Текст книги "Логика. Шпаргалка"

49. Парадоксы и логика

В широком смысле парадокс – это суждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися, ортодоксальными мнениями.

Наиболее резкая форма парадокса – антиномия (от гр. антиномиа – «противоречия в законе»). Это рассуждение, доказывающее эквивалентность двух утверждений, одно из которых является отрицанием другого.

Первые парадоксы были открыты еще до возникновения логики как особой науки. Многие парадоксы обнаружили в Средние века. Позже они оказались забытыми и были вновь открыты уже в XX в.

Множество парадоксов говорят о том круге вещей, к которому сами относятся. Их особенно сложно отделить от утверждений по виду парадоксальных, на самом же деле не ведущих к противоречию. Возьмем, высказывание «из всех правил есть исключения». Само оно выглядит как правило. Значит, из него можно найти по крайней мере одно исключение. Но это означает, что существует правило, не имеющее ни одного исключения. Высказывание содержит ссылку на само себя и отрицает само себя.

Один из наиболее древних и, пожалуй, самый знаменитый из логических парадоксов – парадокс лжеца, который открыл греческий философ Евбул из Милета в IV в. до н. э. Этот парадокс относится как раз к выражениям, говорящим о самих себе. В классическом варианте парадокс выглядит так: человек произносит всего одну фразу – «Я лгу». Это высказывание истинно или ложно? Если оно ложно, то говорящий сказал правду, значит, сказанное им не ложь. Если же высказывание истинное, а говорящий утверждает, что оно ложное, то это его высказывание ложно. Таким образом, оказывается, что, если говорящий лжет, он говорит правду, и наоборот.

По мысли польско-американского логика и математика Альфреда Тарского (1902–1983), суть парадокса в том, что на одном и том же языке говорится и о предметах, существующих в мире, и о самом этом «предметном» языке. Такой язык Тарский назвал семантически замкнутым. Естественный язык, очевидно, семантически замкнут. Отсюда неизбежность возникновения в нем парадокса. Чтобы устранить его, надо построить своеобразную лесенку, или иерархию, языков, каждый из которых используется для вполне определенной цели: на первом говорят о мире предметов, на втором – об этом первом языке, на третьем – о втором языке и т. д. Ясно, что в данном случае утверждение, говорящее о своей собственной ложности, уже не может быть сформулировано, и парадокс исчезнет.

Приведенное разрешение парадокса, конечно, не единственно возможное. Одно время оно было общепринятым, но сейчас прежнего единодушия нет. Традиция устранять парадоксы такого типа путем «расслаивания» языка осталась, но наметились и другие подходы.

Самое серьезное воздействие не только на логику, но и на математику оказал парадокс, обнаруженный Б. Расселом в начале XX в. и носящий название «парадокс парикмахера». Допустим, совет деревни вменил деревенскому парикмахеру в обязанность брить всех мужчин, которые не бреются сами, и только их. Должен ли парикмахер брить самого себя? Если да, он будет относиться к тем, кто бреется сам; но тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. В результате мы приходим к заключению, что парикмахер бреет себя лишь в том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно.

Несмотря на большое число предложенных к настоящему времени способов устранения парадоксов из теории множеств, полного согласия в вопросе о причинах их возникновения пока нет. Нет, соответственно, и единого, не вызывающего возражений способа предупреждать их появление.

50. Понятие об умозаключениях

Умозаключение – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений выводится новое суждение. Оно составляется из суждений как более сложная и важная в теоретическом отношении форма логического мышления. Иногда к нему прилагают название «силлогизм», хотя, строго говоря, силлогизм – только одна из разновидностей умозаключения, правда, наисложнейшая и, пожалуй, самая распространенная. Умозаключение представляет собой переход от некоторых высказываний, фиксирующих наличие некоторых ситуаций в действительности, к новому высказыванию и, соответственно, к знанию о наличии ситуации, которую описывает это высказывание. В механике известно, что у всякого тела, плотность которого одинакова во всех его частях, геометрический центр и центр тяжести совпадают. Посредством умозаключений получают приращение знаний, не обращаясь к исследованию предметов и явлений самой действительности.

