.

Один из главных недостатков дельта-нормального подхода заключается в том, что он не учитывает какие-либо иные виды риска, кроме риска дельты. Однако в рамках данного подхода в расчет могут быть также включены и показатели, отражающие гамма– и вега-риск[59]59
  Базельский комитет по банковскому надзору в своих требованиях к моделям расчета VaR особо указывает, что для опционов модель должна учитывать их нелинейные ценовые характеристики и включать факторы риска, отражающие волатильность цен и процентных ставок базисных активов (вега-риск) [I7, p. I33-I34].


[Закрыть], которые представляют собой ряд Тейлора, аппроксимирующего приращение функции стоимости инструмента V:

где Δ, Г, Λ – оценки дельты, гаммы и веги соответственно для портфеля в целом[60]60
  Предполагается, что опционы в этом портфеле имеют один и тот же базисный актив.


[Закрыть];

S – цена базисного актива.

Дельта-гамма-вега-приближение (delta-gamma-vega approximation) позволяет рассчитывать VaR для портфеля опционов с одним и тем же базовым активом по следующей формуле[61]61
  Существуют и другие формы аппроксимации для расчета VaR с помощью дельтагамма-приближения [24, 33].


[Закрыть]:

Если гамма отрицательна, что соответствует короткой чистой позиции по портфелю опционов, то второе слагаемое в формуле (3.48) увеличит риск, в то время как положительная гамма скорректирует величину VaR в сторону снижения. Если чистая позиция по опционам оказывается длинной (т. е. имеет положительную вегу), то риск портфеля будет возрастать при снижении волатильности базисного актива. Напротив, при короткой чистой позиции (т. е. отрицательной веге) риск портфеля будет увеличиваться при росте его волатильности.

Хотя дельта-гамма-вега-приближение учитывает нелинейные характеристики риска, остаются следующие проблемы:

• в методе предполагается нормальное распределение как доходностей базисных активов (факторов риска), так и их квадратов, что, как правило, не выполняется ни в теории, ни на практике[62]62
  Заметим, что если изменения цен распределены по нормальному закону, то квадраты этих случайных величин будут подчиняться распределению хи-квадрат.


[Закрыть];

• объем вычислений возрастает геометрически с ростом числа факторов риска. Так, при использовании только дельта-гамма-приближения уже при 100 факторах риска требуется рассчитать 100 оценок дельты, 5050 значений элементов ковариационной матрицы и дополнительно 5050 элементов матрицы коэффициентов гамма, включающей вторые частные производные по каждой позиции портфеля по каждому фактору риска[63]63
  На практике с целью сокращения объема вычислений можно ограничиться рассмотрением только диагональных элементов матрицы коэффициентов гамма.


[Закрыть];

• необходимость проверки поведения стоимости портфеля при всех промежуточных состояниях факторов риска сохраняется, если он состоит из нелинейных инструментов с немонотонной функцией изменения стоимости.

Важно также иметь в виду, что в случае, когда доля опционов в портфеле существенна, волатильность портфеля за период не пропорциональна квадратному корню из отношения временных горизонтов, и ее следует оценивать непосредственно для интересующего временного горизонта расчета VaR путем полного оценивания.

Для больших диверсифицированных портфелей, в которых опционы не доминируют, дельта-нормальный метод представляет собой наиболее быстрый и эффективный способ расчета VaR. Для портфелей, чувствительных к относительно небольшому количеству источников риска с некоторой (существенной) долей опционов, дельта-гамма-вега-приближение обеспечивает более высокую точность при сравнительно невысоких требованиях к вычислительной мощности. Для портфелей со значительной долей опционов необходим подход на основе полного оценивания, который предусматривает полную переоценку портфеля при различных значениях базисного актива и иных факторов риска:

Эти методы расчета VaR теоретически более корректны, однако сопряжены с затратами на многовариантное полное оценивание портфеля, которые значительно возрастают с увеличением количества позиций. Величина VaR может быть непосредственно получена исходя из построенного эмпирического распределения изменений стоимости портфеля.

