Текст книги "Логика. Шпаргалка"

13. Множество (класс) и его элементы

Классом, или множеством, называется определенная совокупность предметов, имеющих некоторые общие признаки. Множество в логике является абстрактным предметом, в котором каждый предмет, его составляющий, рассматривается лишь под углом зрения тех признаков, которые отражены в содержании того или иного понятия. Поскольку все они рассматриваются под углом зрения одних и тех же признаков, то становятся неразличимыми: мы их различаем не по свойствам и отношениям, а по именам.

Множество предметов (класс) состоит из элементов. Под элементом понимается любой из предметов этого множества, относительно которого можно утверждать, что ему присущи признаки этого множества. Так, элементом множества металлов считается любой из металлов, поскольку каждый из них включает признаки, отраженные в содержании понятия «металл».

Множество может иметь самое разное количество элементов, как то: бесконечность (звезды на небе), несколько (планеты Солнечной системы), один (звезда Солнечной системы), 0 (спутники Луны).

В зависимости от того, сколько элементов содержат понятия, они подразделяются на:

1) общие, заключающие в своем объеме группу предметов. Примерами общих понятий являются «планета» «растение» «художник» и др.;

2) единичные, если объем понятия составляет лишь один предмет. Примерами единичных понятий являются «Солнце», «картина “Мона Лиза”» и др.;

3) нулевые – с нулевым объемом в научном плане. Примерами нулевых понятий являются «колдун», «звезда в горошек» и др. Некоторые из таких понятий носят фантастический характер.

Живя в современном мире, мы понимаем, что практически все предметы состоят из отдельных элементов, но мы воспринимаем не элементы, а сам предмет. Так, мы воспринимаем стол, а не составные его части, хоккейную команду, а не отдельных личностей в ней и т. д. И понятия, отражающие группы элементов, мыслимых как единое целое, носят название собирательных.

Предметы, соответствующие собирательным понятиям, могут объединяться в множества (классы). Отношение между классом (множеством) и подклассом (подмножеством) выражается при помощи знака «=»: А = В. Это выражение читается следующим образом: А является подклассом В. Так, если А – студенты-гуманитарии, а В – студенты, то А будет подклассом класса В. Классы (множества) состоят из элементов.

Элемент класса – это предмет, входящий в данный класс. Так, элементами множества факультетов будут факультет естественных наук, гуманитарный факультет, механико-математический факультет и другие факультеты. Различают универсальный класс, единичный класс и нулевой, или пустой, класс. Класс, состоящий из всех элементов исследуемой области, называется универсальным классом (класс планет Солнечной системы, класс русских фонем). Если класс состоит из одного-единственного элемента, то это будет единичный класс (планета Юпитер, консонант). Наконец, класс, который не содержит ни одного элемента, называется нулевым (пустым) классом. Пустым классом является класс русских артиклей. Число элементов пустого класса равно нулю. Установление границ естественного класса предметов, т. е. решение вопроса о его тождестве, возможно в результате эмпирических или теоретических исследований. Это сложная задача, т. к. элементы внеязыковой действительности тесно связаны между собой, и при их классифицировании у исследователя могут возникать трудности. Не менее трудная задача – определение тождества языковой единицы: практически все классификационные проблемы в описательной лингвистике связаны с возможной неоднозначностью решения вопроса о границах языкового класса.

14. Отношения между понятиями

По отношению друг к другу понятия делятся на сравнимые и несравнимые. Сравнимыми называются понятия, имеющие некоторые общие (интегральные) признаки, позволяющие сравнивать эти понятия друг с другом («консонантизм», «вокализм», «синтаксическая система»). Несравнимыми называют понятия, не имеющие общих признаков («овал» и «редукция»). В логических отношениях могут находиться только сравнимые понятия, которые делятся на совместимые и несовместимые. Понятия, объемы которых полностью или частично совпадают, называются совместимыми. Понятия, объемы которых не совпадают ни полностью, ни частично, называются несовместимыми (или внеположными).