Любое умозаключение состоит из посылок, заключения и вывода. Посылками умозаключения называют исходные суждения, из которых выводится новое суждение. Заключением называется новое суждение, полученное логическим путем из посылок. Логический переход от посылок к заключению называется выводом.

При анализе умозаключения посылки и заключение принято записывать отдельно, располагая их друг под другом. Заключение записывают под горизонтальной чертой, отделяющей его от посылок и обозначающей логическое следование.

Умозаключение истинно, когда исходные высказывания в правильно построенном умозаключении истинны.

Понятия и суждения как формы мышления формируются большей частью за пределами логики, которая берет их уже готовыми. Умозаключение же формируется из суждений именно по логическим правилам.

На стадии умозаключения о вещах можно рассуждать, не обращаясь к ним самим. Достаточно иметь о них несколько верных высказываний. По этой причине, опираясь на правила умозаключения, наука получает возможность рассуждать о природных явлениях теоретически, постигать те их стороны, которые скрыты за внешней, доступной наблюдению поверхностью, проникать в недоступные природные глубины, обращаться мыслью в такие запредельные дали, которые можно изучать лишь умозрительно. Палеонтологам иной раз хватает одной кости для воссоздания всего облика давно вымерших животных. Сходные достижения имеются во всех других науках. Демокрит догадался о существовании атомов, наблюдая, как истираются со временем каменные ступени храма.

Всю совокупность известных логике умозаключений принято классифицировать по двум основаниям. Во-первых, по числу посылок, во-вторых, по направлению движения мысли. Что касается числа посылок, то с этой точки зрения весь их массив распадается на две неравновесные части: те, у которых посылка всего одна, и остальные. Первые называются непосредственными умозаключениями. Они относятся к наиболее простым их разновидностям. В них происходит простая смена логической формы того или иного высказывания, содержание же остается неизменным. Помимо самой посылки, в таком преобразовании участвуют также и логические законы мышления. Во-вторых, в опосредствованных умозаключениях посылок более одной, они сложнее и многообразнее первых.

По другому основанию умозаключения делят на дедуктивные, в которых мышление движется от общих положений к частным выводам, индуктивные, делающие обобщения из частных наблюдений, и такие, у которых уровень общности посылок и заключения одинаков; к ним прежде всего относятся аналогия и некоторые суждения с отношениями. Иногда последнюю группу объединяют под названием традуктивных умозаключений.

51. Структура и виды умозаключений

В умозаключении различают посылки – высказывания, представляющие исходное знание, и заключение – высказывание, к которому мы приходим в результате умозаключения.

В естественном языке существуют слова и словосочетания, указывающие как на заключение («значит», «следовательно», «поэтому» и т. п.), так и на посылки умозаключения («так как», «поскольку», «ибо», «ведь» и т. п.). Представляя суждение в некоторой стандартной форме, в логике принято указывать вначале посылки, а потом заключение, хотя в естественном языке их порядок может быть произвольным: вначале заключение – потом посылки; заключение может находиться между посылками.

В механике известно, что у всякого тела, плотность которого одинакова во всех его частях, геометрический центр и центр тяжести совпадают. Известно также (в результате астрономических наблюдений), что у Земли эти центры не совпадают. Следовательно, плотность Земли не является одинаковой во всех ее частях.

В приведенном выше примере посылками служат два первых высказывания, а заключением – третье высказывание («плотность Земли не является одинаковой во всех ее частях»).

Учитывая тесную связь умозаключения с понятием логического следования, различают правильные и неправильные умозаключения.

Умозаключение, представляющее собой переход от посылок к заключению, является правильным, если между посылками и заключением имеется отношение логического следования. В противном случае – если между посылками и заключением нет такого отношения – умозаключение неправильно.

