Текст книги "Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики"

Глава 4
Настоящая магия

Возьмите миллиард. Отнимите 1. Сколько осталось?

Вам незачем размышлять, результат тут же появляется у вас в голове: 999 999 999. Его даже проще представить, чем произнести.

Это кажется вам очевидным – но это не для всех так. Жителю Древнего Рима это было бы совершенно неочевидно.

В классической латыни нет слова «миллиард» (как и «миллион»). Чтобы передать это понятие, проще всего выразить его как произведение: «тысячу умножить на тысячу умножить на тысячу». Пожалуй, римлянин эпохи Юлия Цезаря смог бы это понять, хотя от такого у него бы уже слегка разболелась голова. Но если бы вы сказали ему, что способны взять это число, вычесть из него 1 и немедленно увидеть у себя в голове результат, он бы вас больше не слушал.

Он принял бы вас за сошедшего с ума ученого.

Попробуйте написать 999 999 999 римскими цифрами – у вас будут большие проблемы. Для того, кто знает только римские цифры, 999 999 999 не просто большое число, оторванное от повседневной жизни. Это число, которое сложно написать. Головокружительное, ужасающее число, которому невозможно взглянуть в лицо. Сама мысль, что кто-то может мгновенно «увидеть» его в точности и без усилий, нелепа.

И римляне не самый экстремальный случай. Они как раз уже весьма продвинулись в понимании чисел.

Традиционная система счета у некоторых племен австралийских аборигенов основана на частях тела. От одного до пяти считают на пальцах, потом поднимаются выше по руке. Шесть – это запястье. Семь – предплечье. Восемь – локоть, а девять – бицепс. Дойдя до десяти, то есть до плеча, продолжают считать, поднимаясь еще выше. Число двенадцать – это мочка уха.

Если каждому числу должна соответствовать часть тела, хватит ли вам смелости дойти до миллиарда?

У других народов охотников-собирателей системы счисления еще более просты. Некоторым известны только числа один, два, три, четыре, пять и универсальное число, означающее «много». В языке Амазонии пирахан есть слово, чтобы сказать «один», и слово, чтобы сказать «два», но не существует слова, чтобы сказать «три». Три – это уже много.

Если человек, который так видит мир, обнаружит, что существует разница между 25 и 26 и ее можно точно выразить, – это должно стать для него очень мощным духовным опытом, сравнимым с ощущениями студента-математика, узнавшего, что существует несколько уровней бесконечности, о которых можно вполне точно рассуждать.

Обман?

А вот житель Древнего Рима сразу увидел бы различие между XXV и XXVI. Но ваша ловкость в обращении с большими числами создала бы у него впечатление, что у вас сверхъестественные способности к вычислениям.

Вы улыбаетесь при этой мысли, так как в глубине души прекрасно знаете, что это обман: никаких сверхъестественных способностей у вас нет.

А вы уверены?

Если вы представляете себе талантливых вычислителей мутантами, наделенными волшебными способностями, и думаете, что в голове у них компьютер, позволяющий сверхбыстро считать с помощью известных вам методов, вы ошибаетесь.

По сути, одаренные вычислители – это что-то вроде волшебников и Деда Мороза: на самом деле их не существует.

Когда вы думаете, что видите Деда Мороза, – это не настоящий Дед Мороз, а просто какой-то человек, переодетый Дедом Морозом.

Когда вы думаете, что видите волшебника, – это не настоящий волшебник, а просто иллюзионист, то есть человек, который знает разные штуки, способные создать иллюзию, будто он наделен магическими способностями.

Когда вы думаете, что видите уникально одаренного вычислителя, – это никакой не одаренный вычислитель, а просто человек, который умеет так видеть числа, что операции, которые для вас сложны и практически немыслимы, становятся для него простыми и даже очевидными.

Истина в том, что по природе мы все совершенно не умеем считать в уме, если только не владеем интуитивным способом радикально упростить счет и «увидеть» результат.

Десятичная запись, основанная на арабских цифрах, и есть тот фокус, который позволяет вам считать определенные результаты очевидными. Основное отличие между одаренными вычислителями и вами в том, что их арсенал фокусов обширнее вашего и они более привычны к играм с ним.