1. Отношения совместимости. Существует три вида отношений совместимости: равнозначность, пересечение (перекрещивание), подчинение (субординация). Отношения между понятиями принято изображать с помощью круговых схем (кругов Эйлера – Венна).

2. Отношения равнозначности. В отношениях равнозначности находятся понятия, в которых мыслится один и тот же предмет. Объемы этих понятий совпадают, хотя их содержание различно («Москва» и «столица России», «первый в мире космонавт» и «Ю. А. Гагарин», «дистрибуция звука» и «положение звука по отношению к соседним звукам в слове или синтагме»).

3. Отношения пересечения. В отношениях пересечения находятся понятия, объем одного из которых частично входит в объем другого («филолог» и «спортсмен»; некоторые филологи являются спортсменами и некоторые спортсмены являются филологами).

4. Отношения подчинения. В отношениях подчинения (субординации) находятся понятия, объем одного из которых полностью входит в объем другого. Понятие, имеющее больший объем и включающее объем другого понятия, называется подчиняющим, а понятие, имеющее меньший объем и составляющее часть объема другого понятия, – подчиненным («высшее учебное заведение» и «СГУ», «художник» и «маринист», «ученый» и «географ»). Если в отношениях подчинения находятся два общих понятия, то подчиняющее понятие называется родом, подчиненное – видом. Если в отношениях подчинения находятся общее и единичное понятия, то подчиняющее понятие является видом, а единичное – индивидом («студент(А) – филолог» (В) – «Ковалев» (С)).

5. Отношения несовместимости. Существуют три вида отношений несовместимости: соподчинение (координация), противоположность (контрарность) и противоречие (контрадикторность).

6. Координация. Два понятия находятся в отношении соподчинения к третьему, если они не имеют общих элементов объемов, а это третье понятие оказывается подчиняющим для каждого из них: «дерево» – (А), «хвойное дерево» – (В), «лиственное дерево» – (С).

7. Контрарность. В отношениях противоположности находятся понятия, одно из которых содержит некоторые признаки, а другое эти же признаки отрицает, замещая их исключающими признаками («черный» и «белый», «тяжелый» и «легкий», «отличник» и «неуспевающий»).

8. Контрадикторность. В отношениях противоречия находятся понятия, одно из которых содержит некоторые признаки, а другое эти же признаки исключает («черный» – «нечерный», «тяжелый» – «нетяжелый», «успевающий» – «неуспевающий»). Между двумя противоречащими понятиями не может быть никакого третьего понятия.

Таким образом, можно выделить следующие отношения между понятиями по объему:

1) совпадение объемов – отношения равнозначности;

2) частичное совпадение объемов – отношения пересечения;

3) включение объемов – отношения подчинения;

4) исключение объемов – отношения несовместимости, среди которых особо следует выделить соподчинение.

15. Закон обратного отношения между объемами и содержаниями понятий

Закон формальной логики, показывает зависимость изменения содержания понятия от изменения объема данного понятия. Формулируется он так: с увеличением содержания понятия уменьшается его объем, а с уменьшением содержания объем увеличивается.

Так, в объем понятия «искусство» входят все виды искусств (литература, живопись, театр, кино, архитектура, музыка и др.). Содержанием этого понятия являются существенные признаки, общие для всех видов искусства (искусство – это отражение действительности в форме чувственных образов). Если взять понятие «живопись», оно будет понятием, меньшим по объему, чем понятие «искусство». Объем понятия «живопись» соответствует не всем видам искусства, а только одному. Понятие «живопись» содержит в себе признак понятия «искусство» (живопись есть отражение действительности в форме чувственных образов), а кроме того, оно содержит еще и свои признаки, которых нет у других видов искусства (искусство изображать предметы на поверхности красками). Увеличивая содержание, мы уменьшаем объем понятия. Возьмем такое понятие, как «плоский четырехугольник». Расширив содержание этого понятия присоединением видообразующего признака «две противоположные стороны параллельны», мы одновременно сузим объем понятия. Теперь в понятии будут отображаться существенные признаки не всех четырехугольников, как это было до увеличения содержания понятия, а только трапеций. Увеличив содержание понятия еще на один признак («две другие противоположные стороны параллельны»), мы еще более сузим объем понятия. Теперь в понятии будут отображаться существенные признаки параллелограммов. Если же добавить еще такой признак, как «соседние стороны равны между собой», то мы снова сузим объем понятия. В этом случае в понятии будут отображаться существенные признаки ромбов.