В делении умозаключений на правильные и неправильные различают отношения логического следования двух видов – дедуктивные и индуктивные. Первое гарантирует истинность заключения при истинности посылок. Второе при истинности посылок обеспечивает лишь некоторую степень правдоподобия заключения (некоторую вероятность его истинности). Соответственно этому умозаключения делятся на дедуктивные и индуктивные.

Дедуктивные умозаключения – это такие умозаключения, для каждого из которых существует общее правило, устанавливающее, что если посылки имеют определенную структуру и являются доказанными, то и заключение, имеющее также определенную структуру, будет доказано.

Индуктивные умозаключения характеризуются тем, что для них нельзя установить таких общих правил, которые установлены для дедуктивных умозаключений. Зная лишь форму посылок индуктивного умозаключения, а также то, что они являются истинными, доказанными, мы не можем для любого конкретного умозаключения, имеющего данную структуру, утверждать, что заключение в нем, имеющее определенную структуру, также будет истинным. В зависимости от конкретного содержания посылок заключение может быть как истинным, так и ложным.

Характерным для индукции является также и то, что мысль в процессе индуктивного умозаключения зачастую движется от частного к общему, от менее общего к более общему. Это означает, что посылки индуктивных умозаключений представляют собой суждения меньшей общности, чем заключение. Имеется умозаключение: «Установив, что рожь, ячмень, пшеница, бамбуки цветут колосками, следовательно, все злаки цветут колосками». Полученное заключение может оказаться и ложным, т. к. мы не исследовали всех видов злаков. Для обоснования его истинности нужно дополнительное исследование (чего не требуется в дедуктивных умозаключениях; там из истинных, доказанных посылок, действуя по определенным правилам, мы всегда получаем истину). Как видно, посылки в данном индуктивном умозаключении представляют собой суждения меньшей общности, чем заключение.

Дедуктивные умозаключения разделяются на умозаключения, состоящие из одной посылки, и умозаключения, состоящие из двух или более посылок.

52. Дедукция

Дедукция в широком смысле слова – такая форма мышления, когда новая мысль выводится чисто логическим путем (т. е. по законам логики) из предшествующих мыслей. Процессы дедукции на строгом уровне описываются в исчислениях математической логики. В узком смысле слова термин «дедукция» имеет три следующих значения:

1) дедуктивное умозаключение – умозаключение, в результате которого получается новое знание о предмете или группе предметов на основании уже имеющегося некоторого знания исследуемых предметов и применения к ним общего правила, действующего в пределах данного класса предметов.

Но метод дедукции как самостоятельный метод познания недостаточен для всестороннего исследования действительности. Связь единичного предмета с видом, вида с родом, которая отображается в дедукции, – это только одна из сторон бесконечно многообразной связи предметов и явлений объективного мира;

2) метод исследования, заключающийся в следующем. Для того чтобы получить новое знание о предмете или группе однородных предметов, надо, во-первых, найти ближайший род, в который входят эти предметы, и, во-вторых, применить к ним соответствующий закон, присущий всему данному роду предметов. Дедуктивный метод заключается также и в следующем: исследователь переходит от знания более общих к знанию менее общих положений;

3) форма изложения материала в книге, лекции, докладе, беседе, когда от общих положений, правил, законов идут к менее общим положениям, правилам, законам.

Впервые теория дедукции била обстоятельно разработала Аристотелем. Он выяснил требования, которым должны отвечать отдельные мысли, входящие в состав дедуктивного умозаключения, определил значение терминов и раскрыл правила дедуктивного умозаключения.

Дедуктивное умозаключение применяется нами всякий раз, когда требуется рассмотреть какое-либо явление на основании уже известного нам общего положения и вывести в отношении этого явления необходимое заключение. Известны следующий конкретный факт – «данная плоскость пересекает шар» и общее правило относительно всех плоскостей, пересекающих шар, – «всякое сечение шара плоскостью есть круг». Применяя это общее правило к конкретному факту, каждый правильно мыслящий человек обязательно придет к одному и тому же выводу: «Данная плоскость есть круг».