Как понять по-настоящему

Система десятичной записи чисел кажется вам настолько очевидной, что вы уже не помните, что вам пришлось ее изучать. Всё как с ложкой. Вы пользуетесь ею не задумываясь, словно это продолжение вашего тела. Когда вы видите 999 999 999, то считаете, что видите непосредственно число, и даже не отдаете себе отчета в том, что видите его с помощью инструмента.

А ведь десятичная запись – чисто человеческое изобретение. Это больше, чем система записи, – это дверь в состояние сознания, где целые числа, как бы велики они ни были, становятся конкретными и точными объектами. А заодно становится очевидностью сама бесконечность целых чисел.

Что-то ранее немыслимое вдруг становится очевидным – вот то самое действие, которое математика производит с вашим мозгом. Это восхитительное ощущение и сильнейшее удовольствие.

В детстве вы гордились, что умеете считать до 10, затем до 20, затем до 100. Это позволяло вам от души повоображать во дворе. Чтобы повыпендриваться еще больше, вы хотели бы узнать самое большое число на свете.

По сути, ваше представление о числах было не очень далеко от представления охотников-собирателей, которые умеют считать только до двух или до пяти и твердо убеждены, что следующее число – «много» – и есть самое большое число на свете.

Однажды вы поняли, что ни одно число не может быть самым большим. Даже если вы могли бы прийти к этому выводу другим путем, десятичная запись показала вам короткую дорогу. Вы знаете, что за каждым числом следует другое. Вы можете видеть последовательность чисел в виде крутящегося счетчика и знаете, что этот счетчик может крутиться бесконечно. Нет предела, нет какого-то особого числа, после которого счетчик остановится.

На протяжении 99 % истории человечества никто не научился видеть у себя в голове крутящийся счетчик чисел.

Счетчик, крутящийся у вас в голове, – коллективное творчество великих математиков, которые с доисторических времен до Средневековья формировали образ чисел, знакомый нам сегодня.

Этот образ не от природы. Он не был записан в вашем теле при рождении. В какой-то степени он произволен – мы могли бы выбрать другую систему для записи чисел, и вы видели бы их иначе.

Более 4000 лет назад вавилоняне придумали шестидесятеричную систему: они записывали числа при основании 60, а не 10. Вавилонская математика была самой продвинутой для своего времени. И ваше мысленное представление о часах, минутах и секундах носит очень глубокий отпечаток их понимания чисел.

А вот что действительно от природы – так это ваша способность усваивать абстрактную математику и понимать ее по-настоящему, то есть перестраивать свой мозг так, чтобы эта самая математика действительно стала частью вас.

Вы думаете, что видите число 999 999 999. В реальности вы расшифровываете абстрактное и сложное математическое понятие. Вы расшифровываете его с безупречной легкостью, мгновенно, не осознавая этого. Целые числа не были вашим родным языком, но вы стали билингвом.

Вот как выглядит удачное усвоение математического понятия. И если пример кажется вам идиотским – это именно потому, что вы действительно его поняли.

Настоящей магии не существует

В начале карьеры молодые математики часто чувствуют себя самозванцами.

Мне прекрасно знакомо это чувство, и в моем случае оно казалось полностью оправданным. Расчеты в моей диссертации были настолько очевидны, что это граничило с мошенничеством. Мои теоремы всегда были наивными, и их доказательство никогда не создавало реальных сложностей.

Меня окружали толпы очень умных людей, занимавшихся очень трудной математикой, в которой я не понимал ничего. Глубокие и сложные статьи мне так и не удавалось прочесть. А если какие-то и удавалось, то лишь потому, что по сути они были проще других.

Мне хотелось уметь заниматься настоящей математикой – по-настоящему сложной. Все, что мне удавалось понять, было простой математикой, математикой для чайников.

В моем изложении это звучит по-дурацки, но мне реально понадобились годы, прежде чем я осознал, что это лишь оптическая иллюзия. Линия горизонта перемещалась вместе со мной. Она всегда соответствовала моему уровню.

Настоящей магии не существует. Стоит вам научиться волшебному трюку, как он перестает быть волшебным. Это, возможно, печально, но придется привыкнуть.

Если математика, которую вы понимаете, кажется вам слишком легкой – это не потому, что она легкая, а потому, что вы ее понимаете.

Глава 5
Невидимые действия

Великим математиком становится, допустим, человек, родившийся в культуре, где все умеют считать только до пяти, и однажды осознавший, что можно пойти дальше.