Только надо иметь в виду, что данный закон действует лишь в пределах таких понятий, когда одно входит в объем другого («человек» и «славянин»).

Если же взять понятия, объемы которых не совпадают («стол» – «тетрадь»), то в данном случае обратное отношение между содержанием и объемом понятия не имеет места. На сколько бы мы ни увеличивали объем понятия «стол», содержание понятия «тетрадь» от этого не уменьшится и не увеличится.

Обобщая понятие, наша мысль идет от менее общих ко все более общим понятиям (от понятия «сосна» к понятию «хвойное дерево», от понятия «хвойное дерево» к понятию «дерево», от понятия «дерево» к понятию «растение» и т. д.).

Закон об обратном отношении между объемом и содержанием понятия нельзя истолковать так, будто каждое прибавление нового признака к содержанию понятия обязательно влечет за собой уменьшение объема, а каждое увеличение объема понятия сопровождается уменьшением содержания. На самом же деле объем понятия уменьшается в связи с увеличением содержания только в том случае, когда прибавляется такой признак, который отсутствует в содержании каких-либо видов данного понятия. Так, если бы мы ввели в содержание понятия «планета» признак «имеющая атмосферу», то должны были бы исключить из объема понятия «планета» все остальные планеты. Но объем понятия «радий» нисколько не уменьшился после того, как был открыт новый признак (радиоактивность), который принадлежит каждой частице радия. Это же мы видим и в отношении увеличения объема новыми видами. Открытие новых видов органических существ не оказало влияния на содержание понятия «органическое существо».

16. Операции над понятиями

Операции над понятиями – это такие логические действия, которые приводят не к образованию суждения, а к образованию нового понятия, т. е. при проведении логической операции над понятиями образуется новое понятие. Существуют следующие основные операции над понятиями: отрицание, умножение, сложение, вычитание, обобщение, ограничение, деление, определение.

1. Операция отрицания. Она проводится путем простого прибавления к исходному понятию частицы «не». Таким образом, утвердительное понятие преобразуется в отрицательное. Эта операция может производиться неограниченное количество раз с одним и тем же понятием. В конечном итоге выявляется, что отрицание отрицательного понятия дает положительное. Отрицание отрицательного понятия «неумный» – «не неумный» соответствует понятию «умный». Можно сделать вывод о том, что сколько бы раз ни производилась эта операция, в результате может быть получено либо утвердительное, либо отрицательное понятие, третьего не дано.

2. Операция сложения представляет собой объединение объемов двух и более понятий, даже если они и не совпадают между собой. Объединив объем понятий «юноши» и «девушки», получаем некоторую область, отражающую признаки того и другого в общем понятии «молодежь».

3. Операция умножения заключается в отыскании области, которая обладает свойствами как одного, так и другого понятия. Умножение понятий «юноша» и «спортсмен» выявляет область юношей, являющихся спортсменами, и наоборот.

4. Вычитание объема одного понятия из другого дает усеченную область объема. Вычитание возможно только между совместимыми понятиями, а именно с пересекающимися и подчиненными понятиями. Вычитание из объема понятия «юноша» объема понятия «спортсмен» дает уже несколько иную область.

5. Обобщение в логике является методом, а также операцией над понятиями. Как операция оно состоит в увеличении объема исходного понятия, а именно в переходе от понятия с меньшим объемом к понятию с большим объемом за счет уменьшения содержания исходного понятия. Так, обобщением будет переход от понятия «юноша» к понятию «человек». Естественно, содержание исходного понятия уменьшилось.