3.16. Метод исторического моделирования

Метод исторического моделирования (historical simulation) относится к группе методов полного оценивания и является непараметрическим. Он основан на предположении о стационарности поведения рыночных цен в ближайшем будущем. Cyra данного метода заключается в следующем. Начала выбирается период времени глубины Т (например, 200 торговых дней), за который отслеживаются исторические изменения (например, дневные) цен P всех N входящих в портфель активов:

Для каждого из этих T сценариев изменений моделируется гипотетическая цена P* каждого актива в будущем как его текущая цена P₀, умноженная на прирост цены, соответствующий данному сценарию:

Затем производится полная переоценка всего текущего портфеля по ценам, смоделированным на основе исторических сценариев, и для каждого сценария вычисляется, насколько изменилась бы стоимость сегодняшнего портфеля:

После этого полученные T изменений портфеля ранжируются по убыванию (от самого большого прироста до самого большого убытка), которые можно пронумеровать от 1 до T. В соответствии с желаемым уровнем доверия (1 – α) величина VaR определяется как такой максимальный убыток, который не превышается в (1 – α)T случаях[64]64
  Например, если за Т = 400 (сценариев) оказалось 300 случаев убытка и 100 случаев прироста, то VaR_95 %– это абсолютная величина 21-го по величине убытка (400 + 1 -(1 – α)Т = 400 + 1 -(1 -0,05) × 400 = 21), т. е. изменения под номером 380.


[Закрыть], т. е. VaR равен абсолютной величине изменения с номером, равным целой части числа (1 – α)T.

Данный метод относительно легко реализуем, если в распоряжении риск-менеджеров имеется ежедневно обновляемая база данных по всем факторам риска, которым подвержены инструменты портфеля. Как правило, чем больше глубина ретроспективы, используемой для моделирования цен, тем выше точность оценок VaR, но одновременно и сильнее опасность использования устаревших данных, «заглушающих» новые тенденции рынка.

В методе исторического моделирования изменения значений факторов риска измеряются за интервалы времени, соответствующие выбранному горизонту расчета VaR. Например, для расчета месячного VaR следует построить распределение смоделированных месячных изменений стоимости портфеля за несколько предшествующих лет.

Пример 3.11. Расчет VaR методом исторического моделирования на современном российском рынке.

Сбор дневных значений VaR осуществлялся согласно алгоритму из примера 3.10, при этом глубина данных об изменениях стоимости портфеля составила 255 дней. В табл. 3.31 приведен фрагмент вычислений.

Таким же образом были рассчитаны значения VaR для каждого актива и проведена верификация модели по историческим данным (табл. 3.32).

Метод исторического моделирования в данном случае показал меньшее количество ошибок, чем дельта-нормальный, что, главным образом, обусловлено выбором ретроспективы. Хотя было бы правильнее удалить аномальные наблюдения из выборки данных, этого не было сделано ради исследовательских целей, в результате чего колебания стоимости портфелей за кризисный период (август-сентябрь I998 г.) сильно завысили значения VaR для периода, когда рынок стабилизировался (около 30 % наблюдений). В свою очередь, подавляющее большинство случаев превышения (24 из 25) наблюдалось в тот период, когда «кризисные» изменения стоимости портфеля перестали учитываться в расчетах.

Достоинства метода исторического моделирования

• Отсутствие предположений о нормальном распределении доходностей факторов риска или какой-либо другой стохастической модели динамики цен на рынке, кроме реально наблюдавшейся в прошлом (что позволяет учесть эффект «толстых хвостов» такого распределения).

• Хорошая точность оценки риска нелинейных инструментов.

• Простота полной переоценки портфеля, осуществляемой по историческим сценариям.

• Учет (в неявном виде) гамма-риска, вега-риска, а также корреляционных взаимосвязей в динамике цен активов.

• Отсутствие риска использования ошибочной модели для оценки стоимости инструментов.