Никто не изобретает сразу всю бесконечность чисел. Вначале математические идеи расплывчаты и неполны. Возникает ощущение, что можно дойти до 6 или даже 7, но его не удается высказать, так как мы не знаем слов, чтобы выразить 6 и 7. Более того, складывается впечатление, что можно продвинуться и еще дальше, но оно мимолетно, в него не верится до конца, кажется, что где-то что-то идет не так.

Вот что происходит, когда мы натыкаемся на ограничения языка.

Чтобы выразить то, что мы чувствуем, нужно придумать новые слова или по-новому использовать те, что уже есть. Облекая в слова наши мимолетные впечатления, мы можем зафиксировать мысль. Это необходимо, но для этого нужно время. Слова приходят нелегко и не сразу.

Начальная стадия открытия – это духовный опыт. Вы мыслите вне пределов языка. Мир озаряется. Вас посещают откровения. Вы видите то, что до сих пор было скрыто. Это настолько ново, что еще не имеет имени.

Это чудесное ощущение прекрасно вам знакомо. Вы уже испытывали его. Вспомните: впервые это случилось в день вашего первого великого математического открытия.

Когда вы были совсем малышом, еще не умеющим говорить, вы, вероятно, играли с примерно такой игрушкой:

Родители показали вам пример. Взяли фигурку и поместили в отверстие. Вам захотелось сделать так же. Вы взяли фигурку и захотели поместить в отверстие. Но у вас не получилось. Вы давили изо всех сил, но она не влезала.

Это вывело вас из себя. Родители сказали, что незачем так напрягаться, достаточно внимательно посмотреть: круглую фигурку в круглое отверстие, квадратную – в квадратное. Смотри, все же совсем просто, правда?

Вот только вы ничего не поняли в их объяснениях. У вас не было никаких шансов это понять. Слова «круглый» и «квадратный» ничего для вас не значили. Вам не хватало не словарного запаса, хуже – вам не хватало самих форм. Вы не умели их видеть. Круги и квадраты были для вас невидимы.

Все, что вы видели: родителям удавалось поместить фигурки в отверстия, а вам нет. Хотя вы были уверены, что совершаете точно те же действия, что и они. У них эти действия работали, а у вас нет.

Так происходило десятки раз. Это длилось месяцами, это было худшее разочарование в вашей жизни. Ваши родители были волшебниками, а вы нет. Это было несправедливо и жестоко. Вы часто приходили в ярость.

Но вы так и не бросили это дело. Вы сотню раз возвращались к этой загадке, которая была для вас такой унизительной. Но вам не было дела до унижения, вы хотели понять. Проникнуть в тайну.

И в одно прекрасное утро вы поняли. Вы взяли в руку одну из фигурок и заметили, что в ней есть что-то особенное, а в одном из отверстий – что-то такое же особенное, как и у фигурки. И именно в это отверстие и следовало поместить фигурку.

Это осознание не потребовало от вас никаких усилий. Вы просто повторяли те же действия, что и обычно, – действия, которые еще вчера не работали. И вдруг оно предстало для вас чем-то очевидным. Бросилось в глаза – иначе не скажешь.

Именно в этот период жизни вы изобрели понятие формы. Оно касалось не только этой фигурки и этого отверстия, а всех фигур и всех отверстий сразу. Для каждой фигуры было свое отверстие, соответствующее ей, с которым она делила эту нематериальную сущность, не имеющую имени. И это работало всегда. В этом и был секрет фокуса.

Вы изобрели понятие формы самостоятельно и для себя. Это не было ранее существующим знанием, предшествующим вам, которое принес бы вам язык. Вы самостоятельно научились видеть формы, потому что, пока вы не умели их видеть, никто не мог вам объяснить, что это такое. Слова, чтобы сказать об этом, вы обрели позже – вы научились накладывать их на свое восприятие форм.

С тех пор вы уже не можете их не видеть. Это же так просто. Круги и квадраты, треугольники и звездочки, сердечки. Это даже слишком просто. Вы уже неспособны представить, как это – не видеть их.

Великая история любви

Давайте здесь внесем ясность.

Когда вы поняли тайну вхождения фигурок в отверстия, вы были счастливы. До глубины души горды. Вы улыбались до ушей.

Ваши родители тоже чувствовали гордость и были рады за вас. Ведь они подарили вам эту игрушку, именно для того, чтобы доставить вам это удовольствие.