6. Обратная операция обобщению – ограничение. Соответственно, это переход от понятия с большим объемом к понятию с меньшим объемом. К содержанию понятия «житель города Саратова» можно прибавить еще один признак «житель Кировского района города Саратова». Продолжать эту операцию можно до тех пор, пока не сформируется единичное понятие о конкретном человеке.

7. Деление – логическая операция, раскрывающая объем исходного понятия на виды, группы, классы по единому признаку. В делении существуют делимое понятие, основание и члены деления. Основанием деления служит общий признак для всех членов деления. Один рубль можно расчленить на копейки. Но деление – это особое расчленение, каждый член как составная часть объема понятия должен сохранять признак делимого. Одна копейка в отдельности не составляет рубля. Если разделить понятие «рубль», то можно получить «рубль металлический» и «рубль бумажный». Полученные понятия полностью сохраняют свойства делимого понятия. Делению поддаются общие понятия, а единичные понятия, объемы которых индивидуальны, разделить невозможно.

8. Определение – логическая операция, раскрывающая содержание понятия, а именно это перечисление существенных и отличительных признаков предмета, которые отражают мысль о нем. Следует заметить, что определение не должно быть отрицательным, т. к. отрицание не раскрывает сущности предмета, не перечисляет существенных признаков.

17. Операции обобщения и ограничения понятий

Обобщить понятие – значит перейти от понятия с меньшим объемом, но с большим содержанием к понятию с большим объемом, но с меньшим содержанием. Обобщая понятие «Министерство финансов РФ», мы переходим к понятию «министерство финансов». Объем нового (общего) понятия шире исходного (единичного) понятия. Вместе с тем содержание понятия, образованного в результате операции обобщения, уменьшилось, т. к. мы исключили его индивидуальные признаки.

Продолжая операцию обобщения, можно последовательно образовывать понятия «министерство», «орган государственного управления». Каждое последующее понятие является родом по отношению к предыдущему. Из примера видно, что для образования какого-либо нового понятия путем обобщения, нужно уменьшить содержание исходного понятия, т. е. исключить видовые признаки.

Обобщение понятия не может быть беспредельным.

Ограничение понятий представляет собой операцию, противоположную операции обобщения. Ограничить понятия – значит перейти от понятия с большим объемом, но с меньшим содержанием к понятию с меньшим объемом, но с большим содержанием. Другими словами, чтобы ограничить понятие, нужно перейти от рода к виду: увеличить его содержание путем прибавления видовых признаков. Наиболее общими являются понятия с предельно широким объемом – категории, «материя», «сознание», «признак» и т. п. Категории не имеют родового понятия, обобщить их нельзя.

Для непустых понятий пределом их ограничения считается единичное понятие. Действительно, поскольку ограничение понятия состоит в разбиении его объема на две непустые части, одна из которых и рассматривается как объем видового понятия, то ясно, что единичное понятие уже нельзя далее разбить.

Ограничивая понятие «юрист», мы переходим к понятию «следователь», которое в свою очередь можем ограничить, образовав понятие «следователь прокуратуры». Пределом ограничения понятия является единичное понятие «следователь прокуратуры Сидоров».

Таким образом, изменяя объем исходного понятия, мы изменяем и его содержание, осуществляя тем самым переход к новому понятию – с большим объемом и меньшим содержанием (обобщение) или с меньшим объемом и большим содержанием (ограничение).

Операцию ограничения объема нельзя путать с операцией членения предмета. Первая является действием с объемами понятий, вторая же осуществляется с самими предметами. Понятие «здание» можно последовательно ограничивать до понятий «административное здание», «административное здание, расположенное в Саратове» и т. д., в то время как членение здания будет состоять в выделении различных его частей: крыши, стен и т. п.

Логические операции обобщения и ограничения понятий часто применяются в практике мышления: переходя от понятий одного объема к понятиям другого объема, мы уточняем предмет нашей мысли, делаем мышление более определенным и последовательным.