• Интуитивная простота и наглядность.

Недостатки метода исторического моделирования

• Использование только одной траектории эволюции цен.

• Несоблюдение в реальности базовой посылки метода о том, что прошлое может служить хорошей моделью будущего.

• Высокая вероятность ошибок измерения при малой глубине исторической ретроспективы.

• Игнорирование различий между старыми и последними наблюдениями, тогда как удаление из выборки наиболее старых наблюдений может резко улучшить точность модели[65]65
  Известны модификации метода исторического моделирования, в которых производится взвешивание используемых входных данных (см., например, [20, 24]).


[Закрыть].

• Большой объем вычислений для крупных диверсифицированных портфелей при том, что агрегирование (например, использование одной дельты для различных инструментов) может снизить преимущества полного оценивания.

3.17. Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло, или метод стохастического моделирования (Monte Carlo simulation), основан на моделировании случайных процессов с заданными характеристиками. В отличие от метода исторического моделирования в методе Монте-Карло изменения цен активов генерируются псевдослучайным образом в соответствии с заданными параметрами распределения, например математическим ожиданием μ и волатильностью σ. Имитируемое распределение может быть, в принципе, любым, а количество сценариев – весьма большим (до нескольких десятков тысяч). В остальном метод аналогичен методу исторического моделирования.

Моделирование траектории цен производится по различным моделям. Например, распространенная модель геометрического броуновского движения дает в итоге следующие выражения для моделирования цен S на каждом шаге процесса, состоящего из очень большого количества шагов, охватывающих период T:

Воспользовавшись определением винеровского процесса, уравнение (3.53) можно записать в дискретной форме:

Можно использовать и иные модели эволюции цен, например экспоненциальную.

Траектория цен – это последовательность псевдослучайным образом смоделированных цен, начиная от текущей цены и заканчивая ценой на некотором конечном шаге, например на тысячном или десятитысячном. Чем больше число шагов, тем выше точность метода.

Каждая траектория представляет собой сценарий, по которому определяется цена на последнем шаге исходя из текущей цены. Затем производится полная переоценка портфеля по цене последнего шага и расчет изменения его стоимости для каждого сценария. Оценка VaR производится по распределению изменений стоимости портфеля.

Генерация случайных чисел в методе Монте-Карло состоит из двух шагов. Сначала можно воспользоваться генератором случайных чисел, равномерно распределенных на интервале между 0 и 1*. Затем, используя как аргументы полученные случайные числа, вычисляют значения функций моделируемых распределений.

Однако следует помнить, что генераторы случайных чисел работают на детерминированных алгоритмах и воспроизводят так называемые «псевдослучайные числа», поскольку с некоторого момента последовательности этих псевдослучайных чисел начинают повторяться, т. е. они не являются независимыми. В простейших генераторах это происходит уже через несколько тысяч генераций, а в более сложных– через миллиарды генераций. Если массив случайных чисел начинает повторяться слишком быстро, то метод Монте-Карло перестает моделировать случайные, независимые сценарии и оценка VaR начинает отражать ограниченность генератора, а не свойства портфеля. Оптимальное количество шагов в процессе зависит от объема выборки, состава портфеля и сложности составляющих его инструментов и др.

Пример 3.12. Элементы расчета VaR методом Монте-Карло на современном российском рынке.

Для расчета VaR можно использовать различные модификации метода Монте-Карло; в данном случае метод описывается следующим образом:

1. По ретроспективным данным рассчитываются оценки математического ожидания и волатильности σ.

2. С помощью датчика случайных чисел генерируются нормально распределенные случайные числа ε с математическим ожиданием, равным , и стандартным отклонением σ.

3. Полученными на предыдущем шаге случайными числами е заполняется таблица размерностью 500 столбцов на 1000 строк (вообще говоря, размерность таблицы произвольная и зависит, например, от имеющихся вычислительных мощностей, но, чтобы метод обеспечивал приемлемую точность, она должна быть достаточно большой).