Конечно, никакими силлогизмами нельзя доказать истинности высказывания, если ложны посылки. Но если силлогизм построен на верных посылках, то с помощью логических правил дедуктивного умозаключения и логических законов можно получить новое знание.

Дедукция играет большую роль в нашем мышлении. Во всех случаях, когда конкретный факт мы подводим под общее правило и затем из общего правила выводим какое-то заключение в отношении этого конкретного факта, мы умозаключаем в форме дедукции.

И если посылки истинны, то правильность вывода будет зависеть от того, насколько строго мы придерживались правил дедукции, в которых отобразились закономерности материального мира, объективные связи и отношения всеобщего и единичного.

Но, несмотря на огромное значение и место дедукции в мыслительном процессе, не стоит считать, что дедукция – это готовый шаблон, с помощью которого можно решать. Не следует также забывать, что никакая дедукция невозможна без индукции. Для того чтобы состоялось дедуктивное умозаключение, нужны две посылки, из них одна обязательно должна быть общей. Общее правило, которое распространяется на частный случай в процессе дедуктивного умозаключения, добывается опытным путем при помощи индукции.

53. Индукция

Индукция в широком смысле слова – форма мышления, посредством которой мысль наводится на какое-либо общее правило, общее положение, присущее всем единичным предметам какого-либо класса. В узком смысле слова термин «индукция» имеет три следующих значения:

1) индуктивное умозаключение – такое умозаключение, в результате которого на основании знания об отдельных предметах данного класса получается общий вывод, содержащий какое-либо знание обо всех предметах класса;

2) метод исследования, заключающийся в следующем: для того чтобы получить общее знание о каком-либо классе предметов, необходимо исследовать отдельные предметы этого класса, найти в них общие существенные признаки, которые и послужат основой для знания об общем, присущем данному классу предметов. Индуктивный метод исследования заключается также и в следующем: исследователь переходит от знания менее общих к знанию более общих положений;

3) форма изложения материала в книге, лекции, докладе, беседе, когда от единичных и менее общих положений идут к общим положениям. Индуктивное умозаключение сложилось в процессе многовековой общественно-исторической, производственной практики людей. В течение десятков тысяч лет человек много раз замечал и фиксировал разные явления природы (когда быстро шлифуется один камень о другой, то оба трущиеся камня нагреваются). Так, исследуя явления природы и общества, наблюдая и изучая отдельные факты, люди приходили к общему правилу. В мысли этот процесс познания окружающего мира совершался индуктивно: от единичных суждений человек шел к общим суждениям, в которых выражалось знание общего.

Индуктивная форма умозаключения, являясь отображением производственной практики людей, зародилась вместе с первыми трудовыми навыками людей. Индуктивное умозаключение выступает в двух видах: полной индукции и неполной индукции.

1. Полная индукция – умозаключение, в котором общее заключение обо всех элементах класса предметов делается на основании рассмотрения каждого элемента этого класса. В полной индукции изучаются все предметы данного класса, а посылками служат единичные суждения. Она дает достоверное заключение, поэтому часто применяется в математических и в других самых строгих доказательствах.

Чтобы использовать полную индукцию, надо выполнять следующие условия:

1) точно знать число предметов или явлений, подлежащих рассмотрению;

2) убедиться, что признак принадлежит каждому элементу этого класса;

3) число элементов изучаемого класса должно быть невелико.

2. Неполная индукция – это умозаключения, в которых на основе принадлежности признака некоторым элементам класса или частям класса делают выводы о его принадлежности к классу в целом. Индуктивные умозаключения такого типа применяются лишь в тех случаях, когда имеют дело с открытыми классами, число элементов в которых является не установленным или слишком большим и непригодным для опыта (классы растений, животных, люди и т. д.).

По способам обоснования заключения неполная индукция подразделяется на несколько видов.