Так, расследование преступления связано с установлением его признаков. Установив, что данное деяние является преступным, следователь обнаруживает у него признаки хозяйственного преступления. Дополнительное расследование вскрывает новые признаки, позволяющие квалифицировать это преступление как обман покупателей. Мысль движется от понятия большего объема к понятию меньшего объема: «деяние» – «преступление» – «хозяйственное преступление» – «обман покупателей».

Возможен и противоположный ход мысли. Устанавливая, что данное конкретное деяние является оскорблением, мы относим его к преступлениям против достоинства личности, выполняя, т. о., операцию обобщения.

18. Правила и ошибки при делении

Операция деления понятия на виды может иметь разные по характеру основания деления:

1) деление по изменению видообразующего признака, т. е. члены деления выделяются на основании изменения характеристики, выступающей в качестве основания деления (людей можно делить на группы по возрасту);

2) дихотомическое деление – деление объема понятия на два класса, находящихся в отношениях противоречия (А – не-А).

1. Деление должно происходить по одному определенному основанию. Это требование означает, что избранный вначале в качестве основания отдельный признак или совокупность признаков не следует в ходе деления подменять другими признаками.

Правильно делить климат на холодный, умеренный и жаркий. Если допускается ошибка, то результатом деления будет следующее: «Климат делится на холодный, умеренный, жаркий, морской и континентальный». Такое деление будет уже неверным, т. к. вначале деление производилось по среднегодовой температуре, а затем – по новому основанию. Неверными являются деления обуви – на мужскую, женскую и резиновую; веществ – на жидкие; твердые, газообразные и металлы и т. п.

2. Деление должно быть соразмерным, или исчерпывающим, т. е. сумма объемов членов деления должна равняться объему делимого понятия. Это требование предостерегает от пропуска отдельных членов деления.

Ошибочными будут, в частности, деление треугольников на остроугольные и прямоугольные (пропускаются тупоугольные треугольники); деление предложений на повествовательные и побудительные (пропущены вопросительные предложения).

Неправильными являются и деления с излишним членом. Это деление химических элементов на металлы, неметаллы и сплавы; деление наук на естественные, общественные и филологические и т. п. Однако введение лишних членов нарушает не это, второе правило, а первое, предписывающее делить по одному основанию и не подменять его в процессе деления.

3. Полученные при делении понятия должны быть попарно несовместимыми, т. е. члены деления должны взаимно исключать друг друга.

Согласно этому правилу каждый отдельный предмет должен находиться в объеме только одного видового понятия и не входить в объемы других видовых понятий.

Ошибочно и деление людей на тех, которые ходят в кино, и тех, которые ходят в театр, потому что есть люди, которые ходят и в кино, и в театр. Ошибочным также будет деление живых существ на животных, растения и белок.

4. Деление должно быть непрерывным, т. е. в процессе деления нужно переходить к ближайшим видам, не перескакивая через них. Это правило требует не делать скачков в делении, переходить от исходного понятия к однопорядковым видам, но не к подвидам одного из таких видов. Ошибка, возникающая при нарушении этого правила, носит название «скачок в делении».

Правильно делить людей на мужчин и женщин, женщин – на живущих в Северном полушарии и живущих в Южном полушарии. Но неверно делить людей на мужчин, женщин Северного полушария и женщин Южного полушария. Среди позвоночных животных выделяются такие классы: рыбы, земноводные, рептилии, птицы и млекопитающие. Каждый из этих классов делится на дальнейшие виды. Если же начать делить позвоночных на рыб, земноводных, а вместо указания рептилий перечислить все их виды, то это будет скачком в делении.

5. Деление понятий не нужно смешивать с мысленным расчленением целого на части. Если члены деления представляют собой самостоятельные виды, то при расчленении выделяются отдельные части предмета, из которых он состоит. Автомобиль состоит из колес, руля, кузова, дверей и т. д.