4. Вычисляется траектория моделируемых цен вплоть до S₁₀₀₀ по формуле S_t = S_t-1e^ε_t-1, где e – основание натурального логарифма, S_t – текущая цена (курс) актива.

5. Производится переоценка стоимости портфеля (состоящего в данном примере из одного актива) по формуле: ΔV = Q(S₁₀₀₀ – S₀), где Q – количество единиц актива.

6. Шаги 4 и 5 выполняются 500 раз для заполнения таблицы 500 × 1000. Полученные 500 значений ΔV сортируются по убыванию (от самого большого прироста до самого большого убытка). Эти ранжированные изменения можно пронумеровать от 1 до 500. В соответствии с желаемым уровнем доверия (1 – α) риск-менеджер может определить VaR как такой максимальный убыток, который не превышается в 500(1 – α) случаях, т. е. VaR равен абсолютной величине изменения с номером, равным 500(1 – α).

7. Шаги 1-6 повторяются для каждого расчета каждого дневного VaR.

В качестве объекта исследования был выбран индекс РТС. Генерация случайных чисел производилась при помощи встроенного генератора MS Excel (рис. 3.12).

На графике показана одна из 500 траекторий цен от начальной цены S₀ до последней S₁₀₀₀. Вообще говоря, S₁₀₀₀ может принимать значения как выше первоначальной цены S₀, так и ниже, однако в результате проведенного моделирования случайная переменная S_I000 в подавляющем большинстве случаев принимала значения, во много раз превышающие первоначальную цену, и лишь в 2-3 случаях – меньшие (например, для S₀ = 168,2 последняя цена S₁₀₀₀ = 40,4, а прогнозируемое на ее основе дневное падение стоимости портфеля составило 76 %).

Метод Монте-Карло является наиболее технически сложным из всех описанных методов расчета VaR. Кроме того, для выполнения расчетов в полном объеме необходимы значительные вычислительные мощности и временные ресурсы. Современные компьютеры пока еще не позволяют обрабатывать информацию в режиме реального времени, как этого требуют трейдеры, если риск-менеджеры хотят устанавливать VaR-лимиты на величину открытых позиций с помощью метода Монте-Карло.

Существует вариант метода Монте-Карло, согласно которому можно не задавать какое-либо конкретное распределение для моделирования цен, а использовать непосредственно исторические данные. Подобно методу исторического моделирования, на основе ретроспективы моделируются гипотетические цены, но их последовательность не является единственной и не ограничена глубиной периода ретроспективы, поскольку выборка производится с возвращением (bootstrap), т. е. возмущение из исторических данных выбирается случайным образом, и каждый раз в выборе участвуют все данные. Такое построение выборки исторических данных позволяет учесть эффект «толстых хвостов» и скачки цен, не строя предположений о виде распределения. Это несомненные достоинства метода, который, в отличие от метода исторического моделирования, позволяет рассмотреть не какую-либо одну траекторию цен (сценарий), а сколь угодно много, что, как правило, повышает точность оценок. Недостатками данной методики являются низкая точность при малых объемах выборки и использование предположения о независимости доходностей во времени.

Чтобы проводить моделирование по методу Монте-Карло для многофакторного процесса, можно точно так же моделировать каждый из k рассматриваемых факторов исходя из сгенерированных случайных чисел:

или для дискретного времени:

С целью учета корреляции между факторами необходимо, чтобы случайные величины ε_i и ε_j точно так же коррелировали между собой. Для этого используется разложение Холецкого (Cholesky factorization), суть которого состоит в разложении корреляционной матрицы на две (множители Холецкого) и использовании их для вычисления коррелированных случайных чисел.

Корреляционная матрица является симметричной и может быть представлена произведением треугольной матрицы низшего порядка с нулями в верхнем правом углу на такую же транспонированную матрицу. Например, для случая двух факторов имеем:

Коррелированные случайные числа ε₁, и ε₂ получаются путем перемножения множителя Холецкого и вектора независимых случайных чисел η:

При расчетах необходимо правильно выбрать количество множителей, чтобы получилась положительно определенная матрица, но это отдельный вопрос, остающийся за пределами данной главы.