Возможно, ваши родители сами этого не знали, но они всей душой любили математику. Именно свою любовь к математике они хотели передать вам, даря эту игрушку. И у них получилось. Если у вас будут дети, вы тоже захотите подарить им ее.

Пока во все это не вмешалась школа, пока на пути не встали наши собственные запреты и страх перед чужим суждением, мы все могли познать великие математические радости. Между человечеством и математикой развивается давняя и глубокая история любви.

Ваши первые шаги были многообещающими. Открытие форм было действительно великим математическим открытием. Я серьезно. Это не метафора.

Это было великое открытие, совершенно бесполезное для остального человечества, потому что вы всего лишь заново открыли уже известное понятие. Но с точки зрения ваших познаний в том возрасте это было потрясающее открытие.

То, что вы испытали в тот день, – это и есть то, что ощущает математик, совершивший открытие. Да, математическое открытие – это настолько просто, настолько глубоко и настолько очевидно.

До Декарта никто не понимал, что геометрические фигуры можно описать уравнениями. В своей «Геометрии», опубликованной в 1637 году, он установил связь между алгеброй и геометрией, двумя ветвями математики, которые до тех пор считались совершенно изолированными друг от друга. Эти открытия легли в основу современного понятия декартовых координат, ныне очевидного для любого школьника: можно обозначить точку на плоскости через значение по оси абсцисс и по оси ординат. В самом деле сложно представить, что до Декарта никто не видел декартовых координат. Это практически абсурдно, все равно что представить, что люди не видели кругов и квадратов.

Усвоить математическое понятие – значит научиться видеть то, чего до сих пор не видел. Научиться считать это очевидным. Перейти на следующий уровень сознания.

Когда вы смотрите на мир, вы не можете не узнавать формы, размеры, текстуры, цвета. Но есть еще много того, что вы могли бы увидеть. Существуют и другие структуры, другие формы, другие типы отношений между объектами. Пусть сегодня они от вас ускользают, но эти формы и структуры могут стать очевидными.

Они не так уж далеко.

Они не так уж недоступны зрению.

Они буквально у вас перед глазами.

Билли и ее подруги

Поместить нужные фигурки в нужные отверстия не сложнее, чем есть ложкой. Но научиться помещать нужные фигурки в нужные отверстия существенно сложнее, чем научиться есть ложкой.

В случае с ложкой вы смогли научиться через подражание. В случае с сортером вы попытались научиться через подражание, но это не сработало. Вам не хватало основополагающего элемента. Опознать форму фигурки и найти нужное отверстие – вот те невидимые действия, которые ваши родители выполняли мысленно, а вы никак не могли подражать им напрямую.

Необходимо помнить, что подавляющему большинству того, что мы усваиваем, мы учимся как раз через подражание. Инстинкт подражания присущ всем. Он объединяет нас со всеми млекопитающими и не только с ними.

Моя любимая история про обучение через подражание связана с Билли и ее подругами. Билли была самкой дельфина, жившей в устье реки Аделаида, в Австралии. В юности она заблудилась, отбилась от группы и застряла в порту. Обессилевшую Билли подобрали спасатели и поместили в дельфинарий, пока она не поправится.

В этом дельфинарии жили в неволе дельфины, которых люди выдрессировали и научили выполнять акробатические фигуры. Глядя на них, Билли спонтанно принялась подражать им.

Ее любимым номером была «прогулка на хвосте». Фокус заключается в том, чтобы набрать скорость, плывя под водой вверх тормашками, на спине, а потом резко перейти в вертикаль – за счет разгона создается впечатление, что дельфин идет по воде на хвосте, пятясь назад, отсюда и название трюка. Это сложное движение, требующее большого физического напряжения, и от него нет никакой практической пользы – разве что выпендриться перед товарищами.

Через три недели, когда Билли выпустили в родную бухту, она продолжала заниматься «прогулками на хвосте». Никто никогда не видел, чтобы дельфин, живущий на воле, проделывал этот трюк. Но интереснее всего то, что произошло потом: другие самки в стае Билли принялись делать так же. «Прогулка на хвосте» вошла в моду у дельфинов Аделаиды.

В этом плане мы совсем как дельфины: мы не только наделены способностью учиться, глядя на других, но еще и чувствуем потребность им подражать. Инстинкт подталкивает нас копировать друг друга.