1. Индукция через перечисление (популярная). Такая индукция дает заключение вероятное, а не достоверное. На основании популярной индукции народ вывел немало примет (ворон прокаркал – к беде).

2. Индукция через анализ и отбор фактов. Через такую индукцию стремятся исключить случайные обобщения.

3. Научная индукция – умозаключение, в котором на основании познаний необходимых признаков или необходимой связи части предметов класса делается общее заключение обе всех предметах этого класса. Особенность научной индукции в том, что она дает достоверное заключение.

54. Аналогия

Аналогия (от гр. analogia – «сходство», «соответствие») представляет собой сходство, подобие предметов (явлений) в каких-либо свойствах, признаках, отношениях.

Умозаключение по аналогии опирается на ряд несомненных данных, которыми в конкретных исторических условиях располагает наука. Умозаключение по аналогии представляет собой движение мысли от общности одних свойств и отношений у сравниваемых предметов (или процессов) к общности других свойств и отношений. Аналогии как умозаключению свойственны некоторые специфические черты.

Во-первых, она представляет собой определенное правдоподобие исследуемого предмета и выражает знание с внутренне скрытой вероятностью.

Во-вторых, процесс формирования и широкого распространения аналогии начался с обыденного сознания, и она непосредственным образом связана с повседневной жизнью людей, их бытовыми условиями.

В-третьих, выводы по аналогии носят весьма проблематичный характер и, как правило, не представляют доказательной силы. Поэтому в развитии познания следует переходить от вывода по аналогии к заключению по необходимости.

Общая схема умозаключения по аналогии может быть представлена в таком виде:

1) обладает признаками а, b, с, d.

2) обладает признаками а, b, с.

3) обладает, по-видимому, признаком d.

Виды умозаключений по аналогии исходя из конкретных критериев можно классифицировать на две устойчивые группы.

Первая группа. Исходя из характера предмета анализа она может быть представлена в виде:

1) аналогии свойств и качеств предметов. Рассматриваются два единичных предмета (или два класса), а переносимыми признаками выступают свойства этих предметов;

2) аналогии отношений предметов. Примером аналогии свойств может являться аналогия симптомов протекания какой-либо болезни (оспы) у разных людей или у двух групп людей (инженеров и учителей).

Необходимо иметь в виду, что умозаключение по аналогии отношений нашло весьма распространенное применение в составлении пропорций, когда посредством аналогичных соотношений определяется искомая величина. Такая аналогия приобретает характер функциональной зависимости.

Вторая группа. Исходя из степени достоверности ожидаемого вывода аналогия подразделяется на следующие виды:

1) строгую аналогию. Специфическим признаком, отличающим строгую аналогию, является наличие необходимой связи общих признаков с переносимым признаком;

2) нестрогую аналогию. Ее сущность выражается в том, что она дает не достоверное, а лишь вероятностное заключение.

Правила аналогии.

Правило первое. При сопоставлении сравниваемых предметов (явлений) необходимо всесторонне изучать их сходство и различие в существенных признаках. Иными словами, сравниваемые предметы (явления) должны быть связаны между собой по существу, а не формально. Если данное правило нарушается, то вывод будет или слишком поверхностным, или, что еще хуже, ложным.

Правило второе. В процессе аналогии необходимо установить у предметов (явлений) как можно больше разнообразных сходных признаков, связанных с переносимым свойством. Чем больше сходных признаков и разнообразнее их отношения к переносимому свойству, тем скорее достигается значительная полнота условий для вывода по аналогии.

Правило третье. В процессе сопоставления предметов (явлений) следует выявить необходимую связь общих признаков с переносимым свойством, т. е. показать, что сходные признаки в своей совокупности обеспечивают присутствие переносимого свойства у предмета (явления) изучения. Следует отметить, что если исходное знание о сопоставляемых предметах (явлениях) раскрывает необходимую связь или специфические условия, закономерно сопутствующие переносимому свойству, то вывод получается достаточно обоснованный.