Достоинства метода Монте-Карло

• Высокая точность расчетов.

• Высокая точность применительно к инструментам с нелинейными ценовыми характеристиками.

• Возможность моделирования любых исторических и гипотетических распределений, учет эффекта «толстых хвостов» и скачков цен (вега-риска).

Недостатки метода Монте-Карло

• Высокая сложность моделей и соответственно высокий риск неадекватности моделей.

• Высокие требования к вычислительной мощности и значительные затраты времени на проведение расчетов.

3.18. Сравнительный анализ методов расчета VaR

Поскольку современный финансовый риск-менеджмент оперирует показателями на основе value at risk, необходимо четко представлять себе, какой из методов расчета VaR и в каких условиях показывает наилучшие результаты.

Параметрические методы (локального оценивания)

Дельта-нормальный метод (ковариационный метод) прост, допускает аналитическое представление, не требует полной переоценки позиций, не требует обширной базы ретроспективных данных, однако имеет ряд минусов, главным из которых является то, что гипотеза о нормальном распределении, как правило, не соответствует параметрам реального финансового рынка. Данный метод также плохо подходит для оценки риска активов с нелинейными ценовыми характеристиками.

Дельта-гамма-вега-приближение позволяет учесть соответствующие риски (изменение дельты, изменение волатильности), что позволяет усилить достоинства дельта-нормального метода за счет возможности более приемлемой оценки нелинейных инструментов, поступившись, однако, простотой, присущей дельта-нормальному методу.

Методы полного оценивания

Метод исторического моделирования позволяет наглядно и полно оценить риск с учетом «толстых хвостов» без предположений о характере распределения, однако он предполагает наличие обширной базы данных по всем факторам риска.

Метод Монте-Карло общепризнан наилучшим, так как обладает рядом неоспоримых достоинств, в частности, не использует гипотезу о нормальном распределении доходностей, показывает высокую точность для нелинейных инструментов и устойчив к выбору ретроспективы. К недостаткам метода можно отнести техническую сложность расчетов и модельный риск.

В табл. 3.33 приведены сравнительные характеристики всех рассмотренных методов.

3.19. Предельный VaR, VaR приращения и относительный VaR

Предельный VaR (marginal VaR – MVaR) показывает, на какую величину изменится риск портфеля при малых изменениях[66]66
  В предельном случае – при изменении размера позиции на одну денежную единицу.


[Закрыть] размера позиции по данному активу или фактору риска.

Пусть х_i – сумма денежных средств, вложенных в i-й вид актива, тогда предельный VaR определяется как:

Таким образом, предельный VaR – это показатель, характеризующий чувствительность VaR портфеля к изменению его структуры и являющийся просто частной производной VaR портфеля по размеру позиции.

Предельный VaR используется в том случае, когда полная ликвидация данной позиции или нескольких позиций нецелесообразна, а управление совокупным риском портфеля осуществляется посредством балансирования позиций, т. е. частичной покупки или продажи актива.

Зная предельный VaR для каждого актива, входящего в портфель, размер позиции по i-му активу в портфеле – и его процентное изменение θ_i, можно найти приращение VaR портфеля[67]67
  Поскольку формула (3.59) представляет собой предельное разложение, точность аппроксимации (3.60) будет тем выше, чем меньше изменение размера позиций θ_i.


[Закрыть]:

Например, имея в портфеле актив А стоимостью 1000 долл. США с предельным VaR(A) = 0,1, мы хотим дополнительно вложить 10 долл. в актив А, тогда VaR портфеля изменится следующим образом:

Важной характеристикой предельного VaR (и его отличием от VaR приращения) является свойство аддитивности:

Таким образом, суммируя предельные VaR, умноженные на величину позиций по всем инструментам[68]68
  Произведение предельного VaR позиции на величину данной позиции называют также component VaR [33].