Через подражание мы учимся завязывать шнурки, пользоваться тостером или ездить на велосипеде. Не всегда получается с первого раза, но, глядя на других, мы по крайней мере можем составить себе некоторое представление. Мы понимаем «в целом», зачем нужна ложка, тостер или велосипед, и «в целом» понимаем, как ими пользоваться.

Но, поскольку математика подразумевает невидимые действия, ей нельзя научиться через подражание.

Техника Фосбери

Чтобы совершить математическое открытие, сначала нужно самому придумать новые мысленные действия, создать у себя в голове новые образы, не зная заранее, как за это взяться, и без уверенности, что это сработает.

В реальной жизни придумать по-настоящему новое действие удается настолько редко, что найти задокументированные исторические примеры такого рода непросто. Майкл Джексон – и тот не изобрел «лунную походку». Он научился ей через подражание. Истоки этого танцевального па восходят как минимум к 1930-м годам, а изобрели его безымянные гении.

А вот Дик Фосбери именно что придумал по-настоящему новое действие – технику прыжка в высоту, которая с тех пор носит его имя.

До него основными техниками были «ножницы» (в положении как будто сидя, перешагивая ногами через планку) и перекидной стиль (на животе, вперед головой).

Прыжок в стиле Фосбери – на спину с приземлением на плечи – может показаться противоречащим здравому смыслу. Вне спортивного контекста и без использования мата он похож на попытку самоубийства. У нашего тела нет ни малейшего желания проделывать это. Чтобы решиться упасть навзничь да еще головой вниз, нужно отключить инстинкт самосохранения, внушающий нам, что со всей очевидностью это действие слишком опасно, чтобы его пробовать.

Прыгун в высоту Дик Фосбери на Олимпийских играх 20 октября 1968 года в Мехико завоевал золотую медаль, установив мировой рекорд[3]3
  Getty Images


[Закрыть]

Фосбери ни у кого не копировал этот прием. Он начал обдумывать его в 1963 году, в 16 лет, и посвятил годы оттачиванию техники.

Фосбери вполне мог бы удовлетвориться подражанием. Подражание не было для него постыдным. Он не был тщеславен. Он не стремился быть оригинальным или творческим. Он знал, что подражание – самый действенный метод обучения, и, естественно, сначала пытался прыгать как все.

Все началось с того, что в старших классах он был самым слабым в команде. Поскольку ему никак не давались официальные техники, он принялся экспериментировать, искать более умный и эффективный способ прыгать: «У меня не было цели выиграть, у меня была цель хотя бы не проиграть».

Преимущество его техники заключается в том, что она позволяет преодолеть планку, обогнувшись вокруг нее, так, чтобы центр тяжести проходил под планкой: каждая часть тела постепенно переносится через планку, но в среднем тело все время находится ниже. Так можно преодолеть намного более высокую планку, отталкиваясь с той же силой.

Фосбери прекрасно понимал эти научные аспекты. В университете он заинтересовался инженерными науками. Но он пришел к открытию своей техники постепенно, не столько через вычисления, сколько через самоанализ, внимательно прислушиваясь к своему телу и концентрируясь на действиях, которые позволяли ему легче преодолевать планку. Подход Фосбери требовал одновременно решительности и размышлений.

Однажды, изменив траекторию разбега и положение тела, он побил свой личный рекорд на 15 сантиметров. Это был его первый подлинный успех на школьных соревнованиях. Именно тогда он понял, что это перспективный путь. Но его тренеры не поверили. Годами они продолжали попытки убедить его наконец научиться прыгать как надо. Сам он толком не мог ничего им противопоставить. Он ограничивался ответом, что его техника, возможно, и неправильная, но она правильная для него.

Благодаря своей технике Фосбери выиграл золотую медаль на Олимпиаде в Мехико в 1968 году. Ему был 21 год. Первые интервью показывают, что он еще сам не осознал масштаб своего открытия: «Могу себе представить, что теперь многие мальчишки будут пытаться прыгать как я. Не гарантирую результатов и никому не рекомендую мой стиль».

Но все принялись ему подражать. Со следующих Олимпийских игр 1972 года его техника стала общепринятой. Вот уже более 50 лет каждый новый мировой рекорд по прыжкам в высоту достигается благодаря технике Фосбери.