[Закрыть], можно получить VaR портфеля. На практике предельный VaR удобно использовать, например, при установлении лимитов, когда важно, чтобы сумма частных рисков была равна риску целого. В частности, с помощью данного показателя можно провести декомпозицию VaR портфеля по входящим в него инструментам (позициям) или факторам риска. Воспользовавшись (3.59), получим следующее выражение для оценки вклада позиции в общий риск портфеля:

Приведенное разложение риска портфеля по позициям следует интерпретировать в предельном смысле, т. е. оно показывает процентные вклады инструментов в изменение VaR портфеля в результате изменения размера каждой из позиций на одну и ту же (малую) относительную величину.

Показатель VaR приращения (incremental VaR – IVaR) данной позиции в портфеле отражает величину риска, добавляемого данной позицией к совокупному риску портфеля. VaR приращения, как и предельный VaR, отражает влияние изменения структуры портфеля на величину его риска, однако от последнего он отличается тем, что изменение размера позиции может быть большим, и тогда VaR портфеля будет изменяться нелинейно.

При помощи данного показателя можно определить, как изменится VaR портфеля при (значительном) изменении размера или ликвидации какой-либо позиции.

В общем случае VaR приращения определяется как разность между VaR первоначального портфеля и VaR портфеля без данной позиции:

Показатель VaR приращения учитывает корреляционные связи данной позиции с остальными позициями в портфеле.

Например, для параметрического метода VaR приращения позиции можно рассчитать как

Пусть ρ – корреляция данной позиции с портфелем без данной позиции. VaR приращения позиции будет положительным при ρ ≥ 0 и отрицательным при ρ < 0.

Из (3.63) следует, что для расчета VaR приращения в общем случае необходимо произвести полную переоценку портфеля (и, соответственно, перерасчет VaR) после изменения его структуры (выведения выбранной позиции). Такой подход является наиболее корректным, однако он не всегда удобен, так как сопряжен с большими затратами времени на проведение вычислений.

Важно отметить, что если VaR позиции мал по сравнению с VaR портфеля, то VaR приращения будет приблизительно равен VaR позиции, умноженному на коэффициент корреляции ρ:

Рассмотрим три предельных случая.

• Если ρ = 1, то позиция ведет себя так же, как и остальной портфель, при этом вклад позиции в общий риск портфеля в пределе равен VaR данной позиции.

• Если ρ = -I, то позиция уменьшает риск портфеля на величину VaR позиции.

• При ρ = 0 вклад позиции в риск портфеля положителен и равен

Относительный VaR (relative VaR) позволяет оценить как портфели (или их управляющих), показавших наименьшее отклонение доходности относительно эталонной нормы доходности (benchmark) с учетом риска, так и те портфели, у которых существует наибольший шанс недобрать или перевыполнить эталонную норму доходности. Относительный VaR определяется путем расчета VaR по портфелю, в который добавили короткую позицию по инструменту, дающему эталонную доходность[69]69
  Эта трактовка относительного VaR непосредственно следует из (3.35), если в качестве μ использовать эталонную норму доходности.


[Закрыть]. Пусть, например, эталонным активом является индекс РТС, а портфель российских акций характеризуется VaR = 5 млн долл. Тогда, если в портфель условно добавить короткую позицию по индексу РТС (объем которой равен объему всего портфеля) и рассчитать оценку VaR для нового портфеля (например, равную 3 млн долл.), то это означает, что по первоначальному портфелю «избыточный» по сравнению с рынком (РТС) риск, привнесенный менеджерами, составляет 3 млн долл.

Пример 3.13. Расчет VaR приращений и предельного VaR на современном российском рынке (табл. 3.34-3.35).

Значение VaR приращения позиции может меняться со временем вследствие изменения корреляционных связей внутри портфеля, что можно увидеть на примере расчетов IVaR по данным современного российского финансового рынка.